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中学数学教学参考2011年第07期


2 0 1 1 年 第 7期 (上 旬 )  

Ⅲ 

㈣  

本刊 专稿 _  

中专  学教学, t -  ̄ t  

莪 国 中 学 数 学  雒  力 目 
— —

建 国 以 来 中 学 数 学 

数 学 能 力

目标 应 该 是 指 数 学 特 殊 能 力 的 目标 ,   养 本 学 科 的特 殊 能 力来 培 养学 生 的一 般 能 力.  

孙宏 安 ( 辽 宁省 大连 教育 学 院)   中华 人 民共 和 国成立 后 , 教 育 部颁 行 的 中学 数 学  “ 教 学 大纲” 或者 “ 课程 标 准” ( 在需 要 同 时表 述 这二 者  时本 文统 称 为“ 课 程 文件 ” ) 的文本 共有 1 9个 . 它们 是  1 9 5 1年 、 2 0 0 1 年( 初中) 、 2 0 0 3年 ( 高中) 的课 程 标 准 ,   1 9 5 2年 、 1 9 5 4年 、 1 9 5 6年 、 1 9 6 3年 、 1 9 7 8年 、 1 9 8 0年 、   1 9 8 2年 、 1 9 8 6年 、 1 9 8 8年 ( 初 中) 、 1 9 9 0年 、 1 9 9 2年  ( 初中) 、 1 9 9 6年 ( 高 中) 、 2 0 0 0 年( 初、 高 中各 本 ) 、 2 0 0 2   年( 高 中) 的教学 大纲 , 还有 1 个 是 实 际上 起 到 大纲 作  用 的教 育部 1 9 6 0年 给 国务 院 文教 办 公 室 的《 关 于 修  订 中小 学数 学 教 学 大纲 和 编 写 中小 学 数 学 通 用 教 材  的请 示 报告 》 . 上述 没有标 记 初高 中 的是 初 高 中合 本 .   个学 科 的主 要 课 程 文 件 的第 一 个 要 点 显 然 就  是 进行 这 门学科 教育 教 学要获 得 什 么样 的结 果 , 也 就  是 确定 教学 的 目的 , 这个 目的从 课 程 论 的角 度 看就 称  为 课程 目标 . 在 我们 涉 及 的 文本 中 , 1 9 5 1 年 和新 世 纪  的课 程标 准 中都 叫做课 程 目标 , 而在 所有 的教 学 大纲  中都 叫做教 学 目的. 为 了行文 的方 便 本 文统 称 为课 程 


经 提 出就 一 直 用 到 新 世 纪 , 没 有 改 动. 1 9 5 6年 提 出 

目标 . 中学数 学 课程 目标 中非 常重 要 的就是 数 学 能力  目标 , 主要 表述 在 大 纲 的“ 教 学 目的” 或标 准 的 “ 课 程 
目标 ” 之 中.  

1 课 程文件表述的能 力 目标 
数学 能 力 目 标 应 该 是 指 数 学 特 殊 能 力 的 目   标 —— 因为数 学 是 中学学 习的学 科 之一 , 每 门学 科 当  然 也 要培养 一 般能 力 , 但 是 一般 能 力是 寓 于特 殊 能力  之 中的 , 每 门学科 正是 通过 培养 本 学科 的特殊 能 力来 

培养 学生 的一 般 能力. 作 为学科 课 程 目标 的能 力 目标  应该 把本 学科 与其 他学 科 区分 开来 , 如果 能力 目标设  定 的是一 般能 力 , 那每 门学 科 的课 程 能力 目标 将 都 是  样的 , 实质 上 就取 消 了学科 能力 目标.   1 9 5 2年 的大 纲 提 出 了数 学 特 殊 能 力 “ 生 动 的 空  间想 象力 , 发 展学 生逻 辑 的思维 力 和 判断 力 ” , 这里 提  出的空 间想象 力 , 也 就 是 空 间 想 象 能 力. 这 个 能 力 一 


“ 逻辑 思 维 和 空 间 想 象 力 、 灵活性 和创 造 的才能” ;   1 9 6 0年提 出 “ 特 别要 加 强 计 算 能 力 的 培 养 ” , 增 加 了  计 算能 力 ; 1 9 6 3年 定 位 于 “ 正 确 而 迅 速 的计 算 能 力 、   逻 辑推 理能 力 和 空 间想 象 能 力 ” , 把“ 逻辑 思 维 ” 改 为  “ 逻辑 推理 ” , 这 是 第 一 次 同 时提 出三 大 能 力 , 形 成 了  在 数学 教育 领域 影响 巨大 的“ 三 大数 学 能力 ” , 可 以说  至今仍 然起 着重 要 的作 用 . 1 9 7 8年 改为 “ 正 确 迅速 的  运 算能 力 , 一定 的逻辑 思 维能力 和 一定 的空 间 想象 能  力” , 把“ 计算 能 力” 改成 “ 运 算能力 ” , 把“ 逻辑 推 理 ” 又  改 回“ 逻辑 思 维” ; 同时 提 出了“ 逐 步培 养 学 生分 析 问  题 和解 决 问题 的能力 ” . 至 此通 常所 说 的数学 “ 四大 能  力” 全 都提 出来 了. 1 9 8 2年在 解 决 问题 条 款 中 增加 了  “ 获得 数学 知识 和运 用 数 学 知识 的 能力 ” , 1 9 8 6年 进  步增 加 “ 培 养 学 生 的 独 立 思 考 和 自学 能 力 ” . 1 9 9 6   年大 纲改 “ 逻辑 思 维 ” 为“ 思维能力” , 其 他 依 旧. 2 0 0 0   年大 纲 ( 高 中) 保 持 了这一 说 法 , 而且 做 了展 开 说 明 :   “ 思维 能力 主要 是 指 : 会 观察 、 比较 、 分析 、 综合 、 抽 象  和概 括 ; 会 用归 纳 、 演绎 和类 比进行 推理 , 会 合 乎 逻辑  地、 准 确地 阐述 自己 的思 想 和 观 点 . . . …? 运 算 能力 是  指: 会 根 据法则 、 公 式 正确 地 进 行 运 算 、 处理数据 , 并  理解算 理 ; 能够 根据 问题 的情境 , 寻 求 与设 计 合理 、 简  洁 的运算 途径 ” ; 在“ 解 决 实 际 问题 的能 力 ” 之 下 表述  为: “ 解决 实 际问 题 的 能力 , 以 及创 新 意 识 . 解 决 实 际  问题 的 能力是 指 : 会 提 出、 分 析 和 解决 带 有 实 际 意 义  的或 在 相关学 科 、 生 产 和 生 活 中 的数 学 问 题 ; 会 使 用  数学 语 言表 达 问题 、 进行交流、 形成用数学的意识” ,   新世 纪 的课程 标准 ( 高 中) 提 出的数 学 能力 是 “ 提 高 空  间想 象 、 抽象 概 括 、 推理论证、 运 算求 解 、 数 据 处 理 等  基 本能 力” , 明显的是把“ 思维能力” 分解 为“ 推 理 论  证” 和“ 抽象 概 括 ” , 把“ 运 算 能力 ” 改为 “ 运算 求 解 ” 和  “ 数据处 理” 能力 . 解决 问题 的能力 则表 述 为 : “ 数学 地  提 出问题 、 分析 问 题 和解 决 问题 的 能力 , 发 展 学 生 的  创 新意 识 和应用 意 识 , 提高 学 生 数 学探 究 能 力 、 数 学 


本刊   专 稿  

∽   :

2 0 1 1年 第7 期 【上 旬 )  
中 学 毅 学教 学 参考 

建模 能 力 和数 学交 流 能力 , 进一 步 发 展 学生 的数学 实  践 能力 ” .  

2 . 2 数学 能 力 目标 的 内容 

2 能 力 目标 比较 
本 文从 数 学能 力 目标 的发 展 、 数 学 能力 目标 的 内  容 两个 方 面进 行 比较分 析,   2 . 1   数学 能 力 目标 的发展  从 前 面 的述说 不难 得 出 历来 课 程 文 件 中关 于 数  学 能力 目标 表述 的发展 是一 种 积 累性 的 发展 , 也是 一  种“ 框架 确 定下 的 内涵发 掘 ” 式 的发 展 , 这 一 点 相 当符  合 一般 科 学常 规发 展 的规律 . 这 种 发 展 表现 出继 承性 
和创 新 性相 协 调 的特点 .  

比较一 下 不 同 的课 程 文 件 中对 数 学 能 力 的不 同  表 述之 间 的差 别. 空 间想 象 能力 一 直 没有 变 化 , 这 里  只 考察 其他 三种 能力 .   ( 1 ) 数 学思 维能 力 .   数 学思 维方 面 的能 力要 求 由原 来 的 “ 逻 辑 的思 维 

力 和批 判力 ” 整 合成 “ 逻 辑思 维能 力 ” , 再改成“ 逻辑 推  理 能力 ” , 又 改 回“ 逻 辑思 维 能力” , 再 改为 “ 思 维 能  力” , 最后 成 为 “ 推理 论 证” 和“ 抽 象 概括 ” 能力 . 要理 解  在 这个 能 力 表 述 上 的进 展 就 需 要 明 确 几 个 概 念 : 逻  辑、 推理 、 思维、 抽象 .   逻辑 : 以推 理形 式 为 主要对 象 的科学  另义 : 思 维 
的规 律性 .  

这里 , 发展 的积 累 性 非 常 明 显 , 1 9 5 2年 提 出空 间 

想象 能 力 , 1 9 5 6年增 添 逻辑 思 维力 , 1 9 6 0年增 加计 算  能力 , 1 9 7 8年 明确 分 析 问题 和 解 决 问 题 的 能 力 , 每 种  增添 的 能力 都始 终保 持在 后 来 的 目标 要求 中 , 只是 一  方 面不 断做 出表 述语 言 的微 调 , 另 一方 面不 断进 行 所  指 内容 的开 拓 和创 新 . 但是这种微调 、 开 拓 和 创 新 都  没有 超 越前 面 给 出的“ 四大 能力 ” 的框 架或 者 “ 范式” ,   没有 出现科 学革 命性 的范式 更迭 , 主要 进 行 的是 一 些  对“ 四大 能力 ” 的 内涵 发 掘 , 包 括 新世 纪 的两个 课 程 标  准 在 内—— 他 们 只是 对 前 此 的能 力 目标 的所 指 进 行  了重述 , 因此是一种 “ 框 架 确 定 下 的 内涵 发 掘 ” 式 的 
发展.  

推理 : 是 从若 干命 题 直接 得 出 一个 命 题 的思 维 过  程( 它们分 别 被称 为推 理 的前 提 和结 论 ) . 前 提 和结 论  的命 题形 式 构成 推理 形 式. 命 题 形式 和推 理形 式 可 合  称思 维形 式 . 思 维形 式 又指思 维 的不 同形 态 : 概念、 命  题、 推 理 等. 推理 和其 他思 维形 式 一 样 , 也有 内容 和 形  式 两 个方 面 : 推理 的内容 就是 反 映在 推 理 中 的客 观 现  实之 间 的关 系 ; 推 理 形 式 就 是 推 理 的结 构 , 即推理 内   容 各 部分 间联 系 的方 式. 形 式 或结 构 正 确 的推 理 叫 逻  辑推理 , 形 式 或 结 构 不 正 确 的 推 理 叫 不 合 逻 辑 的 
推理 .  

