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浙江省台州中学2011届高三第三次统练试题数学理


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浙江省台州中学 2011 届高三第三次统练试题 数学(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 U 为全集,M,P 是 U 的两个子集,且 (CU M ) ∩ P = P ,则 M ∩ P 等于( A. M B. P C. φ D. CU P ) )

2.为得到函数 y = cos ? 2 x + A.向右平移

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y = sin 2 x 的图像 ( 3?
B.向左平移

5π 个长度单位 12 5π 个长度单位 C.向右平移 6
3 . 函 数 f ( x) = a
x ?1

5π 个长度单位 12 5π D.向左平移 个长度单位 6

+ 3 ( a>0 , 且 a ≠ 1 ) 的 图 像 过 一 个 定 点 P , 且 点 P 在 直 线
( m > 0 , 且 n > 0 ) 上,则
B.24 C.13 ) D. (3, 4)

mx + ny ? 1 = 0
A.25

1 4 + 的最小值是 m n
D.12





4.函数 f ( x) = ln( x + 1) ? A. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是( x
B. (0,1) C. (2, e)

5.四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1,2,3,4 号位子上(如图) ,第一次前后排动物 互换座位,第二次左右列动物互换座位,…,这样交替进行下去,那么第 2011 次互换座位后,小兔的 座位对应的是 ( ) 1 鼠 兔 3 开始 A.编号 1 2 猴 猫 4 1 兔 鼠 3 2 猫 猴 4 1 猫 猴 3 2 兔 鼠 4 1 猴 猫 3 2 鼠 兔 4

第一次 B. 编号 2

第二次 C. 编号 3

第三次 D. 编号 4

6.设双曲线 mx 2 + ny 2 = 1 的一个焦点与抛物线 x 2 = 8 y 的焦点相同,离心率为 2,则此双曲线的方程为 ( A. )

y2 x2 x2 ? = 1 B. y 2 ? =1 16 12 3

C.

x2 y2 y2 ? = 1 D. x 2 ? =1 16 12 3

7.正方形 ABCD 内有一个正 ?ABE ,设 AB = i, AD = j ,则 DE 等于( A.

uuu r uuur r

r

uuur



1r 1 r i? j 2 4

B. ?

1r 1 r i? j 2 4

C.

1r 2? 3 r i? j 2 2

D. ?

1r 2? 3 r i? j 2 2

8.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x),若 f(x)在区间[1,2]上是减函数,则 f(x)在区
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间[-2,-1]上是( A.增,增

)函数,在区间[3,4]上是( B. 减,减 C.减,增

)函数
2



) )

9.设 a, b, c 分别是 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,则 a = b ( b + c ) 是 A = 2 B 的( A.充要条件 C.充分而不必要条件
2

D.增,减

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

10.若关于 x 的不等式 x + x ? a < 2 至少有一个正数解,则实数 a 的取值范围是 ( A. (?2,2) B. (?

9 , 2) 4

C. (?

9 9 , ) 4 4

D. (?2, )

9 4

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.函数 y = log 1 ( x ? 2mx + 3)在( ?∞,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围是__________.
2 2

r

r

r

r

12.已知向量 a =(1,2), b =(3,-4),则 a 在 b 方向上的投影为___________. uuu uuu uuu uuu r r r r r 13. 对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则 | OB | ?OA+ | OA | ?OB = 0 ;将它类比到平面 的情形是:若 O 是 uuu r uuu r uuur r △ ABC 内一点,有 S?OBC ? OA + S?OCA ? OB + S?OBA ? OC = 0 ;将它类比到空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有

14.已知等差数列 {a n } , a2 若 则公差=__ _。

+ a4 + L + a2 n = a3 a6 , a1 + a3 + L + a2 n ?1 = a3 a5 , S 2 n = 100 , 且

?4 x + 3 y ? 25 ≤ 0 ? 15.已知 O 为直角坐标系原点, P, Q 的坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y + 2 ≤ 0 , ?x ?1 ≥ 0 ? cos ∠POQ 的最小值等于 .
16. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 。

正视图

侧视图

俯视图 17.设函数 f ( x) = sin(ωx + ? )(ω > 0,? π < ? < π ) ,给出以下四个论断:

12

2

① f ( x) 的周期为π;

② f ( x) 在区间(- π ,0)上是增函数;

6

③ f ( x) 的图象关于点( π ,0)对称;④ f ( x) 的图象关于直线 x =

3

12

π 对称.

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以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:

?
r

(只需将命题的序号填在横线上) .

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知向量 a = (1+ sin2x,sin x ? cos x), b

r

= (1, sin x + cos x ), 设函数 f ( x) = a ? b.

(Ⅰ)求 f (x ) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (θ ) =

8 π , 求 cos 2( ? 2θ ) 的值. 5 4
P

19.已知四棱锥 P-ABCD,底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC 长为 2,且 PC⊥底面 ABCD, E 是侧棱 PC 上的动点。 (Ⅰ) 求点 C 到平面 PDB 的距离; (Ⅱ) 若点 E 为 PC 的中点, 求平面 ADE 与平面 ABE 所成的锐二面角的大小.

