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2017高考数学文科综合练习试题(文)


2017 高考数学综合练习试题(文)
考试时间:120 分钟;满分:150 分

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,在每题给出的四个选项中,有仅只 有一个选项是符合题目要求的)
x 1.已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x 2 ? 1 ,则 M ? N =



?

?

?

?

A. ?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x x ? 0

?

?

D. x x ? 1

?

?

2.若 i 为虚数单位,则

1 ? 2i ?( 2 ?i



A. ?i B. 1 ? i C. i D. 1 ? i 3.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( )

A.

?4 ? ? ?
3

3

B. ? 4 ? ? ? 3

C.

?8 ? ? ?
2

3

D.

?8 ? ? ?
6

3

4.已知如图程序框图,则输出的 i 是(



A.9

B.11

C.13

D.15

1

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为( ?y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C.-8 D.-4



6.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2014 ,其前 n 项和为 Sn 若 等于 A. 2013 B. ?2014 C. 2016 D. ?2015

S 2012 S10 ? ? 2002 则 S2016 的值 2012 10

7.点 ? , ? , C , D 在同一个球的球面上, ?? ? ?C ? ?C ? 3 ,若四面体 ?? CD 体 积的最大值为 3 ,则这个球的表面积为( A. )

25 ? 16

B. 8?

C.

169 ? 16

D.

289 ? 16

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点为 B1 , B2 ,两焦点 a 2 b2


为 F1 , F2 ,若以 A1 , A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ,则双曲线的离心率为(

A.

5+1 2

B.

5 ?1 2

C. 3 ? 5

D.

3+ 5 2

a 的必要条件是 x ?1 ? b ? a, b ? 0? , 9. 已知 f ? x ? ? 2x ? 3? x ? R ? , 若 f ?x ? ? 1 ? 则 a, b
之间的关系是( A. b ? )

a 2

B. b ?

a 2

C. a ?

b 2

D. a ?

b 2

10 .如图正方体 ABCD? A 1B 1 上移动, 1 B 1C 1 D 1 的棱长为 1 ,点 E 在线段 BB1 和线段 A

? ?EAB ? ? ? ? (0, ) ,过直线 AE, AD 的平面 ADFE 将正方体分成两部分,记棱 BC 所 2 ? 在部分的体积为 V (? ) ,则函数 V ? V (? ), ? ? (0, ) 的大致图像是( ) 2
D1 C1

A1 D

B1

F C

E A ?

B

2

11 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式

1 2 x ? bx ? c ? 0 ? ab ? 1? 的 解 集 为 ? , 则 a


T?

a? b ? 2 ?c 1 的最小值为( ? 2?a b ? ? 1 a ?b1
B.2 C. 2 3 D.4

A. 3

12. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b ,设两曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 有公 2


共点,且在该点处的切线相同,则 a ? ? 0, ??? 时, 实数 b 的最大值是(

13 6 A. e 6

3 2 B. e 3 2

1 6 C. e 6

7 2 D. e 3 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,请将答案填在题中的横线上) 2 2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =16 相交于 A,B 两点,且△ABC 为直角三角形,则实数 a 的值是 . 14. 如图, 为了测量 A 、C 两点间的距离, 选取同一平面上 B 、D 两点, 测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位: km) ,AB ? 5 ,BC ? 8 ,CD ? 3 ,DA ? 5 , 且 ? B 与 ?D 互补, 则 AC 的长为 km.

??? ? ??? ? ???? BA 15. 在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? ?1,1? ,且 ??? ? ? BA
积为 .

??? ? ??? ? BC 3 BD ??? ? ? ??? ? ,则四边形 ABCD 的面 BC BD

2 16. 已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x2 ,0), D( x1,0) , 其中 x2 ? 0, x1 ? 0 , 且 yx ? ? 11 x 1 y 1 ?

0,

2 y2 x2 ? x2 ? y2 ? 0 ,若四边形 ABCD 是矩形,则此矩形绕 x 轴旋转一周得到的圆柱的体积

的最大值为________.

3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤和证明过 程)

1 ? x ? 1? t ? ? x ? cos ? 2 ? (t 为参数) 17. (本小题满分 10 分) 已知直线 l : ? ,曲线 C1 : ? . (? 为参数) ? y ? sin ? ?y ? 3 t ? ? 2
(1)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (2) 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 C2 , 2 2

设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 18 . (本小题满分 12 分)已知向量 m ?

??

?

? 3 sin 2x ? 2, cos x n , ? ? 1, 2 cos x ? ,设函数

?