思维 : 以 感 觉 和 知觉 为 基 础 的高 级 认 识 过 程 . 它  运 用 分析 和综 合 、 抽象 和概 括 等智 力 操 作对 感 觉 信 息  进 行 加工 , 以存储 与记 忆 中 的 知识 为 媒 介 , 反 映 事 物  的本 质和 内部 联 系 . 思 维 以概 念 、 判 断 和 推 理 的形 式  进行. … … 以动作 和形 象来 进行 的思 维 活动 称 为 具体  思维 , 以 概念来 进 行 的思维 活动 称 为抽 象思 维.   抽象( 抽 象思 维 ) : 人们在认识 活动中运用概念 、   命题 、 推理 等 思 维形 式 对 客 观现 实进 行 间 接 的 、 概 括  的反 映 的过程 . 也称 为 抽象 逻辑 思维 或 逻辑 思维 .   这样 我们 就看 到 : 思维 是运 用 推 理等 思 维 形 式进  行 的, 推理 是 思 维 的 内容 , 而 运 用 推 理 等 进 行 的思 维  就 是抽 象 思维 , 形式 或 者结 构正 确 的 推理 叫做 逻辑 推  理; 抽 象概 括 是思 维 活 动 的基 本 操 作 , 抽 象 思 维 也 称 
为 逻 辑思 维—— 于是 , 所 谓逻 辑 思 维能 力 和逻 辑 推理  能 力 在 数 学 中实 质 上 就 是等 价 的—— 因 为数 学 较 少 

继 承性 指能 力 目标 的发 展具 有 相 当 的稳 定性 , 例  如, 空 间 想象 能力 1 9 5 2 年 一 经提 出 , 就 一 直持 续 使 用  到新 世 纪. 其他能力也是一经提 出, 就在 其 后 有 着 稳  定 的持续 , 但是这种持续不是一成不变 的, 其 中 包 括  不 断 的创 新. 提 出新 的能 力是 一个 创 新 点 : 例如 1 9 5 2   年, 1 9 5 6年 , 1 9 6 0年 , 1 9 7 8年 分 别 提 出 四大 能 力 . 对  已经 提 出 的能力 进行 变换 或 者充 实 是 另一 个 创新 点.   例如 , 逻辑 思 维 能 力 改成 逻 辑 推 理 能 力 , 再 改 回 逻辑  思 维 能力 , 进一步改为思维能力 , 最 后 分 解 为 抽 象 概  括 和 推理 论证 能 力 是 一 种 变 换 ; 而从 “ 分 析 问题 和 解  决 问题 的能力 ” 到“ 数学 地 提 出 问题 、 分 析 问题 和 解决  问题 的能 力 , 发展 学 生 的创 新 意 识 和 应 用 意 识 , 提 高  学 生数 学 探究 能 力 、 数学建模能力和数学交流能力 ,   进 一步 发 展学 生 的数 学 实 践 能 力 ” 就是一种充实. 不  难看出, 继 承是 创 新 的基 础 , 只 有 在 教 学 的能 力 目标  保 持基 本 稳定 的情 况 下才 能使 学 生 的 能力 得 到发 展 ,   才 能够 对 目标 进 行 创 新 以使 学 生 得 到 更 好 的 能 力 发  展; 创 新则 对 目标 的稳 定 继 承起 到 调 节 保 证 的 作 用 ,  

涉 及具 体 思维 ( 那是艺术 、 体 育 等学 科 所 涉 及 的 主要 
思 维 活动 ) , 而 在 这 两 个 词 组前 面 的 “ 逻辑” 二 字 不 可 

能 是指 逻辑 学 , 只 能是 指 “ 具有 思 维 规 律 性 的 ” “ 形 式  或 结构 正确 的” , 数 学 中的思 维 主要 是 抽象 思 维 , 抽 象 

正 是 因为 对 目标 的不 断 增 添 和 充 实 才 使 目标 持 续 地  发挥 作 用 , 这正 是 目标继 承 的意 义所 在 .   数 学 能力 目标 的 继 承性 保 证 了 中 国数 学 教 育 的  优 秀传 统得 到 持续 的传 承 , 能力 目标 的创 新 性则 保 证  了中 国数学 教 育 的 与 时 俱 进 , 时刻保持先进性 , 促 进 
学生 得 到充 分 的发 展.  

思 维 主要是 推 理 , 正 确 的推 理 就 是 逻 辑 推 理 , 于 是 逻  辑 思维 能力 和 逻 辑 推理 能力 这 二 者 与 思 维 能 力 在 数  学 教学 中也 是 等 价 的 , 推 理论 证 ( 推 理 的 表 现 形 式 就  是论 证 , 论 证 的核心 就是 推理 的过 程 , 所 以推 理 、 论 证  是一 而二 、 二 而一 的说 法 ) 是 思 维 的 内容 , 抽象 概 括是  思维 的基 本 操作 . 实 际上 推理论 证 加 上 抽 象概 括 不过 

2 0 1 1 年 第 7期 (上 旬 )   中学 毅 学教 学 参 考 

本 刊 专稿 

也就 是说 出了思 维 的 意 思 , 因此 , 作 为数 学 课 程 目标  的思 维 能力来 说其 本质 也是 从 1 9 5 2年 直 到新 世 纪一  直 没有 改变 . 既然 实质 没有 改变 为什 么 要 用不 同的语  言表 述 呢 ?   顺便 说 一 下 , 从 更 严 格 的意 义 上来 说 , 数 学 中研  究 的只是 思 维或者 推理 的形 式或 者 结 构 ( 所 以有 人说  “ 数 学是 模式 的科 学 ” , 模式者 , 形 式 或 结 构之 谓 也 ) ,   般并不 涉及 思维 或 推理 的具体 内容 ( 一 般说 数 学研  究 的是 现 实 世 界 的空 间形 式 和 数 量 关 系 , 形 式 和 关  系, 也 就 是 形 式 和结 构 —— 因 此 也有 人 说 “ 数学 是研  究 结构 的科 学” ) , 既 然几 个 说 法 都 有 等 价 性 , 按 照前  面指 出的“ 形 式 或 者 结 构 正确 的推 理 叫做 逻 辑 推 理 ”   的说法 , 数 学 的确 以研 究正 确 的推理 ( 数学 证 明 ) 为己   任, 所 以这 方面 的数 学能力 在 已经 公布 的课程 文 件 的  范 围内 , 还 是 以称为 “ 逻辑 推理 能力 ” 为 最佳.   ( 2 ) 计 算或运 算 能力.   1 9 6 0年第 一 次引入 了关 于数 学 最 重 要 的操 作 的  能力—— “ 计算 能力 ” . 这个 能力 在 1 9 7 8年 被改 为 “ 运  算 能力 ” , 一直持 续 运用 到现 在.   把计 算改 成 运 算 的 理 由是 什 么 ?考 察 一 下 这 两  个概 念 , 在 大百 科 全 书 和 辞 海 中都 没 有 这 两个 词 条 ,   在现《 代汉 语 词 典 》 ( 1 9 9 8 ) 以及《 新华词典》 ( 2 0 0 4 ) 中   有这 两个 词条 , 两词 典 的释义 完全 相 同.   计算 : 根据 已知 数通 过数 学方 法求 得未 知数 .  


词并不 能互 换 , 例如 , 运 算法 则 、 运算 律 , 计 算方 法 、 计  算 数学 , 都是 不 可互 换 的. 当然 也 有 人 认 为 计 算 和 运 
算是 同义 的 , 那 自然会 产生 一个 问题 : 既然 是 同义 的 ,   为什 么非要 改变 呢 ?  

( 3 ) 数 学 问题 解 决能力 .   虽 然从 建 国 以来 的第 一 个课 程 文件 中就 提 出 了  运用数 学解 决 问题 特 别 是 生 产生 活 和学 习其 他 科 学  中 的实际 问题 的要求 , 但是 长期 以来 只是 作为 一 种技  能技 巧 目标提 出来 的 , 直到 1 9 7 8年 才 提 出“ 逐 步 培养  学生 分析 问题 和解 决 问题 的能 力 ” , 于 是解 决 问 题 的  能力 或者 问题解 决 能力 目标 闪亮登 场 , 后 来在 这 方 面  不断有 所 创新有 所充 实 , 本 文第 一 节清 楚 的列 出了这  创新 和 发展 的过 程 , 到了 2 0 0 3年 高 中课 程标 准 中   达 到了 比较现 代和 前沿 的认识 .  


3 结 论 
比较 的结 论应 该 是 得 出 中学 数 学 能 力 目标 的 一  个本 文认 为更 为恰 当更 为合 适 的表述 , 而这 个表 述 应  该在 前 引课程 文件 的范 围 内加 以解决 . 由前 面 的数 学  能 力 目标 内容 的 比较 分 析 , 本 文 的结 论 是 : 采用 1 9 6 3   年 大纲关 于 数学 能力 的表述 , 实 际上 那 个大 纲 提供 了   我 国 中学 数 学能力 目标 的基 本框 架 . 不 过应 该 对其 中   的“ 计算 能力 ” 做2 0 0 0年高 中大纲 中关 于 “ 运算 能力 ”   的解 释( 修 改一 个字 ) , 也 就 是 吸收 了历 来所 做 的 内 涵  发掘; 数学 问题 解 决 目标 则 采用 1 9 7 8年 大纲 的表 述 ,   那 也是提供基本 框架 的表 述 , 不过 对其 做 2 0 0 3年高 中  课 程标准 的解 释 , 也就吸 收了历来对此 的内涵发掘.   中学数学课 程 的能 力 目标 应 该是 : 培 养学 生 正 确  而 迅速的计算 能力 、 逻辑 推理 能力 和空 间想象 能力 ; 逐  步培养学 生分析 问题 和解 决问题 的能力 .   其 中计 算 能 力是 指 : 会根 据 法 则 、 公 式 正 确 地 进  行 运算 、 处理 数据 , 并 理解算理 ; 能 够 根 据 问 题 的 情  境, 寻求 与设 计合理 、 简 洁 的计 算途 径.   分析 问题 和 解 决 问题 的能 力 是 指 : 数学地提出、   分析 和解 决 问题 ( 包 括 简单 的实 际 问题 ) 的 能力 . 发 展  数学 应用 意识 和创 新 意识 , 力 求 对现 实世 界 中蕴涵 的  些 数学 模 式进行 思考 和做 出 判断 . 数 学 表达 和交 流  的 能力 , 发展 独立 获取 数学 知识 的能力 .  


运算 : 依 照数 学 法则 , 求 出 一 个 算 题 或 算 式 的 
结果 .  

其 中把计 算 和方法 联 系起来 , 把 运 算 和法 则联 系  起来 , 应该 说 表 现 出 了这 两 个 概 念 的差 别 . 我 们 通 常  说 的运算 更 多地和 运算 律相 关 , 而计 算 更 多地 和计 算  方 法相关 .   由我们 实际 的应 用来 说 , 运算, 例 如 四则 运算 、 积  分 运算 等 只是一 步计 算 , 而 一个 计算 ( 算法) 应 该是 由   许 多步 运算 组成 , 最 常见 的是说 一 台计 算 机 每秒 能进  行 多少 次运 算. 例如, 目前 世 界 最 快 的 计 算 机之 一 我  国 的“ 天河 一号 ” 每秒能做 2 5 7 0万 亿 次 运算 , 而一 个  计算 , 比如 说 7 2小 时 的天 气 预 报 的 计 算 可 能要 用 这  台计算 机运 行 1 0小 时 , 那 么 这个 计 算 就 包 括 了 2 5 7 0   万 亿 ×3 6 0 0 0步 运算 . 与此相应的是一种小学 ( 新 课  程 的) 数学 教科 书 中 的一 个 课 题 “ 四则 运 算 和 简便 计  算” , 就是典 型地 认 为 一个 计 算 是 由若 干步 运 算 所 构  成, 可 以通 过连 续 运 用 运 算 定 律 解 决 计 算 问题 . 而 且  就 是在一 些 把运算 能 力列 为数 学能 力 的课 程 文件 中 ,   在“ 教学要 求 ” 中也 一 再 强 调 “ 掌握运算法则 , 熟 练 进  行计算” ; 2 0 0 0年 大 纲 在 阐 述 数 学 课 程 的性 质 时 指  出: “ 数 学能 够处 理数 据 、 观测 资料 , 进 行计 算 、 推理 和  证 明” 说 的是 计算 而不 是运 算. 因 而似 乎可 以认 为 , 计  算 的外 延要 比运 算 的外延 大一 些 , 因此对 学 生做 计算 

参 考 文 献  1 课 程教材研究所. 2 O 世 纪 中 国 中 小 学课 程标 准 ? 教 学 大 纲 

汇编( 数学卷 ) E O] . 北京 : 人 民教 育 出版 社 , 2 0 0 1   2   中 华 人 民共 和 国教 育 部 制 订 . 全 日制 义 务 教 育 数 学 课 程 标 

准( 实验稿 ) [ M] . 北京 : 北京师范大学 出版社 , 2 0 0 1   3   中华 人 民共 和 国 教 育 部 制 订 . 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实  验) E M] . 北京 : 人 民教育出版社 , 2 0 0 3   4   中华 人 民 共 和 国 教 育 部 制 订 . 普 通 高 中 数 学 教 学 大 纲  I - M] . 北京: 人 民 教育 出版 社 , 2 0 0 3  
5 朱 智 贤. 心理学大词典 [ K] . 北京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 
社 , 1 9 8 9  

能力 的要求 更合 理一 些 . 许多情 况 下 计算 和 运算 两个 

教 学 _  数 学 欣 赏   w   “   g  .  
栏 目 主持 : 张 奠 宙 

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不要害怕限制,正是一个 “ 正 ”宇 ,让 美 达 到 极致 
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柴化安 ( 安徽 省 寿县第 一 中学 )   黄 安成 ( 江苏 省 睢宁 高级 中学 )   2 0 0 4年 , 著 名 数 学 大 师  陈省 身 先 生 亲 自构 思 、 设 计、   定 制 了一 套 题 为 “ 数 学之美”   的挂历 , 使 深 奥 的数 学 走 进 了  千 家万 户 , 实现 了“ 昔 日王 谢  堂前燕 , 飞人 寻 常百 姓 家” !   展 示 了 数 学 的 瑰 丽 璀 璨 和 美  轮 美奂 . 其 中一 幅彩 色 画页 就  是被 誉 为 “ 数 学 中 的珠 玉 、 立  几 中 的宝石 ” 的正 多 面 体 ( 图 1 ) . 任何 人 见 了 , 都会 倾  倒 和 陶醉 于“ 她” 的倩影 美姿 1   学理 论 , 创 造 了许 多 数 学 技 巧 , 从 而 推 动 了数 学 的 
发展 .  