E

D

C

A

B

20.数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是不为零的常数, n = 1 2,L ) , 3, , 且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 {an } 的通项公式;

(3)求数列 {

an ? c } 的前 n 项之和 Tn . n ? cn

21.已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = ln(2 ? x ) + ax . (1)设曲线 y = f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线为 l ,若 l 与圆 ( x + 1) 2 + y 2 = 1 相切, 求 a 的值; (2)求函数 f (x ) 的单调区间; (3)求函数 f (x ) 在[0,1]上的最小值。

22.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A( ?2, 0) 、 B (2, 0) 、 C ? 1, 求椭圆 E 的方程; (2)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F ( ?1, 0), H (1, 0) , 当 DFH 内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的坐标; (3)若直线 l : y = k ( x ? 1)( k ≠ 0) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点, 证明直线 AM 与直线 BN 的交点在定直线上并求该直线的方程.
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? 3? ? 三点. (1) ? 2?

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数学( 数学(理)参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 A 10 D

二、填空题: 11.1 ≤ m ≤ 2 15. 三、解答题: 12. -1 16.

2 2



uuu r uuu r uuur uuur r 13.VOBCD ? OA + VOACD ? OB + VOABD ? OC + VOABC ? OD = 0
17.①④ ? ②③ 或 ①③ ? ②④

14.

2

18.解: Ι)f ( x) = a ? b = (1 + sin 2 x, sin x ? cos x) ? (1, sin x + cos x) ( ………………………… 2 分 = 1 + sin 2 x + (sin x ? cos x )(sin x + cos x )

= 1 + sin 2 x + sin 2 x ? cos 2 x = 1 + sin 2 x ? cos 2 x

……………………………………… 4 分 ……………………………………… 6 分

3π ( k ∈ Z ) 时, f ( x) max = 1 + 2 .……… 7 分 4 2 8 (Ⅱ)解 :由(Ⅰ)知, f ( x ) = 1 + sin 2 x ? cos 2 x 8 ∴ f (θ ) = 1 + sin 2θ ? cos 2θ = . 5 3 ∴ sin 2θ ? cos 2θ = ,两边平方,得 5 9 . …… 10 分 1 ? 2 sin 2θ cos 2θ = 25 16 ……………………………… 12 分 ∴ sin 4θ = 25 π π 16 …………………………14 分 ∴ cos 2( ? 2θ ) = cos( ? 4θ ) = sin 4θ = 4 2 25
∴当 2 x ?

= 1 + 2 sin( 2 x ? ) 4

π

π

= 2 kπ +

π

,即 x = kπ +

19.解: (1)四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,
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侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. 设点 C 到平面 PDB 的距离为 d,

………………2 分

QVP ? BCD = VC ? BPD ,

1 ∴ S 3

BCD

1 ? PC = S 3

BPD

?d
BCD

PD = PB = 5, BD = 2 ,
∴d =

∴ S BPD = 3 ,
2

S

=

1 2

2 ---------------------------7 分 3

(2)以点 C 为坐标原点,CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 则 D (1, 0, 0), A(1,1, 0), B (0,1, 0), E (0, 0,1) ,从而 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为

uuur uuu r uuu r uuu r DE = (?1, 0,1), DA = (0,1, 0), BA = (1, 0, 0), BE = (0, ?1,1) ……………… 9 分 ur r m = (a, b, c), n = (a ', b ', c ') 由法向量的性质可得: ? a + c = 0, b = 0 , a ' = 0, ?b '+ c ' = 0 令 c = 1, c ' = ?1 ,则 a = 1, b ' = ?1 , ur r ∴ m = (1, 0,1), n = (0, ?1, ?1) ………12 分 ur r m?n 1 r =? 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ ,则 cos θ = uur 2 | m |?| n |
z P

E x D

C

A

3 20.解: (I) a1 = 2 , a2 = 2 + c , a3 = 2 + 3c ,
因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 + c ) = 2(2 + 3c ) ,
2

