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教学设计(指数与指数幂的运算)


教学设计 普通高中课程标准实验教科书· 普通高中课程标准实验教科书·数学 1(人教 A 版)必修

2.1.1

指数与指数幂的运算( 指数与指数幂的运算(一)
(2009 年 11 月 22 日)

一、内容及其解析 (一)内容:章导言,引出指数幂概念的推广,根式. (二)解析:本节课是关于根式的一节概念课,是高中新课改人教 A 版教 材第二章的第一节课.第一章主要介绍了函数的概念,本章计划用 14 个课时重 点介绍几类具体的基本初等函数, 以此进一步理解函数概念, 认识函数的思想. 其 中,指数函数计划用 6 课时,具体分配如下:根式(含章导言)1 课时,分数指 数幂 1 课时,无理指数幂 1 课时,指数函数及其性质 3 课时. 1.章导言在本节课起到了一个承上启下的作用,特别对学习基本初等函数 具有引导作用. 2.本章首先要介绍的是指数函数,即 f(x)=ax(a>0 且 a≠1) ,这里的 ax 是 一个指数幂,其中 x∈R.这就涉及到实数指数幂的概念,而在此之前同学只学 过整数指数幂,所以需要在学习指数函数前将同学已有指数幂的概念进行推广, 由整数指数幂推广到有理指数幂,再进一步推广到实数指数幂.由于先有根式才 有有理指数幂(分数指数幂) ,根式就成了有理指数幂的基础,而方根又是根式 概念的核心,所以本节课主要就是针对有理指数幂,从 n 次方根逐步认识根式, 为进一步认识有理指数幂奠定基础. 3.由于本模块、本章和本节都是围绕函数这一核心,从不同角度展开研究, 所以无论是指数和指数幂的运算,还是根式,都是为函数教学服务的,都不是我 们研究的重点.这样,本节课的重点就应该放在为后续内容的铺垫上,即将整数 指数幂推广到有理指数幂和引入指数函数,而关键在于根式的概念,包括 n 次方 根定义、表示和性质. 二、目标及其解析 (一)教学目标 1.初步了解指数幂和指数函数; 2.通过类比平方根、立方根,认识 n 次方根,进而初步理解根式的概念. (二)解析 1. 《课程标准》没有明确提出本节课的具体教学内容和要求,但根据它对本 模块、本章和本节的内容要求,结合教科书当前和今后内容的实际,基于对相关 内容的分析,提出了上述教学目标的内容并给出了相应的要求定位. 2.初步了解指数幂和指数函数,主要是指结合具体事例,从它们的表示形 式上对它们有所了解,并不给出它们的定义,更不涉及其运算或图象、性质. 3.由于本节课的教学内容不仅涉及根式的定义,还涉及其表示和性质,后 续内容还涉及其运算,所以对根式概念的定位应该是理解层次.而本小节教科书 之后将不再专门介绍根式,所以本节课务求初步理解根式概念,而在下节课的根 式运算中逐步达到真正的理解. 4.在与平方根、立方根比较的过程中,可以进一步学习类比的思想方法,
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提高同学的思维水平.并在推广与化归的过程中,形成根式的知识链. 三、问题诊断分析 同学在理解根式概念的过程中可能会遇到困难, 具体表现在对 n 次方根定义 的理解,特别是 n 次方根的存在性,以及性质的认识.因为从平方根和立方根到 n 次方根,是一个特殊到一般的变化过程,要求同学具有一定的归纳概括能力和 抽象能力.要克服这一困难,关键是引导同学建立 n 次方根与平方根和立方根的 联系, 通过类比平方根和立方根, 让同学在已有的认知基础上, 从具体例子出发, 不断地观察、比较、模仿、判断,从而形成概念,同时将新知识同化到已有的认 知结构中,从而克服可能遇到的困难. 四、教学过程设计 (一)教学基本流程
本章学 习引导 概念的 引入 概念的 形成 概念的 明确 概念的 表示 概念的巩 固和应用