塑  一   0 0 i 一 强   篓 孽   穗  

关于正 多面体不 能多于五种 的证 明, 早 已见 于  《 几 何原 本 》 , 涉及 的证 明基于 这样 的事 实 : “ 任 意 多 面  角 的各个 面 角之 和都 小 于 四个 直 角 9 9 .设 正 多 面 体 的  每个 面 是正 n ( n ≥3 ) 边形 , 每 个顶 点周 围有 m( m≥ 3 )   个 面. 正  多 边 形 的 内 角 为  二  ×1 8 0度 , 每d " N 
,£  

点周 围面角之 和 为  二  ×1 8 0 m度, 由 于 凸 多 面体 
7 l  

的每 个顶 点周 围面角 之 和应小 于 3 6 0度 , 因此 
,   O 、  

1 正 多面体之美——美在 奇异 
正 多 面体 就是 每个 面都 有 相 同边 数 的正 多边 形 ,  
每个 顶 点 为端 点且 都有 相 同棱 数 的凸多 面体 .  

×1 8 0 m  ̄3 6 0 , 即f   1 一兰 ) m<2 , 分类讨论 : ( 1 ) 当  一   、   , £/  
3时 , m一 3 、 4 、 5 ; ( 2 ) 当  一4时 , m一3 ; ( 3 ) 当  一 5   时, m一 3 . 若 以(  , m) 表 示 这个 正 多 面体 , 则( 3 ,  

学习立体几何时, 我 们 常 用 类 比的 方法 , 从 平 面  几何 的 内容 , 类 比得 到 立 体 几 何 的相 应 知 识 , 这 是 数  学新 课程 所 倡 导 的合 情 推理 . 那 么 由“ 平 面几 何 中 的  正多 边形 有 无 数 种 ” 是 否 可 以类 比得 到 “ 空 间 中 的 正  多面 体也 有 无数 种 ” 这个 “ 合情” 的结 果 呢?  

3 ) —— 正 四面体 、 ( 3 , 4 ) —— 正八 面体 、 ( 3 , 5 ) —— 正  二 十 面体 、 ( 4 , 3 ) —— 正 六 面 体 、 ( 5 , 3 ) —— 正 十 二 面  体. 而后 根据 正 多 面体 的 展 开 图 ( 图3 ) , 制 作 出 五种 
正多 面体 模 型 , 就证 明 了正多 面体 有且 只有 五 种.  

⑧ 
正  曲 体   正六 面体  正 八 面 体  正 十 二 面 体  正 二 十 团 体  

△ 
正 四 面 体  正 六 面体  正 八 面体  正 十 二 面体  正 二 十 面体 

图3  

正 多面 体 的更 一般 的定 义是 : 每个 面 都有 相 同边 
数 的多边 形 , 每 个 顶 点 有 相 同数 量 的面 的 凸 多 面体 .  

图2  

可令 人 瞠 目结 舌 和惊 愕 不 已 的事 实却 是 , 正 多 面 

这 种 说法 并 没 有 涉及 等边 、 等 角 与 大 小 有 关 的量 , 只  有 某 些元 素 的 数 目. 古希腊在研究正多面体 时, 意 识  到从 寻求 多 面 体 的 顶 点 数 、 面 数 和棱 数 的关 系 人 手 ,   可 能 获得 另 一 条 研 究 正 多 面 体 的渠 道 . 沿 着 这 条 思 

体 有且 只 有 五种 , 即正 四 面体 、 正六面体、 正八面体 、   正 十二 面 体 和 正 二 十 面 体 !( 图2 ) 人 们 在 大 惑 不 解  之余 , 进行 了广泛 的 追寻 、 探 索 和论 证 , 许 多数 学前 贤  们 更是 用 不容 置 疑 的数 学理 论 , 运用 多 种证 明方法 雄 
辩 地证 明 了这个 事 实 , 且在此过程 中, 构 建 了许 多 数 

路, 著 名 数 学 家 欧 拉 得 出 了 一 个 关 于 多 面 体 的 公 
式 —— 欧拉公 式 , 该 公 式 的 具 体 内容 为 : 设 简 单 多 面 

数 学 欣 赏   教学时空  
.   …  . ,    . .   .  

O  

中学 毅 学赦 学参 考 

体 的顶 点数 为 V, 面数 为 F, 棱 数为 E, 则 三 者 之 间有  关系 : V+F—E一2 . 利用 欧拉 公式也 可 以得 出正多 面 

体有且 只有五 种 , 推 导 过 程 很 引 人 人 胜. 我 们 现 在 就  可 以感 受 其 中的魅 力.   设 正 多 面体 的顶 点 数 为 V, 面数 为 F, 棱 数 为 E,   则 V+F —E一2 . 设 每 个面 的边 数为 1 ' / , 每个 顶 点有 m  
条棱 , 则 
E一  ,   E一  E一 —  ’ ,   ①  ② 
r、 


由①② 得 F一 2 E  ,  2 E   V一 一 ,  


1. m

 





代 入 欧拉公 式得  +  一E一2 ,  
即  +  一  1一   1
.  

围成 的 图形 , 因此 , 将 正 四 面 体 
③ 

图6  

补 成一个 正方 体 , 从 而 建 立 相关 量 之 间 的关 系 , 借 助 
正方 体 比较容 易解 决这个 问题 .   足可 见数 学理 论 的触 角 已伸 向更 加 广 阔 的 空 间 
和 知识领 域.  




‘  ≥ 3 ,  ≥ 3 , 但  、 n不 能 同时大 于 3 ( 若m  

> 3 ,   > 3 , 则 有   +   一 4 < 0 , 即 这 是 不 可 能 的 1 ,  


3 正 多面体之美—— 美在生活 
古希 腊 时期 , 柏 拉 图在他 的哲 学 中把 正 多 面体 放 



. i、   中至 少有 一个 等于 3 .  
_


令 一3 , 则  +   一  1
m  

i 1 5 

1> 0’ . . 1>百 1
. 一

i  

b  

.  

≤5 , . . . 3 ≤ m≤ 5 .  

在 重要 的位置 , 因此 正 多 面体 又 称 “ 柏 拉 图体 ” . 既 然  正多面 体是 完全 理 想 化 的 , 而世界也是完美的, 柏 拉  图于是 提 出 : 世 界是 由 正 多面 体 构 成 的. 火 对 应 于 正  四面体 ; 正 二十 面体有 着最 多 的面 , 最 易滑 动 , 就对 应  水; 土 就是 正立方 体 ; 空气就 是 正八 面 体. 剩 下 的 正 十 

同理 , 若 m一3 , 可得 3 ≤ ≤ 5 , 可 分 类 得 到 五 种 

正 多面体 , 它们按 面 的数 目来命 名. 特别 地 , 证 明过 程 
体 现 了方 程 思想 和分类 讨论 思想 .  

2 正 多面体之 美—— 美在对 偶 
在 立体 几何 中 , 研 究正 多 面体有 着 非常 重要 的意  义, 因为 他们 是最 简单 、 最具 有 对称 性 的立体 图形 , 是  研 究其 他 多面体 的 基础. 正多 面体 有一 个有 趣 的 对偶  性 质 就是 , 把一 个 正 多 面 体 每个 面 的 中心 连 起 来 , 可 

二面体 就 代 表 宇 宙 . 由于 等 边 三 角 形 存 在 于 正 四 面  体、 正八 面 体和 正二 十面体 中 , 所 以火 、 空 气 和水 可 以 
相互转 换 , 但不 能转 换 成 正立 方 体 代 表 的土 . 诗 意化 
的联想 大 大拓 宽 了人 们 的视 野 , 丰 富 了人 们 的思 想 ,  

并使 人们 从 中获 得 了无穷 的享 受和 乐趣 .   1 7世纪 初 , 开 普 勒 认 为 数 学 应 是 大 自然 的 和 谐  体现, 数学 里 的一些 规律 与物 理学 中的 一些 现象 可 以   对应 起来 , 据 此给 出 了一 个 行 星 轨 道 模 型 : 尝 试 用 六 
个套 在一 起 的球表 示六 颗行 星 的轨 道 , 中 间用 五种 正 

以得 到一个 新 的 多 面体 . 如 果原 来 是正 六 面 体 , 那 么 
得到 的是 正八 面 体 ; 如 果 原 来 是 正八 面体 , 那 么 得 到  的是 正六 面体.  
( 图 4 ) 把 这 一 性 

质称 为正 六 面体 
与正八 面 体 的对 

偶、 正 十 二 面 体  与正 二十 面 体 的 

图4  

画 

多 面体分 隔 开 , 中间 的球既是 外 面 的正 多 面体 的 内切 
球, 又是 里 面 的正 多 面 体 的 外 接 球. 当然, 开 普 勒 错 

了, 但科 学 的发 现 , 往 往 是 在许 多错 误 之 中才 找 到 了 
正确 的方 向.  

如果 将 一 个 正 四 面 体 的 四个 

对偶 , 而正 四面体 则与 自己对 偶. 理论 上 的解 释 是 , 在  利用 欧拉 公式 证 明的过 程 中, 如果 i 和  互 换 , 则 正  二 十面体 和 正十二 面体 互换 , 正 八 面体 和正 六 面体 互 
换, 正 四面体 没有 改变 .  

角各 切下一 个 小 正 四面 体 , 使 其棱  长 为原 正 四 面 体棱 长 的三 分之 一 ,   则剩下 的部 分 构 成 一 个 八 面 体 ( 图 

7 ) . 它 的八个 面中 , 有 四个全 等的正 

图7  

另外 , 连 结 正 方 体 不 相 邻 的 顶 点 得 正 六 面 体 

三 角形 , 四个 全等 的正 六边形 , 而 且正 三 角形 的边长 

教   垂  

2 0 1 1 年 第 7 I l 唾 ( 上 旬 )  
中 学 文 学赦 学 参考 

还 黑板给 学生 ,   构 建 高 效 课 堂 
还 黑 板给 学 生 ,让 学 生拥 有 自 己 的 活动 空 间、 展 示 平 台 ,在 互 动  中生 成 数 学 情 感 和 数 学 智 慧 , 追 求 课 堂 效益 最 大 化.  

阳志 长( 湖南 省 株洲 县第 五 中学 )  
在 近期 的教 研活 动 中 , 有 几个 教 学 片 断一 直令 笔 

板书、 体验 , 以 至于“ 负效 教学 ” “ 低 效 教学 ” 充斥 课 堂.  
还黑 板 给学 生不 是 目的 , 而是 一种 手 段 . 通 过有 计 划 、  

者难 以忘怀 . 不是 教 师讲 得精 彩 , 而 是学 生 学 得生 动 ,  

黑板 利用 恰 到好 处 , 课 堂 简 约 而 高效 . 黑 板 是 教 学 媒 

体之 一 , 传统 教 学 中黑 板 是 教 师 的“ 专利” , 学 生 上 黑 
板得 不 到应 有 的重 视 . 笔者主张还黑板给学生 , 不 是  “ 复古 ” , 而是 基 于 教学 实践 中 的思 考 . 著 名 的 数 学 教  育 家 G ?波利 亚 指 出 , 数学有两个侧 面, 用 欧 几 里 得  方 式提 出来 的数学 像是 一 门系 统 的演 绎 科学 , 但 在 创  造 过程 中产 生 的 数 学 , 却 像 是 一 门 实 验 性 的 归 纳 科  学. 无论 是 演绎 科 学 还 是 归 纳 科 学 , 不 但 需 要 丰 富 的  感 性材 料 , 而且 需 要 足 够 的过 程 性 体 验 . 以 往 的 教 学  中, 我们 过 分地 强调 教师 的板 书 、 讲解 , 而 忽视 学 生 的  与 正六 边形 的边 长 相等 .   由两 种 或两 种 以 上 的正 多 边  形所 组成 的多 面体 , 看 起 来 很 匀 称. 阿基 米 德 多 面 体  是 由不 同种 的正 多边 形组 成 , 而且 每 个 顶点 的多 面 角  都是 全 等 的多面 体 , 阿基米 德 多 面体总 共有 1 6种.  
1 9 9 6 年 的诺贝 尔化 学奖 授 予对 发 现碳 6 0有 重 大 

合理 地还 黑板 给学 生 , 营造 恰 当 的 学 习环 境 , 激 发 学  生 的学 习兴趣 , 引导学 生 的学 习方 式 , 落 实新 课 程“ 倡  导积 极 主动 、 勇 于探索 的学 习方 式 ” 的基 本教 学 理 念 ,  
构建 高效 课堂 .  

