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二倍角的三角函数教学设计


§3 二倍角的三角函数
说 课 稿
各位专家、评委:大家好! 今天我说课的题目是《二倍角的三角函数》 ,内容选自北师大版教材必修 4 第三章第三节第一课 时.下面我分别从教学内容的分析、教学目标的确定、教学过程的设计与实施 ,教学特点和效果分析 四个方面来汇报这节课的教学. 一、 教学内容的分析 1.教材所处的地位和作用 本节课的主要内容包括二倍角公式的推导以及利用公式进行简单的化简, 求值. 本节在学习了两角 和与差的三角函数的基础上,进一步学习具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式,它既是两角 和与差的公式的特殊化,又为以后的学习提供了理论基础,它为今后运用公式进行简单的三角恒等变 换打好基础.因此它起着承上启下的作用. 2、学情分析 学生在学习两角和差公式及其推导方法之后,已具备一定的逻辑推理能力及由特殊到一般的研究 方法,初步认识了三角函数式的特征,为本节课学习做好准备 3、教学目标分析 知识与技能:以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解 推导过程,掌握其应用。 过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导,体会转化化归、由一般到特殊的数学 思想方法。 情感、态度、价值观:通过学习,使同学对三角函数之间的关系有更深的认识,增强学生逻辑推 理和综合分析能力。 4、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 二、教法和学法分析

教法分析:根据新课程的教学理念,遵循教师为主导,学生为主体的指导思想,采 用以启发式教学,及多媒体辅助教学。教学中采用“问——思——行”的教学模式,适 当加强归纳探求公式的过程,从而渗透有关的数学思想方法,注重引导学生参与探索, 归纳公式的过程,使学生始终处于主动探索问题的积极状态,从而培养思维能力. 学法分析:根据学法指导自主性和差异性原则,让学生在“观察——归纳——检验— —应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,使学生掌握知识.
三、教学流程与教学内容 (一)情景引入、复习导入
1

生活中我们常常遇见这样一个现象:对于一件商品,刚出现的时候,价格会非常高,随着时间的 推移,商品的价格会逐渐下降,甚至于出现打折的情况,反过来看其实就是原始价格是现在价格的多 少倍。对于这个“倍”字,我们自然而然的想到乘法和除法,对于乘法我们知道就是加法的另外一种 运算,例如:6=3+3=3 ? 2。同样的角与角之间也有一个倍数关系, 例如: 60 度角是 30 度角的二倍,角 2? 是角 ? 的二倍。而对于角都有三角函数值,那么角 2? 的三角函数值怎样计算呢?

sin 60? ? 2sin 30? cos30? ; sin 90? ? 2sin 45? cos 45? ; sin120? ? 2sin 60? cos 60? 这三组等

式是偶然的巧合还是有一定的联系?
设计意图:这样设计可以让学生有直观的认识,进而产生是否可以推广的疑问,然后通过教师引 导,抽象概括、归纳得出一般形式,进而设问其是否仍能成立?从而引入新课 由乘法我们可以知道 2? ? ? ? ? ,那么对于角 2? 就可以转换成角 ? ? ? 。 设计意图:启发学生利用和角公式自主完成学案上的公式推导。这样设计的目的在于此环节难度 不高,可以让学生亲身体验探索的过程,体会特殊到一般的数学思想。同时引导学生推导出二倍角余 弦公式的变形,突出本节课的重点。通过学生的探究讨论等活动,使学生在学中用,在用中学,逐步 发展应用意识和基本的实践能力 首先回顾一下两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? ; 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢?(学生自己动手推导并说明过程) 设计意图:高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识,因此选择感兴趣的、与其生活 实际密切相关的素材,此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解,而对于这一部分知识只 有先理解了,后面对于公式的记忆和应用才能信手拈来。 (二)逐步探索、发现新知 公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
思考:
2

tan ? ? tan ? 2 tan ? ? . 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

1、把上述关于 cos 2? 的式子能否变成只含有 sin ? 或 cos? 形式的式子呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
2、把上述关于 cos 2? , sin 2? 的式子能否变成只含有 tan ? 形式的式子呢? 3、二倍角公式中, “倍”字如何理解? (1) sin 4 (2) cos 6? (3)

2 tan 2? ? ? 2 (4) (sin ? cos ) 2 2 2 1 ? tan 2?

