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江西省抚州市创新协调中心2016届中考数学一模试题(含解析)


江西省抚州市创新协调中心 2016 届中考数学一模试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,每小题只有一个正确选项) 1.﹣ 的相反数是( )

A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 2.2015 年 3 月,我国成功发射了首颗新一代北斗导航卫星,它运行在距离地球 3.6 万公里的地球 同步轨道上,将 3.6 万用科学记数法表示为

( ) 4 4 5 5 A.36×10 B.3.6×10 C.0.36×10 D.3.6×10 3.下面几何体的左视图为( )

A.

B.

C.

D.

4.一文具店的装订机的价格比文具盒的价格的 3 倍少 1 元,购买 2 把装订机和 6 个文具盒共需 70 元,问装订机与文具盒价格各是多少元?设文具盒的价格为 x 元,装订机的价格为 y 元,依题意可 列方程组为( )

A.

B.

C.

D.

5.小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量,称得六盒纯牛奶的含量分别为:248mL, 250mL,249mL,251mL,249mL,253mL,对于这组数据,下列说法正确的是( ) A.平均数为 251mL B.中位数为 249mL C.众数为 250mL D.方差为 2 6.关于抛物线 y=x ﹣(a+1)x+a﹣2,下列说法错误的是( A.开口向上 B.当 a=2 时,经过坐标原点 O C.a>0 时,对称轴在 y 轴左侧 D.不论 a 为何值,都经过定点(1,﹣2) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 7.计算:﹣1﹣(3﹣a)= . 3 3 8.分解因式:a b﹣ab = . x 3x 9.如果 a =3,那么 a 的值为 .



1

10. 如图, ⊙O 的弦 AB 与半径 OC 相交于点 P, BC∥OA, ∠C=50°, 那么∠APC 的度数为



11.已知实数 a,b 满足 a ﹣a﹣6=0,b ﹣b﹣6=0(a≠b),则 a+b= . 12.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=20°,点 O 是 AB 的中点,将 OB 绕点 O 顺时针旋转 α 角 时(0°<α <180°),得到 OP,当△ACP 为等腰三角形时,α 的值为 .

2

2

三、(本大题共 6 小题,共 30 分)

13.解不等式组



14.如图,Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°,∠D=28°,求∠GBF 的度数.

15.先化简,再求值:(

+

)÷ ,其中 x=



16.如图,正方形 A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,?,AnAn+1BnCn,如图位置依次摆放,已知点 C1,C2, C3,?,Cn 在直线 y=x 上,点 A1 的坐标为(1,0). (1)写出正方形 A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,?,AnAn+1BnCn 的位似中心坐标; (2)正方形 A4A5B4C4 四个顶点的坐标.

2

17.?ABCD 中,点 E 在 AD 上,DE=CD,请仅用无刻度的直尺,按要求作图(保留作图痕迹,不写作 法) (1)在图 1 中,画出∠C 的角平分线; (2)在图 2 中,画出∠A 的角平分线.

18.小华的父母决定今年中考后带他去旅游,初步商量有意向的五个景点分别为:①婺源,②三清 山,③井冈山,④庐山,⑤龙虎山,由于受时间限制,只能选其中的二个景点,却不知该去哪里, 于是小华父母决定通过抽签决定,用五张小纸条分别写上五个景点做成五个签,让小华随机抽二次, 每次抽一个签,每个签抽到的机会相等. (1)小华最希望去婺源,求小华第一次恰好抽到婺源的概率是多少? (2) 除婺源外, 小华还希望去三清山, 求小华抽到婺源、 三清山二个景点中至少一个的概率是多少? (通过“画树状图”或“列表”进行分析). 四、(本大题共 4 小题,每小题 8 分,共 32 分) 19.某地区在一次九年级数学质量检测试题中,有一道分值为 8 分的解答题,所有考生的得分只有 四种,即:0 分,3 分,5 分,8 分,老师为了解本题学生得分情况,从全区 4500 名考生试卷中随机 抽取一部分,分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图:

请根据以上信息解答下列问题: (1)本次调查从全区抽取了 份 学 生 试 卷 ; 扇 形 统 计 图 中 a= , b= ; (2)补全条形统计图; (3)该地区这次九年级数学质量检测中,请估计全区考生这道 8 分解答题的平均得分是多少?得 8 分的有多少名考生? 20.如图,点 A(1,4),B(﹣4,n)在双曲线 y= 的图象上,直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C,D, 过点 A 作 AE⊥x 轴,垂足为 E,过点 B 作 BF⊥y 轴,垂足为 F,连接 AF,BE 交于点 G. (1)求 k 的值及直线 AB 的解析式; (2)判断四边形 ADEF 的形状,并写出证明过程.