1 上黑板板书 , 留有 补 白空 间 
黑板 是好 的载体 , 灵 活好 用 , 写错 了擦掉 就行 , 方 
便修改、 补充 , 有动态感 , 无 论 哪 个 层 次 的学 生 , 都 可 
以一试 .  

案例 1   画 出下 列 一 元 二 次 不 等 式 表 示 的平 面  基 于正 多 面体几 何模 型 制作 的骰 子 ( 图l O ) , 且 由正 多  面体骰 子得 到 的 随机 数可 能性  都是 相 等 的 , 在 给 生 活 增 添 了  不少 情 趣 的 同 时 , 还 给 数 学 问  题 的编拟提供 了丰富 的素 材.   正多 面体 , 有 了你, 我 们  的数 学更 美 妙 !有 了你 , 我们 的生 活更精 彩 !  
栏 目主 持人 点评 :  

贡献 的三位科学 家. 碳 6 O是 6 O个 C原 子组 成 的分子 ,   这 种分 子的原 子 团结 成 一个 高度 匀称 的 中空结 构 , 类  似球 或球形 . 碳6 O是 一个 多 面体 ( 图8 ) , 有 6 0个 顶 点  和3 2个 面 , 其中 l 2个 面 是 五 角 形 , 2 O个 面 是 六 角  形—— 几何形状 与足球相 同 , 人们 把它 称 为“ 富勒碳 或 

正 多面体 是 高一 数 学 中的 内容. 由于 它不 能制 造  出什 么测试 考题 ,也就 不 大受 重视.其 实 ,从数 学 美  学 的观点 看 ,正 多面 体 是 一 个 好 课 题 . “ 小城 里 面 故 

-  

巴克球 ” ( 图9 ) . 巴克球是 最接近球 体的多 面体.  

⑨ ● 
图8   图9  

事 多” . 本 文提 供 了正 多面 体 的各 种 美 学侧 面 ,可 以   让我 们驻 足 欣 赏 , 讲 许 多故 事. 正 多 面体 只 有 五 种 ,  
是 上 天造化 的巧安 排 ,令 人 震 撼. 至 于对 偶 性 ,平 常 

少人提 及 ,本 文是 一 个很 好 的 补 充. 其 中最有 意 义 的  是 生 活 中的“ 半 多面体” ,既 涉及 碳 6 0这 样 的科 学发 

现, 又和 为人 们 “ 有 爱有 恨 ” 的 足球 相 关联 ( 本 文 涉及 
得 少 了些) . 记得 上 海 的 郑耀 星老 师 曾 经要 学 生 用几 

有 些 化学元 素的结 晶体 呈 正多 面 体 的形 状 , 如 食  盐 的结 晶体 是 正 六 面 体 , 明矾 的结 晶体 是 正 八 面体 .  

何体 设 计运 动会 奖杯 , 激起 了学 生 的 创 造欲 望. 正多   面体 何 尝不是 一 个把数 学和 艺术相 结合 的切 入 点呢 ?  

Q 

2 0 1 1 年第7 期 (上甸 )  
奇穗 瓠 鸯赦 鸯 参专 

m 

论教谈学  教 学 时 空  

区域 : ( 1 ) z —Y 4 - 1 >0 ; ( 2 ) z4 -y <l ; ( 3 ) I z 一2   ≥2 .   教师 : 我们 知道 , 一元 二 次 不 等 式 可 以 表示 平 面 

验, 凭 借丰 富 的感 性材 料 , 把 画 一 元 二 次 不 等式 表示  平面 区域 的方 法提炼 、 概 括 出来 了.   日本研 究 者龟 口惠 治 将 学 生 的 学 习 方 式 和 记 忆  的效 果做 了一 些 比较 后 发 现 : 教 师满 堂灌 , 学 生 只 能  记住 5  ; 学 生 自己 阅读 , 能记 住 1 O  ; 使 用 图象 , 学 
生能 记住 2 O   ; 演示 、 试验 , 学 生 能记住 3 O   ; 课 后讨 

区域 , 请 大家 一试 , 并请 三位 同学 画 到黑板 上.   学生 在 稿 纸 上 画 图 , 有 三 位 学 生 主 动 上 黑 板 
画 图.  

( 约 5分钟 , 三位上 黑板 画 图的学 生早 就 画完 了)  

教师: 画的 怎 么样 ? 大 家 还 有 上 黑 板 的机 会 , 可  以去 修改 、 补 充.  
又 陆续上 去 了 四位 学生 , 有 学 生补 充 了 坐标 系 中  缺少 的东 西 , 有学 生把 题 ( 1 ) 中的直 线改 成 “ 虚线” , 有 

论, 学 生 能记住 5 O  ; 演 示后 , 让 学生 练 习 , 学生可 以  
记住 7 5   ; 而学 会 了教 别人 , 能 记住 9 O   的 内容 . 这 

项研 究成 果 表 明 , 老 师 讲 清 楚 了并 不 等 于 学 生 明 白   了, 学 生 自己想 清楚 了、 讲 清楚 了才是 真 正 明 白 了 , 教  师应 该 给学生 更 多 的 机会 , 让 学 生 自己 进 行 演 示 、 试  验, 尽 量 地把解 释 材料 的机会 让 给学 生. 从 理解 、 记 忆  的角度 看 , 案 例 1中 , 学 生 以稿 纸 、 黑板 为 “ 试 验 田” ,  
进行 画 图 、 试验 , 对 不 够 充分 的 、 错误的进行补充、 纠 

学生 把 题 ( 2 ) 中 的 区域 从 直 线 的一 侧 改 到 另 一 侧 , 有  学生 又 把题 ( 2 ) 中的 区域从 直线 的另 一侧 改 回来.   教师: 这 七 位 同学 给我 们 留下 了 宝贵 的材 料 , 大  家 能否从 中发 现 画一 元 二 次 不 等 式表 示 平 面 区域 的 
规律 ?  

正, 既调 动 了 全 员 动 手 、 智 力 参 与 的积 极 性 , 又 在 交 
流、 互 动 中教 会 了 别 人 , 修 正 了偏 差 , 强 化 了想 法 , 同  时也训 练 了胆识 , 提高 了学 习效 果 . 现 在 的数 学教 学 ,   往 往只 重视 知识 的传 授 、 方 法 的归 纳 . 传 授 知 识 往 往 

学生 1 : 有等号 时直线画成实线 , 没 有 等 号 时 直 
线 画成 虚线 .   学生 2 : 先 画直 线 , 再用 阴影表 示所 画 区域 .  

教师: 题( 2 ) 的 区域 经 过三 位 同学 之手 , 反 映 出两  种 相反 意见 , 到 底哪种 画法 正确 , 如 何确 定 ?  
学生 3 : 改 回来 是 正 确 的 , 可 以 取 一 个 特 殊 点 的  坐 标验 算.  

不是 追 求把 知识 的来龙 去脉 讲 清楚 , 而 是 直接 以枯燥 
晦涩 的定义 作为 起点 , 把公 式 、 法则 、 定 理 建立 在 抽象  的数学 概念 之上 , 使教 学 变 成 了教 师 的 “ 独 角戏” , 使 
学生“ 云里雾里” , 昏 昏欲 睡 . 案 例 1中 , 教 师 大 胆 放  手, 于 学生 的思 维 “ 最近发展区” 提 出 问题 , 不但 还黑 

教师 : 为 什 么 取 一 个 点就 可 以 了 , 取 一 个 什 么 样 
的点好 呢 ?  

学生 3 : 因 为 直 线 把 平 面上 的点 分 成 两 部 分 , 每 


板、 时 空给 学生 , 而 且 把 探 究 活 动 的 冲 动 与 激情 还 给  学生 , 为学 生提 供 了丰 富 的 思 维 空 间 和展 示 平 台 , 努 
力遵循 知 识与 能力并 重 、 思想 与方 法 交融 的多 维 目标 

部 分 的点 的坐 标 代人 直 线 方 程 所 得 到 的 不 等 式 是 
样的, 因此 , 取一个 点 就行 . 当直 线 不过 原 点 时取 原 



的有机 统 一 , 使 课堂灵 动 、 有效 、 充 满生命 活 力.  

点、 当直线 过原 点 时取坐 标轴 上 的点计算 简 单些 .   教师 : 好, 突破 了技 术难 关 !大 家验算 一 下 , 这 个  方法 管不 管用 , 谁 能概括 一 下?   学生 4 : 直 线 确 定 区域 边 界 , 特 殊 点 确 定 区域 方  位, 有等号 时直 线 画成实 线, 没 有 等 号 时 直 线 画 成 
虚线 .  

2 上黑板演练 , 暴 露 思 维 过 程 
黑板 是 好 的媒 体 , 可 以有效 地展 示 思 维 过 程 , 方  便 知识再 现 , 为互 动 、 启 发式 教学 提供 支持.  

案例 2 若 正实 数 z、 . ) , 满足 . z + =1 , 求  + 
的最小 值.  

这 是人教 A版 《 数学 5 》 “ 二 元一 次 不等 式 ( 组) 与 
平 面 区域” 的一 个 教 学 片 断. 教 师从 一 元 一 次 不 等 式  表示 数 轴上 的一个 区间 出发 , 用 具体 例 子说 明平 面 上 


教师 : 这 是一 个 “ 条 件最 值 ” 问题 , 想 听 昕 大 家 的  声音, 不 管 是漂 亮 的或 笨 拙 的方 法 , 还是 成 熟 的或 不 
成 熟 的想法 , 都 给予亮 相机 会.  
学 生 A 1+ 4

条 直 线把平 面上 的点 分 成 “ 符号” 不 同 的 两 部 分 引 

入课 题 , 如 何 画 出 一 元 二 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 
呢?教 师没 有进 行 示 范 , 而 是 还黑 板 与 时 空 给 学 生 ,   让 学生 动手 画 图 、 进行 试 验 , 依 照 自己的经 验 , 进行 归 

Z  V  \ (   z 1    V - 4 4 v   /   ( z +   ) 一+ y z  V + 4 v x  
v  

纳 总结 . 开 始没 能 上 黑 板 的 , 可 以补 充 、 修改 , 不 论 对 
错, 用 不 同颜色 的粉 笔 加 以区 分 , 动 态 体 现 各 人 的理  解. 没 上黑 板 的 , 还 可 以 口头 表述 , 纸上画 , 结 合 画 图 

≥ 5 + 2 √   ? x 4 v 一 9 ,   当 且 仅 当 詈 : = =  , 即 正 数   一   1 ,   一 号 时 有 最 小  
值 9 .  

实践 , 所 思所想 的都 可 以讲 , 以黑 板 上 画 的 、 写 的 为 主  要线 索 , 全员参 与 , 不 到十分 钟 , 学生 便依 托 自己的体 

学 生 B :   Z  V + 专  Z 一    — +   1 Z   一 X   1   — Z   J   一…  

。  

教   时   论 教谈 学

。 



 

2 0 1 1年 第 7 期 (上 甸 )  
中 学 数 学教 学 参 考 

学生C : 设X = C O S 。 0 , y = s i n   0 , 0 E( 0 , 詈1 , 则  

引领 中得 到 启 发 ; 有 的 学 生 经 过 一 番 尝 试 后 有 点 眉  目, 但 继续 下 去确 有 困 难 , 于 是 他 们 保 留着 思 维 的 痕  迹, 为 自己 、 为 同伴 留下攀登 的“ 脚 手架 ” .   先 贤 孔子 的教 学 信 条 是 “ 不愤不启 、 不悱不 发” ,  

丢 Z + 。     Y =   C O S   2   0 +   。   s i n   2   0 一…  
教师 : 学生 A 不 错 , 巧用 “ 1 ” 的代 换 , 没 有条件 ,   创 造 性 地使 用 基本 不等 式 的条 件 , 使 问题 得 到 圆 满解  决. 学 生 B也不 错 , 利用条件进行“ 消元” , 消 去 了 Y,   像断臂“ 维 纳斯 ” 那样 , 给人 以“ 残缺” 美, 也 为 我 们 留  下 了思 维空 间 , 谁 能续上 她 的思 维 ?  