设计意图:让学生深刻理解体会二倍角之间的倍数关系,学生通过自己动手检验公式是否正确, 从中让学生自己发现并总结。 (三)知识应用、巩固提高 1、例题讲解 例 1、 已知tan? ?

1 , 求 tan 2?的值. 2 3 5

例 2、设α 是第二象限角,已知 cos ? ? ? ,求 sin 2? , cos 2? 和 tan 2? 的值 设计意图:是通过理解公式最基础的练习,和三角函数开平方求值时,一定要根据角所在的象 限确定三角函数值的符号,求解过程可完全由学生独立进行,目的在于使学生熟悉公式,教师同时规 范解答, (突出重点) 例 3、在Δ ABC 中,已知 AB ? AC ? 2 BC ,求角A的正弦值 实际意图:设置是让学生对“倍”的相对性及 ? 任意性有更进一步的认识,加深对公式的理解。 同时体会换元思想在三角变换中的作用,对学生推理能力的发展起到了很好的推动作用。同时达到突 破难点的目的。 例4、要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使长方形面积最大? 设计意图:主要是利用二倍角公式解决实际问题,在解答过程中是最简单的公式反用,目的在于 培养反用意识及思维的灵活性, 2、巩固练习

P123 练习1—4题(公式的简单应用)
补充练习 (1) sin 15 cos15 ? ;
? ?

(2) 2 cos

2

?
8

?1 ?

(3) sin

2

?
8

? cos 2

?
8

?

3

(4) 8 sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

?

(5) cos

4

?
2

? sin 4

?
2

?

(6)

1 1 ? ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

设计意图:及时反馈.让学生板演,及时指导学生做题时存在的问题和解决学生的疑点,同时检验 本节课的教学目标是否达成。 3、直击高考 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ,求 f ( x) 的最大值和最小正周期。 (学生在此题的基础上提出其他问题并解决) 设计意图:对于例题的讲解以及练习巩固和延伸,例题和练习都很简单,直接利用公式就可以解 决,主要目的是帮助学生巩固三角函数倍角本质特征;而对于延伸的一个题目主要是引导学生自主探 究三角函数有关问题的思想方法以及三角函数的综合应用。 (四)课堂小结、反思提高 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式 (2)对公式的理解以及灵活运用,注意“倍”角是相对的 设计意图:先让学生小结知识方法,并完成公式框图。这样设计的目的是让学生巩固本节课所学 知识同时对 11 个三角公式形成系统,加深对公式本质理解,为以后进一步学习做铺垫。教师补充数 学思想。教师对于学生学习情况的了解进行反思,为下节课的教学做好准备。 (五)布置作业: 1、教材 126页 习题3-3A组 2、思考:如何得到三倍角公式? 设计意图:分层布置作业,以满足不同学生学习的需要,使每个学生都能得到发展 (六)板书设计 四:设计评价 教学设计紧扣课程标准的要求,重点放在二倍角三角函数的理解上。背景很简单,就是对乘法的 理解,认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律,这样有利学生的思考。通过问题引导学 生自主探究二倍角的三角函数的生成过程,让学生在情境中活动,在活动中体验数学与自然和社会的 联系、新旧知识的内在联系,在体验中领悟数学的价值,使学生在理解数学的同时,在思维能力、情 感态度与价值观等多方面得到进步和发展。《课标》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目 标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和 实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问 题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴 涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、 数学思维、数学方法去观察生活、解决实际问题,增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。 总之,以上各环节,环环相扣,层层深入,并注意调动学生自主探究与合作,学生的主体地 位和教师的主导作用体现的淋漓尽致,能够很好的完成教学目标,也使新课程的理念能够很好的 得到落实. 恳请在座的各位专家、老师批评指正. 1 、2、4 题

4


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