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21.如图,在?ABCD 中,AC=AD,⊙O 是△ACD 的外接圆,BC 的延长线与 AO 的延长线交干 E. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 AB=8,AD=5,求 OE 的长.

22.如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形,若显 示屏所在面的侧边 AO 与键盘所在面的侧边 BO 长均为 24cm,点 P 为眼睛所在位置,D 为 AO 的中点, 连接 PD, 当 PD⊥AO 时, 称点 P 为“最佳视角点”, 作 PC⊥BC, 垂足 C 在 OB 的延长线上, 且 BC=12cm. (1)当 PA=45cm 时,求 PC 的长; (2)若∠AOC=120°时,“最佳视角点”P 在直线 PC 上的位置会发生什么变化?此时 PC 的长是多 少?请通过计算说明. (结果精确到 0.1cm,可用科学计算器,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)

五、(本大题共 10 分) 2 23.已知抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b(a≠0,b>0)的顶点为 M,经过原点 O 且与 x 轴另一交点为 A. (1)求点 A 的坐标; (2)若△AMO 为等腰三角形,求抛物线 C1 的解析式; (3)现将抛物线 C1 绕着点 P(m,0)旋转 180°后得到抛物线 C2,若抛物线 C2 的顶点为 N,当 b=1, 且顶点 N 在抛物线 C1 上时,求 m 的值. 六、(本大题共 12 分) 24.操作:如图,边长为 2 的正方形 ABCD,点 P 在射线 BC 上,将△ABP 沿 AP 向右翻折,得到△AEP, DE 所在直线与 AP 所在直线交于点 F. 探究:(1)如图 1,当点 P 在线段 BC 上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE 的度数;②若点 E 恰为线段 DF 的中点时,请通过运算说明点 P 会在线段 BC 的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数. 归纳:(2)若点 P 是线段 BC 上任意一点时(不与 B,C 重合),∠AFD 的度数是否会发生变化?试 证明你的结论;

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猜想:(3)如图 2,若点 P 在 BC 边的延长线上时,∠AFD 的度数是否会发生变化?试在图中画出图 形,并直接写出结论.

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2016 年江西省抚州市创新协调中心中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分,每小题只有一个正确选项) 1.﹣ 的相反数是( )

A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 【考点】相反数. 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号. 【解答】解:﹣ 的相反数是 , 故选 C 【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的 相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 0. 2.2015 年 3 月,我国成功发射了首颗新一代北斗导航卫星,它运行在距离地球 3.6 万公里的地球 同步轨道上,将 3.6 万用科学记数法表示为( ) 4 4 5 5 A.36×10 B.3.6×10 C.0.36×10 D.3.6×10 【考点】科学记数法—表示较大的数. n 【分析】根据科学记数法表示大数 a×10 ,可得答案. 4 【解答】解:3.6 万用科学记数法表示为 3.6×10 , 故选:B. n 【点评】本题考查了科学记数法,科学记数法表示大数:a×10 ,确定 n 的值是解题关键,n 是整数 数位减 1. 3.下面几何体的左视图为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左边看是一个梯形加一个三角形, 故选:D. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图,注意能看到的线用实线 表示.

