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2017届湖北省黄冈市黄冈中学高三9月月考数学(理)试题(含解析)


黄冈中学 2017 届高三(上)理科数学九月考
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.集合 M ? ?2,log3 a?, N ? ?a, b?, 若 M ? N ? ?1? ,则 M∪N=( A. ?0,1, 2? 【答案】D B. ?0,1,3? ) D. ?1, 2,3? C.

?0,2,3?

【解析】 log3 a ? 1 ? a ? 3 ? b ? 1 ,选 D. 2.“ ? ?

?
3

”是“ cos ? ?

1 ”的( 2

) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】“ ? ? “ cos ? ?

?
3

” 是 “ cos ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的必要不充分条件,选 B. 2 3

1 1 ? ” 的 什 么 条 件 ? 等 价 于 “ cos ? ? ” 是 “ ? ? ” 的 什 么 条 件 ? 易 知 2 2 3

3.已知函数 y ? 2sin x 的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则 b ? a 的值不可能是( A.



5? 6

B. ?

C.

7? 6

D. 2?

【答案】D 【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选 D. 4 .设 ?ABC 是非等腰三角形,设 P(cos A,sin A), Q(cos B,sin B), R(cos C,sin C ) ,则 ?PQR 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 【答案】B 【解析】 易知这三点都在单位圆上,而且都在第一、 二象限, 由平面几何知道可知 (外心在三角形的外部) , 这样的三个点构成的三角形必为钝角三角形. 5.如图,ΔABC 中, ?A = 600, ?A 的平分线交 BC 于 D,若

AB = 4,且 AD ?
A. 2 3 【答案】B

1 AC ? ? AB (? ? R) ,则 AD 的长为( 4
B. 3 3 C. 4 3 D. 5 3



【解析】设虚线在 AC、AB 上的交点分别为 M、N,易知 AM=

1 AC , CM : AC ? 3 : 4 ,? MD : AB ? 3 : 4 , 4

而 AB = 4,故 MD=AM=3,在 ?AMD 中,利用余弦定理易求出 AD= 3 3 , 选 B . 6.已知 cos(?

? ? 3 ,则 sin(2? ? ) 的值为( ? )? 6 6 3
1第





A.

1 3

B. ?

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

【答案】A 【解析】由 cos(?

? 1 ? 3 得, cos(2? ? ) ? ? , ? )? 3 3 6 3

所以 sin(2?

? ? ? ? 1 ? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? cos(2? ? ) ? . 6 3 2 3 3
) D. 10
?

7.已知锐角 ? 的终边上一点 P(sin 40? ,1 ? cos 40? ), 则锐角 ? ? (
? A. 80

B. 70

?

C. 20

?

【答案】B

1 ? cos 40? 2cos 2 20? cos 20? ? ? ? tan 70? . sin 40? 2sin 20? cos 20? sin 20? ???? 1 ???? 8.在△ABC 中, N 是 AC 边上一点,且 AN ? NC ,P 是 BN 2 ??? ? ??? ? 2 ???? 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 的值为( ) 9
【解析】tan ? ? 1 A. 9 【答案】B 【解析】 AP ? m AB ? 2 m+ =1,故选 B. 3 9.称 d (a, b) ? a ? b 为两个向量 a, b 的距离。若向量 a, b 满足: (1) b ? 1 ; (2) a ? b ; (3)对任意的 t ? R , 恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则( A. a ? b 【答案】B B. 1 3 C.1 D.3

??? ?

??? ?

? ??? ? 2 ???? 2 ??? AC ? m AB ? AN ,因 B、P、N 三点共线, 9 3

所 以

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ?



?

?

B. b ? (a ? b)

?

? ?

C. a ? (a ? b)

?

? ?

D. (a ? b) ? (a ? b)

? ?

? ?

【解析】 a ? tb ? a ? b , 由向量的减法的几何意义得 b ? (a ? b) . 10.函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 的值域为( A. ?1, 5 ? ) C. ? 2, 5 ?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

B. ?1, 2?

?

?

D. ? 5, 3?

?

?

【答案】A 【解析】 f ( x) 为周期函数, T ? ? ,故考虑 x ? ?0, ? ? .



