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两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件


3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式

复习引入
弧度 角度
?
6

?
4

?
3

sin ? cos ?

化简

?? ? (1) sin ? ? ? ? ?2 ? ?? ? (2) c

os? ? ? ? ?2 ?
.两角差的余弦公式

?? ? (3) cos ? ? ?? ? ? ?? ?2 ? ?? ? (4) cos ? ? ?? ? ? ?? ?2 ?

cos(? ? ? ) ?

cos ? cos ? ? sin ? sin ?

目标导学
? 1 、经历由两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦 、余弦、正切公式的探究过程。 ? 2、掌握两角和与差三角公式的结构特点与功能,了解 这些公式的内在联系,体会换元思想在三角恒等变换 中的作用。 ? 3、能利用公式解决基本的三角函数式的求值、化简等 问题。

探索新知一

思考:由 cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin? 如何

求: cos(? ? ? ) ? ? 分析:注意到 ? ? ? ? ? ? ,结合两角差的余 (? ?) 弦公式及诱导公式,将上式中以??代?得

cos(? ? ? ) ? cos[? ? (? ? )]
1、

? cos ? cos(?? ) ? sin ? sin(?? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ

上述公式就是两角和的余弦公式,记作 c(? ? ? )。

余弦和、差角公式

归纳对比

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
注意:1.简记“C C S S,符号相反”
2.公式中的α,β是任意角。

探索新知二
思考:如何求 sin(? ? ? ) ? ?
sin ?? ? ? ?? cos[ ? ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ? ) ? ? ] 2 2 ?? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

2、

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
S (? ? ? ) 。

上述公式就是两角和的正弦公式,记作

探索新知二


sin(?-? ) ? ?
由sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

将上式中以??代?得

有sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? sin(?? )cos ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
3、

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
S (? ? ? ) 。

上述公式就是两角差的正弦公式,记作

正弦和、差角公 式

归纳对比

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
公式特征:1、“S C S C ,符号依 然” 2、公式中的α,β是任意角。

探索新知三
用任意角的 ? , ? 正切表示 tan(? ? ? )及 tan(? ? ? ) 的公式的推导:

tan(? ? ? ) ?

sin(? + ? ) cos(? + ? )

(这里有什么要求?)

sin? cos? + cos? sin? ? cos? cos? - sin? sin?

? ? ? ? k? ?

? (k ? Z ) 2

分子分母同时除以cos ? cos ?
4、

(又有什么要求?)

tan? + tan? tan(? + ? )= 1- tan? tan?

? ? ? k? ? 2 ? ? ? k? ? ( k ? Z ) 2

记:T(? + ? )

探索新知三



tan(?-? ) ? ?
tan ? ? tan(? ? ) tan? - tan? tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tan? tan?

将上式两角和的正切公式以??代?得

5、

tan? - tan? tan(? - ? )= 1+ tan? tan?

记T(? -? )

注意:1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式。

正切的和、差角公式

归纳对比

tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
注意:
公式的结构,尤其是符号。分子同号,分母异号。

小 结

1.公式推导 (转化贯穿始终,换元灵活运用)

S (α-β)

诱导 公式

C(α+β)
弦切关系

换元

C

诱导 (α-β) 公式

S (α+β)

弦切关系

T (α-β)

T (α+β)

2. 和差余弦:CC SS,符号相反。 和差正弦:SC CS, 符号依然。 和差正切:分子同号,分母异号。

3. 公式应用:

例题剖析
3 ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos(

?

3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有sin(

4

? ? ), tan(? ?

?

4

)的值。

?

4

? ? ) ? sin

?

4

cos ? ? cos

?

4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

tan ? ? 1 4 tan(? ? ) ? ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

?

tan ? ? tan

?

例题剖析
例4:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) sin 70 cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15

解:(1)由公式得:
。 。 。 sin72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ?









1 ; 2

(2)sin 70。cos70。? sin 20。sin 70。 ? cos 20。cos 70。? sin 20。 sin 70。 ? cos(20。? 70。 ) ? cos90。? 0;
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 。 。 。 (3) ? ? tan(45 ? 15 ) ? tan60 ? 3 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15

小结
1
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

tan(α-β)=

tanα- tanβ 1+ tanαtanβ

2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.

作 业

教材P137 6 、8 、9 、 10、11


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