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三角恒等变换2


一.两角和与差的正弦余弦公式 (1) cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; (2) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (3) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (4) tan ?? ? ? ? ?

tan ?

? tan ? ; 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

(5) tan ?? ? ? ? ?

二.二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

三.降次公式

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 2 2

例题分析 一.公式的应用 π π 3 1.已知 cosθ= ,θ∈?0,2?,则 cos?θ-6?=( ? ? ? ? 5 3 3-4 A. 10 3 3+4 B. 10 3 3-4 C. 5

) D. 3 2 )

4 4 2.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,则 cosαcosβ 的值为( 5 5 A.0 4 B. 5 4 C.0 或 5 4 D.0 或± 5 )

α 3.已知 α 为锐角,且 sinα∶sin =8∶5,则 cosα 的值为( 2 4 A. 5 8 B. 25 12 C. 25 7 D. 25

12 7 4.在△ABC 中,若 cosA= ,cosB= ,则 cosC 的值是( 13 25 36 A. 325 204 B. 325 36 204 C. 或 325 325 ) 1 D.- 2 36 D.- 325

)

5.cos75° cos15° +sin75° sin15° 的值是( A.0 1 B. 2 C. 3 2

1

π π π π 6.已知 tanα,tanβ 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,且- <α< ,- <β< ,则 α+β 的值为 2 2 2 2 ( π )A. 3 2π B.- 3 π 2π C. 或- 3 3 π 2π D.- 或 3 3 )

4 12 7.已知 α、β 为锐角,cosα= ,cosβ= ,则 tan(α-β)的值为( 5 13 15 A. 16 16 B. 63 63 C. 65 16 D. 15 )

8.若 sinα-sinβ= 1 A. 2 B. 3 2

3 1 ,cosα-cosβ= ,则 cos(α-β)的值为( 2 2 C. 3 4 ) C.2- 3 2- 3 D. 2 D.1

sin6° +cos15°sin9° · 9.. 的值为( cos6° -sin15°sin9° · A.2+ 3 2+ 3 B. 2

4 1 10.已知 α、β 为锐角,cosα= ,tan(α-β)=- ,则 tanβ 的值为( 5 3 1 A. 3 13 B. 9 13 C. 15 ) C.2 1 D. 2 5 D. 9

)

π 2π 11.cos · cos 的值是( 5 5 A.4 1 B. 4

12.(2010· 温州中学)已知向量 a=(sin75° ,-cos75° ),b=(-cos15° ,sin15° ),则|a-b|的值 为( A.0 ) B.1 C. 2 D.2

π π π π 13.?cos12-sin12??cos12+sin12?=________. ? ?? ? 2 3 14.已知 α、β 为锐角,且 tanα= ,tanβ= ,则 sin(α+β)=________. 3 4 4 2 15.已知△ABC 中,sinC= ,cosB=- ,则 cosA.=____________________ 5 3 2 16.已知等腰三角形底角的余弦值为 ,则顶角的正弦值是_________________________ 3 θ θ 1 17.已知 sin +cos = ,则 cos2θ=__________. 2 2 2 二.角的变换 3 5 1.已知锐角 α、β 满足 cosα= ,cos(α+β)=- ,则 cosβ=( 5 13 33 A. 65 33 B.- 65 54 C. 75 54 D.- 75 )

2

12 3 2.α、β 为锐角,cos(α+β)= ,cos(2α+β)= ,则 cosα 的值为( 13 5 56 A. 65 16 B. 65 56 16 C. 或 65 65 D.以上均不对 )

)

π 3 3 3.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为( 2 5 5 A.-1 B.-1 或- 7 25 24 C.- 25 24 D.± 25

β α π π α+β 1 2 4.设 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,其中 α∈?2,π?,β∈?0,2?,则 cos =_______ ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 9 2 5. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是
?

.

π 3π 12 3 6.已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin2α 的值. 2 4 13 5

三.辅助角公式的应用

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,

1 3 1. cos15°+ sin15°=_____ 2 2 π 2.函数 y=cosx+cos?x+3?的最大值是________ ? ? π π 3. 2sin?4-x?+ 6sin?4+x?的化简结果是( ) ? ? ? ? 5π 5π A.2 2sin?12+x? B.2 2sin?x-12? ? ? ? ? 7π C.2 2sin?12+x? ? ? 7π D.2 2sin?x-12? ? ? )

π π 4.函数 y=2sin?3-x?-cos?6+x?(x∈R)的最小值等于( ? ? ? ? A.-3 B.-2 C.-1 D.- 5 )

5.已知函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

π B.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

π 6.(2012· 浙江)函数 f(x)=sin?2x-4?-2 2sin2x 的最小正周期是________. ? ? 7.【2012 湖南理 6】函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 ( 6
D.[-



A. [ -2 ,2]

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

3 , 2

3 ] 2

3

计算与证明 1.(12 分)已知 2 tan A ? 3tan B ,求证: tan( A ? B) ?

sin 2 B . 5 ? cos 2 B

π 2.已知函数 f(x)=4cosxsin?x+6?-1. ? ? π π (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

3.已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos x ?
2

5 3 (其中 x ? R ) ,求: (1) 函数 f ( x ) 的 2

最小正周期; (2) 函数 f ( x ) 的单调区间;

4.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|= (1)求 cos(α-β)的值; π π 5 (2)若- <β<0<α< ,且 sinβ=- ,求 sinα 的值. 2 2 13

2 5 . 5

4


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