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训练题C解答


2014 东南地区冬令营赛前训练题 C 解答
陶平生提供
对于给定的正整数 a , 若有正整数 x, y 使得 1、 证明:这两个分式的值全为 1 . 证:先证引理: 若 m, n 为正整数, k 为自然数,如果

a(a 2 ? a ? 1) x ? y 与 2 的值皆为正整数; xy a ?1

mn mn 1 .

? k ,则 ?k? m?n m?n (k ? 1)2 ? 1

引理证明:条件

mn ? k 可改写为 (m ? k )(n ? k ) ? k 2 ,由此得 m ? k , n ? k , m?n
2

设 m ? k ? u, n ? k ? v , (m ? k )(n ? k ) ? k ? w ,其中 u, v, w 为正整数, 由 (u ? 1)(v ? 1) ? 0 ,得 u ? v ? 1 ? uv ? 1 ? k ? w , uv ? k ? w ;
2 2

注意到,对任何正实数 d 以及任意实数 r ? 1 ,有不等式

r 1 ,于是 ? d ? r d ?1

mn (k ? u )(k ? v) k 2 ? uv ? k (u ? v) w w ? ? ?k? ?k? m?n 2k ? u ? v 2k ? u ? v 2k ? u ? v (k ? 1)2 ? w

?k?

1 2 2 ,当且仅当 ?m, n? ? ?k ? 1, k ? k ? 1? ,即 ?u, v? ? ?k ? 1, 1 ? , w ?1时 2 (k ? 1) ? 1

取得等号;

a(a 2 ? a ? 1) x ? y 2 回到本题,若 与 2 的值皆为正整数,设 a(a ? a ? 1) ? b ? xy , xy a ?1
x ? y ? c ? ? a 2 ? 1? ,则

a(a 2 ? a ? 1) bc ? xy mn ,其中 m ? bcx, n ? bcy , ? ? 2 a ?1 x? y m?n



mn a(a 2 ? a ? 1) 1 ? ? a ?1? 2 ? a ? 1,因此,对应于 k ? a ? 1 ,有 2 m?n a ?1 a ?1

mn 1 1 a(a 2 ? a ? 1) ?k? ? a ?1 ? 2 ? m?n (k ? 1)2 ? 1 a ?1 a2 ? 1
等号条件是, ?m, n? ? k ? 1, k ? k ? 1 ? a, a ? a ? 1 ,因 a 与 a ? a ? 1 互质,由于
2 2

?

? ?

?

2

m ? bcx, n ? bcy 得 b ? c ? 1 ,因此只能取等号,

1

2 、如图,?ABC 的内心为 I , D, E, F 分别是边 BC, CA, AB 的中点,证明:直线 DI
平分 ?DEF 的周长.

A
A
K2

N

K

F I

P

F
E

M E
K1

I

P

B

D

C

B

G

D

T

C

证:如图,不妨设 AB ? AC , ?ABC 的内切圆切 BC, CA, AB 于 T , K1 , K 2 ,过 T 作 内切圆的直径 TK ,过 K 作 由于

I 的切线分别交 AC, AB 于 M , N ,则 NM ∥ BC ,

I 是 ?AMN 的旁切圆, AK1 ? AK2 ,因 MK ? MK1 , NK ? NK2 ,所以有

AM ? MK ? AN ? NK , 延长 AK 交 BC 于 G ,则 BG ? CT ,因此 DT ? DG ,故 DI 是 ?TGK 的中位线,所以

DP ∥ AG ,因 BDEF 为平行四边形,所以 ?DEP ∽ ?ABG ,相似比为
同理, ?DFP ∽ ?ACG ,相似比为

DE 1 ? , AB 2

DF 1 ? , AC 2

AK , AG 既然有 AM ? MK ? AN ? NK ,所以 AC ? CG ? AB ? BG , 因此, DF ? FP ? DE ? EP ,即所证结论成立.
又注意 ?AMK ∽ ?ACG , ?ANK ∽ ?ABG ,相似比均为

3 、设 x1 , x2 ,
证明: (1 ) 、
0

, xn 为实数, (n ? 3) ,令 p ? ? xi , q ?
i ?1

n

1?i ? k ? n

?

xi xk ,

n ?1 2 p ? 2q ? 0 ; n

(20 ) 、 xi ?

p n ? 1 2 2n ? p ? q , i ? 1, 2, n n n ?1

,n.

证: (一) 、首先考虑简单情况,当 p ? 0 时,有

n ?1 2 ? n ? 2 p ? 2q ? 0 ? 2q ? p 2 ? 2q ? ? ? xi ? ? 2 ? xi xk ? x12 ? x2 ? n 1?i ? k ? n ? i ?1 ?
这时 (1 ) 成立;再考虑 (2 ) ,
0 0

2

2 ? xn ? 0,

2

在 p ? 0 时,即要证 xi ?

n ?1 2n ? q , i ? 1, 2, n n ?1
2 2

, n ,注意 x2 ? x3 ?

? xn ? ? x1 ,

据柯西不等式,有 (n ? 1)( x2 ? x3 ?
2 2 2

2 ? xn ) ? ( x2 ? x3 ?

? xn )2 ? x12 ,

即 (n ? 1)(?2q ? x1 ) ? x1 ,于是 nx1 ? (n ? 1)(?2q) , 所以 x1 ?

n ?1 n ?1 2n p n ? 1 2 2n (?2q) ? ? q ,即 x1 ? ? p ? q, n n n ?1 n n n ?1

据对称性,所有 xi 亦满足 xi ?

p n ? 1 2 2n ? p ? q. n n n ?1
p , i ? 1, 2, n
, n ,则 ? yi ? 0 ,
i ?1 n

(二) 、再考虑一般情况,令 yi ? xi ?
2 2

y ?y ?
2 1 2 2

p? ? p? ? ? y ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? n? ? n? ?
2 n

p? ? ? ? xn ? ? n? ?