其 中“ 愤” 的意 思是 “ 不 到他 努 力想 弄 明 白但 仍 然想 不 
透 的程 度 不要 去开 导他 ” , “ 悱” 的 意思 是 “ 不 到 他 心里 

明 白却 不 能完 善 表 达 出 来 的 程 度 不 要 去 启 发 他 ” . 案  例 2中 , 学生 B和学生 C能够想到“ 消元 ” “ 换元” 就  已经 了不起 了 , 为 同学 留下 了思 考 线 索 , 也 给 教 师 留  明白, 其 他 同 学 也 想 知 道 这 条 路 能 不 能 走 下 去 ?这 
时, 启发 的时机 成熟 了 , 教 师 的点 评 、 暗示 就 能 够 助他 

学 生 D :   + 专 V  \ 一 (   +   l — Z ) , [ 一 z   + ( 1 一 z ) ] 一   一 5   下 了“ 启发点” 、 教 学 空 间. 当然 不 只 是 他 们 两 个 想 弄 

+  +  ≥ 5 + 2 √  ?  
有 最 小值 9 .  

而上 , 取 得 出乎 意料 的效 果.   当 且 仅 当   :   , 即 正 数   一 号 ,   —   2 时   们 拾级 可是 , 在 当前 的数 学 教 学 实 践 中 , 许 多教 师 还 是  将“ 已之 所 欲” 强 加 给学 生 , 造 成 学 生思 维 脱 节 , “ 雾 里  看花 ” , 不 知 所 云. 案例中, 如 果 教 师不 顾 学 生实 际 , 讲  解这 些 方法 或是 更 多解 法 , 那 么 学 生 可能 因为不 清 楚  教 师 的思维 起点 而 被动 接受 , 有 的学生 还 会 因 为知 识  储备 不 足 而 不 知 道 教 师 讲 什 么 , 其 效 果 就 可 想 而 知 
了. 我们 主 张“ 一 题 多解 ” , 那 是 基 于学 生 的 思维 起 点 、  

学生 E: 设 1 +3 z—f , 则 £ >1 , 且  +  一 
+  4  
  .

1 +3 x  

9  

9  

一 而   丽
最 小值 9 .  

 

: = : 9 , 当 且仅当   一 ÷, 即 正数f 一 2 , z 一寺, 1     一 号 9 时有  
教师 : 好, 可 见“ 残缺” 也是 美 !学 生 D 从 学 生 A 

“ 跳 一跳 够得 着 ” 、 水 到渠 成 的 , 而不 是 想 当然 、 超 出学 
生 现实水 平 的.  

那 里得 到 启迪 , 学 生 E则 抓 住 “ 真分 式 ” 特点 , 通 过 换  元法 , 局部 运 用基 本不 等式 的条 件 , “ 柳 暗 花 明” , 使 问  题 得 到解决 . 谁 能 继续 学生 C的思 维 ?  

实践 中我们 感 到 : 黑板 能够 保 留板 书 , 方便 再 现 ,   这 比信 息技术 具 有 优 势. 信息技术传输速度快 , 往 往 
在学 生还 没有 缓过 神 来就 切 换 到下 一 个环 节 , 难 怪 有 

学 生 F :  + . z  号 一 — C O  + S    S 1   n   一 c — o   s z   c O o + s     s i n z 0
+  十 ——— ? s i n     ‘ 6 『   一
 

人说 “ 机 灌 比人灌 更 可怕 ” . 并 且 当要 回顾 前 面某 个 片 
断时 还要 进行 链 接 , 知识再现不够方便. 为 了发 挥 黑  板作 用 , 宜将 黑板 板 书进 行规 划 . 问题 提 出后 , 除 要 规 

=   b  +   OS + 面 4 c o s Z 0≥ b 十  C   6 『  十 — 
s l n ‘ 6 I  

划学 生 的板 书位 置 外 , 还 要 要 求 学 生 认 真 书写 , 保 留 
演算 过程 , 无论 是 对还 是错 , 都 没 有关 系 , 学生 留下 的  东西 , 有 时是 重 要 的 教 学 资 源. 教 师 可 以从 中反 馈 信 

+ 2 √  ?  
3, 一

发 现 学生 理解 上 的 偏 差 , 进行 校正、 纠偏 ; 可 以 从  当 且 仅 当 兰   一 笔  , 即 s i n 2   = = :   2 , 即 z 一 号 ,   息, 中发 现启 发 的起点 , 进 行 点拨 ; 可 以 以此 为 “ 种子” , 生  詈 时 有 最 小 值 9 .   成教 学 问题 、 提炼 思想 方法 、 选 择 后 继教 学 材 料 , 从 而 

教师 : 很好 , 真是 殊 途 同 归 呀 !我 为 有 你 们 这 些  又聪 明 、 又肯 钻 的学 生 而 感 到 骄 傲 , 可 能 还 有 不 同 的  方法 , 请 大家 课外 继 续 你们 的研究 .  

使教 学更 加 自然 、 流 畅.  

3 上黑板讲评 , 促 进多样学 习 
黑 板 是 好 的介 质 , 约定 俗 成 , 可 以 形 成 特有 的黑  板 文化 , 促 进 多样性 学 习 , 增 强 理 智 和 文 明 的 精 神 
力 量.  

这是 人 教 A 版 《 数学 5 》 的“ 基 本不 等 式 : 、 / /  
 ̄a - l - b , , 第 三节 课 的一个 教 学片 断 问题 给 出后 , 教 师 


并 没有 急 于去 “ 推 销 ”自己的 一 题 多 解 , 而是还黑板 、   时空 给学 生 , 让 学生 去探 索 、 尝试 . 尽 管 有 的 学 生 经过 



案例 3   已知 等 差 数 列 { n   } 的通 项 公 式 a  一2 n  

9 ,  E - N  , 你 可 以提 出什 么 问题 ?   教师 : 我们 学 习 了等 差 数 列 前 7 " / 项和, 作 为 习题 

番 尝试 后仍 然不 得要 领 , 但 是 他们 从 黑 板 E同伴 的 

论 教 谈 学   激学时空  
. 

2 0 1 1年 第7期 (上 旬 )   ”   中学 最 学簸 学 参 考  



 

,   .

课, 我 给大家 一个 背景 , 请 你命 题 、 提问, 供 同学 选用 .   学 生在 自己的稿 纸上命 题 、 提 问( 约1 0分 钟) .   教师 : 请 大 家 按 学 习小 组 整 理 , 利 用 教 室 前后 黑 

价等 一 系列 思 维 活 动. 学 生 课 堂 的表 现 出乎 我 们 意 
料, 他们 既 当老师又 做学 生 , 因角 色转 换 而 有新 鲜感 ;   题 目是 自己和 同学命 制 的 , 亲切清晰, 解 题 热情 洋 溢 ;   通过 解题 比赛 , 不 但 评 出了 “ 优 秀题 目” , 而且评 出了   解题 优胜 者 ; 既有独 立 思考 , 又有 合 作研 究 , 课 堂具 有  多样 性 和生成 性 , 给学 生 、 教 师都 留有较 大 的创 新 、 思 
维 空 间.  

板, 每个 学 习小组 提供 六道 题 目参赛 .  
每个小 组上 去两 名学 生 , 在 规 定 的 区域 里抄 写题  目( 约 1 O分 钟 ) .  

教师 : 不错 !尽 管 有 类 似 的题 目, 但 是 八 个 学 习 
小 组 给 出的 4 8道题 目基 本覆 盖 了等 差数 列 课本 涉及  的基 本问题 . 请 各 小 组选 派 一 名代 表 , 简 述 你 们 小 组 
命 题 的基本 思 路.  

常 言道 : “ 授 人 以 鱼 不 如授 人 以渔 ” , 最 近有 学 者 
又提 出 “ 授 人 以渔不如 授人 以渔 场” 。 “ 鱼” 是知 识 ;  

“ 渔” 即方法 ; “ 渔 场” 就 是学 习环 境 . 在 一定 的场境 中 ,   好 的方 法发挥 作 用 , 才 能 收获成 功. 案例 3中 , 教 师还  黑板、 还命题 权 给 学 生 , 学生参与命题 , 参 与解 题 , 参 
与点评 , 既是 领 队 , 又是运动员 , 还是裁判员 , 既有 命 

第 一学 习小组 : 我 们按 照求 基 本量 、 求 通项 公式 、  
求 和 设置 问题 .  

第二 学 习 小 组 : 我 们 以 原 数列 为 基 础 , 采 取 抽 取 

子数 列 、 取 绝对 值 、 求和、 求差等方式构造新数列, 提 
出 问题.  

题 时 立意 的体 验 , 又要 揣 摩他人 设 置 问题 意 图 的解 题  经历 , 独立 思 考 与 合 作 研 究 并 举 , 多种思想 沟通、 交  锋, 催 生 了数学 能力 , 提 升 了数 学 学 习观念 .   实践 中, 我 们 可 将 教 室 前 后 两 块 大 黑 板 划 分 为  1 2块 , 与信 息 技 术 平 台结 合 起 来 , 统一规 划, 合 理 利 
用. 黑 板 上板 书典 型题 的解 题 过 程 , 提炼 知识 、 结论、   方法 和 思想 , 供学生演练 、 尝试 、 展示, 为课堂“ 再现”   提供 支撑 . 而 问题情 境 、 视频 、 动 画 等可 视性 材 料则 运 

第 三学 习小 组 : 我 们 按 照 要 用 到 的解 题 方 法 , 如  函数 方法 、 裂 项相 消求 和方 法等 设置题 目, 提 出问题 .  
教师: 好 !知道 设 置 问 题 的基 本 方 式 , 就 一 定 能 

够 把题 目解 好. 请 大 家推 出八道 具有 代表性 的题 目.  
学 生发 言 、 点评 , 提 出选题 的理 由.  

教师 : 好 !各个 小 组 都 有 一 道 被 选 中 的 题 目. 下  面以其 他组 的 七道题 目为赛题 , 进 行解题 比赛 .   学 生独 立解 题 ( 约1 2分钟 ) .  

用 信息 技术 手段 , 增 强 学生 的感 官 、 情趣 和 思 维. 对于 
课 堂“ 意外” 或 一 时解决 不 了的 问题 , 书写 在师 生 约定 

的板面 上 , 以特有 的黑 板 文化 , 激发 学 生课 后 研讨 , 扩  大课 堂 成果 , 启 动研究 性 学习 , 促进 多 样性 学 习 , 追求 
效 益最 大化 .  

教师 : 很好 , 参赛 的热 情 很 高 !请 各 小 组 派 出 代 
表, 呈 现被 选 中题 目的简 解 , 分 小组 交替 阅卷 、 记分 .  

学生 分工 协作 , 完成 任务 .  
教师 : 这节课过得真快呀, 只 剩 3分 钟 就 要 下 课  了 !请 大家谈 点体 会.   学生 a : 以往 解 题 , 没 有 考 虑 老 师 设 置 题 目的 意  图, 熟悉 的 就 解 , 不 熟 的就 丢 , 有 时 题 目都 没 有 看 清  楚, 也没 有关 心解 的对 与错 , 今 天受 到 了很好 的教 育 .   学生 b : 通 过 今 天 的学 习 , 知 道 了命 题 的 基 本 途  径, 对 于破解 难 题很有 帮 助.  
学生 c : 以前 感 到命 题 很 神 秘 , 通 过 今 天 的学 习 ,  

4 结 束 语 
山东省 杜 郎 口中学各 班教 室 的 黑板 特别 多 , 经 过  杜郎 口中学教 师 的研 究 、 开发, 黑 板 成 为 学 生 用 笔 来 

表达 自己学 习成果 的平 台 , 是 建立 自我 反馈 和 知识 训  练 的阵地 , 是产 生 自信 、 增 强 学 习能 力 的神 板 , 演绎 着  杜 郎 口中学 的神 话 . 在 新 课 程 推 进 的过 程 中 , 我们 主  张还 黑板 给学 生 , 不 是 要 模 仿 杜 郎 口中学 的做 法 , 也  不 是夸 大黑板 的作用 , 而是 要 寻找 一个 高 效课 堂 的突  破 口, 并 通过 还黑 板 给学生 , 解放 学 生 的“ 手脚 ” , 改 变 

受 到 了启发 , 学 习 的过 程 也 是 提 出 问题 、 不 断解 决 问 
题 的过 程 .  

