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重庆市南开中学2016届高三上学期期中数学(理)试题(无答案)


重庆南开中学高 2016 级高三(上)中期考试 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。

? x ?1 ? 1、已知

集合 A ? x y ? x ? 1 , B ? ? x ? 0? ,则 A ? B ? ( ? x?2 ?
A、 ? ?1,1? B、 ? ?1,1? C、 ? ?2,1?

?

?

) D、 ?0,1? ) D、8

2、公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4 a10 ? 16 ,则 a6 ? ( A、1 B、2 C、4

? ? ? ? ? ? 3、已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ? x, ?2? , c ? ? 0,2? ,若 a ? b ? c ,则实数 x 的值为(

?

?



A、

4 3

B、

3 4

C、 ?

3 4

D、 ?

4 3


4、已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? ln x ,命题 q : 函数y ? a x ? a? x ? a ? 1? 在 R 上为减函数,则( A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? ? ?q ? 是真命题 B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? ? ?q ? 是假命题

?x ? y ? 0 ? 5、设变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最小值为( ?y ? 2 ? 0 ?



A、 ? 8 B、 ? 6 C、 ?4 D、 ?2 6、已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 ( ) A、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 C、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 B、 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 D、 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0

?? ? ? 7、 函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? 的最小正周期是 ? , 若其图象向右平移 个单位长得到的函 2? 3 ?
数为偶函数,则函数 f ? x ? 的图象( )

?? ? A、关于点 ? ,0 ? 对称 ? 12 ?

B、关于直线 x ?

?
12

对称

? 5? ? ,0 ? 对称 C、关于点 ? ? 12 ?

D、关于直线 x ?

5? 对称 12


8、等差数列 ?an ? 中, a6 ? 0, a7 ? 0且a7 ? a6 , Sn 是前 n 项之和,则下列说法正确的是( A、 S1 , S2 , S3 均小于 0,而 S4 , S5 ,? 均大于 0 B、 S1 , S2 ,?, S6 均小于 0,而 S7 , S8 ,? 均大于 0 C、 S1 , S2 ,?, S11 均小于 0,而 S12 , S13 ,? 均大于 0 D、 S1 , S2 ,?, S12 均小于 0,而 S13 , S14 ,? 均大于 0

9、在 ?ABC 中,已知顶点 A ? 5,8? ,直线 x ? y ? 1 ? 0 过点 B ,且过点 C 的直线 y ? 4 将 ?ABC 的面积分 成相等的两部分,则边长 AB ? ( A、10 B、 8 2 ) C、 6 3 D、 9 2

10、已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ex 。若不等式 f ? x ? a ? ? f 2 ? x ? 对任 意 x ?? a,2? 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A、 ? ?4,0? B、 ? ??, ?4? C、 ? ?6,0? ) D、 ? ??, ?6?

11、如图,正方形 ABCD 的边长为 2, M , N 分别为边 BC , CD 上的动点,且 ???? ? ???? ?MAN ? 45? ,则 AM ? AN 的最小值为( ) A、 4 C、4

?

2 ?1

?

B、 8

?

2 ?1

?

D、 4 2

12、设二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 的导函数为 f ' ? x ? 。若对 ?x ? R ,都有 f ? x ? ? f ' ? x ? 成立,则直线

a ? 2 x ? 1? ? by ? c ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 1 的位置关系为(
A、相交 B、相离

) D、相离或相切

C、相交或相切

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。 13、过点 A ? 2,3? 且垂直于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程为 。

? ? ? ??? ? ? ? 14、已知向量 a与b 的夹角为 , a ? 1, 2a ? b ? 10 ,则 b ?

4



15、已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,点 P 在直线 y ? k ? x ? 4? 上,过 P 作圆 O 的两条切线 PA, PB (其中 A, B 为 切点) 。若存在点 P ,使得 ?APB ? 60? ,则 k 的取值范围为 。 。

? 1 ? 3a ? ? 4 ? b ? 16、已知实数 a , b 满足 a ? b ? 0 ,则 ? ? ?? ? 的最小值为 ? 1? a ? ? 1? b ?
三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

2

17、 (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c c为常数, n ? N * ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等 于 1 的等比数列。 (1)求 c 的值; (2)设 bn ?

?

?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 an an ?1

18、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,m ? ? 2a,1? ,n ? ? 2b ? c,cos C ? ,

??

?

?? ? 且 m // n 。
(1)求角 A 的值; (2)求 sin B ? sin C 的取值范围。

19、 (本小题满分 12 分)已知圆 C : ? x ?1? ? ? y ? 1? ? 4 ,直线 l : y ? x ? m 。
2 2

(1)若直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2 2 ,求实数 m 的值; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,且 ?AOB 为锐角,求 m 的取值范围。

20 、 (本 小题 满分 12 分) 已知 x ? 1 是 函 数 f ? x ? ? mx3 ? 3? m ? 1? x2 ? nx ? 1 的 一个 极值 点, 其中

m, n ? R, m ? 0 。
(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围。

21、 (本小题满分 12 分)已知常数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ax3 ? 4 ?1 ? a ? x , g ? x ? ? ln ? ax ? 1? ? (1)讨论 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上极值点的个数;

1 3

2x 。 x?2

? 1 ? (2)若 f ? x ? 在 ? ? , ?? ? 上存在两个极值点 x1 , x2 ,且 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围。 a ? ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC ,以点 B 为圆心,以 BC 为半径的圆分别交 AB, AC 于 D, E 两点,且 EF 为该圆的直径。 (1)求证: ?A ? 2?F ; (2)若 AE ?

1 EC ? 2 ,求 BC 的长。 2

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆 C 的极坐标方程为

? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

??

?x ? t ( t 为参数) ,直线 l 和圆 C 交于 A, B 两点, P 是 ? ,直线 l 的参数方程为 ? 4? ? y ? ?1 ? t

圆 C 上不同于 A, B 的任意一点。 (1)求圆心的极坐标; (2)求 ?PAB 面积的最大值。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 的最小值为 m 。 (1)求 m 的值; (2)若正实数 a , b 满足

1 1 1 2 m ? ? 3 ,求证: 2 ? 2 ? 。 a b a b 2


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