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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:2.3 函数的单调性及最值


§2.3

函数的单调性及最值

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.函数的单调性

(1) 设 f(x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内某个给定区间 D上 的 任 意 的 x1 , x2 , 当 x1<x2 时 , 都 有 f(x1)<f(x2) , 则 称 f(x) 在 区间D 上是增函数. _________ f(x1)>f(x2,则称 ) 减函数. 当x1<x2时,都有_________ f(x)在区间D上是_______

(2)如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称f(x)在这一 具有单调性 ,区间D称为单调区间. 区间上___________

2.复合函数的单调性 设函 数 y = f(u) , u = g(x) 都是单 调函数 , 那么复合 函数 y = f[g(x)]在其定义域上也是单调函数.对于复合函数的单调性, 列出下表以助记忆. y=f(u) ↗ ↗ ↘ ↘ u=g(x) ↗ ↘ ↘ ↗ y=f[g(x)] ↗ ↘ ↗ ↘

同性则增,异性则减 ”, 上述规律可概括为“______________________

即“同增,异减”.

3.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

条件

①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; _________
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M ____________ M为最大值

①对于任意x∈I,都有 f(x)≥M __________;
②存在x0∈I,使得 f(x0)=M __________ M为最小值

结论

课前热身
1.(2012· 高考陕西卷 )下列函数中, 既是奇函数又是增函数的为 ( ) A. y= x+ 1 B. y=- x3 1 C. y= x D. y=x|x|

解析:选D.由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、 C,由y=x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数,又该函数 为奇函数,故选D.

2.(2011· 高考重庆卷)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上 为增函数的是( ) 4? ? A.(-∞,1] B. -1,3 ? ? 3? ? 0 , C. D. [1,2) ? 2?

解析:选 D.法一:当 2- x≥1,即 x≤ 1 时, f(x)= |ln(2- x)|= ln(2- x), 此时函数 f(x)在 (-∞, 1]上单调递减.当 0<2-x≤ 1, 即 1≤ x<2 时, f(x)= |ln(2- x)|=- ln(2-x), 此时函数 f(x)在 [1,2)上单调递增,故选 D. 法二: f(x)= |ln(2- x)|的图象如图所示. 由图象可得,函数 f(x)在区间 [1,2)上为增函数,故选 D.

3. 若函数 f(x)=x3- 2-x, 则不等式 f(2x)<f(1-3x)的解集是( 1 A. ( ,+∞ ) 5 1 B.(-∞, ) 5 C. (1,+∞ ) D. (-∞,1)

)

答案:B

4.若函数f(x)=2

x2-ax

在[0,1]上是单调增函数,则实数a

的取值范围是__________. 答案:(-∞,0]

5.函数 y=log1(3x)-x,x∈[1,3]的最大值为__________.
2

答案:log13-1
2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 函数单调性的判断或证明

对于给出了函数的具体解析式 ,其单调性的判断比较灵活 .而 证明其单调性往往采用定义法 .对于函数 y= f(x),x∈[a,b] 来说,其主要步骤:①任设 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2;②作差 f(x1)-f(x2),变形;③判断差的符号;④写单调性结论.

例1

(2011· 高考上海卷 ) 已知函数 f(x) = a· 2x + b· 3x ,其中常

数a,b满足ab≠0. (1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性; (2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围. 【思路分析】 (1)分类讨论,将原函数拆分,分别判定.

(2)可借助第(1)问题的结论解不等式.

【解】

(1)当 a>0, b> 0 时,任意 x1, x2∈ R, x1<x2, x1 x2 x1 x2 则 f(x1)- f(x2)= a(2 - 2 )+b(3 -3 ). x x x x ∵ 2 1< 2 2, a>0a(2 1- 2 2)< 0, x1 x2 x1 x2 3 <3 , b>0b(3 - 3 )<0, ∴ f(x1)- f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a< 0, b< 0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+ 1)- f(x)=a· 2x+ 2b· 3x> 0, b(3x1- 3x2)< 0, ∴ f(x1)- f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数. 同理,当 a< 0, b< 0 时,函数 f(x)在 R 上是减函数. (2)f(x+ 1)- f(x)=a· 2x+ 2b· 3x> 0, 3 ?x a? a ? ? 当 a< 0, b> 0 时, 2 >- ,则 x> log1.5 - ; ? ? ? 2b? 2b 3 ?x a? a ? ? 当 a> 0, b< 0 时, 2 <- ,则 x< log1.5 - . ? ? ? 2b? 2b

【领悟归纳】

先判断增减性,本题利用了:两个增函数的

和仍为增函数,之后再用第一问的结论解不等式.

跟踪训练 1.(2011· 高考课标全国卷)下列函数中,既是偶函数又在(0, +∞)上单调递增的函数是( A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 )

D.y=2-|x|
解析:选 B.∵ y= x3 在定义域 R 上是奇函数,∴ A 不对. C 中 y=- x2+ 1 在定义域 R 上是偶函数,但在 (0,+∞ )上是减函 1 ?|x | ? 数,故 C 不对. D 中 y= 2 = 2 ,虽是偶函数,但在(0, ? ?
- |x |

+∞)上是减函数,只有 B 对.

