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数学建模动态规划库存问题


随机库存的分配
摘要
卖方管理库存(VMI,Vendor-Managed Inventory)是现代物流 中一个比较新的管理思想, 它是指货物的提供者根据所有客户的当前 库存量决定在一定时间内对他们的货物分配量。基于 VMI 思想,设计 出当供货方的供应能力有限、客户需求随机情况下的分配方案,能够 应用到实际的物流管理信息系统中,具有实际意义。 针对此问题,在客户需求量服从同一指数分布的前提条件下,首 先通过 MATLAB 软件编写程序, 得到 50 个客户的随机需求量和初始库 存量, 然后从车辆配载能力出发, 以客户的库存费用最小为目标函数, 以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件, 建立非线性随机规划模 型,通过 lingo 软件求解模型,得到所有客户库存费用最小时的分配 方案,同时得到最小库存费用为 699.5543。

关键词:随即需求 库存分配 随机规划

一、 问题重述
考虑由一个供货方和 n 个客户组成的配送网络,配送活动的组织基于 VMI 思想。 假设供货方的供应能力有限(意味着某些客户可能得不到供应),可供应的 货物总量为 A;拥有车辆数为 K,车辆 k 的载重量为 bk(k∈K)。每个客户的需求 量是随机的,但需求的分布函数 Fi 已知(假设 Fi 是严格增函数,并假设不同客户 的需求是相互独立的,且服从相同分布),周期初的初始库存为β i,h+i 为单位货 物的保管费,h-i 为单位货物的缺货损失费。令 qi(wi)表示客户 i 在得到配送量 wi 时的库存费用函数。令 yik 表示车辆 k 是否服务客户 i,是取 1,否取 0。 当 yik (i=1,…,n;k=0,…,K)的取值确定后,也就意味着确定了对所有 客户的一个划分, 如令 Yk 表示车辆 k 服务的客户集合, 其应满足 Yk={i∶yik=1}。 请写出库存分配问题的模型,并带入适当规模的数据进行计算,分析其计算 结果,得出结论。

二、 问题分析
本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、 客户需求随机情况下的库存分配 问题。 客户的需求量是随机的, 但需求的分布函数 Fi 已知(假设 Fi 是严格增函数, 并假设不同客户的需求是相互独立的,且服从相同分布),在处理问题时,可以 将需求量当作服从相同参数的同一指数分布,通过 MATLAB 软件来产生指数分布 的随机数作为客户需求量, 要使得所有客户的库存费用最小, 需要构造与配送量、 库存费、 保管费等有关的目标函数,将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供 货方的总供应量作为约束条件, 建立模型,通过 lingo 软件求解得到具体的配送 方案。

三、 模型假设
1. 假设客户的随即需求量服从参数为 0.5 的指数分布; 2. 假设每个客户的初始库存量在 0.1~1.5 吨之间随即取值; 3. 假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同; 4. 假设供货方的总供应量为所有客户随即需求量之和的 0.8 倍; 5. 假设不考虑运货车辆的运费。

四、 符号说明
A:供货方的总供货量 K:可调用的车辆数

bk :车辆 k 的载重量

n :客户数量
Fi :客户需求量分布函数

?i :第 i 个客户周期初的初始库存
hi ? :第 i 个客户单位货物的保管费

hi ? :第 i 个客户单位货物的缺货损失费

wi :给第 i 个客户的配送量 qi (w i ) :客户 i 在得到配送量 wi 时的库存费用函数 yik :车辆 k 是否服务客户 i,是取 1,否取 0 Yk :车辆 k 服务的客户集合

x :指数分布函数中的自变量

五、 对问题的分析和处理
5.1 问题分析 本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、 客户需求随机情况下的库存分配 问题。为了得到具体的分配方案,使得所有客户的库存费用最小,需要构造与配 送量、库存费、保管费等有关的目标函数,将有限的车辆数和每辆车的承载能力 以及供货方的总供应量作为约束条件,建立模型,通过 lingo 软件求解得到具体 的配送方案。 由于客户的需求量是随机的,假设每个客户的需求量均服从参数为 0.5 的指数分布,于是可以通过 MATLAB 软件来产生指数分布的随机数作为客户 需求量。 首先分析单个客户的库存费用, 具体由货物的保管费和货物的缺货损失费两 部分组成,分配给客户的配送量为 wi ,客户的初始库存为 ?i ,客户的需求量为 服从参数为 0.5 的指数分布,记指数分布函数 Fi 中的自变量为 x ,则客户需求 量为 x ,当配送量 wi 小于客户需求量 ? 与客户的初始库存为 ?i 时,会产生缺货损 失费,[2]中给出的具体表达式为:

?
具体表达式为:

??

