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4-3.1两角和与差的正弦、余弦、正切


3.1.1

两角和与差的余弦公式

(一)复习引入: 1、已知点 P(x,y)为角α 的终边与单位圆的交点,则 cosα =______,sinα =_______,即点 P 的 坐标为___________. 2、已知a=(x1,y1 ), b=(x2 ,y2 ),则a ? b=________=___________;若a 与b的夹角

为? ,

?

?

? ?

?

?

则cos? =__________=_______________,其中? ? 的范围为_________.
3、 思考:如何用?、? 的正弦、余弦表示cos(? -? )? 辨析: cos(? -? )=cos? -cos? 吗? 试举例说明.

(二)新课学习 1、阅读课本 P124 倒数第二行~P126 例 1 前的内容,理清用平面向量法证明 cos(? -? )公式的思路. 结论: cos(? -? )= ________________________________. 2、练习:不通过查计算器,求 cos15? 的值.

3、公式推广: cos(? +? )=cos[? -(-? )]= ____________________________ = __________________ 练习:不通过查计算器,求 cos 75? 的值.

【课内探究】 例 1、利用两角和(差)余弦公式证明下列诱导公式: ? (1) cos( ? ? ) ? sin ? ; (2) cos(2? ? ? ) ? cos ? . 2

例 2、已知sin? = ,? ? (

4 5

?
2

, ? ),cos? =

5 , ? 是第四象限角,求cos(? ? ? )、cos(? +? ) 的值. 13

4 3 ? 3? 变式:已知cos(? +? ) = ,cos(? -? ) =- ,? -? ? ( , ? ),? +? ? ( , 2? ),求cos2? . 5 5 2 2

1

【反馈检测】
1、求值: (1) cos24?cos36?-sin24?sin36?=________=________; (2) cos66?cos21?+sin66?cos69?=___________=________; 2、化简: (1) cos(? -? ) cos(? +? ) ? sin(? -? )sin(? +? ) ? ___________ (2) cos(60? ? ? ) ? cos(60? ? ? )=___________ . 3、不通过查计算器,求 cos105? 的值.(用两种方法)

4、 (1)已知cos? =- ,? ?(

3 ? ? ,? ),求cos( +? )的值. 5 2 4 2 3? 3 3? ),cos? = ,? ?( ,2? ),求cos(? -? )的值. (2)已知sin? =- ,? ? (? , 3 2 4 2

60? ? ? ? 150?,求cos? 的值. 5、已知 sin(30? ? ? )= ,

3 5

6、已知 cos?? ? ? ? ?

5 4 , cos ? ? , ? , ? 均为锐角,求 sin ? 以及 cos ? 的值. 13 5

2

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式
公式推导: (1)运用公式 cos( ? ? ? )=cos ? cos ? -sin ? sin ? 及诱导公式有: sin( ? ? ? ) =cos[ 在上式中用- ? 代换 ?

?
2

? (? ? ? ) ]=cos[ (
得:sin( ? ? ? ) =

?
2

? ? ) ? ? ]=

注意: 1. 两公式间的关系、异同. 2. 明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号. 3. 牢记公式,熟练左右互化. 公式练习 1、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值 (1) sin75? (2) sin105?

2、证明公式

sin(

? - ? )=cos ? 2

3、(1)化简: sin ? sin ? ? cos ? cos ? = (2)化简: cos?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ?sin ? = (3)求值: sin 100 sin ? 160
0

; ;

?

0

? ? cos 200

0

cos ? 280 0 =

?

?



例 1、已知 sin ? ? ?

4 ?? ?? ? ?? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的值. 5 4? ?4 ? ?4 ? ?

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1) sin 72 cos18 ? cos 72 sin18 ;
? ? ? ?

(2) cos 72 cos12 ? sin 72 sin12 ;
? ? ? ?

3

变式练习

(1) cos44? sin 14? ? sin 44? sin 76? ; (2) sin(54? ? x) cos(36? ? x) ? cos(54? ? x) sin(36? ? x)

【反馈检测】

1、 sin 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 (
(A) ?

)
(D)

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

3 2

1 ?? ? 3? ? ? 2、 若 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则sin?? ? ? ? ________ . 5 3? ? 2 ? ? 3 5 3、在 ?ABC 中,若 cos A ? , cos B ? ,则 sin C ? 5 13



4、 cos?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ .
5、化简: (1) sin 164 sin 224 ? sin 254 sin 314 ?
? ? ? ?

; ;

(2) sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) = 6、已知

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos( ? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin2 ? . 4 13 5

7、已知?、? 为锐角,且 cos ? ?

4 2 ,sin ? ? , 求? ? ? . 5 10

8、已知 sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ?

3 5? , β 是第三象限,求 sin( ? ? ) 的值 5 4

4

3.1 辅助角公式
一、公式默写:对于任意角 ? , ? 有: 1、 sin ( ? ± ? )=___________________ , cos ( ? ± ? )=___________________ ,

二、辅助角公式: a sin x ? b cos x =

其中

3 3 例 1: cos x ? ; sin x ? 2 2 ______________

例 2、已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,求该函数的最小正周期以及最值

跟踪练习:

1 3 (1) cos x ? sin x; (2) 3 sin x ? cos x; (3) 2 cos x ? 6 sin x. 2 2

2、函数 y ?

3 1 cos x ? sin x 的最小值为 2 2

;单调减区间为



【反馈检测】

1、化简: (1) 3 sin x ? cos x = (3) sin x ? cos x =
3 3 (5) cos x ? sin x ? 2 2



(2) sin x ? 3 cos x = 3 1 (4) sin x + cosx= 2 2
.



? ? ?? ? (6) 2 sin ? . ? ? x ? ? 6 cos ? ? x ? ? ?4 ? ?4 ? _________________

x x 2、求 y ? 3 sin ? cos 的最小正周期、最大值、单调递减区间。 2 2
5

3.1.2 两角和与差的正切公式
一、公式默写:对于任意角 ? , ? 有: 1、 sin ( ? ± ? )=___________________ 2、 sin 15 =
0

, cos ( ? ± ? )=___________________ .



; sin 75 =

0

n( ? ? ? ) ? 二、 若 cos ? cos ? ≠0 , 则 ta
即: tan(? ? ? ) ?

s i n( ? ? ? ) s i n ?c os ? ? c os ? s i n ? ? ? ________________ c os ( ? ? ?) c os ? c os ? ? s i n ?s i n ?

用- ? 代换 ? ,则有:两角差的正切公式 tan(? ? ? ) ?

跟踪练习:
1、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值 (1) tan75? (2) tan105? (3)

tan12? ? tan 33? 1 ? tan12? tan 33?

2、已知?、? 为锐角,且 sin ? ?

3 1 , tan ? ? , 求? ? ? . 5 7

3 ? tan15? 3、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?

? ? ? ) 的值; 3. 已知tan? , tan?是方程2x 2 ? 3x ? 7 ? 0 的两个实数根,求 tan(

5、 已知 tan( ? ? ?) ?

2 ? , tan( ? ? ) ? 5 5

1 ? ,那么 tan( ? ? ) ? 4 5

6


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