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高中数学浅谈求数列通项公式的几种方法


求数列通项公式的常用几种方法
数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同 函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项 以及前 N 项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式 的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助 .下面就谈谈求数列通项公式的几种方 法:

一、累差法 递推式为:an+1=an+f(n)(f(n)可求和) 思路::令 n=1,2,…,n-1 可得 a2-a1=f(1) a3-a2=f(2) a4-a3=f(3) …… an-an-1=f(n-1) 将这个式子累加起来可得 an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1) ∵f(n)可求和 ∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1) 当然我们还要验证当 n=1 时,a1 是否满足上式 例 1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求 an 解: 令 n=1,2,…,n-1 可得 a2-a1=2 a3-a2=2 a4-a3=23 …… an-an-1=2n-1 将这个式子累加起来可得 an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1) ∵f(n)可求和 ∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1) 当 n=1 时,a1 适合上式 故 an=2n-1 二、累商法 递推式为:an+1=f(n)an(f(n)要可求积) 思路:令 n=1,2, …,n-1 可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3) …… an/an-1=f(n-1) 将这个式子相乘可得 an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)
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∵f(n)可求积 ∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1) 当然我们还要验证当 n=1 时,a1 是否适合上式 例 2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求 an 解: 令 n=1,2, …,n-1 可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3) …… an/an-1=f(n-1) 将这个式子相乘后可得 an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1) 即 an=2n 当 n=1 时,an 也适合上式 ∴an=2n 三,构造法 1、递推关系式为 an+1=pan+q (p,q 为常数) 思路:设递推式可化为 an+1+x=p(an+x),得 an+1=pan+(p-1)x,解得 x=q/(p-1) 故可将递推式化为 an+1+x=p(an+x) 构造数列{bn},bn=an+q/(p-1) bn+1=pbn 即 bn+1/bn=p,{bn}为等比数列. 故可求出 bn=f(n)再将 bn=an+q/(p-1)代入即可得 an 例 3、(06 重庆)数列{an}中,对于 n>1(nN)有 an=2an-1+3,求 an 解: 设递推式可化为 an+x=2(an-1+x),得 an=2an-1+x,解得 x=3 故可将递推式化为 an+3=2(an-1+3) 构造数列{bn},bn=an+3 bn=2bn-1 即 bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为 3 bn=bn-1·3,bn=an+3 bn=4×3n-1 an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1 2、递推式为 an+1=pan+qn(p,q 为常数) 思路:在 an+1=pan+qn 两边同时除以 qn+1 得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q 构造数列{bn},bn=an/qn 可得 bn+1=p/qbn+1/q 故可利用上类型的解法得到 bn=f(n) 再将代入上式即可得 an 例 4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求 an 解: 在 an+1=(1/3)an+(1/2)n 两边同时除以(1/2)n+1 得 2n+1an+1=(2/3)×2nan+1 构造数列{bn},bn=2nan 可得 bn+1=(2/3)bn+1 故可利用上类型解法解得 bn=3-2×(2/3)n

2nan=3-2×(2/3)n an=3×(1/2)n-2×(1/3)n 3、递推式为:an+2=pan+1+qan(p,q 为常数) 思路:设 an+2=pan+1+qan 变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到 x+y=p,xy= -q 解得 x,y,于是{bn}就是公比为 y 的等比数列(其中 bn=an+1-xan) 这样就转化为前面讲过的类型了. 例 5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求 an 解:设 an+2=(2/3)an+1+(1/3)an 可以变形为 an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是 an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到 x+y=2/3,xy= -1/3 可取 x=1,y= -1/3 构造数列{bn} ,bn=an+1-an 故数列{bn}是公比为-1/3 的等比数列 即 bn=b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1 故我们可以利用上一类型的解法求得 an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN ) 四、利用 sn 和 n、an 的关系求 an 1、利用 sn 和 n 的关系求 an 思路:当 n=1 时,an=sn 当 n≥2 时, an=sn-sn-1 例 6、已知数列前项和 s=n +1,求{an}的通项公式. 解:当 n=1 时,an=sn=2 2 当 n≥2 时, an=sn-sn-1=n+1-[(n-1) +1]=2n-1 而 n=1 时,a1=2 不适合上式 ∴当 n=1 时,an=2 当 n≥2 时, an=2n-1 2、利用 sn 和 an 的关系求 an 思路:利用 an=sn-sn-1 可以得到递推关系式,这样我们就可以利用前面讲过的方法求解 例7、在数列{an}中,已知 sn=3+2an,求 an 解:即 an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1) an=2an-1 ∴{an}是以2为公比的等比数列 n-1 n-1 ∴an=a1·2 = -3×2 五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明. 思路:由已知条件先求出数列前几项,由此归纳猜想出 an,再用数学归纳法证明
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例 8、(2002 全国高考)已知数列{an}中,an+1=a n-nan+1,a1=2,求 an 解:由已知可得 a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6 由此猜想 an=n+1,下用数学归纳法证明: 当 n=1 时,左边=2,右边=2,左边=右边 即当 n=1 时命题成立 假设当 n=k 时,命题成立,即 ak=k+1 2 则 ak+1=a k-kak+1 2 =(k+1) -k(k+1)+1 2 2 =k +2k+1-k -2k+1 =k+2 =(k+1)+1 ∴当 n=k+1 时,命题也成立. 综合(1),(2),对于任意正整数有 an=n+1 成立 即 an=n+1

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