2第

当 x ? ?0,

1 2 ? ?? ,sin ? ? 时, f ( x) ? sin x ? 2cos x ? 5 sin( x ? ? ) ,其中 cos ? ? , ? 5 5 ? 2?

f ' ( x) ? 5 cos( x ? ? ) , x ? ? ?
此时 f ( x) ? ?1, 5 ?

?
2

时, f ( x) ? 5 最大,比较 f (0) ? 2, f ( ) ? 1 ,

?

2

?

?

当 x??

?? ? , ? ? 时, f ( x) ? sin x ? 2cos x ? 5 sin( x ? ?) , f ' ( x) ? 5 cos( x ? ? ) , ?2 ?

x ?? ?

?
2

时, f ( x) ? 5 最大,比较 f ( ) ? 1, f (? ) ? 2 ? f ( x) ? ?1, 5 ?

?

2

?

?

综上:值域为 ?1, 5 ? .

?

?

11. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? 则 x1 ? 2 x2 ? x3 的值是( A.

?

? 7? ? 记为 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ), ) , x ? ?0, ? , 若方程 f ( x) ? m 恰好有三个根, 6 ? 6 ?
) B.

3? 4

4? 3

C.

5? 3

D.

3? 2

【答案】C 【解析】 2 x ?

?

? ? 5? ? ? ? , ? , f ( x) ? m 恰有三个根,三个交点依次记为 A, B, C , 6 ?6 2 ?

由图像, m ? ? ,1? ,由 2 x ?

?1 ? ?2 ?

?
6

?

?
2

A, B 关于直线 x ?

?
6

对称,

? x1 ? x2 ?

?
3

, x3 ? x1 ? T ? ? ,则 x1 ? 2 x2 ? x3 = 2( x1 ? x2 ) ? ? ?
x?1

5? 3
) D .7

12.若 x1 满足 x ? 3 A.4 【答案】B

? 4 , x2 满足 x ? log3 ( x ?1) ? 4 ,则 x1 + x2 =(
B.5 C.6

t 【解析】令 t ? x ? 1 ,则 t ? 3 ? 3 , t ? log3 t ? 3 ,作出 y ? 3t , y ? log3 t , y ? 3? t 的图像,由对称性知

t1 ? t2 ? 3 ,故 x1 ? x2 ? 5 .
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.若△ABC 的面积为 2 3 ,BC=2,C=120°,则边 AB= 【答案】 2 7 【解析】由正弦定理 S ?




1 AC BC sinC ? 2 3 知 AC ? 4 ,余弦定理求得 AB ? 2 7 . 2
3第

14. 已知三角形的顶点 A(3, 4), B(0, 0), C (c, 2c ? 6) ,若 ?BAC 是钝角,则 c 的取值 范围是_______. 【答案】 c ?

49 且c ? 9 11


15.当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x 取得最小值,则 sin ? ?

【答案】 ?

3 10 10 3 10 10 ,sin ? ? 10 10

【解析】 f ( x) ? 3sin x ? cos x ? 10 sin( x ? ?) ,其中 cos ? ?

由题 sin(? ? ? ) ? ?1 ,则 ? ? ? ? ?

?

? 3 10 ? 2k? ,故 sin ? ? sin(? ? ) ? ? cos ? ? ? . 2 2 10
1 1 ? ,则实数 ? 的值为________. ? ? tan A tan B tan C

16.已知点 G 是斜 ?ABC 的重心,且 AG ? BG ? 0 , 【答案】 ? ?
1 2

???? ????

【解析】设 ?ABC 中, A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ;
sin C sin( A ? B) tan C tan C sin C cos A cos B ; ? ? ( ? )? tan A tan B cos C sin A sin B cos C sin A sin B 在 ?ABC 中,由 sin( A ? B ) ? sin C 以及正、余弦定理得:

则? ?