0

hi? (x ? ?i ? w i ) dFi (x)

当配送量 wi 大于客户需求量 ? 与客户的初始库存为 ?i 时, 会产生货物保管费,

(h i? ? h i? ) ?
qi (w i ) ? ?
??

?i ? wi

0

( ?i ? w i ? x) dFi (x)
?i ? wi

于是得到客户的库存费用函数为:
0

hi? (x ? ?i ? w i ) dFi (x) ? (h i? ? h i? ) ? e ? ? ( ?i ? w i )

0

( ?i ? w i ? x) dFi (x) ]

? hi? [

?

] ? hi? [ ?i ? w i ?

1

?

?

e ? ? ( ?i ? w i )

?

由此得到目标函数为:

min ? qi (w i )
i ?1

n

同一辆车可以一次给若干个客户送货,用 yik 表示车辆 k 是否服务客户 i, 是取 1,否取 0,车辆 k 服务的客户集合为 Yk ,由于每辆车一次的运货量不能超 过其承载能力,于是有

?
n

i?Yk

wi ? bk k ? 0,1,..., K

对于供货方来说,给所有客户配送量之和不能超过总供货量 A,于是有

?w ? A
i ?1 i

wi ? 0 i ? 1,..., n

由此得到约束条件为

?
n i ?1

i?Yk

wi ? bk k ? 0,1,..., K

?w ? A
i

wi ? 0 i ? 1,..., n

5.2 模型建立 由以上分析,建立以下模型:

min ? qi (w i )
i ?1

n

S.t.

?
n i ?1

i?Yk

wi ? bk k ? 0,1,..., K

?w ? A
i

wi ? 0 i ? 1,..., n

其中, qi (w i ) ? h [

? i

e ? ? ( ?i ? w i )

?

] ? h [ ?i ? w i ?
? i

1

?

?

e ? ? ( ?i ? w i )

?

]。

5.3 模型求解 首先确定 qi (w i ) 的具体表达式, 假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相 同,均为 10,即

hi ? ? hi? ? 10
假设客户总量为 50,客户需求量服从参数为 0.5 的指数分布,即
Fi ? 1 ? e?2 x x ? 0

编写 MATLAB 程序, 产生服从该指数分布的 50 个随机数,即得到每个客户的 需求量(见附录 3) ,求其总和 sum,将供货方的总供货量定为总和 sum 的 0.8 倍,即 A=0.8sum。程序得到的结果为:A=17.5334 吨。 第 i 个客户周期初的初始库存 ?i 取为 0.1~1.5 吨之间的随机值, 编写 MATLAB 程序得到 50 个客户的初始库存量(见附录 4) 。 假设一共有 8 辆载货卡车, 每辆车的承载能力相同,考虑到 8 辆卡车的总运 货量与总供货量 A 之间的关系,现将每辆车的承载能力分两种情况讨论: 第一种,每辆车的承载能力为 6 吨,那么 8 辆卡车的总运货量为 48 吨,大

于总供货量 A,此时必须考虑约束条件 。通过调用 lingo 程序,求解出所有客户的库存费用最小为 699.5543,得到具体分配方案如 下: 表 1 每辆车承载能力为 6 吨时的库存分配 客户序号 配送量(吨) 客户序号 配送量(吨) 1 0.0000000 26 0.4255720 2 0.0000000 27 0.2471380 3 0.0981670 28 0.0000000 4 0.0869770 29 0.1266070 5 0.1637470 30 0.8392171 6 1.0064710 31 0.5259881 7 0.0000000 32 0.0000000 8 0.7084040 33 0.8465261 9 0.8626021 34 0.2483600 10 0.6711520 35 0.0000000 11 0.8190090 36 0.6321621 12 0.8631091 37 0.0000000 13 0.9014411 38 0.0000000 14 0.4748031 39 0.2633160

