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2015年高考数学考点分类自测 平面向量基本定理及坐标表示 理


2015 年高考理科数学考点分类自测:平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题 1.已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a?b 的值为 ( A.1 C.3 B.2 D.4 )

2.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且 AB =a, AD =b,则 BE = ( )

??? ?

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1 A.b- a 2 1 C.a+ b 2

1 B.b+ a 2 1 D. a- b 2

3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λ b)∥c 则 λ =( A. 1 4 ) B. 1 2

C.1

D.2

1 4.已知向量 a=(1,1-cos θ ),b=(1+cos θ , ),且 a∥b, 2 则锐角 θ 等于( A.30° ) B.45°C.60° D.75°

???? ??? ? 5.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,μ ∈R,那么 A、B、C 三
点共线的充要条件为( A.λ +μ =2 D.λ μ =1 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c,m=( 3b-c,cos C),n=(a, cos A),m∥n,则 cos A 的值等于( A. C. 3 6 3 3 B. D. ) 3 4 3 二、填空题 2 ) B.λ -μ =1C.λ μ =-1

1

1 1 7.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于________.

a b

??? ? ??? ? 8.在△ABC 中,CA =a,CB =b,M 是 CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于点 P, ??? ? 则 AP =_______(用 a,b 表示).
9.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 三、解答题 10.已知向量 a=(1,2),b=(2,3),λ ∈R,若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, 求λ .

11. 已知 P 为△ABC 内一点, 且 3 AP +4 BP +5 CP =0.延长 AP 交 BC 于点 D, 若 AB =

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a, AC =b,用 a、b 表示向量 AP 、 AD .

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12.已知 O 为坐标原点, A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A、B、M 三点都共线; (3)若 t1=a ,求当 OM ⊥ AB 且△ABM 的面积为 12 时 a 的值.
2

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详解答案 一、选择题 1.解析:依题意得 a+b=(3,k+2).由 a+b 与 a 共线,得 1?(k+2)-3?k=0,由 此解得 k=1,a?b=2+2k=4.

2

答案:D

??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 1 2.解析: BE = BA + AD + DE =-a+b+ a=b- a. 2 2
答案:A 1 3.解析:可得 a+λ b=(1+λ ,2),由(a+λ b)∥c 得(1+λ )?4-3?2=0,∴λ = 2 1 答案:B4.解析:∵a∥b,∴(1-cos θ )(1+cos θ )= . 2 1 2 即 sin θ = ,又∵θ 为锐角, 2 ∴sin θ = 答案:B 5.解析:∵ AB =λ a+b, AC =a+μ b, 且 A、B、C 三点共线. ∴存在实数 m,使 AB =m AC ,即 λ a+b=m(a+μ b)
? ?λ =m ∴? ?1=mμ ?

2 ,θ =45°. 2

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,∴λ μ =1.

答案:D 6.解析:m∥n? ( 3b-c)cos A-acos C=0,再由正弦定理得 3sin BcosA=sin Ccos

A+cos Csin A?
3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即 cos A= 答案:C 二、填空题 7.解析: AB =(a-2,-2), AC =(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 答案: 1 2 3 . 3

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? ??? ? 2 ???? ??? ? ??? ? ???? ??? 8.解析:如图所示, AP = AC + CP =- CA + CN =- CA 3 ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ? 1 ??? ? 2 1 ??? 2 ??? 2 + ? ( CA + CB )=- CA + CA + CB =- CA + CB =- 3 2 3 3 3 3 3

3

a+ b.
2 1 答案:- a+ b 3 3 9.解析:由已知 a+b=(1,m-1),c=(-1,2), 由(a+b)∥c 得 1?2-(m-1)?(-1)=m+1=0, 所以 m=-1. 答案:-1 三、解答题 10.解:λ a+b=(λ +2,2λ +3), 又向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线, 所以-7(λ +2)-(-4)(2λ +3)=0,解得 λ =2. 11.解:∵ BP = AP - AB = AP -a, CP = AP - AC = AP -b, 又 3 AP +4 BP +5 CP =0, ∴3 AP +4( AP -a)+5( AP -b)=0,

1 3

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??? ? 1 5 化简,得 AP = a+ b. 3 12
??? ? ??? ? ??? ? 1 5 设 AD =t AP (t∈R),则 AD = ta+ tb.① 3 12
又设 BD =k BC (k∈R),由 BC = AC - AB =b-a,得

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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , ??? ? ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②
1 5 4 由①②,得 t=1-k, t=k 解得 t= . 3 12 3

??? ? 4 5 代入①,有 AD = a+ b. 9 9
12.解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时,有 4t2<0,2t1+4t2≠0 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时,由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4),

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? ??? ? ???? ? ???? ??? ? AM = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB ,
∴不论 t2 为何实数,A、B、M 三点共线.

4

(3)当 t1=a 时, OM =(4t2,4t2+2a ).
2 2

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又∵ AB =(4,4), OM ⊥ AB , 1 2 2 ∴4t2?4+(4t2+2a )?4=0,∴t2=- a . 4 ∴ OM =(-a ,a ).
2 2

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又∵| AB |=4 2, 点 M 到直线 AB:x-y+2=0 的距离

??? ?

d=

|-a -a +2| 2 = 2|a -1|. 2

2

2

∵S△ABM=12,

? 1 ??? 1 2 ∴ | AB |?d= ?4 2? 2|a -1|=12,解得 a=±2,故所求 a 的值为±2. 2 2

5


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