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北京市广渠门中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


高二上学期期中试题 理科

一、选择题 1.直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : 8x ? 6 y ? 3 ? 0 的距离为( A. )

2 5

B.

1 2

C.

1 4

D.

/>1 5


O 为坐标原点, 2.在空间直角坐标系中, 点 B 是点 A(1,2,3) 在坐标平面 xoy 上的射影, 则 OB 的长为 (
A. 10 B. 13 C. 14 D. 5

3.已知三棱锥 A ? BCD , E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点,若 AC ? BD ,则四边形

EFGH 为(
A.梯形
2 2

) B.矩形 C.菱形 D.正方形

4.在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面 积为( A. 10 2 5.已知 M ? ) B. 5 2 C. 15 2 D. 20 2 )

?? x, y ? y ?

9 ? x 2 , y ? 0 , N ? ?? x, y ? y ? x ? b? , 若 M ? N ? ?, 则 b ? (

?

? A. ? ? ?3 2,3 2 ?

B. ?3 2,3 2

?

?

C. ?3,3 2 ? ?

?

? D. ? ? ?3,3 2 ?


? 1) 的圆在直线 x ? y ? 1 ? 0 上截得的弦长为 2 2 ,那么这个圆的方程为( 6.如果圆心坐标为 (2,

A.( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 C.( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 8
7,在三棱锥 平面 A. 中,

B.( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D.( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 16
底面 , , , , ,则 与

所成 余弦值是( ) B. C. D.

8.经过点

作直线 l,若直线 l 与连接

,

的线段没有公共点,则直线 l 的斜率 k 与倾

斜角 的取值范围分别是( ) A. B

1

C 二、填空题

D

9.过 P(2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 10.已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15 上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 11.当 0 ? k ? 12.过圆
2

1 时,两条直线 kx ? y ? k ? 1 , ky ? x ? 2k 的交点在第 2
外一点 ,做圆的两条切线,

13.圆 x ? 2x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有
2

14.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA , PB 是圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的两条切线, A , B 是
2 2

切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为

15.已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各棱长都为 1, M 是底面 BC 边上的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且

CN ?

1 CC1 ,则 AB1 与 MN 所成的角是 4
2 2

16.已知圆 M : ( x ? cos?)+(y ? sin? ) ? 1 ,直线 L : y ? kx ,下面四个命题: (A)对任意实数 k 与 ? ,直线 L 和圆 M 相切;

(B)对任意实数 k 与 ? ,直线 L 和圆 M 有公共点;

(C)对任意实数 ? ,必存在实数 k ,使得直线 L 和圆 M 相切;

(D)对任意实数 k ,必存在实数 ? ,使得直线 L 和圆 M 相切。 其中真命题的代号是 三、解答题 17.如图所示, F 为的 中点 (写出所有真命题的代号)

(1)画出平面 (2)求证: (3)求证:

A A x P ? (( ? ? 1
. 象限 是切点,则 弦所在的直线方程是 个。 。 。

2

是正三角形,线段



都垂直于平面

,设

,且

与平面

的交线(写出画法)

平面

2

18. 在长方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? AA 1 ? 1 , AB ? 2 点 E 在棱 AB 上移动。 (1)求异面直线 A1D 与直线 D1E 所成的角; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 距离。

19. ?ABC 的顶点 A(5,1) , AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在 直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 。 求: (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程。

20. 圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 与 C2 : x ? y ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 相交于 A,B 两点。
2 2 2 2

(1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y ? ? x 上,且经过 A,B 两点的圆的方程; (3)求经过 A,B 两点且面积最小的圆的方程。

3

21. 当 0 ? a ? 2 时,直线 l1 : ax ? 2 y ? 2a ? 4 ,直线 l2 : 2x ? a2 y ? 2a2 ? 4 与坐标轴围成的一个四边形, 求该四边形面积的最小值以及取得最小值时的 a 的值。

22. 已知直线 L : x ? m(m ? ?2) 与 x 轴交点为 A,动圆 M 与直线 L 相切,并且与圆 O : x ? y ? 4 外切。
2 2

(1)求动圆的圆心 M 的轨迹方程。 (2)若过原点且倾斜角为

? 的直线与曲线 C 交于 M,N 两点,是否存在以 MN 为直径的圆经过点 A、若存 3

在,求出 m 的值,如果不存在,说明理由。

4

答案 1、B 2、D 3、C 4、B 5、C 6、A 7、A 8、A 9、 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 14、 2 2 15、 10、3 11、2 12、 xx0 ? y0 y ? r 2 ? 0 13、3

? 2

16、 (B) 、 (D)

17. 解: (1)如图所示,BG 为平面 与 的交线;做法:延长 AC 与 ED 交于 G 点,连接 BG

(2)设 AB 中点为 M,联结 FM 与 CM

? ? ?
?