6

4.一文具店的装订机的价格比文具盒的价格的 3 倍少 1 元,购买 2 把装订机和 6 个文具盒共需 70 元,问装订机与文具盒价格各是多少元?设文具盒的价格为 x 元,装订机的价格为 y 元,依题意可 列方程组为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组. 【分析】设文具盒的价格为 x 元,装订机的价格为 y 元,根据一文具店的装订机的价格比文具盒的 价格的 3 倍少 1 元,购买 2 把装订机和 6 个文具盒共需 70 元列出方程组解答即可. 【解答】解:设文具盒的价格为 x 元,装订机的价格为 y 元,可得:

, 故选 A. 【点评】此题考查二元一次方程组的应用,解答此题的关键是:分析题意,弄清楚数量间的关系, 得出等量关系式,问题即可得解. 5.小明在家中利用物理知识称量某个品牌纯牛奶的净含量,称得六盒纯牛奶的含量分别为:248mL, 250mL,249mL,251mL,249mL,253mL,对于这组数据,下列说法正确的是( ) A.平均数为 251mL B.中位数为 249mL C.众数为 250mL D.方差为 【考点】方差;算术平均数;中位数;众数. 【分析】中位数是一组数据按大小顺序排列,中间一个数或两个数的平均数,即为中位数;出现次 数最多的数即为众数;方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数,根据方差公式计算即可,所 以计算方差前要先算出平均数,然后再利用方差公式计算. 【解答】解:A、这组数据平均数为:(248+250+249+251+249+253)÷6=250,故此选项错误; B、数据重新排列为:248,249,249,250,251,253,其中位数是(249+250)÷2=249.5,故此选 项错误; C、这组数据出现次数最多的是 249,则众数为 249,故此选项错误; D、这组数据的平均数 250,则其方差为: ×[(248﹣250) +(250﹣250) +(249﹣250) +(251 ﹣250) +(249﹣250) +(253﹣250) ]= ,故此选项正确; 故选:D. 【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义:一般地设 n 个数据,x1,x2,?xn 的平均数 为 ,则方差 S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +?+(xn﹣ ) ],它反映了一组数据的波动大小,方差 越大,波动性越大,反之也成立.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从 小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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6.关于抛物线 y=x ﹣(a+1)x+a﹣2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.当 a=2 时,经过坐标原点 O C.a>0 时,对称轴在 y 轴左侧 D.不论 a 为何值,都经过定点(1,﹣2) 【考点】二次函数的性质. 【分析】根据 a=1,判断开口方向,把 a=2 代入解析式,即可得出图象过原点,根据左同右异原则 即可得出 a 的范围,把(1,﹣2)代入即可得出答案,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断. 【解答】解:∵a=1, ∴抛物线开口向上; 2 当 a=2 时,抛物线的解析式为 y=x ﹣3x,则过原点; 对称轴为 x= , 当 a>0 时,对称轴>0, ∴对称轴在 y 轴右侧; 当 x=1 时,y=1﹣a﹣1+a﹣2=﹣2, ∴不论 a 为何值,都经过定点(1,﹣2), 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.本题 的关键是确定抛物线的开口方向、对称轴以及待定系数法求解析式. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 7.计算:﹣1﹣(3﹣a)= a﹣4 . 【考点】整式的加减. 【分析】先去括号,再合并同类项即可. 【解答】解:原式=﹣1﹣3+a =﹣4+a =a﹣4. 故答案为 a﹣4. 【点评】本题考查了整式的加减,熟练掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的关键. 8.分解因式:a b﹣ab = ab(a+b)(a﹣b) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 2 2 【分析】先观察原式,找到公因式 ab 后,提出公因式后发现 a ﹣b 符合平方差公式,利用平方差公 式继续分解即可. 3 3 【解答】解:a b﹣ab , 2 2 =ab(a ﹣b ), =ab(a+b)(a﹣b). 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式, 然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 9.如果 a =3,那么 a 的值为 27 . 【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据幂的乘方,即可解答.
x 3x 3 3

2

8

【解答】解:a =(a ) =3 =27. 故答案为:27. 【点评】本题考查了幂的乘方,解决本题的关键是熟记幂的乘方. 10.如图,⊙O 的弦 AB 与半径 OC 相交于点 P,BC∥OA,∠C=50°,那么∠APC 的度数为 75° .