?? ? f ? x? ? m ? n .
(1)求 f ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上的最值; ? 4? ?

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ? A? ? 4, b ? 1 , ?ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2
19. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D, E 分别为

A1B1 , AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?

1 AB . 4

(1)求证: EF / / 平面 BDC1 ; (2)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将三 棱柱分割成的两部分体积之比为 1:15 ,若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.
4

20. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,已知 a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1, n ? N ? . (1)求出数列

?an ? 的通项公式;

(2)求数列 an ? n ? 2 的前 n 和为 Tn .

?

?

x2 y 2 21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的 右 焦 点 为 F2 ?1,0? , 点 a b
? 2 1 0? H? ? 2, 3 ? ? 在椭圆上. ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)点 M 在圆 x2 ? y 2 ? b2 上,且 M 在第一象限,过 M 作 x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于

P, Q 两点,问: ?PF2Q 的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是。说明理由.

22. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ?

x ? a ln ?1 ? x ? , g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx . 1? x

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ? x ? 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ? x ? ? 0 在 ? 0, ? ?? 上恒成立?若存在,求 出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; ②证明:不等式 ?1 ?

?k
k ?1

n

2

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2?? ?1 2

5

参考答案 1.B【解析】由题意 N ? {x | x ? 0} ,所以 M ? N ? {x | 0 ? x ? 1} .故选 B.

2.A【解析】 :

1 ? 2i (1 ? 2i)( 2 ? i) 2 ? i ? 2i ? 2i 2 ? ? ? ?i .故选 3 2 ? i ( 2 ? i)( 2 ? i)

3.D【解析】几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体,四棱锥的高为 3 ,底面为正方 形 ; 半 圆 锥 高 为

3 , 底 面 为 半 径 为 1 的 半 圆 , 因 此 体 积 为

1 1 ? ?12 ?8 ? ? ? 3 ? 3 ? 22 + ? 3 ? = 3 3 2 6 ,选 D.
? ,由于 4 . C 【 解 析 】 按 程 序 框 图 , 本 程 序 实 质 就 是 计 算 S ? 3 ? 5 ? 7 ? 9? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 945 ? 100 ,而 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 100 ,注意到本程序是先判断,再循环,因 此此时 i ? 13 ,即输出的是 13.故选 C.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.B【解析】作出 ? x ? y ? 4 ? 0 所对应的可行域(如图 ?ABC ),当 x ? 0 时,可行域四边 ?y ? 0 ?
形 OBCD , 目标函数可化为 z ? y ? 2 x 即 y ? 2 x ? z , 平移直线 y ? 2 x 可知当直线经过点

D ? 0,2? 时,直线截距最大, z 取最大值 2 ,当 x ? 0 时,可行域为三角形 AOD ,目标函数可
化为 z ? y ? 2 x 即 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x 可知当直线经过点 D ? 0,2? 时,直线截距 最大, z 取最大值 2 ,综合可得 z ? y ? 2 x 的最大值为 2 ,故选

S 6.C【解析】由 n = n
可令 bn ?

na1 +

n(n - 1)d (n - 1)d ?S ? 2 ,可得 ? n ? 为等差数列, = a1 + n 2 ?n?

S S Sn ; 2012 ? 10 ? 2002 ,得; b2012 ? b10 ? 2002, 2002d ? 2002, d ? 1 2012 10 n

6

所以; bn ?

Sn ? ?2014 ? (n ? 1) ? n ? 2015 ,则 n

b2016 ?

S2016 ? 2016 ? 2015 ? 1, S2016 ? 2016 2016

7.D【解析】

如图所示, AB ? BC ? AC ? r,则 VD ? ABC ? 中 心 ,

3, S ?ABC ?

3 3 , 设球 O 的半径为 4

1 ? DO ' ? S ?ABC ? 3 ? DO ' ? 4 因为 ABCD 都在同一球面上,O ' 为 ?ABC 的 3

CO ' ? 1,



Rt?OO' C





OC 2 ? OO' ? O'C 2

2



r 2 ? (4 ? r ) 2 ? 1, r ?

17 289 , S 表 ? 4?r 2 ? ?. 8 16

8.A【解析】直线 B1F2 方程为

?bc x y ? ? 1 ,即 bx ? cy ? bc ? 0 ,由题意 ? a ,变 c b b2 ? c 2
2

形为 e ? 3e ? 1 ? 0 ,∵ e ? 1 ,∴ e ?
4 2

3? 5 5 ?1 ,e ? .故选 2 2
a a ,按题意 x ? 1 ? ? x ? 1 ? b ,因此 2 2

9.B【解析】 f ( x) ?1 ? 2x ? 2 ? a ,即 x ? 1 ?

b?