教师 : 通过 今 天 的学 习 大 家 收获 颇 多 , 由于 时 间 
关系 , 作 为作业 , 请 大家 以今 天 的课 堂为 背景 , 题 目自  
拟, 写一 篇小 论文 .  

学 生 的学 习方式 , 转 变 学 生 的学 习 观念 , 使 传 统 工 具 
与现代 技术 整合 起来 , 演绎 精 彩 , 解放 人 的潜 在 能 力 ,   挖掘人 的创造 能力 , 促进 人 的全 面发展 .  
参 考 文 献 

这是 人教 A版 《 必修 5 》 “ 等 差 数列 的前  项 和”   后 习题 课 的教学 过 程 简 录. 教 师还 黑 板 、 还 命 题 权 给  学生, 让 学生 参 与 命 题 、 参与解题 、 参与评判、 参 与 评 

1 罗增儒 . 教学效 能 的故事 , 高 效课 堂 的特征[ J ] . 中 学 数 学 
教学参 考( 上旬 ) , 2 0 1 1 , 1 ~3  

时   论  字 



 

虻…

。 

2 0 1 1年 第7期 (上 甸 )  
中学 瓠 学教 学 参 考 

此 定 理 能 不 证 吗 
要 舍 得 在 理解 教材 上 下 功 夫 , 唯有 如 此 , 才 能 教 给 学 生 清 楚 、 自 然 明  了 的数 学 知识 .  

阮伟 强 ( 浙 江 省绍 兴 市高 级 中学 )   课 标版 则 直 接给 出证 明 : 如图 2 , 假定 6与 口不平  行, 且6 na 一0, 6   是经 过 点 0 与直 线 口平 行 的直 线 .   直线 6与 6   确 定 平 面  , 设 a   n, 8 -c , 则 0∈c . 因为 口   _ l _ 口 , 6 - l - d , 所以 口 上c , b  ̄c , 又因为 6   ∥n , 所以 6   j _ f .   这样 在 平 面 p内 , 经过 直线 c 上 同 一 点 0 有 两条 直线 

1 问 题 的 提 出 
人 教 A 版《 数学 2 》 “ 立 体几 何 初 步” 中, 空 间 中线  面平 行 、 垂 直 的有关 性 质与判 定 , “ 课标” 的要 求 是 : 通  过 直 观感 知 、 操作 确 认 , 归 纳 出相 应 的判 定 定 理 ; 通 过 

直 观感知 、 操作 确 认 , 归 纳 出相 应 的性 质定 理 , 并 加 以  证 明. 而 在 4个性 质定理 的证 明中 , 尤 以线 面垂 直性 质 
定 理 的证 明为最 难 ( 以下简 称定 理 ) . 与此 相反 的是 , 无  论是 借实 物验证 , 还是从 长方 体 中直 观感 知 , 定 理 的结  论却 特别 容 易接 受 与 理解 . 于是 , 在 实 际教 学 中 , 有 教  师采 取 了下列对 策 : 通过 “ 直 观感 知 、 操 作确 认 ” 来得 到  定理 而不加 以证 明. 那么, 这种做 法是否 妥 当呢?  

6、 6   与 c垂 直 , 显 然不 可 能. 因此 6 ∥n . 接着 , 在 教 材  第7 2页 出现这 样 一 句 话 : “ 我们知道 , 过 一 点 只 能 作 


条 直 线 与 已知 平 面垂 直. ”   从课 标 版对 定理 的证 明过程 不 难 看 出 : 证 明 了定 

理也 就 证 明 了性 质 , 因此 , 教材采用 “ 留 自” 的 方 

式—— “ 我们 知 道 … …” 让 学 生 自己去独 立 思考 , 发现  性质. 而 大纲 版 由性 质 来 论证 定 理 , 虽 降 低 了证 明 的  难度( 更 利 于学 生 接 受 ) , 但 从 知 识 的发 生 过 程 来 看 ,   由于 对性 质不 加 证 明 , 不得不说是个缺憾 , 也 有 失 严  谨. 由此 可见 , 课 标版 中对 定 理与 性 质 的处 理 , 呈 现 以  下 几个 特 点 : ( 1 ) 完善 大纲 版教 材 编 写 时 的缺 陷 , 即对  性 质 未加 以证 明 , 从 而 使 教 材 编 写 更 加 规 范 与科 学 ,   并 与 立体 几何 初 步 中“ 对 性 质 定 理 都 加 以 逻 辑 证 明”  

2 从 新旧教材的“ 变 化” 中去追 问“ 为什 么”  
要 回答 上 述 问题 , 有必要先去弄清 : 新 旧教 材 对 

定理 的证 明究 竟 发 生 了什 么变 化 ? 而 这 些 变 化 又 基 
于“ 为什 么 ” ?只有这样 , 才 能 找 到 问题 的答 案. 而 说  到定 理 的证 明 , 还得提及垂线的唯一性性质 ( 以下 简  称性质) : 过 空 间任 意一 点 , 有 且 只 有 一条 直线 和 已知  平 面垂 直. 大纲 版对 定理 的证 明 , 采用的是: 先 直 接 给  出性 质 ( 不 加 以证 明) , 再 依据 性 质 , 用 反证 法 证 明 : 如 
图 1 , 假 定 6不平 行于 口 . 设 6 na 一0, 6   是 经过 点 0 与 

的处 理保 持 一致 ; ( 2 ) 通 过 留 白“ 我 们 知 道 …… ” 让 学 
生 发 现性 质 , 这 可谓 是 新 教 材 编 写 的一 个 “ 亮 点” , 同  样, 教 材 中对公 理 2的三个 推论 也 是 用 同样 的方 式 处 

直线 a平 行 的直 线 . ‘ . ‘ n ∥6   , n _ I _ a , . ‘ . 6   上a , 即经 过 同 


点 0 的两 条直 线 6 、 6   都垂直于平面 a , 而 这 是 不 可 

理的 , 目的是 既 减 轻学 生记 忆 过 多 性 质 的负 担 , 又 给  学 生独 立 探索 、 思 考 留下 了一定 的空 间 ; ( 3 ) 教 材 中多  次 用“ 旁注 ” 的形式 , 强 调空 间 问题 平 面 化这 一 核 心 的  思 想方 法 , 定理 的证 明再 次 印 证 了 它 的 重 要 性 . 如 此  看来 , 定理 必须 证 1  

能 的. 因此 , 6 ∥口 .  

3 突破 定理证明的难点 
然而 , 比较 后 我 们 可 以清 楚 地 看 出 , 关 于定 理 的  证明, 课 标版 的形 式 化 要 求 远 高 于 大 纲版 . 除 了所 用  的反 证 法为 学 生 不太 熟 悉 外 , 还表现在 : 一 是 辅 助 平 
面  的构 造 和 运 用 公理 3作 出两 平 面 的 交 线 c , 形 式 

论 教 谈 学   教学 时空  
1 2   0 1 中
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1  

毒  ’  

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化 要求 较高 ; 二 是得 出 的“ 不可能” 不易想到 , 平 面 内 
垂 线 的唯一性 性 质虽 简单 , 但 由于 在初 中的 应用 并不  多, 学 生不 熟悉 . 那么 , 如何帮助学生 ( 特 别 是 对 那 些  基 础较 差 的普 通 班 学 生 来 说 ) 突 破 定 理 证 明 的难 点  呢? 为此 , 对定 理 的证 明 做 了下 列 改 进 : 假 定 6与 n  
不平行 , 设 口 上a , 垂 足 为点 A, 6 上口 , 垂 足 为 点 B. ( 1 )  

( 2 ) 从“ 课标” 对 反 证 法 的 要求 来 看 , 要 让 绝 大 部  分学 生掌 握它 , 似乎 并不 现实 . 但 可 以做 的是 : 在 不 刻  意 追求形 式化 论证 的基 础上 , 突 出让 学 生理 解 反证 法 
的思维方 式 , 即蕴 涵 其 中的 “ 说理” 思想 , 这 对 学 生 理 

性 思维 的培养 是 有 帮 助 且 必需 的. 因此 , 在 立 体 几 何  初 步 的教学 中, 应 不失 时机 地 向学 生渗 透反 证 法 的思  想 方法 . 如 可引 导学 生 由定 理 来 证 明性 质 : 假 定 过 点 
P有 两 条 直 线 与 平 面 a垂 直 , 则 两 直 线平 行 , 这 是 不 

若 6与 口 相 交 于 点 P, 则 在 △PAB 中 有  P AB   PB A一9 0 。 , 这是 不可 能 的 ; ( 2 ) 若 6与 n异 面 , 可 
一  

在 6上任 取 异于 点 B 的一 点 c, 过 点 C作 直 线 C / / 口,  

则c 上a , 同上 可得不 可 能. 因此 b / / 口 . 如 此改 变 后 , 定 
理 的整个 论证 过 程变 得 自然 、 明 了. 在 充 分 发 挥 几 何 

可能 的. 再 如教 材第 7 3页练 习第 1题 中需 判 断命 题 :   如果平 面 a不垂 直 于平 面 , 那 么平 面 a内一 定不 存  在 直线 垂直 于平 面 J 9 . 虽 然 说 学 生从 直 观 能 迅 速判 断  是真命 题 , 但 如果 配 之 以 下 面 的说 理 , 无 疑 能更 好 地  理解命 题 : 假定 平 面 a内存 在一 条直线 垂 直于平 面 口 ,   则两 个平 面垂 直 , 这 是不 可能 的.  

直 观的作 用 的 同时 , 既 降低 了形 式 化 的要 求 , 也 兼 顾  了渗 透反 证法 的思 维方 式. 但是 , 在 实 际教 学 时 , 学 生  却不 是这 样想 的. 一 开始 , 他 们认 为 证 明很 简单 : 如 图 

3 , 连结 AB, 由题设 得 n 上 AB, 6 上AB, 故n ∥6 , 但 马  上有 学 生 发 现 不 对 , 错 在 默 认 了 
直线 。 、 b在 同一 平 面 内 , 如果 口 、 b   不在同一平 面 内, 是 得 不 出结 论 

5 从 习题的不 同处理中感悟课程的设计理念 
在空 间 , 有这 样 一 个 真命 题 : 垂 直 于 同一 平 面 的  两 个平 面 的交线 与这个 平 面垂 直. 教 材 对其 做 了这 样  的处理 , 先是 设置 在第 7 3页练 习第 1 题“ 下列 命题 中 

的. 这样 , 学生想 到只有 说明 n 、 6   不 在 同 一 平 面 内 是 不 可 能 的. 接 

图3  

错 误 的是 … …” 中 的选 项 D, 后 是设 置在 习题 2 . 3 ( A   组) 的习题 5 : 已知 平 面 a 、  、 y满 足 a 上y ,  上 y , a   n   —z , 求证 : z 上y . 前者 突出 的是让学 生从教 室的“ 墙  角” , 或 长方 体 中“ 直观 感知 、 操作 确 认 ” 它 是一 个 真命  题, 后 者则 要求 学生综 合运 用线 面垂 直 的判定 与 性质  来 证 明它. 而此 命 题 的证 明 , 除 了让 学 生 掌 握 下 面 的  证法 1 外, 教 师还 应积 极引 导学 生去探 索 、 研究证 法 2   和证 法 3 . 目的是 渗 透 定 理 和 性 质 的应 用 , 尤 其 是 证  法 3 , 更 能让 学 生 适 度 了解 “ 同一 法 ” 的证 明思 想 . 这 
样, 既从一 道 习题 的不 同设 置 中去感 悟课 程 的设 计 理 

着, 在 教师 的 引导下 , 给 出了下 列 证 明 : 假设直线 n 、 6   不 在 同一平 面 内 , 则 在直 线 6上 可取异 于点 B 的一 点  C, 过 点 C作 直线 C ∥a , 则c 上a , 这 样在 6 、 c确定 的 平 

面 内同上 可 得 b / / c , 而 这 是 不可 能 的 , 故 直线 n 、 b必 
在 同一 平 面 内 , 从而 定理 得证 .  