3x

x

3

3

【考点】圆周角定理;平行线的性质. 【分析】由 BC∥OA,∠C=50°,根据平行线的性质,可求得∠AOC 的度数,又由圆周角定理,可求 得∠B 的度数,然后由三角形外角的性质,求得答案. 【解答】解:∵BC∥OA,∠C=50°, ∴∠AOC=∠C=50°, ∴∠B= ∠AOC=25°, ∴∠APC=∠B+∠C=75°. 故答案为:75°. 【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质.注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是关键. 11.已知实数 a,b 满足 a ﹣a﹣6=0,b ﹣b﹣6=0(a≠b),则 a+b= 1 . 【考点】根与系数的关系. 2 【分析】根据题意可知 a、b 是一元二次方程 x ﹣x﹣6=0 的两个不相等的实数根,由根与系数的关 系即可得出 a+b. 2 2 【解答】解:∵a ﹣6a+4=0,b ﹣6b+4=0,且 a≠b, 2 ∴a、b 是一元二次方程 x ﹣x﹣6=0 的两个不相等的实数根, ∴a+b=1; 故答案为:1. 【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解 题是一种经常使用的解题方法. 12.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=20°,点 O 是 AB 的中点,将 OB 绕点 O 顺时针旋转 α 角 时(0°<α <180°),得到 OP,当△ACP 为等腰三角形时,α 的值为 40°或 70°或 100° .
2 2

【考点】旋转的性质.

9

【专题】计算题. 【分析】连结 AP,如图,由旋转的性质得 OP=OB,则可判断点 P、C 在以 AB 为直径的圆上,利用圆 周角定理得∠BAP= ∠BOP= α ,∠ACP=∠ABP=90°﹣ α ,∠APC=∠ABC=70°,然后分类讨论:当 AP=AC 时, ∠APC=∠ACP, 即 90°﹣ α =70°; 当 PA=PC 时, ∠PAC=∠ACP, 即 α +20°=90°﹣ α , ; 当 CP=CA 时,∠CAP=∠CAP,即 α +20°=70°,再分别解关于 α 的方程即可. 【解答】解:连结 AP,如图, ∵点 O 是 AB 的中点, ∴OA=OB, ∵OB 绕点 O 顺时针旋转 α 角时(0°<α <180°),得到 OP, ∴OP=OB, ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上, ∴∠BAP= ∠BOP= α ,∠APC=∠ABC=70°, ∵∠ACB=90°, ∴点 P、C 在以 AB 为直径的圆上, ∴∠ACP=∠ABP=90°﹣ α ,∠APC=∠ABC=70°, 当 AP=AC 时,∠APC=∠ACP, 即 90°﹣ α =70°,解得 α =40°; 当 PA=PC 时,∠PAC=∠ACP, 即 α +20°=90°﹣ α ,解得 α =70°; 当 CP=CA 时,∠CAP=∠CAP, 即 α +20°=70°,解得 α =100°, 综上所述,α 的值为 40°或 70°或 100°. 故答案为 40°或 70°或 100°.

【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是用 α 表示∠ACP 和∠CAP,再运用分类 讨论的思想和等腰三角形的性质建立关于 α 的方程. 三、(本大题共 6 小题,共 30 分)

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13.解不等式组



【考点】解一元一次不等式组. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大 小小无解了确定不等式组的解集. 【解答】解:解不等式 1﹣2x≤0,得:x≥ , 解不等式 x< (8﹣x),得:x<2, 故不等式组的解集为 ≤x<2. 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大; 同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 14.如图,Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°,∠D=28°,求∠GBF 的度数.

【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的性质得到 CD=AF,证明∴△DGC≌△AGF,根据全等三角形的性质和角平 分线的判定得到∠CBG=∠FBG,根据三角形内角和定理计算即可. 【解答】解:∵Rt△ABC≌Rt△DBF,∠ACB=∠DFB=90°, ∴BC=BF,BD=BA, ∴CD=AF, 在△DGC 和△AGF 中,

, ∴△DGC≌△AGF, ∴GC=GF,又∠ACB=∠DFB=90°, ∴∠CBG=∠FBG, ∴∠GBF=(90°﹣28°)÷2=31°. 【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定,掌握全等三角形的对应边相等、对应角 相等是解题的关键.

15.先化简,再求值:(

+

)÷ ,其中 x=


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【考点】分式的化简求值. 【专题】计算题;分式. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得 到最简结果,把 x 的值代入计算即可求出值.

