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高中数学 第二章 平面向量的线性运算考点解读素材 北师大版必修4


考点解读:平面向量的线性运算
向量的线性运算是向量的基础部分,考查主要在选择题、填空题形式出现,侧重于对向 量的基本概念、向量运算的关系的考查;在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查,预 计高考中向量的内容所占的比重还会较大. 下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究: 考点一、平面向量基本概念的考查: 例 1、给出下列命题: ⑴两个向量,当且仅当它们的起点相同,终

点相同时才相等; ⑵若 AB ? DC ,则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四各顶点; ⑶若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ; ⑷若 a // b, b // c ,则 a // c 其中所有正确命题的序号为 .

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解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点与终点的位置无关,故⑴ 不正确;当 AB ? DC 时,A、B、C、D 四点可能在同一条直线上,故⑵不正确;由 a ? b , 则 a ? b ,且 a 与 b 的方向相同;由 b ? c ,则 b ? c ,且 b 与 c 的方向相同,则 a 与 c 的 长度相等且方向相同,故 a ? c ,⑶是正确的;对于⑷,当 b ? 0 时, a 与 c 不一定平行, 故⑷是不正确的. 所以正确命题的序号为⑶.

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考点二、向量加法、加法的考查: 例 2、下列命题: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反, 那么 a ? b 的方向必与 a, b 之一方向相同; ②在 ?ABC 中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a, b 均为非零向量,则 a ? b 与 a ? b 一定相等.

??? ? ??? ? ??? ?

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其中真命题的个数为( A、0 B、1 C、2

) D、3

解析:①假命题,当 a ? b ? 0 时,命题不成立.②真命题.

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③假命题,当 A、B、C

三点共线时,也可以有 AB ? BC ? CA ? 0 .④假命题,只有当 a 与 b 同向时相等,其他情况 均为 a ? b ? a ? b . 点评:对于①②③,关于向量的加法运算除掌握法则外,还应注意一些特殊情况,如 零向量,共线向量等,对于④,要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换,即两个向 量和的模等于这两个向量的模的和,因为向量的加法实施的对象是向量,而模是数量.

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例 3、已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别为 a, b, c ,则 向量 OD 等于( A、 a ? b ? c ) B、 a ? b ? c

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C、 a ? b ? c

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D、 a ? b ? c

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解析:如图所示,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别为 a, b, c , 结合图形有: A B O C D

???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? OD ? OA ? AD ? OA ? BC ??? ? ???? ??? ? ? OA ? OC ? OB ? ? ? ? a ?c?b
故答案:B

点评:掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用,相等向量是指长度相等方向相同 的向量,与它的位置没有关系.

考点三、平面向量的共线定理的考查: 例 4、如图所示,在 ?OAB 的边 OA, OB 上分别有一点 M、N,已知 OM : MA ? 1 : 2 、

ON : NB ? 3 : 2 ,连结 AN,在 AN 上取一点 R,满足 AR : RN ? 5 : 1 .
⑴用向量 OA, OB 表示向量 BR ; ⑵证明:R 在线段 BM 上. 解析:⑴∵ OM : MA ? 1 : 2 , ∴ OM ?

???? ?

? 1 ??? OA 3
M

O

N R A B

? 3 ??? OB 5 ??? ? 5 ???? ∵ AR : RN ? 5 : 1 , ∴ AR ? AN 6 ???? ???? ??? ? 3 ??? ? ??? ? 又 AN ? ON ? OA ? OB ? OA 5 ??? ? 1 ??? ? 5 ??? ? ∴ AR ? OB ? OA , 2 6
∵ ON : NB ? 3 : 2 , ∴ ON ? ∴ BR ? AR ? AB ? ? OB ? ⑵证明:∵ BR ?

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??? ? ??? ? ? 1 ??? ? 5 ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? OA ? ? OB ? OA ? OA ? OB . 6 6 ?2 ?

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??? ?

? 1 ??? ? 1 ??? OA ? OB 6 2

∴ BM ? 2BR , ∴R 在线段 BM 上. 点评: 利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题, 但是向量 平行与直线平行有区别,直线平行不包括重合情况.


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