(二)教学情景 1.本章学习引导 问题 1:老师想和在座的每一位同学签署一份合同,合同的具体要求是:从 ,老师每天给你 10 万元钱,而你第一天只需给 今天开始的一个月内(即 31 天) 老师 1 分钱,以后每天给老师的钱是前一天的两倍.你是否愿意签署这份合同? 请思考一分钟,然后作出决定. 设计意图:通过创设一个有趣的情景,将同学的注意力引向本章的学习之 中.并借此揭示指数函数的形式和爆炸性增长的特点. 师生活动:对愿意和不愿意签署合同的同学,都要求其说明原因,即: :10,10,…,10; (1)同学每天得到的钱(万元) 一个月得到的总和(万元) 10 + 10 + ? ? ? + 10 =310. :
31个10的和

(2 ) 老师每天得到的钱 (万元) 10-6, ×10-6, 2×10-6, : 2 2 …, n-1×10-6, 2 …, -6 30 2 ×10 ; 一个月得到的总和(万元) :
10 6+2×10 6+22×10 6+…+2n-1×10 6+…+230×10 6=2 147.483 647.
-

注:上式的计算可借助计算工具,若嫌求和复杂,可只求最后一个数进行体 会,230×10-6=1 073.741 824. 若同学们余兴未尽, 还可以进一步地问: 从哪一天起, 同学的支出超过收入? 引导学生用计算器探究,并为第三章函数零点的学习奠定基础. 问题 2:阅读章导言,看章头图并思考章头问题,然后回答:本章我们将要 学习哪些内容?教科书为什么这样安排?你准备怎样学? 设计意图:引导同学对本章内容有一个概括性的认识,并大致清楚学习的目 标和方法. 师生活动:从同学的回答来把握其认识的程度,并从中进行引导: (1)当同学泛泛地回答本章将学习基本初等函数时,可进一步追问:哪些 基本初等函数,每类函数又会学哪些内容?
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以此来引导同学认真阅读教科书的章导言,并结合前一章的内容进行思考. (2)对教科书“为什么这样安排”的问题,可结合章头图和章头问题,引 导同学形成特殊到一般再到特殊的认识问题和解决问题的方法, 具体讲就是从一 次函数、二次函数、反比例函数等特殊函数到一般函数,再由一般函数到几类基 本初等函数这些特殊函数.并从中领会本章的学习目标. (3)在学法指导上,可引导同学借助第一章函数有关内容的学习方法. (4)为了进一步了解有关概念,可让同学举出类似前面情景问题和章头问 题的例子,也可给出本节教科书开始的两个例子.将问题所涉及到的指数幂概括 为 an 的形式. 问题 3:对于 an,当 n 是正整数时的意义我们已经知道;当 n 是有理数时, 它的意义又是什么呢? 设计意图:引导同学建立与根式的联系. 师生活动:可进一步作出下列引导,帮助同学建立与根式的联系:
1

以 an 的一个简单情形 2 2 为例,如果整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 也同样适用,那么就有 (2 ) = 2
1 2 2 1 ×2 2

= 2 .根据平方根的意义, 2 就是 2 的一个正
1 2

1 2

的平方根,而 2 的正的平方根是 2 ,可见 2 = 2 .由此启发我们,可以通过已 经有所认识的根式来认识指数幂 an. 2.概念的引入 问题 3:我们知道,如果 x2=a,那么 x 叫做 a 的平方根(2 次方根) ;如果 3 x =a,那么 x 叫做 a 的立方根(3 次方根) .请问: (1)你由此想到,还有哪些方根? (2)你能否根据上述定义,给你所说的这些方根进行定义? 设计意图:通过回顾平方根和立方根,让同学在已有认知基础上,与同类概 念进行比较,通过类比得到对新概念的认识方法上的启发,并为领会新概念找到 一个固着点,从而引出 n 次方根的定义.以此促进概括,明确 n 次方根概念的内 涵,进而准确把握此概念. 师生活动:为了帮助同学进行类比,可以将平方根和立方根的定义上下对齐 写在黑板上,然后让同学将类比出的定义写在它们的下面. 3.概念的形成
2 问题 4: 根据平方根和立方根的定义, 我们可以举例, 例如, 由于 (±2) =4, 所以±2 就是 4 的平方根;由于 23=8,所以 2 就是 8 的立方根.类似地,请根据 你所给出的其他方根的定义,举出相应的例子.