?w ? A
i ?1 i

n

wi ? 0 i ? 1,..., n

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.5541081 0.0000000 0.0714270 0.9567221 0.9687631 0.0239070 0.0000000 0.9344731 0.0000000 0.2710080 0.0314811

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.2246750 0.4069940 0.3024530 0.0000000 0.0000000 0.2029731 0.0000000 0.7426500 0.9325591 0.0984370 0.0000000

对应的卡车调用方案为: 表 2 每辆车承载能力为 6 吨时的卡车分配 卡车序号 服务的客户序号 1 13 2 22,31,36 3 30,33,48 4 18 5 25 6 14,15,19 7 6,9,12 8 3,4,5,8,10,11,17,20,24,26,27,29,34,39,40,41,42,45,47,49 第二种,每辆车的承载能力为 2 吨,那么 8 辆卡车的总运货量为 16 吨,小

于总供货量 A,此时不需要考虑约束条件 i ?1 。通过调 用 lingo 程序,求解出所有客户的库存费用最小为 702.3088,得到具体分配方 案如下: 表 3 每辆车承载能力为 2 吨时的库存分配 客户序号 配送量(吨) 客户序号 配送量(吨) 1 0.0000000 26 0.3307712 2 0.0000000 27 0.2160618 3 0.0670907 28 0.0000000 4 0.0559007 29 0.0955307 5 0.1326708 30 0.7144620 6 1.0359990 31 0.4298933 7 0.0000000 32 0.0000000 8 0.7071147 33 0.8072183 9 0.7378470 34 0.2172838 10 0.5476910 35 0.0000000 11 0.9594310 36 0.4543340

?w ? A
i

n

wi ? 0 i ? 1,..., n

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.8238013 1.0405690 0.3787083 0.5515247 0.0000000 0.0403507 0.8606272 0.7909350 0.0000000 0.0000000 0.9640010 0.0000000 0.2399318 0.0000000

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.0000000 0.0000000 0.2322398 0.1935988 0.3689803 0.2713768 0.0000000 0.0000000 0.1706028 0.0000000 0.7413607 0.7547310 0.0673607 0.0000000

对应的卡车调用方案如下: 表 4 每辆车承载能力为 2 吨时的卡车分配 卡车序号 服务的客户序号 1 19,36,48 2 6,22 3 11,13 4 12,33,41 5 8,15,47 6 9,10,30 7 14,18,26,31 8 3,4,5,17,24,27,29,34,39,40,42,45,49 分析两种情况下的库存费用及表 1 和表 3 数据可知: 当卡车的总运货量大于 供货方的总供应量的情况下, 得到的库存费用最小,但没有得到配送的客户是一 样的, 只是得到配送的客户在两种情况下的配送量不同,卡车的总运货量大于供 货方的总供应量时能得到更多的配送。由此得出结论:在不考虑卡车费用的情况 下, 应选择大型卡车或者增加卡车数量,以此确保总供应量能够更大程度的配送 出去,在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。

六、 模型优缺点分析
6.1 模型优点 (1) 该模型以所有客户库存费用最小为目标函数,以供货总量和每辆车的承 载能力为约束条件,通过 MATLAB 编程实现每位客户的随即需求量和初始 库存量,结合 lingo 软件对模型的求解,可以得到在供货方供货能力不足情 况下的货物分配方案。 (2) 在求解模型过程中,分别对所有车辆的运货总量大于供货总量和小于供 货总量两种情况进行讨论,得出在供货总量一定,以及不考虑车辆运费的情

况下,提高车辆的承载能力即调用大型卡车或增加卡车数量,能够使总供应 量更大程度的配送出去,在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。 6.2 模型缺点 (1) 由于指数分布函数的参数是随即设定的,导致卡车调用时出现不均衡问 题。 (2) 模型建立中,没有考虑卡车费用的影响,导致对卡车的利用率不高。

七、 模型推广与应用
该模型解决了当供货方的供应能力不足、 客户需求随机情况下的库存分配问 题,通过建立非线性目标规划,以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件,得 到具体的货物分配方案,能够应用到实际的物流管理信息系统中。

