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24.2.2 直线和圆的位置关系(3.4)


在经过圆外一点的切线上, 在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A

O

P

B

切线与切线长的区别与联系: 切线与切线长的区别与联系:
切线是一条与圆相切的直线; (1)切线是一条与圆相切的直线; (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 切线上某一点 间的线段的长

若从⊙ 外的一点引两条切线PA,PB, 若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点 PA 分别是A 连结OA OB、OP, OA、 分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结 并证明你所发现的结论。 论?并证明你所发现的结论。
B

PA = PB ∠OPA=∠OPB ∠
O


P

A 证明: PA,PB与 相切, 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB OA⊥PA, 即∠OAP=∠OBP=90° ∠ °
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP , ∴Rt△AOP≌Rt△ ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB ∠

如图,已知⊙ 外一点 外一点P,你能用尺规过点P 如图,已知⊙O外一点 ,你能用尺规过点 的切线吗? 作⊙O的切线吗? 的切线吗 A 1.连结 连结OP 连结
o

2.以OP为直径作⊙O′, 以 为直径作 为直径作⊙ , 交于A、 两点 两点。 与⊙O交于 、B两点。 交于 即直线PA、PB为⊙O的切线 即直线 、 为 的切线


B

o′



p

切线长是 通过作图你能发现什么呢? 通过作图你能发现什么呢? 一条线段 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点 关于直线 对称 和点B关于直线 点 和点 关于直线OP对称 经过圆外一点作圆的切线, 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线 段的长,叫做这点到圆的切线长。 段的长,叫做这点到圆的切线长。

如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点。如果连结OA、 如图, 、 是 的切线, 、 为切点。如果连结 、 的切线 为切点 OB、OP,图中的 与PB,∠APO与∠BPO有什么关系? 有什么关系? 、 ,图中的PA与 , 与 有什么关系 ∵ PA、PB是⊙O的切线, 、 是 的切线, 的切线 A、B为切点 、 为切点 o o ∴OA⊥PA,OB⊥PB ⊥ , ⊥ OA=OB,OP= 又∵OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP △ ≌ △ ∴PA=PB,∠APO=∠BPO = , = A


B

p

切线长定理: 切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等, 从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

A 的切线, ∵ PA、PB是⊙O的切线, 、 是 的切线 A、B为切点 、 为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO = , =


B

C D

p

如图,若连接 , 有什么关系? 如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系? 与 有什么关系
的切线, ∵ PA、PB是⊙O的切线, 、 是 的切线 A、B为切点 、 为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO = , = 平分AB ∴OP⊥AB,且OP平分 ⊥ , 平分

从圆外一点引圆的两条切线, 从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦; 点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切 点所成的弧。 点所成的弧。

o

⌒ ⌒ AD与BD 与 相等吗? 相等吗?

我们学过的切线, 我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个 性质:
切线和圆只有一个公共点; 1、切线和圆只有一个公共点; 2、切线和圆心的距离等于圆的半径; 切线和圆心的距离等于圆的半径; 切线垂直于过切点的半径; 3、切线垂直于过切点的半径; 经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

思考

如图,一张三角形的铁皮, 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢? 一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?

I

D

内切圆和内心的定义: 内切圆和内心的定义: 三角形的内切圆. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点, 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫 三角形的内心. 做三角形的内心.

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外切圆圆心: 外切圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。 垂直平分线的交点。 外切圆的半径: 外切圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。 角形任意一个定点的距离。

内切圆圆心: 内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内角平分线的交点。 内切圆的半径: 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。 角形任意一边的垂直距离。

已知: ABC是 已知:△ABC是⊙O外切三角形,切点为D,E,F。若BC= 外切三角形,切点为D BC= AC=9cm,AB=13cm。 AF,BD,CE。 14 cm ,AC=9cm,AB=13cm。求AF,BD,CE。
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm A x+y=13

x F y
B O

x
E

依题意得方程组 z
C 解得: 解得: X=4 Y=9 Z=5

y+z=14 x+z=9

y

D z

∴ AF、BD、CE的长分别是4cm、cm、cm。 9 5

已知,如图 如图, 、 是 的两条切线, 、 为切点 为切点. 的两条切线 例1 已知 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. 、 , (1)写出图中所有的垂直关系; )写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形 )写出图中所有的全等三角形. 的长. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长 ) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB ⊥ ⊥ ⊥ O C B A D P

(1) 解:

(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB ≌ E △ACP≌△BCP. ≌ (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 由勾股定理, 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 △ PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以, 所以,半径 OA 的长为 3 cm.

如图, 为 外一点, 、 分别切 分别切⊙ 于 、 两点 两点, 如图,P为⊙O 外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点, OP交 ⊙O于C,若PA=6,PC=2 的半径OA 交 于 , = , = ,求⊙O的半径 的半径 3 及两切线PA、 的夹角 的夹角。 及两切线 、PB的夹角。 连接OA、 , 解:连接 、AC,则OA⊥AP ⊥ 在Rt△AOP中,设OA=x △ 中 = 则OP= x+2 3 = + ∴OA2+PA2=OP2 =(x+ 即 x2+62=( +2 3)2 解得x= 解得 =2 3 ,即OA=OC=2 3 = = ∴OP=4 3 = 在Rt△AOP中,OP=2OA △ 中 = ∴∠APO=30° ∴∠ = ° ∵PA、PB是⊙O的切线 、 是 的切线
O A


B

c

P

∴∠APB=2∠APO=60° = ∠ ∴∠ = ° ∴⊙O的半径为 ∴⊙ 的半径为2 3 ,两 的半径为 切线的夹角为60° 切线的夹角为 °

如图,已知: 中 = ° 是 例2 如图,已知:在△ABC中,∠B=90°,O是 AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交 上一点, 为圆心, 为半径的圆交 为半径的圆交AB 上一点 为圆心 于点E, 与点D。求证: ∥ 于点 ,交AC与点 。求证:DE∥OC 与点 C
证明:连接BD. 证明:连接BD. ∵∠ABC=90°,OB为 ABC=90 ∵∠ABC=90°,OB为⊙O的半径 ∴CB是⊙O的切线 CB是 ∵AB是⊙O的切线,D是切点 AB是 的切线,D是切点 ,D ∴CD=CB,∠1=∠2 CD=CB,∠ ∴OC⊥BD OC⊥ ∵BE是⊙O的直径 BE是 ∴∠BDE=90° ∴∠BDE=90°,即DE⊥BD BDE=90 DE⊥ ∴DE∥OC DE∥ A E
1 2

D O



B

切线长定理
A

如图:过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切. 在经过圆外一点的圆的切 线上,这点和切点间的线 段的长,叫做切线长 切线长. 切线长

O

P

B

切线长定理: 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.

例1

已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点. 直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.

解: (1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB , △ACP≌△BCP. E (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm 所以,半径 OA 的长为 3 cm. O

A D C B P


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