A E

c2 2c2 , (*) . ?? ? 2 G ab ? cos C a ? b2 ? c2 B D 选三角形的边向量为基底;再利用重心的性质; ???? 2 ???? ??? ? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 则有: AG ? AD , BG ? BE ,由 AG ? BG ? 0 ,知 AD ? BE ? 0 ; 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 即有: ( AB ? AC ) ? ( BA ? BC ) ? 0 ,整理得: ? AB ? AB ? BC ? AC ? BA ? AC ? BC ? 0 ; 2 2
??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 即有: ? AB ? AB ? ( BC ? CA) ? AC ? BC ? 0 ,即有: ?2 AB ? AC ? BC ? 0 ,

C

即 ?2c 2 ? ba cos C ? 0 ;由余弦定理得: a 2 ? b2 ? 5c 2 ;代入(*)式中可得: ? ?

1 . 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交

点为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 ,2) 和 ( x 0 ? 2? ,?2) . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 ,求 f (2? ) 的值. 3

解:(1)由题意可得 A ? 2
页 4第

T 1 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? , f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 2 2 1 ? ? 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) 2 3
(2)由于 cos ? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? 3 3

f (2? ) ? 2 cos(? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?

? sin ? sin ) 3 3

?

1 1 2 2 3 1? 2 6 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 的图象过 ( ( Ⅰ)求 ? 的值; ( Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? c ? ab ,且 f (
2 2 2

?
12

,1) .

A ? 2 ,求 ? )? 2 12 2

sin B .



5第

19. (本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 ,若存在正 数 a,b,使得当 x∈[a,b]时,f(x)的值域为 ? , ? ,求 a+b 的值. b a 解析:设 x>0,则-x<0, ∴ f (? x) ? (? x)2 ? 2(? x) ,即 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x , ∴ f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,设这样的正数 a,b 存在,

?1 1 ? ? ?

1 1 ? 2 ? ?1 ?a ? 2a ? , ?? a 2 ? 2a ? , ? ? 1, ? ? ? ?a b a 则? 或? 或? ??b 2 ? 2b ? 1 , ??b 2 ? 2b ? 1 , ??b 2 ? 2b ? 1 ? 1; ? ? ? b a a ? ? ? 1 ? 2 ?1 ? a ? 2a ? , ? 1, ? ? ?a ? 1, ? ?a b 由? 得 ab(a ? b) ? 0 ,舍去;由 ? 得? 矛盾,舍去; ??b 2 ? 2b ? 1 , ??b 2 ? 2b ? 1 ? 1, ?b ? 1. ? ? a a ? ? 1 ? 2 ? a ? 2a ? , ? ? a 3 2 由? 得 a , b 是方程 ? x ? 2 x ? 1 的两个实数根, 1 ??b 2 ? 2b ? , ? b ? ?a ? 1 1? 5 3 ? 5 ? 2 由 ( x ?1)( x ? x ?1) ? 0 得 ? 1? 5 , a ? b ? 1? 2 ? 2 ?b ? ? 2
20. (本小题满分 12 分)如图 A, B 是单位圆与 x 轴, y 轴正半轴的交点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? (0 ? ? ? ? ) ,点 C (?2, 0) ,平行四边形 OAQP 的面积为 S . (1) 求 OA ? OQ ? S 的最大值; (2) 若 CB ∥ OP ,求 sin(2? ? 解 : ( 1 )

??? ? ????

?
6

) 的值.
知 ,

已 A (1,0),( B 0,1),( P cos? ,sin?) ,





??? ? ??? ? ??? ? OQ ? OA+OP ? (1? cos? ,sin ? ) ???? ? ??? ? ??? ? ???? OA ? OQ ? 1 ? cos? , S ? OA ? OP ? sin ? ? sin ?



??? ? ???? ? ? OA ? OQ ? S = 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? 1, ?? ? (0, ? ) 4 ??? ? ???? ? ?? ? 时, OA ? OQ ? S 取得最大值 2 ? 1 . 4
(2)由 CB ║ OP ,得 tan ? ?