【解答】解:原式=

?x=

?x=2x+1,

当 x=

时,原式=



【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 16.如图,正方形 A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,?,AnAn+1BnCn,如图位置依次摆放,已知点 C1,C2, C3,?,Cn 在直线 y=x 上,点 A1 的坐标为(1,0). (1)写出正方形 A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,?,AnAn+1BnCn 的位似中心坐标; (2)正方形 A4A5B4C4 四个顶点的坐标.

【考点】位似变换;一次函数图象上点的坐标特征;正方形的性质. 【分析】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点为原点,进而得出答案; (2)利用一次函数图象上点的坐标性质得出各线段的长,进而得出答案. 【解答】解:(1)如图所示:正方形 A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,?,AnAn+1BnCn 的位似中心坐标为: (0,0); (2)∵点 C1,C2,C3,?,Cn 在直线 y=x 上,点 A1 的坐标为(1,0), ∴OA1=A1C1=1,OA2=A2C2=2,则 A3O=A3C3=4, ∴可得:OA4=A4C4=8, 则 OA5=16, 故 A4(8,0),A5(16,0),B4(16,8),C4(8,8).

【点评】此题主要考查了位似变换以及一次函数图象上点的坐标特点以及正方形的性质,正确得出 各线段的长是解题关键.

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17.?ABCD 中,点 E 在 AD 上,DE=CD,请仅用无刻度的直尺,按要求作图(保留作图痕迹,不写作 法) (1)在图 1 中,画出∠C 的角平分线; (2)在图 2 中,画出∠A 的角平分线.

【考点】作图—基本作图;平行四边形的性质. 【专题】作图题. 【分析】(1)连结 CE,由 DE=DC 得到∠DEC=∠DCE,由 AD∥BC 得∠DEC=∠BCE,则∠DCE=∠BCE, 即 CE 平分∠BCD; (2)在 BC 上截取 BF=DE,则 AF 平分∠BAC,理由与(1)一样. 【解答】解:(1)如图 1,CE 为所作;

(2)如图 2,

【点评】本题考查了基本作图有:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的 垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线. 18.小华的父母决定今年中考后带他去旅游,初步商量有意向的五个景点分别为:①婺源,②三清 山,③井冈山,④庐山,⑤龙虎山,由于受时间限制,只能选其中的二个景点,却不知该去哪里, 于是小华父母决定通过抽签决定,用五张小纸条分别写上五个景点做成五个签,让小华随机抽二次, 每次抽一个签,每个签抽到的机会相等. (1)小华最希望去婺源,求小华第一次恰好抽到婺源的概率是多少? (2) 除婺源外, 小华还希望去三清山, 求小华抽到婺源、 三清山二个景点中至少一个的概率是多少? (通过“画树状图”或“列表”进行分析). 【考点】列表法与树状图法;概率公式. 【分析】(1)由有意向的五个景点分别为:①婺源,②三清山,③井冈山,④庐山,⑤龙虎山,直 接利用概率公式求解即可求得答案; (2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小华抽到婺源、三清山二个 景点中至少一个的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)∵有意向的五个景点分别为:①婺源,②三清山,③井冈山,④庐山,⑤龙虎山,

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∴小华第一次恰好抽到婺源的概率是: ; (2)画树状图得:

∵共有 20 种等可能的结果,小华抽到婺源、三清山二个景点中至少一个的有 14 种情况, ∴小华抽到婺源、三清山二个景点中至少一个的概率是: = . 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 四、(本大题共 4 小题,每小题 8 分,共 32 分) 19.某地区在一次九年级数学质量检测试题中,有一道分值为 8 分的解答题,所有考生的得分只有 四种,即:0 分,3 分,5 分,8 分,老师为了解本题学生得分情况,从全区 4500 名考生试卷中随机 抽取一部分,分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图:

请根据以上信息解答下列问题: (1)本次调查从全区抽取了 240 份学生试卷;扇形统计图中 a= 25 ,b= 20 ; (2)补全条形统计图; (3)该地区这次九年级数学质量检测中,请估计全区考生这道 8 分解答题的平均得分是多少?得 8 分的有多少名考生? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)用得 0 分 24 人对应的分率是 10%用除法求得抽取学生试卷数,再求得 3 分试卷数量, 进一步求得 3 分和 8 分试卷数量占总数的分率得出 a、b 的数值即可; (2)利用(1)中的数据补全条形统计图; (3) 利用加权平均数的计算方法得出平均得分, 利用所占总数的百分数得出得 8 分的有多少名考生. 【解答】解:(1)24÷10%=240 份, 240﹣24﹣108﹣48=60 份, 60÷240=25%, 48÷240=20%, 抽取了 240 份学生试卷;扇形统计图中 a=25,b=20; (2)如图:

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(3)0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6 分, 4500×20%=900 名. 答:这道 8 分解答题的平均得分是 4.6 分;得 8 分的有 900 名考生. 【点评】此题考查了扇形统计图与条形统计图的知识,看清图意,理解题意,找出数据之间的联系, 利用数据,掌握计算方法解决问题.

20.如图,点 A(1,4),B(﹣4,n)在双曲线 y= 的图象上,直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C,D, 过点 A 作 AE⊥x 轴,垂足为 E,过点 B 作 BF⊥y 轴,垂足为 F,连接 AF,BE 交于点 G. (1)求 k 的值及直线 AB 的解析式; (2)判断四边形 ADEF 的形状,并写出证明过程.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;平行四边形的判定. 【分析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 k,利用待定系数法求出直线 AB 的解析式; (2)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可. 【解答】解:(1)∵点 A(1,4)在双曲线 y= 的图象上, ∴4= , 解得 k=4, ∴点 B 的坐标(﹣4,﹣1), 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,





解得,


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∴直线 AB 的解析式为 y=x+3; (2)直线 AB 的解析式为 y=x+3 与 y 轴的交点 D 的坐标为(0,3), ∴OD=3,又 OF=1, ∴DF=4,又 AE=4, ∴AE=DF, ∵AE∥DF, ∴四边形 ADEF 是平行四边形. 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点、平行四边形的判定,掌握待定系数法求函数 解析式的一般步骤、掌握平行四边形的判定定理是解题的关键. 21.如图,在?ABCD 中,AC=AD,⊙O 是△ACD 的外接圆,BC 的延长线与 AO 的延长线交干 E. (1)求证:AB 是⊙O 的切线; (2)若 AB=8,AD=5,求 OE 的长.

【考点】切线的判定;平行四边形的性质. 【分析】 (1) 由已知得出 , 由垂径定理得出 OA⊥CD, 由平行四边形的性质得出 AB∥CD, AD∥BC,

AD=BC,因此 OA⊥AB,即可得出结论; (2)连接 OD,由垂径定理得出 CF=DF=4,由平行线得出△ADF∽△ECF,得出对应边成比例,证出 AD=CE,AF=EF,得出 BC=CE,BE=10,由勾股定理求出 AE,得出 AF=EF=3,设 OE=x,则 OF=3﹣x,⊙O 的半径为 6﹣x,由勾股定理得出方程,解方程即可. 【解答】(1)证明:∵AC=AD, ∴ ,

∴OA⊥CD, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC, ∴OA⊥AB, ∴AB 是⊙O 的切线; (2)解:连接 OD,如图所示: ∵OA⊥CD, ∴CF=DF=4, ∵AD∥BC, ∴△ADF∽△ECF, ∴ = =1, ∴AD=CE,AF=EF, ∴BC=CE, ∴BE=2BC=2AD=10,

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∴AE=

=6,

∴AF=EF=3, 设 OE=x,则 OF=3﹣x,⊙O 的半径为 6﹣x, 2 2 2 由勾股定理得:OF +DF =OD , 2 2 2 即(6﹣x) =(3﹣x) +4 , 解得:x= 即 OE= . ,