F 为 EB 中点,M 为 AB 中点,则 FM 为 ,



? 四边形 DCMF 是平行四边形,且
又 平面,

?

(3)

? ?
?



? ? ?

? BD AB ? E FM EA AB DC A DC ? FD
的中位线 平面 , 平面 ,且 EA=2a,DC=a 平面 平面 且 F 为 EB 中点 是正三角形,M 为 AB 中点 , , 平面, 平面, 平面 平面, 平面 平面, 平面,
5

?

18.解: (1)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系。 设 AE ? x ,则 DA , D1E ? (1, x, ?1) ; 1 ? (1,0,1)

所以 DA D1E ? 0 ,所以异面直线 A1D 与直线 D1E 所成的角为 1? (2)因为 AD ? AA 1 ? 1 , AB ? 2 ; 所以 CD1 ? 5 ? AC , AD1 ? 2 ;

过 C 做 CF 垂直 AD1 于 F ,则 CF ? 5 ? 所以 S? ACD1 ? 则由 VD1 ? AEC

19.解: (1)由题意知, AC ? BH , K AC ? ?2 ,

? 直线 AC 的方程为 y ? 1 ? ?2( x ? 5) ,即 y ? ?2 x ? 11 ,
代入 2 x ? y ? 5 ? 0 ,得 C 的坐标为 (4, 3) 。

(2)设点 B 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,且点 B 与点 A 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称,

?2?

? AF BD
平面

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

? 。 2

2 3 2 ; ? 4 2

3 ,设点 E 到平面 ACD1 距离为 h ; 2 1 3 1 1 1 ? VE ? ACD1 有 ? ? h ? ? ? 1 ,得到 h ? 。 3 2 3 2 3

x0 ? 5 y0 ? 1 ? ? 5 ? 0 ,又点 B 在直线 BH 上,? x0 ? 2 y0 ? 5 ? 0 , 2 2

? x0 ? 1 , ?? ? y0 ? 1
所以,由两点式,得直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 9 ? 0 。

20.解: (1)两式相减得 4 x ? 8 y ? 16 ? 0 即 x ? 2 y ? 4 ? 0 ; 带入圆 C1 : x ? y ? 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ;
2 2

6

0) , B(0, 2) ; 解得 y ? 0 或 2 ,则 x ? ?4 或 0 ,则 A(?4,
设 y ? kx ? b ,带入两点得: k ?

1 1 , b ? 2 ;? y ? x ? 2 2 2

0) , B(0, 2) 分别带入,联立可解 (2)设圆心 ,则圆 C3 : x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? m ? 0 ,将 A(?4, (a, ?a)
得: a ? ?3, m ? 8 所求圆的方程为 x ? y ? 6x ? 6 y ? 8 ? 0 ;
2 2

1) ,半径为 AB 长度的一半即 5 ,由圆的标准方程得, (3)由题意圆心为 AB 中点 (?2,
所求圆的方程为: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 。
2 2

21.解:由已知得:直线 l1 交 y 轴于点 A(0, 2 ? a) ,直线 l2 交 x 轴于点 C (a ? 2,0) ,l1 与 l2 交于点 B (2, 2) ;
2

则四边形 AOCB 的面积 S ? a ? a ? 4 ,当 a ?
2

1 15 时, S 最小,此时最小值为 。 2 4

22.解: (1)设圆心 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? m ,根据动圆 M 与直线 L 和与圆相切,可得

x ? m ? x 2 ? y 2 ? 2 ,化简得 M 的轨迹方程为 y 2 ? (m ? 2)2 ? 2(m ? 2) x
(2)直线 MN 的方程为 y ? 3x ,代入曲线 C 的方程得 3x ? 2(2 ? m) x ? (2 ? m) ? 0 ,
2 2

显然 ? ? 16 ? 2 ? m ? ? 0 .
2

设 M ? x1, y1 ?、N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 而 y1 y2 ? 3x1 ? 3x2 ? 3x1x2 ,

2 1 2 ? 2 ? m ? , x1 x2 ? ? ? 2 ? m ? , 3 3

若以 MN 为直径的圆过点 A,则 AM ? AN ,∴ k AM · k AN ? ?1 . 由此得 4 x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2 ? 0. 得到 m ? 12m ? 16 ? 0 .
2

解得 m1 ? ?6 ? 2 13, m2 ? ?6 ? 2 13 (舍). 故当 m ? ?6 ? 2 13 时,以 MN 为直径的圆恰好过点 A.

7


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