1 ? ? tan ? , 当? ? ( , ) 4 2 4 2 ? 1 ? 时 , AE ? tan( ? ? ) , 则 棱 BC 所 在 部 分 的 体 积 为 V (? ) ? 1 ? tan( ? ? ) , 则 函 数 2 2 2 ? 1 ? V ? V (? ), ? ? (0, ) 的图象关于点 ( , ) 对称;故选 C. 4 2 2
10. C 【解析】 当 ? ? (0,

a .故选 B. 2

?

BE ? tan ? , ] 时, 则三棱柱的体积为 V (? ) ?

7

11



D















?a ? 0 ? ? 2 4c b ? ?0 ? a ?







4c ?

2 a b ,

1 a (b ? 2c) 1 T? ? ? ? 2(ab ? 1) ab ? 1 2( ab ? 1)
设 t ? ab ? 1 ? 0 ,则 T ?

1 a (b ? ab 2 ) 2 , ab ? 1
2

1 2( t ? 1 ) ( ? t1 ) ? ? 2t 2t

1 4 1 ? (t ? ?4) ? (2 2 t 2

4 t ? 4) ? 4? ,当且 t

仅当 t ? 2 时取等号.故选 D. 12.B【解析】由题意得,函数 f ? x ? , g ? x ? 的导数分别为 f ? x ? ? x ? 2a, g ? x ? ? 于 两 曲 线

3a 2 ,由 x

y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 有 公 共 点 , 设 P( x0 , y0 ) , 则
0

1 ? f ( 0x ? ) g( x) 0 ? ? 2 ? ? ? f ?( 0 x ? ) ? g( ?x ) ? 0 ? ?
b?

?x ? x

2 02 a ? x 3
0

0

3a 2 2或 a ?? x0

a l ?n x b 0 , 由 于 x0 ? 0 ,a ? 0, 则 x0 ? a , 因 此 x 3 a

1 2 5 5 2 x0 ? 2ax 0 ? 3a 2 ln x 0? a 2? 3a ln a ,构造函数 h(t ) ? t 2 ? 3t 2 ln t (t ? 0) ,所以 2 2 2
1 3 1 3

h?(t ) ? 2t (1 ? ln t ) ,当 0 ? t ? e 时, h?(t ) ? 0 ,即 h ? t ? 单调递增,当 t ? e 时, h?(t ) ? 0 ,
即 h ? t ? 单调递减,则 h(t ) max ? h(e 3 ) ?
1 2 3 3 e ,即为实数 b 的最大值. 2

13.-1【解析】圆的半径是 4,?ABC 是直线三角形,则圆心 C 到直线 AB 的距离为 2 2 , 所以

a?a?2 a2 ? 1

? 2 2 ,解得 a ? ?1 .

14 . 7 【 解 析 】 在 三 角 形 ?ABC , ?ACD 中 , 分 别 根 据 余 弦 定 理 可 得

cos B ?

64 ? 25 ? AC 2 25 ? 9 ? AC 2 , cos D ? , 因 ? B 与 ?D 互 补 , 所 以 2?8? 5 2? 5? 3

??? ? ??? ? ??? ? ???? BA BC 15. 3 【解析】因为 AB ? DC ? ?1,1? ,所以四面形 ABCD 为平行四边形, ??? ? ? ??? ? 即 BA BC

cos B ? cos D ? 0 ,解得 AC ? 7 ,故答案填 7 .

8

??? ? ??? ? ??? ? BA BC 3 BD 以 ??? ? , ??? ? 为邻边的菱形的对角线,对角线长为 ??? ? ,说明 ?ABC 为等边三角形, BA BC BD
故四边形的面积为 2 ?

3 ? 4

? 2?

2

? 3.

16. 【解析】 根据题意, 作图如下, 若四边形 ABCD 是矩形, 则 y1 ? y2 . 令 y1 ? y2 ? y ? m ,
2 由条件, CD ? x2 ? x1 ,所以圆柱体的体积为 V ? ? m2 ( x2 ? x1 ) .因为 y1x1 ? x1 ? y1 ? 0 ,

? 4

? x ? x1 ? x ? x2 2 和? 看作为方程 yx2 ? x ? y ? 0 的两个不同的 y2 x2 ? x2 ? y2 ? 0 ,所以可将 ? y ? m y ? m ? ?
实 数 解 , 则

x1 ? x2 ?