【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股 定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,由勾股定理得出方程是解决问题(2)的关键. 22.如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形,若显 示屏所在面的侧边 AO 与键盘所在面的侧边 BO 长均为 24cm,点 P 为眼睛所在位置,D 为 AO 的中点, 连接 PD, 当 PD⊥AO 时, 称点 P 为“最佳视角点”, 作 PC⊥BC, 垂足 C 在 OB 的延长线上, 且 BC=12cm. (1)当 PA=45cm 时,求 PC 的长; (2)若∠AOC=120°时,“最佳视角点”P 在直线 PC 上的位置会发生什么变化?此时 PC 的长是多 少?请通过计算说明. (结果精确到 0.1cm,可用科学计算器,参考数据: ≈1.414, ≈1.732)

【考点】解直角三角形的应用. 【分析】(1)连结 PO.先由线段垂直平分线的性质得出 PO=PA=45cm,则 OC=OB+BC=36cm,然后利 用勾股定理即可求出 PC= =27cm;

(2)过 D 作 DE⊥OC 交 BO 延长线于 E,过 D 作 DF⊥PC 于 F,则四边形 DECF 是矩形.先解 Rt△DOE, 求出 DE=DO?sin60°=6 ,EO= DO=6,则 FC=DE=6 +6 ,DF=EC=EO+OB+BC=42.再解 Rt△PDF,求出 =20 ≈34.68>27,即可得出结论.

PF=DF?tan30°=42× =14 ,则 PC=PF+FC=14 【解答】解:(1)当 PA=45cm 时,连结 PO. ∵D 为 AO 的中点,PD⊥AO, ∴PO=PA=45cm. ∵BO=24cm,BC=12cm,∠C=90°,

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∴OC=OB+BC=36cm,PC=

=27cm;

(2) 当∠AOC=120°, 过 D 作 DE⊥OC 交 BO 延长线于 E, 过 D 作 DF⊥PC 于 F, 则四边形 DECF 是矩形. 在 Rt△DOE 中,∵∠DOE=60°,DO= AO=12, ∴DE=DO?sin60°=6 ∴FC=DE=6 ,EO= DO=6,

,DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42.

在 Rt△PDF 中,∵∠PDF=30°, ∴PF=DF?tan30°=42× ∴PC=PF+FC=14 +6 =14 =20 , ≈34.68>27,

∴点 P 在直线 PC 上的位置上升了.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用,线段垂直平分线的性质,勾股定理,矩形的判定与性质, 锐角三角函数的定义,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 五、(本大题共 10 分) 2 23.已知抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b(a≠0,b>0)的顶点为 M,经过原点 O 且与 x 轴另一交点为 A. (1)求点 A 的坐标; (2)若△AMO 为等腰三角形,求抛物线 C1 的解析式; (3)现将抛物线 C1 绕着点 P(m,0)旋转 180°后得到抛物线 C2,若抛物线 C2 的顶点为 N,当 b=1, 且顶点 N 在抛物线 C1 上时,求 m 的值. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)由抛物线经过原点可知当 x=0 时,y=0,由此可得关于 x 的一元二次方程,解方程即 可求出抛物线 x 轴另一交点坐标; (2)由△AMO 为等腰三角形,抛物线的顶点为 M,可求出 b 的值,再把原点坐标(0,0)代入求出 a 的值,即可求出抛物线 C1 的解析式; (3)由 b=1,易求线抛物线 C1 的解析式,设 N(n,﹣1),再由点 P(m,0)可求出 n 和 m 的关系, 当顶点 N 在抛物线 C1 上可把 N 的坐标代入抛物线即可求出 m 的值. 2 【解答】解:(1)∵抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b(a≠0,b>0)经过原点 O,

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∴0=4a+b, 2 2 ∴当 ax +4ax+4a+b=0 时,则 ax +4ax=0, 解得:x=0 或﹣4, ∴抛物线与 x 轴另一交点 A 坐标是(﹣4,0); 2 2 (2)∵抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b=a(x+2) +b(a≠0,b>0),(如图 1) ∴顶点 M 坐标为(﹣2,b), ∵△AMO 为等腰三角形, ∴b=2, 2 2 ∵抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b=a(x+2) +b 过原点, 2 ∴a(0+2) +2=0, 解得:a=﹣ , ∴抛物线 C1:y=﹣ x ﹣2x; 2 2 (3)∵b=1,抛物线 C1:y=ax +4ax+4a+b=a(x+2) +b 过原点,(如图 2) ∴a=﹣ , ∴y=﹣ (x+2) +1=﹣ x ﹣x, 设 N(n,﹣1),又因为点 P(m,0), ∴n﹣m=m+2, ∴n=2m+2 即点 N 的坐标是(2m+2,﹣1), ∵顶点 N 在抛物线 C1 上, ∴﹣1=﹣ (2m+2+2) +1, 解得:m=﹣2+ 或﹣2﹣ .
2 2 2 2

