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高一下学期数学(人教版必修4)第二章2.3.1课时作业


[学业水平训练] 1.已知向量 e1,e2 不共线,则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是( ) A.e1-e2 与 e2-e1 3 B.2e1-3e2 与 e1- e2 2 C.-e1-2e2 与 2e1+4e2 D.e1-2e2 与 2e1-e2 解析:选 D.根据基底的定义,只要两向量不共线便可作为基底,易知选 D. 2.已知向量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关系 是( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.不确定 解析:选 B.∵a+b=3e1-e2, ∴c=2(a+b).∴a+b 与 c 共线. → → → 3. 如图,在矩形 ABCD 中,若BC=5e1,DC=3e2,则OC=( )

1 A. (5e1+3e2) 2 1 B. (5e1-3e2) 2 1 C. (3e2-5e1) 2 1 D. (5e2-3e1) 2 1 → 1→ 1 → → 1 → → 解析:选 A.OC= AC= (BC+AB)= (BC+DC)= (5e1+3e2). 2 2 2 2 → → → → → → 4.设点 O 是?ABCD 两对角线的交点,下列向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC; → → ④OD与OB,可作为该平面其他向量基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ → → → → 解析:选 B.易知AD与AB不共线,CA与DC不共线,故选 B. → → → → 5.若 D 在△ABC 的边 BC 上,且CD=4DB=rAB+sAC,则 3r+s=( ) 16 12 A. B. 5 5 8 4 C. D. 5 5 4 4 4 → → → → 解析:选 C.由题意得CD= CB= AB- AC, 5 5 5 4 4 8 ∴r= ,s=- ,∴3r+s= . 5 5 5 → → 6. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,M 是 DC 的中点,以 a,b 为基底表 → 示向量AM=________.

1 → → → → 1 → → 1→ 解析:AM=AD+DM=AD+ DC=AD+ AB=b+ a. 2 2 2 1 答案:b+ a 2 → → → 7.设 a,b 是两个不共线向量,已知AB=2a+kb,CB=a+b,CD=2a-b,若 A、B、D 三点共线,则 k=________. → → 解析:∵CB=a+b,CD=2a-b, → → → ∴BD=CD-CB=(2a-b)-(a+b)=a-2b. ∵A、B、D 三点共线, → → ∴AB=λBD, ∴2a+kb=λ(a-2b)=λa-2λb. 又 a,b 是两个不共线向量, ?λ=2 ? ∴? , ? ?k=-2λ ∴k=-4. 答案:-4 8. 如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外一点 → → → D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是________.

→ → → → → → → 解析:由点 D 是圆 O 外一点,可设BD=λBA(λ>1),则OD=OB+λBA=λOA+(1-λ)OB. λ → 1-λ → → → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μOC(μ>1),则OC=- OA- OB(λ>1,μ>1),所以 m μ μ 1- λ λ λ 1-λ 1 =- ,n=- ,且 m+n=- - =- ∈(-1,0). μ μ μ μ μ 答案:(-1,0) 9.已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2, 试用向量 a 和 b 表示 c. 解:∵a,b 不共线,∴可设 c=xa+yb, 则 xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2. 又∵e1,e2 不共线, ?3x-2y=7, ? ∴? ?-2x+y=-4, ? ? ?x=1, 解得? ?y=-2, ? ∴c=a-2b. 1 → → 10. 如图,平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,H,M 是 AD,DC 的中点,BF= BC, 3 → → 以 a,b 为基底表示向量AM与HF.

解:由 H,M,F 所在位置有: 1 → → → → 1 → → 1→ AM=AD+DM=AD+ DC=AD+ AB=b+ a, 2 2 2 1 → → → → → → → 1→ 1→ → 1→ 1→ HF=AF-AH=AB+BF-AH=AB+ BC- AD=AB+ AD- AD=a- b. 3 2 3 2 6 [高考水平训练] → → → 1.AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC,AC 上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=( ) 4 2 2 4 A. a+ b B. a+ b 3 3 3 3 2 2 2 2 C. a- b D.- a+ b 3 3 3 3 解析:选 B.设 AD 与 BE 交点为 F, → 2 → 2 则AF= a,BF= b. 3 3 → → → → 2 由AB+BF+FA=0,得AB= (a-b), 3 → → → → 2 4 所以BC=2BD=2(AD-AB)= a+ b. 3 3 2.已知 e1 与 e2 不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且 a 与 b 可作为一组基底,则实数 λ 的取值范围是________. 解析:当 a∥b 时,设 a=mb,则有 e1+2e2=m(λe1+e2),即 e1+2e2=mλe1+me2, ? ?1=mλ, 1 1 ∴? 解得 λ= ,即当 λ= 时,a∥b. 2 2 ?2=m, ? 1 又 a 与 b 可作为一组基底,∴a 与 b 不共线,∴λ≠ . 2 1 1 答案:(-∞, )∪( ,+∞) 2 2 → 3. 如图,已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 G,若AB → → =a,AD=b,用 a,b 表示AG.

→ 1 → → 1→ 解:易知CF= CD,CE= CB. 2 2 → → 设CG=λCA,则由平行四边形法则可得 → → → → → CG=λ(CB+CD)=2λCE+2λCF, 由于 E,G,F 三点共线,则 2λ+2λ=1, 1 → 1→ 则 λ= ,从而CG= CA, 4 4 → 3→ 3 从而AG= AC= (a+b). 4 4 → 4. 已知△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AB=AC,D 是将OB分成 2∶1 两部分的一个分点, → → DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b.

→ → (1)用 a,b 表示向量OC,DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值. 解:(1)∵A 为 BC 的中点, → 1 → → → ∴OA= (OB+OC),OC=2a-b. 2 → → → → 2→ DC=OC-OD=OC- OB 3 2 5 =2a-b- b=2a- b. 3 3 → → (2)∵OE=λOA, → → → → → ∴CE=OE-OC=λOA-OC =λa-2a+b=(λ-2)a+b. → → ∵CE与CD共线, → → ∴存在实数 m,使得CE=mCD, 5 即(λ-2)a+b=m(-2a+ b), 3 5 即(λ+2m-2)a+(1- m)b=0. 3 ∵a,b 不共线, λ+2m-2=0, ? ? ∴? 5 ? ?1-3m=0, 4 解得 λ= . 5


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