设计意图:当n较大或就是n时,同学举例困难了,于是引入n次方根的表示. 师生活动:可引导同学类比平方根和立方根的表示,给出 n 次方根的表示: (1)我们知道,4 的平方根是±2,可以表示为± 4 =±2;8 的立方根是 2, 可以表示为 3 8 =2;-8 的立方根是-2,可以表示为 3 ? 8 =-2.那么类似地,16 的
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4 次方根怎样表示?32 的 5 次方根怎样表示?-32 的 5 次方根怎样表示?a 的 n 次方根又怎样表示? (2)从上述例子中我们是否能看出什么规律?也就是: n 是奇数时, 正数 a 的 n 次方根有几个?是正数, 负数, 还是零?怎样表示? 负数 a 的 n 次方根有几个?是正数,负数,还是零?怎样表示? n 是偶数时, 正数 a 的 n 次方根有几个?是正数, 负数, 还是零?怎样表示? (3)负数有没有偶次方根? (4)0 的 n 次方根是多少?可以怎样表示? 4.概念的明确 问题 5:请把前面学习的内容归纳一下,什么叫 n 次方根?如何表示? 设计意图:让同学明确n次方根的概念. 师生活动:为了让同学进一步明确 n 次方根的概念,可提出下列问题: (1)当 n 为奇数时,( n a )n= (2)当 n 为奇数时, n a n = 5.概念的表示 前面用来表示 a 的 n 次方根的式子 n a ,我们把它叫做根式 根式,读作 n 次根号 根式 下 a(其中 a 一般读作根号 a) ,其中 n 叫做根指数 根指数,a 叫做被开方数 被开方数.当根指 根指数 被开方数 数为 n 时,又把 n a 叫做 n 次根式 次根式. 问题 6:请写出一个根式,并读出来,然后指出它的根指数和被开方数. 设计意图:在明确了根式的概念之后,让同学通过举例和表示,并利用概念 对具体例子进行判断,推动他们对概念的理解活动,从而进一步形成对根式概念 抽象的认识. 师生活动:为了让同学对概念有丰富的例证,在他们举例的基础上,可继续 提出下列问题: 读出下列根式,并指出每个根式的根指数和被开方数: (1) a ? b ; (2) 4 (?3) 4 ; (3 ) 3 a 6 ; (4 ) n ? x . ;当 n 为偶数时,( n a )n= ;当 n 为偶数时, n a n = .举例说明. .举例说明.

6.概念的巩固和应用 例 1:求下列各式的值: (1) 3 (?8)3 ; (2) 4 (3 ? π)4 ; (3 ) ( 4 3 ) 4 .

设计意图:通过应用概念解决问题,推进同学对概念本质的理解. 师生活动:为了进一步推动同学对概念理解的深化,可提出下列变式题组: 题(1)变式题组: (?8) 2 ; 3 ? 83 ; 3 ? 8 ; 4 (?4) 2 ; n (? a ) n . 题(2)变式题组: 5 (3 ? π)5 ; 4 (a ? b) 4 (a>b) (a ? b) 2 . ;
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题(3)变式题组: (5 ? 3 )5 ; 7.小结

( (?3) ) ; (
4 2 4

a ? b )2 ;

( ( a ? b) ) .
2 2

我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容?

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