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.由于抛物线旋转后的形状不变,故|a|不变,所以求 旋转移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点旋转移后的坐标,利

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用待定系数法求出解析式;二是只考虑旋转后的顶点坐标,即可求出解析式. 六、(本大题共 12 分) 24.操作:如图,边长为 2 的正方形 ABCD,点 P 在射线 BC 上,将△ABP 沿 AP 向右翻折,得到△AEP, DE 所在直线与 AP 所在直线交于点 F. 探究:(1)如图 1,当点 P 在线段 BC 上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE 的度数;②若点 E 恰为线段 DF 的中点时,请通过运算说明点 P 会在线段 BC 的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数. 归纳:(2)若点 P 是线段 BC 上任意一点时(不与 B,C 重合),∠AFD 的度数是否会发生变化?试 证明你的结论; 猜想:(3)如图 2,若点 P 在 BC 边的延长线上时,∠AFD 的度数是否会发生变化?试在图中画出图 形,并直接写出结论.

【考点】四边形综合题. 【专题】综合题;矩形 菱形 正方形. 【分析】(1)当点 P 在线段 BC 上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE 度 数,在三角形 AFD 中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由 E 为 DF 相等,得到 P 为 BC 中点, 如图 1,连接 BE 交 AF 于点 O,作 EG∥AD,得 EG∥BC,得到 AF 垂直平分 BE,进而得到三角形 BOP 与三角形 EOG 全等,利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1,得到 P 为 BC 中点,进而求出所求角 度数即可; (2)若点 P 是线段 BC 上任意一点时(不与 B,C 重合),∠AFD 的度数不会发生变化,理由为:作 AG⊥DF 于点 G,如图 1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2 的度数,即为∠FAG 度数,即可求出∠F 度数; (3)作出相应图形,如图 2 所示,若点 P 在 BC 边的延长线上时,∠AFD 的度数不会发生变化,理 由为:作 AG⊥DE 于 G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α ,根据∠FAE 为∠BAE 一半求出所求角度 数即可. 【解答】解:(1)①∵∠EAP=∠BAP=30°, ∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°, 在△ADE 中,AD=AE,∠DAE=30°, ∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°, 在△AFD 中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°, ∴∠F=180°﹣60°﹣75°=45°; ②点 E 为 DF 的中点时,P 也为 BC 的中点,理由如下:

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如图 1,连接 BE 交 AF 于点 O,作 EG∥AD,得 EG∥BC, ∵EG∥AD,DE=EF, ∴EG= AD=1, ∵AB=AE, ∴点 A 在线段 BE 的垂直平分线上, 同理可得点 P 在线段 BE 的垂直平分线上, ∴AF 垂直平分线段 BE, ∴OB=OE, ∵GE∥BP, ∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE, ∴△BOP≌△EOG, ∴BP=EG=1,即 P 为 BC 的中点, ∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF, ∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°; (2)∠AFD 的度数不会发生变化, 证明:作 AG⊥DF 于点 G,如图 1(a)所示,

在△ADE 中,AD=AE,AG⊥DE, ∵AG 平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且∠1=∠BAP, ∴∠1+∠2= ×90°=45°,即∠FAG=45°, 则∠F=90°﹣45°=45°; (3)如图 2 所示,∠AFE 的大小不会发生变化,∠AFE=45°,

作 AG⊥DE 于 G,得∠DAG=∠EAG, 设∠DAG=∠EAG=α , ∴∠BAE=90°+2α , ∴∠FAE= ∠BAE=45°+α , ∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,

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在 Rt△AFG 中,∠AFE=90°﹣45°=45°. 【点评】此题属于四边形综合题,涉及的知识有:正方形的性质,直角三角形的性质,三角形内角 和定理,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握性质及定理 是解本题的关键.

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