考点2

求函数的单调区间

函数的单调性是相对于确定的区间来说的.此类问题是针对

具体的函数.在讨论增(减)性的同时,把相应的所在区间完整
地写出来,即区间的端点是函数增减发生改变的分界点.用

定义法时,使f(x1)-f(x2)正负改变的 x1,x2 所在区间.用导数
法时,使f′(x)正负改变的x的范围.

例2 求函数 y=log1(4x-x2)的单调区间,并指出增减性.
2

【思路分析】

(1) 求定义域 → 分解复合关系 →

判断每层函数的单调性 → 确定区间 . (2) 求定义域 → 求导数 f′?x? → 解 f′? x?>0或f′?x?<0 → 确定区间 .

【解】 法一:由 4x- x2>0,得函数的定义域是 (0,4). 令 t= 4x- x2,∵ t=4x- x2=- (x-2)2+4, ∴ t=4x- x2 的递减区间是 [2,4),递增区间是 (0,2]. 由 4x- x2>0,得函数的定义域是 (0,4). 令 t= 4x- x2,∵ t=4x- x2=- (x-2)2+4, ∴ t=4x- x2 的递减区间是 [2,4),递增区间是 (0,2]. 又 y= log1t 在 (0,+∞ )上是减函数,
2

∴函数的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4). t 在 (0,+∞ )上是减函数, ∴函数的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4).

2x- 4 法二: y′= = . 2 1 ? 4 x - x ? ln2 ?4x- x2? ln 2 ∵ 4x-x2>0,∴f′(x)>0 时,即 2x-4>0,∴ x>2, 又∵0<x<4,∴ 2<x<4, f′ (x)<0, ∴ 2x-4<0,x<2,又 0<x<4,∴ 0<x<2; ∴ x∈ [2,4), f(x)为增函数, x∈ (0,2], f(x)为减函数. ∴增区间为[2,4),减区间为(0,2].

4-2x

【误区警示】

本题不求定义域,认为减区间为(-∞,2),增区

间为(2,+∞).或者写[2,4],[0,2]都是错的.

跟踪训练
2.若函数为y=log2(x2-4x),其单调区间如何?
解:由 x2-4x>0 得 x>4 或 x<0, 令 t= x2-4x= (x-2)2-4, ∴ t=x2- 4x 在 (4,+∞ )为增函数. 在 (-∞,0)为减函数, 又∵y= log2t,在 t∈ (0,+∞ )为增函数, ∴ (4,+∞ )为增区间, (-∞, 0)为减区间.

考点3 函数的最值 要针对函数的不同类型采取相应的方法,一般有二次函数配 方法,连续型函数单调法,分式型均值不等式法,指数、对 数型导数法.
x2+2x+ a 例3 已知 f(x)= , x∈ [1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈ [1,+∞), f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取 值范围.

【思路分析】

1 (1)当 a= 时,f(x)则变成了一具体的函数,利 2

用函数的单调性求最值比较简单. (2)当 x∈[1,+∞ )时, f(x)>0 恒成立,问题等价转化为 x2+ 2x + a>0 恒成立. 时,f(x)则变成了一具体的函数,利用函数的单调性求最值比 较简单.

1 1 【解】 (1)当 a= 时, f(x)= x+ + 2, 2 2x 1 联想到 g(x)= x+ 的单调性, 猜想到求 f(x)的最值可先证明 f(x) x 的单调性. 任取 1≤x1<x2, ?x1- x2??2x1x2-1? 1 1 则 f(x1)- f(x2)= (x1- x2)+( - )= , 2x1 2x2 2x1x2 ∵ 1≤ x1<x2,∴x1x2>1,∴ 2x1x2-1>0. 又 x1- x2<0,∴ f(x1)<f(x2),∴ f(x)在 [1,+∞ )上是增函数. x1<x2,∴x1x2>1,∴ 2x1x2-1>0. 又 x1- x2<0,∴ f(x1)<f(x2),∴ f(x)在 [1,+∞ )上是增函数. 7 ∴ f(x)在 [1,+∞ )上的最小值为 f(1)= . 2

(2)用等价变换和函数思想解题. x2+2x+ a 在区间 [1,+∞ )上,f(x)= >0 恒成立?x2+2x+ a>0 x 恒成立. 设 g(x)= x2+ 2x+ a, 则 g(x)在 [1,+∞)上的最小值 φ(a)>0, 这样问题就转化为求 g(x)的最小值 φ(a). 从而得到关于 a 的不等式,解之即可. g(x)= (x+ 1)2+a-1, 对称轴为 x=-1,且开口向上, 所以 g(x)在[1,+∞ )上递增, 所以 g(x)在[1,+∞ )上的最小值为 g(1)= 3+ a, 由 3+ a>0 得 a>-3.

【思维总结】

对于 (1) 的解法可用函数的单调性求最值,也

可用均值不等式; (2) 也可转化 a> - x2 - 2x在 [1,+∞) 恒成立,

求-x2-2x在[1,+∞)上的最大值.