∴ θ=

π

y

B

………………………………… 14 分

--- 2 分 --- 4 分 --- 5 分

解得 c = 0 或 c = 2 . ∵c≠0,∴ c = 2 . (2)当 n≥ 2 时,由于 a2 ? a1 = c , a3 ? a2 = 2c , LL an ? an ?1 = (n ? 1)c , 所以 an ? a1 = [1 + 2 + L + ( n ? 1)]c =

n( n ? 1) --- 8 分 c. 2 又 a1 = 2 , c = 2 ,故 an = 2 + n( n ? 1) = n 2 ? n + 2( n = 2, L) . 3, 当 n = 1 时,上式也成立, 所以 an = n 2 ? n + 2( n = 1, L) . --- 10 分 2,
(3)令 bn =

an ? c 1 = (n ? 1)( ) n n 2 n?c

--- 11 分

1 1 1 1 Tn = b1 + b2 + b3 + L bn = 0 + ( ) 2 + 2( ) 3 + 3( ) 4 + L ( n ? 1)( ) n ……① ……① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ……② Tn = 0 + ( ) 3 + 2( ) 4 + L + (n ? 2)( ) n + ( n ? 1)( ) n +1 ……② 2 2 2 2 2 1 n ?1 ①-②得: Tn = 1 ? ( ) n ?1 ? n ---14 分 2 2 1 21.解: (1)依题意有 x < 2 , f ′( x ) = a + (1 分) x?2 过点 (1, f (1)) 的直线斜率为 a ? 1 ,所以过 (1, a ) 点的直线方程为 y ? a = ( a ? 1)( x ? 1) (2 分)
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又已知圆的圆心为 (?1,0) ,半径为 1

= 1 ,解得 a = 1 (3 分) (a ? 1) 2 + 1 ax ? 2a + 1 1 1 = a[ x ? (2 ? )] ? (2) f ′( x ) = x?2 a x?2 1 当 a > 0 时, 2 ? < 2 (5 分) a 1 1 令 f ′( x ) > 0 ,解得 x < 2 ? ,令 f ′( x ) < 0 ,解得 2 ? < x < 2 a a 1 1 所以 f ( x ) 的增区间为 ( ?∞,2 ? ) ,减区间是 ( 2 ? ,2) (7 分) a a 1 1 (3)当 2 ? ≤ 0 ,即 0 < a ≤ 时, f ( x ) 在[0,1]上是减函数所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) = a (9 a 2
∴ 分)

|1? a +1|

1 1 1 1 < 1 即 < a < 1 时 f ( x) 在 (0,2 ? ) 上是增函数,在 (2 ? ,1) 是减函数所以需要比较 a 2 a a f (0) = ln 2 和 f (1) = a 两个值的大小(11 分)
当0 < 2?
1 1

因为 e 2 < 3 2 < 2 < e ,所以 ∴ 当

1 < ln 3 < ln 2 < ln e = 1 2

1 < a < ln 2 时最小值为 a ,当 ln 2 ≤ a < 1 时,最小值为 ln 2 (12 分) 2 1 当 2 ? ≥ 1 ,即 a ≥ 1 时, f ( x ) 在[0,1]上是增函数 a 所以最小值为 ln 2 . 综上,当 0 < a < ln 2 时, f ( x ) 为最小值为 a 当 a ≥ ln 2 时, f ( x ) 的最小值为 ln 2 (14 分)
22.解: (1)设椭圆方程为 mx 2 + my 2 = 1( m > 0, n > 0), 将 A( ?2, 0) 、 B (2, 0) 、 C (1, ) 代入椭圆 E 的方

3 2

?4m = 1, 1 1 ? 程,得 ? 解得 m = , n = . 9 4 3 ?m + 4 n = 1 ?

x2 y 2 ∴椭圆 E 的方程 + = 1 (4 分) 4 3
DFH

1 = × 2× h = h 2 当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S DFH 的最大值为 3 . 1 设 DFH 的内切圆的半径为 R ,因为 DFH 的周长为定值 6.所以 R × 6 = S DFH , 2 3 3 所以 R 的最大值为 .所以内切圆圆心的坐标为 (0, ) (10 分) 3 3 x2 y 2 (3)将直线 l : y = k ( x ? 1) 代入椭圆 E 的方程 + = 1 并整理. 4 3 得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x + 4( k 2 ? 3) = 0 . 设直线 l 与椭圆 E 的交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,
(2) | FH |= 2 ,设 DFH 边上的高为 S

1 4(k 2 ? 3) , x1 x2 = . 由根系数的关系,得 x1 + x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2
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y1 ( x + 2) ,它与直线 x = 4 的交点坐标为 x1 + 2 6 y1 2 y2 p (4, ), 同理可求得直线 BN 与直线 x = 4 的交点坐标为 Q (4, ). x1 + 2 x2 ? 2 下面证明 P 、 Q 两点重合,即证明 P 、 Q 两点的纵坐标相等: Q y1 = k ( x1 ? 1), y2 = k ( x2 ? 1) , 6 y1 2 y2 6k ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? 2k ( x2 ? 1)( x1 + 2) ∴ ? = x1 + 2 x2 ? 2 ( x1 + 2)( x2 ? 2)
直线 AM 的方程为: y =

? 8(k 2 ? 3) 40k 2 ? 2k ? ? + 8? 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2k[2 x1 x2 ? 5( x1 + x2 ) + 8] ? =0 = = ? ( x1 + 2)( x2 ? 2) ( x1 + 2)( x2 ? 2)
因此结论成立. 综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点住直线 x = 4 上. (16 分)

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