参考文献
[1] 姜启源 谢金星 叶俊,数学模型(第四版) ,北京:高等教育出版社,2011 [2] 黎青松 袁庆达,随即库存分配问题的一种求解方法,四川工业学报,2002

附录
1. 产生 50 个客户的随即需求量和初始库存量 clc; clear; sum=0; mu=0.5;%指数分布的参数为 2 for i=1:50 f(i)=exprnd(mu);%产生 50 位客户的随机需求 beta(i)=random('unif',0.1,1.5);%随机产生 50 位客户的初始库存量 sum=sum+f(i);%50 位客户需求之和 end A=0.8*sum;%供货商的供货总量为 50 位客户需求之和的 0.8 倍 %-----将产生的随机数存入 xuqiu2.txt 文本文件中------% fid=fopen('xuqiu2.txt','wt'); fprintf(fid,'%g\n',f,beta); fclose(fid); disp('可供应的货物总量为:') disp(A) 2. 求解最小库存费用和具体配送方案 model: sets: supplier/s1/:A,mu; vehicles/v1..v8/:b; clients/c1..c50/:w,beta,h1,h2; links(clients,vehicles):y; end sets data: A=17.5334; b=2,2,2,2,2,2,2,2; mu=0.5; beta=@file('shuju.txt'); h1=10; h2=10; end data min=@sum(clients(i):h1(i)*(@exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)))/mu(1))+h2(i)*(beta(i) +w(i)-1/mu(1)+@exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)))/mu(1))); @for(vehicles(j):@sum(links(i,j):y(i,j)*w(i))<=b(j)); @for(clients(i):@sum(links(i,j):y(i,j))<2); @for(clients(i):w(i)>=0); @sum(clients(i):w(i))<A(1); @for(links(i,j):@bin(y));

@for(clients(i):(1-@sum(links(i,j):y(i,j)))=0); end 3. 50 个客户的随即需求量
客户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 需求量 0.399873 1.581510 0.832457 0.266843 0.509408 0.104651 1.239220 0.214354 0.453800 0.657566 0.551815 0.527765 0.061563 0.036264 1.524550 0.153286 0.303571 0.056230 0.595921 0.816157 0.163036 0.270271 0.040201 0.625975 0.007670 客户序号 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 需求量 0.087790 0.376847 0.656352 0.342701 0.589241 0.371618 0.119057 0.201350 1.918550 0.600623 0.009641 0.111059 0.257478 0.028957 0.158462 1.827580 0.218244 0.494011 0.093446 0.493713 0.068166 0.201386 0.212438 0.449807 0.034286

4. 50 个客户的初始库存量
客户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 初始库存量 1.448940 1.462140 1.033970 1.045160 0.968390 0.126960 1.464720 0.423733 客户序号 26 27 28 29 30 31 32 33 初始库存量 0.706565 0.884999 1.148630 1.005530 0.294214 0.607443 1.192410 0.286905

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0.270829 0.460985 0.313128 0.270322 0.231990 0.658628 0.579323 1.212560 1.060710 0.176709 0.164668 1.108230 1.328920 0.198958 1.220520 0.861129 1.101950

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0.883777 1.415170 0.501269 1.354560 1.337620 0.868821 0.907462 0.725143 0.829684 1.411990 1.288720 0.930458 1.406900 0.389487 0.200872 1.033700 1.235330

5. 卡车的载重为 6 吨时的 lingo 运行结果:
Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 699.5543 699.5542 0.1387779E-16 88 24419

Variable A( S1) MU( S1) B( V1) B( V2) B( V3) B( V4) B( V5) B( V6) B( V7) B( V8) W( C1) W( C2) W( C3) W( C4) W( C5)

Value 17.53340 0.5000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 0.000000 0.000000 0.9816700E-01 0.8697700E-01 0.1637470

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.4380305E-07 0.4441234E-07 0.4378645E-07