考点4 函数的单调性与不等式
函数单调性的定义中实质是三层含义:

一层是自变量的大小,x1<x2;
二层是函数值的大小,y1<y2(或y1>y2); 三层是函数单调性结论:增函数(减函数). 知其二就可求其一.

例4 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-
1,并且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3. 【思路分析】 单调性的定义. 问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性 “去掉”,为此需将右边常数3看成某个变量的函数值. 问题 (1) 是抽象函数单调性的证明,所以要用

【解】 (1)证明:设 x1, x2∈ R,且 x1<x2, 则 x2- x1>0,∴ f(x2- x1)>1. f(x2)-f(x1)= f((x2- x1)+ x1)-f(x1) = f(x2- x1)+f(x1)- 1- f(x1) = f(x2- x1)-1>0. ∴ f(x2)>f(x1).即 f(x)是 R 上的增函数. (2)∵ f(4)= f(2+2)= f(2)+ f(2)- 1= 5, ∴ f(2)= 3, ∴原不等式可化为 f(3m2- m- 2)<f(2), ∵ f(x)是 R 上的增函数, ∴ 3m2-m- 2<2, 4 4 解得-1<m< ,故解集为(-1, ). 3 3

【探究提高】

f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调

性,则f(x1)<f(x2)?f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数,则 f(x1)<f(x2)?x1<x2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设

法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无
论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.

方法感悟
方法技巧

1.判定函数单调性的常用方法
(1)定义法(基本法) (2)导数法

(3)图象法
(4)利用已知函数的单调性 ①两个增 ( 减 ) 函数的和仍为增 ( 减 ) 函数;一个增 ( 减 ) 函数与一

个减(增)函数的差是增(减)函数;

②奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶
函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性;

③互为反函数的两个函数有相同的单调性;
④如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D上的任一子 区间上也是增(减)函数.

2.单调性定义 其等价形式为: f? x1?-f? x2? (1) >0? f(x)在 [a, b]上递增? (x1-x2)· [f(x1)- f(x2)]>0; x 1 -x 2 f? x1?-f? x2? (2) <0? f(x)在 [a, b]上递减? (x1-x2)[f(x1)- f(x2)]<0. x 1 -x 2 其几何意义是:增 (减 )函数图象上任意两点 (x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 连线的斜率都大于 (或小于)零或者 x∈ (a, b),f′(x)>0 则为增, f′ (x)<0 则为减.

失误防范 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增 或单调递减. 单调区间要分开写, 即使在两个区间上的单调性相 同,也不能用并集表示.要先求定义域. 2.单调性的定义中, x1,x2 是任意的,代表区间内的所有量 ,切 不可用两个特殊的自变量对应的函数值大小 ,得出单调性结论.
3. 两函数 f(x)、 g(x)在 x∈(a,b)上都是增 (减 )函数, 则 f(x)+ g(x) 1 也为增 (减 )函数,但 f(x)· g(x), 等的单调性与其正负有关,切 f? x? 不可盲目类比.

考向瞭望把脉高考
命题预测
函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内 容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间、利用单调 性求参数的取值范围、利用单调性解不等式等.由于近几年 高考增加导数的内容,单纯考单调性的题很少,大多数综合 性很强,且出现在解答题中,选择题、填空题都有所考查, 如2011年辽宁卷,借助导数解抽象函数不等式,难度较大; 重庆卷,借助函数图象求单调区间,难度较低.对最值的考 查,常与导数相结合.

2012年广东卷、陕西卷以选择题的形式判定多个函数的单调
性,难度较小;上海卷结合函数图象及单调区间求参数的取 值范围. 预测2014年的高考中,将以函数单调性和基础知识为核心, 结合导数,命制与三角函数、对数函数、指数函数、一次或

二次函数为原型的具体函数,考查学生的运算、分析、解决
问题的综合能力.

规范解答 例
(本题满分 12 分 )设函数 f(x)= ln x+ ln(2- x)+ax(a>0).

(1)当 a= 1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为 ,求 a 的值. 2

【解】

函数 f(x)的定义域为 (0,2), 1 1 f′ (x)= - +a.(3 分) x 2-x - x2+2 (1)当 a= 1 时, f′ (x)= , x? 2- x? 所以 f(x)的单调递增区间为 (0, 2), 单调递减区间为 ( 2, 2). (7 分 ) 2 -2 x (2)当 x∈ (0,1]时, f′ (x)= + a>0, (10 分 ) x? 2- x? 即 f(x)在(0,1]上单调递增, 故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)= a, 1 因此 a= .(12 分 ) 2

【名师点评】

本题主要考查函数的单调区间、最值及导数

的应用,同时考查运算求解能力. 本题考生应该比较容易得分,但从高考反馈信息来看,满分 率较低,主要是解题不规范、不全面;导数运算公式记忆不 准确,求不对导数;或不会用导数判断单调性或解不等式出 错.本题提醒了考生在平时的学习中要注意规范解答.

知能演练轻松闯关

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