1 y



x1 ? x2 ? 1







x2 ? x ? 1( x ? x )2 ?14 x x ?
V ? ? m ( x2 ? x1 ) ?
2

2

1 1 ? 4m2 ? 4 ? 1 2 m2 m2

2







?
2

(1 ? 4m )4m

? (1 ? 4m2 ) 2 ? 4m 2
2 ? 2



? , 当 且 仅 法 4

1 ? 4m2 ? 4m2 ,即 m ?

? 2 时等号成立,所以该圆柱的体积的最大值为 . 4 4

17. 【解析】 (1)直线 l 的普通方程为 y ? 3 ? x ? 1? , C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.联立方 程组 ?

? ? y ? 3 ? x ? 1?
2 2 ? ?x ? y ? 1

,解得 l 与 C1 的交点为 A ?1, 0 ? , B ? , ?

?1 ?2 ?

3? ? , AB ? 1 . 2 ? ?

1 ? x ? cos ? ? ?1 ? 3 2 ? P cos ? , sin ? (? 为参数),故点 P 的坐标是 ? (2)曲线 C2 为 ? ? ?2 ? ,从而点 2 3 ? ? ?y ? sin ? ? ? 2

9

到直线 l 的距离是 d ?

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 2 2 2

?

3 4

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 由 此 当 4? ?

6 ?? ? sin ? ? ? ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4? ?
18. (1) f ? x ?min ? 4, f ? x ?max ? 5 ; (2) a ? 3

?

2 ?1 .

?

【解析】 (1) f ? x ? ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos 2 x

?? ?

?? ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 6? ?
? ?? ?? ? ? ? f ? x ? 在 ?0, ? 上 单 调 递 增 , 在 ? , ? 上 单 调 递 减 , ? 6? ?6 4? ?? ? f ? 0 ? ? 4, f ? ? ? 5, ?6? ?? ? f ? ? ? 3? 3 ?4?

? f ? x ?min ? 4, f ? x ?max ? 5 ;
(2)? f ? A? ? 2sin ? 2 A ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 3 ? 4,? sin ? 2 A ? ? ? 6? 6? 2 ?

?2A ?

?

? 5? ? ? ? 13? ? ?? , ?A? ??2 A ? ? 6 ?6 6 ? 6 6 3

1 3 ?c ? 2 ? S?ABC ? bc sin A ? 2 2

?a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3?a ? 3 .
19. (1)证明见解析; (2)不存在. 【解析】 (1)证明:取 AB 的中点 M,? AF ?
? EF // A1 M

1 AB ? F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点, 4 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,

? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD

? EF // BD, ? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D
? EF // 平面 BC1 D

10

(2)设 ? C 上存在一点 G ,使得平面 ?FG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1:15 ,则

V???FG : V??C??1?1C1 ? 1:16

1 1 ? ?F ? ?G sin ?G?F ? ?? V???FG 1 1 1 ?G 1 ?G ?3 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 V??C??1?1C1 3 4 2 ? C 24 ?C ?? ? ?C ? sin ?C?? ? ??1 2 1 ?G 1 ?G 3 3 ? ,? ? ,? ?G ? ?C ? ?C ? ? 24 ?C 16 ?C 2 2 所以符合要求的点 G 不存在

?2, n ? 1 ? Tn ? ? 3n ? n2 ? 5n ? 11 , n ? 2, n ? N ? n ?1 ? a ? 3 ? 2 20. (1) n (2 )
【 解 析 】( 1 ) 由 题 意 得

a2 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 1 ? 3 , 当 n ? 2 时 , 由
,得

an?1 ? an ? ? 2Sn ?1? ? ? 2Sn?1 ?1? ? 2an
(2)设

an?1 ? 3an ,?a2 ? 3a1,?an ? 3n?1, n ? N ? .
n ?1 . 当 n ? 3 时 , 由 于 3 ? n?2 , 故

bn ? 3n ?1 ? n ? 2 , n ? N ? , b1 ? 2, b2 ? 1
.

bn ? 3n?1 ? ? n ? 2? , n ? 3
可 知

T1 ? 2, T2 ? 3

,



n?3

时,

Tn ? 3 ?

9 ?1 ? 3n?2 ? 1? 3

?

? n ? 2?? n ? 7 ? ? 3n ? n2 ? 5n ? 11 .
2 2

? ??