1 ? 5 2 5 ?? ? (0, ) ,? sin ? ? , cos ? ? , 2 2 5 5



6第

4 3 ? 4 3 ?3 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ,? sin(2? ? ) ? . 5 5 6 10
21. (本小题满分 12 分)如图(1),有一块形状为等腰直角三角形的薄板,腰 AC 的长为 a 米(a 为常数), 现在斜边 AB 上选一点 D,将△ ACD 沿 CD 折起,翻扣在地面上,做成一个遮阳棚,如图(2). 设△ BCD 的面积为 S,点 A 到直线 CD 的距离为 d.实践证明,遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比,比例系数为 k (k 为常数,且 k>0). (1)设∠ACD= ? ,试将 S 表示为 ? 的函数; (2)当点 D 在何处时,遮阳效果最佳(即 y 取得最大值). C D B A 图(2)

?
S A 解: (1)△BCD 中 ∴ D 图(1) B

C

BC CD ? , sin ?CDB sin ?B

a CD ? ,∴ CD ? ? sin(? ? 45 ) sin 45?

a 2 sin(? ? 45? )

∴S ?

1 2a 2 cos? ? BC ? CD ? sin ?BCD ? , 0 ? ? ? 90 ? 2 4 sin(? ? 45 )

(2) d ? a sin ?

ka 3 sin ? cos? 2ka 3 sin ? cos? y ? kSd ? ? 2(sin ? ? cos? ) 4 sin(? ? 45? )
t 2 ?1 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? (1, 2 ] , sin ? cos? ? 2
∴y?

ka 3 (t 2 ? 1) ka 3 1 ? (t ? ) 在区间 (1, 2 ] 上单调递增 4t 4 t
2 时 y 取得最大值,此时 ? ?

∴当 t ?

?
4

,即 D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳.

22. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? x2 ? ax ? sin

?x
2

,x∈(0,1).

(1)若 f (x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a ? ?2 时,记 f (x)的极小值为 f (x0),若 f (x1) = f (x2),求证:x1 + x2 > 2x0. (1)解: f ?( x) ? 2x ? a ?

?
2

cos

?
2

x

解:∵f (x)在定义域(0,1)内单调递增∴ f ?( x) ≥ 0 在(0,1)内恒成立,即 a ≥ ?2 x ?
页 7第

?
2

cos

?
2

x 在(0,1)内恒

成立 令 g ( x) ? 2 x ?

x 2 2 4 2 g ?(1) ? 0 ∵ g ?( x) 在(0,1)内单调递减,且 g ?(0) ? 0 , ∴ g ?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m
cos

?

?

x ,则 g ?( x) ? 2 ?

?2

sin

?

? ?a ≥ ? g (0) ? a≥? ∴g (x)在(0,m)上递增,在(m,1)上递减,∴ ? a ≥ ? g (1) 2 ?
(2)证明:当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 2x ? 2 ? 令 h( x) ? 2 x ? 2 ?

?
2

cos

?
2

x

?

2 2 4 2 由(1)知, h?( x) 在(0,1)上存在唯一零点 m ∴ f ?( x) ? h( x) 在(0,m)上递增,在(m,1)上递减
∵ f ?(0) ? ?2 ?

cos

?

x ,则 h?( x) ? 2 ?

?2

sin

?

x

? 0 ,f ?(1) ? 0 ,∴ f ?(m) ? 0 2 ∵f (x)的极小值为 f (x0),∴ f ?( x0 ) ? 0 ,因此 0 ? x 0 ? m ? 1 ∴f (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增
不妨设 x1 < x2,∵f (x1) = f (x2),∴ 0 ? x1 ? x0 ? x2 ? 1 令 F ( x) ? f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) ,则 F ?( x) ? f ?( x0 ? x) ? f ?( x0 ? x) ? 4x0 ? 4 ? ? cos ∵ F ?( x) 在(0,1)递减,∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 ∴F (x)在(0,1)递减,∴F (x) < F (0) = 0, f ( x0 ? x) ? f ( x0 ? x) 又 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f ( x0 ? ( x0 ? x2 )) ? f (2x0 ? x2 ) ∵ x0 ? x2 ? 1,∴ 0 ? 2 x0 ? x2 ? x0 ∵ 0 ? x1 ? x0 ,f (x)在(0,x0)上单调递减,∴ x1 ? 2 x0 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 2x0

?

? x0
2

cos

?x
2



8第


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