W( C6) W( C7) W( C8) W( C9) W( C10) W( C11) W( C12) W( C13) W( C14) W( C15) W( C16) W( C17) W( C18) W( C19) W( C20) W( C21) W( C22) W( C23) W( C24) W( C25) W( C26) W( C27) W( C28) W( C29) W( C30) W( C31) W( C32) W( C33) W( C34) W( C35) W( C36) W( C37) W( C38) W( C39) W( C40) W( C41) W( C42) W( C43) W( C44) W( C45) W( C46) W( C47) W( C48) W( C49)

1.006471 0.000000 0.7084040 0.8626021 0.6711520 0.8190090 0.8631091 0.9014411 0.4748031 0.5541081 0.000000 0.7142700E-01 0.9567221 0.9687631 0.2390700E-01 0.000000 0.9344731 0.000000 0.2710080 0.3148112E-01 0.4255720 0.2471380 0.000000 0.1266070 0.8392171 0.5259881 0.000000 0.8465261 0.2483600 0.000000 0.6321621 0.000000 0.000000 0.2633160 0.2246750 0.4069940 0.3024530 0.000000 0.000000 0.2029731 0.000000 0.7426500 0.9325591 0.9843700E-01

0.000000 0.000000 0.4396517E-07 0.9520717E-07 0.4396455E-07 0.4396636E-07 0.9520723E-07 0.9504373E-07 0.9519772E-07 0.9519417E-07 0.000000 0.4350985E-07 0.9522073E-07 0.9522284E-07 0.000000 0.000000 0.9521706E-07 0.000000 0.4410307E-07 0.1044389E-06 0.4395632E-07 0.4368417E-07 0.000000 0.4382485E-07 0.9520456E-07 0.9519513E-07 0.000000 0.9520535E-07 0.4368242E-07 0.000000 0.9519332E-07 0.000000 0.000000 0.4366060E-07 0.4371188E-07 0.4394255E-07 0.4394516E-07 0.000000 0.000000 0.9484485E-07 0.000000 0.6555134E-07 0.1039358E-06 0.4377548E-07

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Y( C48, V2) Y( C48, V3) Y( C48, V4) Y( C48, V5) Y( C48, V6) Y( C48, V7) Y( C48, V8) Y( C49, V1) Y( C49, V2) Y( C49, V3) Y( C49, V4) Y( C49, V5) Y( C49, V6) Y( C49, V7) Y( C49, V8) Y( C50, V1) Y( C50, V2) Y( C50, V3) Y( C50, V4) Y( C50, V5) Y( C50, V6) Y( C50, V7) Y( C50, V8) Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 Slack or Surplus 699.5543 5.098559 3.704404 3.381698 5.043278 5.968519 4.002326 3.267818 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.6846005E-02 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.7226380E-03 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.7341098E-02 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.9816700E-01 0.8697700E-01

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -1.663435 -1.727189 0.000000 0.000000

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

0.1637470 1.006471 0.000000 0.7084040 0.8626021 0.6711520 0.8190090 0.8631091 0.9014411 0.4748031 0.5541081 0.000000 0.7142700E-01 0.9567221 0.9687631 0.2390700E-01 0.000000 0.9344731 0.000000 0.2710080 0.3148112E-01 0.4255720 0.2471380 0.000000 0.1266070 0.8392171 0.5259881 0.000000 0.8465261 0.2483600 0.000000 0.6321621 0.000000 0.000000 0.2633160 0.2246750 0.4069940 0.3024530 0.000000 0.000000 0.2029731 0.000000 0.7426500 0.9325591

0.000000 0.000000 -1.739601 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.4475439 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -1.064036 0.000000 -0.4908695 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.9325275E-01 0.000000 0.000000 0.000000 -0.3370952 0.000000 0.000000 -1.498403 0.000000 -1.195124 -1.108704 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -1.482718 -0.8550932 0.000000 -1.457561 0.000000 0.000000

108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

0.9843700E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.000000 -0.5710217 1.347721 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

152 153 154 155 156 157 158 159 160

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

6. 卡车载重量为 2 吨时的 lingo 运行结果:

Local optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: 702.3088 702.3088 0.000000 18 4540

Variable A( S1) MU( S1) B( V1) B( V2) B( V3) B( V4) B( V5) B( V6) B( V7) B( V8) W( C1) W( C2) W( C3) W( C4) W( C5) W( C6) W( C7) W( C8) W( C9) W( C10) W( C11)