31 ? 12 ? 5 ?1 ? 11 T1 ? ?4?2 ??? 式. 2 当 n ? 1 时, ,不适合 T2 ? 32 ? 22 ? 5 ? 2 ? 11 ?3 ??? 式. 2 ,适合

当 n ? 2 时,

11

?2, n ? 1 ? Tn ? ? 3n ? n2 ? 5n ? 11 , n ? 2, n ? N ? ? ? 2 所以 .
21. (1)

x2 y 2 (2)定值为 6 ? ? 1; 9 8

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ?a 2 ? 9 ? ? 【解析】 (1)由题意得 ? 4 ? ? 2 40 ? ?b ? 8 ? 2? 2 ? a 9b ? 1
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 9 8

(2)由题意,设 PQ 的方程为 y ? kx ? m ? k ? 0, m ? 0?

? PQ 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相切,?

m 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ? ?8 ? 9k 2 ? x 2 ? 18kmx ? 9m2 ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

?18km 9m2 ? 72 , x x ? 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2
2

? x1 ? x2 ? ? 4 x1x2

? 1? k
2

2

9m2 ? 72 ?6km ? ?18km ? ? 4 ? ? 2 ? 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2 ? 8 ? 9k ?

又 PF2

? x2 ? 1 2 2 2 ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 8 ?1 ? 1 ? ? ? x1 ? 9 ? 9? 9 ?

1 1 1 1 ? 9 ? x1 ? ? 3 ? x1 ,同理 QF2 ? ? 9 ? x2 ? ? 3 ? x2 3 3 3 3 1 6km ? PF2 ? QF2 ? 6 ? ? x1 ? x2 ? ? 6 ? 3 8 ? 9k 2 6km 6km ? PF2 ? QF2 + PQ ? 6 ? ? ? 6 (定值) 2 8 ? 9k 8 ? 9k 2 ? PF2 ?
22. (1)最大值为 f ? 0? ? 0 ; (2)① b 的取值范围是 b ? 1 ;②证明见解析. 【解析】 (1)由已知得: f ' ? x ? ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ? x ? 在 x ? 0 处有极值 1? x

12

? f ' ? 0? ? ? f ' ? x? ?

1

?1 ? 0?
1

2

?

a x ? 0 ? a ? 1,? f ? x ? ? ? ln ?1 ? x ? 1? 0 1? x 1 ?x ' ,当 x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增 ? 2 1 ? x ?1 ? x ?
'

?1 ? x ?

2

?

当 x ? ? 0, ??? 时, f

? x ? ? 0, f ? x ? 单调递减
1 ?b 1? x
'

所以函数 f ? x ? 的最大值为 f ? 0? ? 0 (2)①由已知得: g ? x ? ?
'

( i )若 b ? 1 ,则 x ? 0, ?? ? 时, g ? x ? ?

?

1 ?b ? 0 1? x

所以 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx 在 0, ?? ? 上为减函数

?

? g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx ? g ? 0? ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立;
( ii )若 b ? 0 ,则 x ? 0, ?? ? 时, g ? x ? ?
'

?

1 ?b ? 0 1? x

所以 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx 在 0, ?? ? 上为增函数

?

? g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx ? g ? 0? ? 0 ,不能使 g ? x ? ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立;
( iii )若 0 ? b ? 1 ,则 g ? x ? ?
'

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 1? x b

当 x ? ?0,

? 1 ? ? 1? 时, g ' ? x ? ? 0 ? b ?
? 1 ? ? 1? 上为增函数, ? b ?

所以 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx 在 ?0,

此时 g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx ? g ? 0? ? 0 所以不能使 g ? x ? ? 0 在 0, ?? ? 上恒成立 综上所述, b 的取值范围是 b ? 1 ②由以上得: 取x?

?

x ? ln ?1 ? x ? ? x ? x ? 0 ? 1? x

n 1 1 k ? 1? 1 得: ? ln ?1 ? ? ? ,令 xn ? ? 2 ? ln n n 1? n ? n? n k ?1 k ? 1

则 x1 ?

1 n 1 ? n 1 1 ? , xn ? xn?1 ? 2 ? ln ?1 ? ?0 ?? 2 ? ?? 2 2 n ?1 ? n ?1 ? n ? 1 n ? n ? 1? n
13

因此 xn ? xn ?1 ? ? x1 ? 又 ln n ?
n

1 2

n ?1 ? 1? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k? k ?2 k ?1

故 xn ?

?k
k ?1

n

n ?1 k n ? 1 ? n?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ln ?1 ? ? ? ? 2 2 ? 1 k ?1 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ? ? n ? 1

n ?1 n ?1 ? n ?1 ? ? 1? 1 1 ? 1 ? k ? ? ?? ? ? ?? 2 ? ? ? ?? ? 2 ? ? 1 ? ? ?1. ? ? ? k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? ? k ? 1? k ? k ?1 ? ? k ? 1? k ? ? ?

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