4 两 个认 识 
为 什 么 有 些 教 师 会 有 定 理 可 以 不 证 的想 法 呢 ?   究 其 原 因有 二 : 一是 对立 体几 何初 步 中 , 通过 “ 直观 感  知、 操 作确 认 ” 来得 出判 定定 理 的设 计理 念 , 存 在不 恰  当 的理解 , 以致 产 生 性 质 定 理 也 可 以 同样 处 理 的 曲  解; 二是认 为 在《 选修 1 》 和《 选修 2 》 中, 还要 专 门学 习  反证 法 , 这里 就不 用证 了. 对此 , 笔 者谈 谈 自己 的两个 
认识 .  

念, 也通 过 习题 的“ 放 大” 去挖掘其价值和作用, 这 才  是“ 用教 材教 ” 之根 本.  
证法 1 : 设a ny —m,  ny — , 在平 面 ) , 内任取 一 

点 P, 过 点 P作 P A上m, 垂 足为点 A, P B _ l _ n , 垂 足为  点 B. 。 . ‘ 口 上y ,   上) , , . ’ . P A_ l _ 口 , P B上 , . ‘ . P A上 Z , P 1 3  
上Z , . 。 . Z 上y .  

( 1 ) 新课 程 中的立 体几 何 的结 构体 系有 了重 大 改  革, 目的是适 当减 轻几 何 论 证 的难 度 , 降 低 立 体 几何  学 习入 门的门 槛 , 提 高 学 生 学 习 立体 几 何 的兴 趣 . 但 

证法 2 : 分别在 口 ,   内作 口上  , 6 上 . ‘ . 。 a上y ,  

上y , . ‘ . a _ L y , 6 上y , .   . 口 / / 6 . 又‘ . ‘ 口   , 6 cp , . ’ . 口 ∥ ,  


如 果 因这个 变化 , 就认 为 “ 课标 ” 降低 了对 推 理论 证 的  要求 , 是不 够全 面 的 , 定 理证 明 的变 化可 验证 这 一 点.   只是 与 旧教材 相 比 , “ 课 标” 对 推 理论 证 的要 求不 是 一  步到 位 , 而是 分 阶段 、 分 层次 、 多 角度 的. 另外 , 在立 体 
几何 初 步 中 , 由“ 直观感知、 操 作 确认 ” 来 获 取 相 关 的  判定 定理 , 虽 不要 求证 明 , 但 也不 能 仅停 留在 观察 、 实 

. . 

∥z , . 。 . z - L y .   证法 3 : 设 P是 z上 一 点 , 分别在 a 、  内, 过点 P  

作n j _ I n , 6 上n . 。 . 。 a 上y ,   上y , . ‘ . n 上y , 6 j _ y , . ‘ . n 、 b重 

合, 即为 直线 l , 故z 上y .  

6 反 思 与感 悟 
如何 准确 地把 握新 课程 的设 计 理 念 , 并 用 其 引领  我 们 的教 学 实 践 , 这 是 每 位 一 线 教 师 必 须 正 视 的 问  题. 笔 者认 为 , 领 悟 新课 程 理 念 的 一个 切 实 可行 且 有 

验操 作 等层 面上 , 其 间应 加 大 “ 说理” 的成分 , 让 学 生  更 信 服. 若有 学 生 表 现 出想 “ 证明” 的热 情 与 欲 望 , 教  师 更应 保护 与 支持 , 并 进 行必要 的说 明与 引导 .  

教 。 学 时   论 激谈 学



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2 0 1 1年 第7期 (上 甸 )  
中学 文 学教 学 参 考 

圈 圈 园 圃 田 国 画 田  豳 圈 圈  圈 圈 圜 
“ 三 图 ” 的 学 习 ,要 注 意 阶 段 性 和 整 体 性 目标 的 关 系 ,要 落 实 “ 知 识  与技 能 ”意 义 上 的 理 解 ,更 要 在 “ 过 程 与 方 法 ” 的体 验 中有 效 促 进 空 间 想  象 能力 .  

方厚 良   罗   灿( 湖南 省株 洲 县第 五 中学 )  

“ 三 图” 指 的是 空 间几何 体 的 三视 图 、 直 观 图 和展  开图, 是《 数学 2 》 “ 立体几何 初步” 的 内容 . 课 标 和 教 
材对 “ 三 图” 的教 学 要 求 是 : 能  出简 单 空 间 图形 ( 长 

体 和正 方体 这些 具体 几 何体 学 习 时有所 示 例 ; “ 三 图”  
的共 同点是 在平 面上 表 示空 间 图形 ; 三视 图 从 细节 上 

刻 画 了空 间几何 体 的结 构 , 由它 可 得 到一 个 精确 的空 

方体 、 球、 圆柱 、 圆锥 、 棱柱 等的简易组合) 的三视图 ;  
通过 观 察用 两 种 方 法 ( 平 行 投 影 与 中心 投 影 ) 画 出三 

间 几何 体 ; 直观 图是 对 空 间 几 何 体 的整 体 刻 画 , 由它 
可 想象 实物 的 形 象 ; 展 开 图折 叠 起 来 就 成 为几 何 体 ,   可 用于模 型 制作 .  
1 . 1   理 解 一个 关键 概念— — “ 投 影”  

视 图与 直观 图 , 了解 空 间 图形 的不 同表 示 ; 能 识 别 三 

视 图所 表示 的立 体模 型 , 会使 用 材料 ( 如纸 板 ) 制 作 模 
型, 会 用 斜 二侧 法 画 出空 间 图形 的直 观 图 ; 完成实 习  

投影( 包括其下位概念 : 平行投影 、 中 心投 影 、 斜  投影 、 正 投影 、 投 影线 、 投 影面 、 投 影 图等 ) 是“ 三 图” 学  习 的基础 : 三 视 图是用 物 体 的三 个 正投 影来 表 现 空 间  几 何 体 的方 法 , 斜 二侧 画法是 一 种特 殊 的平 行 投 影 画 

作业 , 用 三视 图和 直 观 图表 示 现 实 世 界 中 的物 体 . 对 
展开 图 没做 具体 要 求 , 只是在表面积计算时 , 教 材 给 
予文 字 与 图示说 明 , 指 出是 空间 图形 问 题转 化 为 平 面 

图形 问题 的一种 方法 . 笔 者从 教 学实 践 观察 和学 习 者  的角 度 , 对“ 三 图” 的教学 做具 体 的分 析 并提 出 几 点 操 
作 建议 .  

法( 不要 求学 生 了解 , 可参看文 [ 1 ] ) . 对于投影 , 学 生 
具 有从 E l 常 生活得 到 的直 接经 验 , 易 于 接受 但 并 不严 
谨. 教材 的呈 现 用 的是 描 述性 语 言 , 这 主 要 是 现 行 课 

1 从“ 双基” 层 面看“ 三图”  
三视 图是 义 务教 育 阶段相 关 内容 的巩 固和提 高 ,   直 观 图 画法 ( 斜 二 侧 画法 ) 是高 中内容 , 展 开 图在 长 方 
较 强操 作 性 的途 径是 : 在新 旧教材 的 变化 比较 中去感  悟. 具 体就 是 以新 旧教 材 中都 有 的 内容 为 “ 抓手” , 按 

标 与教材 的要 求 决 定 的 : 从 整体到局部 , 从 具 体 到抽  象, 在 没有 定 义 、 定 理 等前 提下 , 不 能 建 立在 严 格 的逻  辑 推 理 的基础 上 , 只能 用 直 观感 知 、 操 作 确 认 的方 式  学 习. 阅读 教材 , 笔 者 觉得要 理 解 好投 影 这 一概 念 , 关 

“ 干什 么” .文E 1 ] 指出: “ ‘ 教之道在于‘ 度’ , 学 之道 在 
于‘ 悟 ”. 在 课 标教 材 实验过 程 中 , 许 多教 师 觉 得这 个  ‘ 度’ 不 好 把握 . 笔者 认 为这 主要 是 对课 标 教 材 的研 读 

每章、 每单 元 、 每一 课 时 , 就 知识 的结 构体 系 、 内容 、 处  理 方式 、 呈 现形 式 等 , 列 出发 生 变 化 的 明细 表 . 然后 ,   围绕这 些 变化 提 出若 干 问题 , 再 在 问题 的驱 动 下 , 去  阅读 新 课程 标 准 及 其 解 读 , 接着 , 通 过 个 人 或 备 课 组 
的研 讨 、 辨析、 反思 , 明 白发 生这 些 变化 是 基 于 怎样 的 

还 不够 深 入所 致 , 不领悟教材就不可能把握好 ‘ 度’ .  
课本 , 一科 之本 , 课 堂教 学应 ‘ 以课 本 为本 ’ . ” 因此 , 教 

师 要彻 底抛 弃 教 材 简 单 、 不 值 得 研 究 的错 误 认 识 , 相  反, 要舍 得 在理 解教 材上 下 功夫 , 唯有 如此 , 才 能教 给 

设计 理念 , 并 以此 为切人 点 , 制定 相 应 的教 学 对 策 , 不 
断 完善 、 丰 富课 堂 的教学 设计 . 总之 , 面 对新 教 材 的变  化, 教 师应 少一 点 抱 怨 、 质疑, 多一点思考与探 索, 在 

学 生清 楚 、 自然 明 了的数 学知 识 .  
参 考 文 献 

1 章 建跃 . 中学 数 学 课 改 的 十 大 论 题 ( 续 完) E J ] . 中 学 数 学 教 
学 参 考 (匕 旬) , 2 0 1 0 , 5  

变化 中提 出“ 为什么” , 再去寻求“ 是 什 么” , 进 而 明 确 

论 教 谈 学  教学时空  


2 0 1 1年 第 7 明 【上 甸 )   . .   中学 数 学擞 学 参考 
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键要 理解 和处 理好 如下 三层 关 系 : ( 1 ) 影 子 与视 图 . 从  影子 到视 图 , 是一 个将 物体 的物 理属 性 剥离 抽 象后 得  出几 何概 念 的过程 , “ 影 子” 是从 物理 光 学 的角 度 给 出  

出的要 求. 在纸 上 或 黑板 上 用 笔 作 三视 图、 直 观 图 和  展开 图 , 属 于传 统 意 义上 的作 图技 能 ; 让 学 生 拿 起 纸  板、 剪刀、 尺子等 工 具 制 作 几何 体 模 型可 视 为一 种 新 
的动手 实 践和技 能 . 从 现行 课 标 和 教 材 编 写 来 看 , 突 

的直观描 述 , 即投 影线 ( 光线 ) 照 射不 透 明物体 在其 后 
投 影面 ( 屏幕 ) 上 的 阴影 图形 , 理 解起 来 有 一定 的模 糊  性, 如文 E z - I 提 出的质 疑 ; 几何 学 习要 剥 去 物 理 属 性 ,   只研究 物体 形状 、 大 小和位 置关 系 , 它 需要 想 象 , 从几 
何 的角 度 就无所 谓 透 明不 透 明 , 相 反, 从某 种 意 义上 

出 了直 观 感 知 , 降 低 了 推 理 论 证. 这 种 制 作 模 型 的 
“ 新” 的技 能就更 显其 重要 性 : 模 型 制作 更 能激 发 学 生  数学 学 习和想 象 创作 的欲望 ; 在量、 裁、 剪、 折、 拼等 实 

践操作 、 尝试 探 索 活动 中, 学 生 自然 的 体 验 了“ 用 手 思  考” 给他们 带来的惊喜快 乐 , 知 识 与能力也 就是 水 到渠 
成 了. 反 观传统的数学课 堂 , 给学生 真正 意义 上 的手 脑 

讲, 要 用想 象去 “ 透视 ” 物体 , 如要“ 看见” 几何 体 内 部 
看 不见 的 部 分 ( 虚线表示) . ( 2 ) 规 则 与规 律. 为 了 直  观、 规 范 的表达 图形 , 对 三 视 图和 直 观 图给 出作 图 规 
则: 看 得见 的轮 廓 线 和 棱 用 实 线 表 示 , 不 能 看 见 的 轮 

合用 的机 会很 少 , 有识 之 士早 已指 出其带 来 的教 育 弊 
端一一 “ 眼高手低 ” , 因此 , 教师应该 重视制作模 型.  