Value 17.53340 0.5000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.6709077E-01 0.5590077E-01 0.1326708 1.035999 0.000000 0.7071147 0.7378470 0.5476910 0.9594310

Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.3651203E-07 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.4930451E-07 0.5191906E-07 0.6334753E-07 0.1831181E-06

W( C12) W( C13) W( C14) W( C15) W( C16) W( C17) W( C18) W( C19) W( C20) W( C21) W( C22) W( C23) W( C24) W( C25) W( C26) W( C27) W( C28) W( C29) W( C30) W( C31) W( C32) W( C33) W( C34) W( C35) W( C36) W( C37) W( C38) W( C39) W( C40) W( C41) W( C42) W( C43) W( C44) W( C45) W( C46) W( C47) W( C48) W( C49) W( C50) BETA( C1) BETA( C2) BETA( C3) BETA( C4) BETA( C5)

0.8238013 1.040569 0.3787083 0.5515247 0.000000 0.4035077E-01 0.8606272 0.7909350 0.000000 0.000000 0.9640010 0.000000 0.2399318 0.000000 0.3307712 0.2160618 0.000000 0.9553077E-01 0.7144620 0.4298933 0.000000 0.8072183 0.2172838 0.000000 0.4543340 0.000000 0.000000 0.2322398 0.1935988 0.3689803 0.2713768 0.000000 0.000000 0.1706028 0.000000 0.7413607 0.7547310 0.6736077E-01 0.000000 1.448940 1.462140 1.033970 1.045160 0.9683900

-0.4605340E-08 0.000000 -0.1948604E-07 -0.4260351E-07 0.000000 0.000000 -0.3721662E-07 -0.4444980E-07 0.000000 0.000000 -0.1348461E-06 0.000000 -0.3912188E-08 0.000000 0.000000 -0.8551972E-08 0.000000 0.000000 0.000000 -0.1951683E-07 0.000000 -0.4676105E-08 -0.8547737E-08 0.000000 -0.4728143E-07 0.000000 0.000000 -0.7347701E-08 -0.1022963E-07 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.7055297E-08 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

BETA( C6) BETA( C7) BETA( C8) BETA( C9) BETA( C10) BETA( C11) BETA( C12) BETA( C13) BETA( C14) BETA( C15) BETA( C16) BETA( C17) BETA( C18) BETA( C19) BETA( C20) BETA( C21) BETA( C22) BETA( C23) BETA( C24) BETA( C25) BETA( C26) BETA( C27) BETA( C28) BETA( C29) BETA( C30) BETA( C31) BETA( C32) BETA( C33) BETA( C34) BETA( C35) BETA( C36) BETA( C37) BETA( C38) BETA( C39) BETA( C40) BETA( C41) BETA( C42) BETA( C43) BETA( C44) BETA( C45) BETA( C46) BETA( C47) BETA( C48) BETA( C49)

0.1269600 1.464720 0.4237330 0.2708290 0.4609850 0.3131280 0.2703220 0.2319900 0.6586280 0.5793230 1.212560 1.060710 0.1767090 0.1646680 1.108230 1.328920 0.1989580 1.220520 0.8611290 1.101950 0.7065650 0.8849990 1.148630 1.005530 0.2942140 0.6074430 1.192410 0.2869050 0.8837770 1.415170 0.5012690 1.354560 1.337620 0.8688210 0.9074620 0.7251430 0.8296840 1.411990 1.288720 0.9304580 1.406900 0.3894870 0.2008720 1.033700

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

BETA( C50) H1( C1) H1( C2) H1( C3) H1( C4) H1( C5) H1( C6) H1( C7) H1( C8) H1( C9) H1( C10) H1( C11) H1( C12) H1( C13) H1( C14) H1( C15) H1( C16) H1( C17) H1( C18) H1( C19) H1( C20) H1( C21) H1( C22) H1( C23) H1( C24) H1( C25) H1( C26) H1( C27) H1( C28) H1( C29) H1( C30) H1( C31) H1( C32) H1( C33) H1( C34) H1( C35) H1( C36) H1( C37) H1( C38) H1( C39) H1( C40) H1( C41) H1( C42) H1( C43)

1.235330 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000 10.00000

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