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2.4.1数学等比数列性质


性质1:设 an , am为等比数列 ?an ? 中任意两项, 且公比为 q,则 an ? am q
n?m

. 或q

n?m

an ? am

注:运用此公式已知任意两项,可求等比数列中的其他项

练习:在等比数列?a n ? 中, a4 ? 10 则公比 (1

)已知 a 2 ? 5 , q的值为________ (2)已知a3 ? 20, q ? 2 ,则 a6 , an
(3)等比数列?a n ?中, a5 ? 2, a10 ? 10 求a15

设数列 ?an ?为等差数列,且 m, n, p, q ? N ?, 若m ? n ? p ? q , 则a m ? a n ? a p ? a q .

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .

等比数列中有类似性质吗???

想一想

性质2: 若等比数列{an}的首项为a1 ,公比 q,且 m , n , s , t ? N+

若m+n=s+t ,则aman=asat 2 若m ? n ? 2 s, 则am an ? as .

强调说明:
1. 若 m+n=p+q (m、n、p、q∈N*), 则 aman=apaq 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 2.首尾项性质: 有穷等比数列中, 与首末两项距

离相等的两项积相等, 即:

a1an=a2an-1=a3an-2= … .
特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的平方, 即:

a1an=a2an-1=a3an-2= … =a中2 .

例1:等比数列{an}中,a4=4,则a2· a6 等 于( ) A.4 B.8 C.16 D.32
a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? 64 例2:等比数列{an}中, 则a8 ? a13 ? ( ) A.4 B.8 C.16 D.32

性质3:

如果 ?an ?, ?bn ? 是项数相同的等比数列, 公比分别为q1,q2,那么

? an ? k ? k ? ??an ? ?an ??can ? : , a n ? ??kan bn ? ? ?, ? bn ? ? an ? ( k , c为非零常数)均是等比 数列。

? ?

(1) ?an .bn ?{can}也是等比数列,首项为a1b1 ,ca1公比为q1q2,q1。

(2) 也是等比数列,首项为a1/b1, b1/a1,公比为q1/q2,q2/q1。
(3) ?a2n ??a3n ? 也是等比数列,首项为a2, a3,公比为q12,q13。

? an ?? bn ? ? ?? ? ? bn ?? an ?

(4) 设{an/k}是等比数列且公差为q (5) ?an ? c? 不是等比数列 (6) 设{k/an}是等比数列且公差为1/q
拓广: ①一个等比数列加一个非零常数所得新数列不是等比数列 ②两个等比数列积、商是等比数列,但两个等比数列的和、 差一般情况下都不是等比数列

(7) 设{an}是等比数列且q≠1,若{an+c} 是等比数列,则c=0.
性质4:如果{an}是各项均为正数的等比 数列,则数列 {log a an } 是等差数列,公差 为logaq

课内练习二
已知{ an }为等比数列,则在下列数列中仍是等 比数列的是 ① ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ .

①{2an}; √

②{nan}; ×

③{|an|}; √

④{an+an+1+an+2}√ ;⑤{an· an+1}; √ ⑥{lgan}; ×

⑦{ a 5 }; √
n

⑧{an+an+3+an+6} √

性质4:在等比数列 ?an ? 中,

am,am?k,am?2k,am?3k……仍成等比数列。

首项am,公比q

k

即:在等比数列中,序号成等差数列 的新数列,仍是等比数列。
练习: 在等比数列{an}中,a15=10,a45=90, a60= 270或—270

性质5:在等比数列{an}中,相邻k 项的和组成的数列仍成等比数列, 即:数列 a1 ? a2 ? ??? ? ak , a ? a ? ??? ? a , a ?a ? ???? ?a ,...成等比数列
k ?1 k ?2 2k
2 k ?1 2k ?2 3k

练习:在等比数列{an}中, (1)a1+a2=1,a3+a4=9,a5+a6= 81 (2)a1+a2+a3=30,a7+a8+a9=120, a13+a14+a15 = 480

性质6 若{an}为等比数列, 则相邻k项的积 组成的数列仍成等比数列,即:数列 a1· a2· a3·…·ak,ak+1· ak+2·…·a2k,a2k+1· a2k+2·…·a3k,… 成等比数列
练习:在等比数列{an}, (1)a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11=

形成性训练 1、在等比数列中a7 =6,a10 =9,那么 a4 =_________. 2、在等比数列{an}中,an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么 a3 +a5=_________ 3、在等比数列{an}中,a1+a2=2, a3+a4=50,则公比q的值为( ) A.25 B.5 C.-5 D.±5


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