2

? (x ? x ?
2 1 2 2

2p ? x )? ( x1 ? x2 ? n
2 n 2 ? xn )?

p2 ? xn ) ? n

2 ? ( x12 ? x2 ?

p2 p2 n ?1 2 n ?1 2 ? p 2 ? 2q ? ? p ? 2q ,所以 p ? 2q ? 0 , n n n n
n n ?1 n (?2q1 ) ,其中 p1 ? ? yi ? 0, q1 ? ? yi yk , n n ?1 i ?1 1?i ? k ? n

据前面已证得的结果, yi ?
2 2 2

则 ?2q1 ? p1 ? 2q1 ? y1 ? y2 ?

2 ? yn ?

n ?1 2 p ? 2q ,故有 n

yi ?

n ?1 n n ?1 n ? n ?1 2 ? n ? 1 2 2n (?2q1 ) ? p ? 2q ? ? p ? q ? n n ?1 n n ?1 ? n n n ?1 ?
p n ? 1 2 2n ? p ? q. n n n ?1

即 xi ?

4 、设 Pn ? ?
解:由于

?1? 1 n ,求正整数 ,使得 ? ? ? 2015 . 2 k ?n k ? Pn ?
2n

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ,所以 Pn ? 2 ? 2 2 1 1 1 k n ( n ? 1) 2 k ? k? k? 4 2 2

?

1 (2n)2

3

? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 1? ? 1 3? ? 5 3? ?n? n? ? ?n? n? ? ?n? n? ? ? 2 2? ? 2 2? ? 2 2?
? 1 1 n? 2 ? 1 1 2n ? 2 ? n ?1 , 1 ?? 1? ? ? n ? ?? 2n ? ? 2 ?? 2? ?

? ? ? 1 1 ? ?? ? 1 1? ? 2n ? 2n ? ? ? 2 2?

1 ?? 1? ? n ? ?? 2n ? ? ? 1 ? 2 ?? 2? 因此, , ? Pn n ?1
1 ?? 1? ? n ? ?? 2n ? ? ? 1 ?? 1? 2 ?? 2? ? ? ? 2n ? 3 ; 由 ? n ? ?? 2n ? ? ? (n ? 1)(2n ? 3) ,可得 n ?1 2 ?? 2? ?

?? 1 ?? 1 ?? n ? ?? 2n ? ? ? ? 1 ? ?? 2 ?? 2? ? ? ? 2n ? 3 . 这样就有 ? ? ? ? P n ? 1 ? ? ? n? ? ? ? ?
为了得到 ?

?1? 1 ? ? 2n ? 3 ,还需再证 ? 2n ? 2 ,于是需要建立一个类似于前面的拆项 Pn ? Pn ?
, 2n 中的每个 k ,都有

公式,使得产生反向的不等式; 引入待定常数 a , (a ? n) ,使得满足,对于 n, n ? 1,

1 1 1 1 1 2 ,即 2 ? ,则 (k ? a)(k ? 1 ? a) ? k , ? ? 2 k k ? a k ?1? a k (k ? a)(k ? 1 ? a)
于是 k ?

a(1 ? a) a(1 ? a) ,这时,只要 n ? a, n ? ,就有 1 ? 2a 1 ? 2a 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? Pn ? 2 ? ? ? ?? ? ? ??? ?? 2 2 n (n ? 1) (2n) ? n ? a n ? 1 ? a ? ? n ? 1 ? a n ? 2 ? a ?

1 1 1 n ?1 ? 1 ? . ?? ? ? ? ?? ? 2n ? a 2n ? 1 ? a ? n ? a 2n ? 1 ? a (n ? a)(2n ? 1 ? a)
所以,

1 (n ? a)(2n ? 1 ? a) ? . Pn n ?1
a(1 ? a) (n ? a)(2n ? 1 ? a) ? 2n ? 2 . ,以及 1 ? 2a n ?1
4

于是,需要证明,存在 a ,同时满足:

n ? a, n ?

由于 n ? a ,从 n ?

2n ? 1 ? 4n 2 ? 1 a(1 ? a) ,解出 a ? ; 2 1 ? 2a

又从

3n ? 1 ? 9n2 ? 2n ? 7 (n ? a)(2n ? 1 ? a) ? a ?1. ? 2n ? 2 ,解出 2 n ?1 3n ? 1 ? 9n2 ? 2n ? 7 2n ? 1 ? 4n 2 ? 1 ,就会有实数 a 介于其间. ? 2 2
2 2

只要证得

即证 n ? 4n ? 1 ? 9n ? 2n ? 7 . 平方整理,只要证 4n ? n ? 2n ? n ? 4 ,
4 2 2

再平方,只要证, n ? 4n ? 2n ? 4 ? 0 ,当 n ? 5 时,此式显然成立,
3 2

即存在 a ,同时满足:

n ? a, n ?

a(1 ? a) (n ? a)(2n ? 1 ? a) ,以及 ? 2n ? 2 . 1 ? 2a n ?1

于是 2n ? 3 ?

?1? 1 ? 2n ? 2 ,得 ? ? ? 2n ? 3 . Pn ? Pn ?

若使 ?

?1? ? ? 2015 ,由 2n ? 3 ? 2015 ,得到 n ? 1009 . ? Pn ?

5


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