廓线 和棱 用虚 线 表示 , 通 过 比较 概 括 , 得 出三 视 图 规  律: “ 长对 正 、 高平 齐 、 宽相等” . ( 3 ) 直 感 与 思 辨. 由于  没有 线面 、 面 面平行 和垂 直 的定 义 , 也 没 有 相关 定 理 ,  
这就 缺乏 推理 论证 的逻 辑基 础. 实质 上 投影 线 与投 影  面是 “ 线 面垂 直关 系” , 投影 面可 以理 解 为是 平行 移 动 

2 从能 力要求看“ 三图”  
立 体几 何初 步 对 学 生 主要 有 以下 四方 面 的能 力  要求 : 几 何 直观能 力 、 运用 图形 语言 进行 交 流 的能 力 、   空 间想 象能 力 与一定 的推理 论证 能力 .   几 何直 观能力 是 “ 三 图” 学 习 的基础 , 三 图的学 习   可促进 几何 直观 能力 的提 高 ; “ 三 图” 的规 范 、 正确 、 熟  练是 “ 运用 图形 语言 进行交 流 的能力 ” 的保 障 , 所 谓语 
言是 思维 的载体 , 对 几何来 说 , “ 图” 就 尤 为重 要 ; 空 间 

不 确定 的 , 实 则蕴 涵“ 面面平 行关 系 ” ; 点、 线、 面、 体 在  投 影面 上 的 投 影 图 都 可 归 结 为 “ 点 到 平 面 上 的 投 影  ( 或射影 ) ” . 故从 直 观 感 知 到 思辨 论 证 还有 一 个 较 长 
的过程 .  

附带提 及 , 关于“ 投影 ” 这 一概念 在 “ 平 面 向量 ” 一  章 还要 再次 接 触 , 即 向 量 在 另一 向量 上 的投 影 , 它 既 

想象 能力 是立 体几何 初 步教学 的重 点 , “ 三 图” 教 学 作 
为一个 阶段性 学习 自然要 承担 起 这个 任 务 , 直观 能 力 

不 是 向量也 不 是线 段 , 而 是 一个 实数 , 同 时具 有 几 何 
意义 , 学生 在理 解上 还会 遇上 较大 的 困难 .   1 . 2 确立 一 种 对应 观念 —— 几 何 体 与 “ 三 图” 的“ 一  对 多” 关 系 

更 多侧重 于整 体感 知 , 空间想 象 能力 不仅 有 整体 成 分  还要 深入 到一 些具 体 的细节 , 包 括大 小 与位 置 的关 系  等; 一定 的推 理论 证 能 力 的提 法 值 得 细 心 体会 , 这 里  有 一个 度 的 把 握 问题 , 课 标 与 教 材 没 有 给 出 明确 范 
畴, 需要 教师 加入 自己的个 人理解 . “ 三 图” 与“ 一定 的 

几何 体 与其“ 三图” 从对应角度来看 , 是一种“ 一 
对 多” 的关 系 , 教 学 中要 注 意 引导 学 生 得 出这 一 重 要 

推 理论 证能 力” 的关 系要精 心处 理 : 初学 阶段 , 要控 制  二 者 的综合 难度 , 不宜 用 到后 面平 行 、 垂 直 的相 关 知  识, 有 也 只能是 易 于 直 观感 知层 面 ; 完 成 立体 几 何 初 
步学 习后 , 可 以适 当进 行 综 合 , 可选 择 近 年相 关 典 型 

观念, 这 有助 于学 生形 成正确 、 完整 的空 间 观念 , 避 免  认识 上 的偏 差. 具体 分 析 这 种 对 应 关 系 , 有 以下 三 层 
意思 : ( 1 ) 由几何 体 的三视 图 、 直 观 图和 展 开 图可 以识 

别 空 间几何 体 , 即 由“ 三 图” 可确 定相 应 的几 何体 ; ( 2 )  


考题 分析探 讨 , 达到 既促进 学 生对“ 三 图” 理解 深 入 又  帮助 学生 能力 提升 的 目的 , 使学 生 思维 从 感性 的形象  思维 过渡 到理 性 的逻辑 思维 , 从“ 知 其然 ” ( 技能) 提 升  到“ 知其 所 以然” ( 能力) .  

个几 何体 可 以有 不 同 的三 视 图、 直 观 图和 展 开 图.   以三视 图为例 , 几何体 摆放 位置 不 动 , 变 换 观察 点 ( 如 

正面 的确定 ) 或 者 观察 点 不 变 而 改变 几 何 体 的摆 放 ,  
这两 种情况 都 会得 到不 同的 三视 图 ; ( 3 ) 三视 图 、 直 观 

图和展开 图之 间 也有 对 应关 系. 正 因为有 了几何 体 与 
其“ 三 图” 的“ 一 对 多” 的对应 关 系 , 才 可 实现 空 间几 何  体与平 面图形 的互 化 , 当然 由于不 是一 一对 应 , 就 需要  更深 入的灵活 观察 和思考 , 避免思 维的僵化 和定 势.  
1 . 3 重视 一种 “ 新” 的技 能— — 制作模 型 

3 “ 三 图” 教学具体建 议 
为 了更 好地 实现“ 三 图” 教学 的课程 目标 , 我们 在  以上对 双基 与能 力分 析 的基 础 上 , 特别 提 出 以下几 条  针对性 的教学 建议 , 供 大 家参考 .  
3 . 1 加 强变式 训练 。 变 中体悟 不变 

“ 会使 用材 料 ( 如纸板) 制作模型” 是 课 标 明确 提 

变式 训练 是我 国“ 双基 ” 教学的宝贵经验 , “ 不 求 

旧 如 

∽ 
寺 嘈 罄  %散 焉  i  

其全 , 但 求其 变 ; 不求其全 , 但 求其联” 是 变 式 教 学 的 
精髓. “ 三 图” 的教 学 首 先 是 一 种 基 本 技 能 的学 习 , 教  师要 在 引导 学生 充分 理解 投 影 相关 知 识 的基 础 上 , 精 

不 断提 高直 观洞 察力 , 几 何直 观 能 力 培养 要 贯 穿教 学  始终 ; 立 体几 何 一 般 包 括 文 字 语 言 、 图 形 语 言 和 符 号  语言 , 在 学 习和 解 题 中常 要 进 行 语 言 互 译 , 其 中 图形  语 言起 到桥 梁作 用 , “ 三 图” 技 能 的熟 练是 提 高运 用 图 

心 准 备 系列 问题 和 练 习 , 并 通 过 变 换 问题 、 变 换 载 体  等方式 , 让学 生 通 过 观 察 、 比较 、 分析 、 概 括 等 思 维 活 
动, 多侧 面 、 多角度 的体验“ 三 图” 的规律 , 理 解 其 本 

形语 言交 流 能力 的关 建 , 在 立 体 几 何 的后 续 学 习 中 ,  
教 师可 以有 意识 地尝 试 把 “ 三 图” 作 为 问 题 呈 现 的 一 

质, 体 悟 变 中不 变. 例如 , 为 了让 学 生正 确 理解 几 何 体 
与其 “ 三 图” 的“ 一 对 多” 关 系, 教 师可 以选 择学 生 熟 悉  的长 方体 的 “ 三图” 做 如 下设 计 : ( 1 ) 给定一个长 、 宽、  

种语 言 表达 方式 , 在 运 用 中不 断 巩 固、 加深对 “ 三 图”  
的理 解 ; 空 间想 象 能 力 是 各 种 能 力 的重 点 , 通 过 由实  物模 型 画“ 三 图” 与 由“ 三 图” 识 别 几何 模 型 的 过 程 体  会 空 间问题 与平 面 问题 的互 化 , 三视 图、 直 观 图 和 展  开 图之 间的互 化 等途 径提 高空 间想 象 能力 ; 特别 要 注  意 的是“ 一定 的推 理 论 证 能 力 ” 与“ 三 图” 结合 的 度 的 

高 分 别是 4   c m、 4   c m、 2   c m 的长方 体 , 水平 放置 . 作出   其 三视 图 、 直 观 图和展 开 图 ; ( 2 ) 变换 长 方 体 的放 置 位 
置, 例如 , 以边 长 为 4   c m、 2   c m 的矩形 为底 画 “ 三 图” ;  

( 3 ) 把( 1 ) 中 长 方 体 的右 面 作 为 观 察 的正 面 , 作 三 视 

把握 , 立 体几 何初 步 “ 空 间几何 体 ” 这 章 几 乎 不提 该 能 
力要 求 , 主要 是运 用 直观感 知 、 操 作 确认 、 度量 计 算 三  种方 法认 识 和探索 几 何 图形及 其 性 质 , 初 学 阶段 不 宜  对 与平行 、 垂 直 相关 内 容 进 行 综 合 , 但 有 了 线 面 间 平  行、 垂 直 的概 念 和定 理 后 , 可 以以 “ 三图” 为 载体 设 计 
问题 , 通 过思 辨 论证 方 式 培 养 学 生 的 推 理 论 证 能 力 .  

图; ( 4 ) 把( 1 ) 中长 方体 以其上 下底 中心 直 线为 轴 逆 时  针转 动 4 5 。 , 作 出其 三视 图、 直 观 图. 具体 操 作 时 , 可 将 
不 同层 次 的 问题 选 派 相 应 学 力 的学 生 代 表 板 演 解 答 

过程, 然后 组织 学 生 点 评 、 辨析 、 修 正 等. 通 过 自主 探 
索、 合 作讨 论 , 生生 、 师 生 多渠 道 的互 动 交 流掌 握 基 本  技能 , 并形 成 正确 的 空间 观念 .   3 . 2 倡导 多样 的 学 习方 式 。 提 供 多渠 道 手 脑 合 一 的 
亲 身 实践 

下面 通过 一道 考题 分 析立 体几 何 能力 要求 :   例 ( 2 0 0 8年 高 考 数 学 海 南 / 宁夏 卷 理科第 1 2  

题) 某 几何 体 的 一 条棱 长 为√ 7 , 在 该 几 何 体 的正 视 图 

教 师要 注 意加 强直 观 教学 , 多提 供 实物 模 型 和 用 

中, 这条棱的投影是长为√ 6 的线段 , 在该几何体的侧视 
图与俯视 图 中 , 这 条 棱 的投 影 分 别是 长 为 n和 b的线 

计 算机 软 件给 学 生 观 察 , 要放 手让学生亲身实践 , 在 
操作 中学 习. 教 师要 对 教材 以下 三 个 方 面 的编 写 理解  到位 并 在教 学 中运 用好 : ( 1 ) 模 型制 作 . 手 脑 分 家 一 直 

段, 则n +b的最 大值为 (  
A. 2   B. 2  

) .  
c. 4   D. 2  

是传 统 学 习 的弊病 , 教 育 的有识 之 士 提 出“ 用手思考”  
是很 有 深 意 的. 立 体 几 何 的学 习 , 模 型 制 作 是 一 种 很  好 的学 习方 式 , 《 数学 2 》 给 出了不少这样 的习题 , 如  P . 9第 5题 、 P . 2 1第 3题 、 P . 3 5第 4题 、 P . 3 6第 8题  等; ( 2 ) 实 习作 业 . 教材 在 第 3 3页 对 “ 实 习作 业 ” 明确 

分析 : 此 题为 三视 图 与基 本不 等 式 应 用 的一 道综  合题 , 切人 的关键 点 在 于对 三 视 图 的 定 义 的理 解 . 三 

个 投影 面 两两 垂 直 , 利 用平 行 总可 以将 长 为√ 7 的棱 平 
移到 三个 投影 面 的交 点 处 , 从 而进一步构造长方体 ,  

了 目的 、 要求、 过程 , 并 提 出 了两 个 思考 问 题 ; ( 3 ) 阅读  与思 考 . 教 材第 2 2页提 供 了 阅读 材 料 “ 画法 几 何 与 蒙 
日” . 以上 三处 内 容 一 般 会 被 教 师 忽 略 , 笔 者认为 , 不  管是 为 改善 学 生单 一 的学 习方式 , 还是 为 提 高 “ 三图”  

使长为√ 7 的棱为该长方体 的体对角线 , √ 6 、 n 、 b 为该 
长 方体 从 一顶 点 出发 的三个 面 的对 角线 , 得出口   +b  
一8 , 由基 本不 等式 易 得答 案 C . 此题 对 空 间想 象 能力 

要求高, 其 中还需要 一 定 的推 理判 断 . 事实上 , 一般 高 
考 的“ 三 图” 题( 特别是“ 三视 图” ) 的考 查 , 不同于“ 三  图” 的阶段 性 教 学要 求 , 大 多 需 要 完 成 立 体 几 何 初 步  学习 , 具有 一定 的平 行 、 垂直 逻 辑 判 断. 这 是 教 学 中要 
特 别 引起 注意 的.  
参 考 文 献 

教学 的直接 效 益 , 教 师 都 必 须 组 织 学生 落 实 好 , 做 到 
有计 划 、 有 检查 、 有 展示 、 有 交流 、 有 评价 .  
3 . 3   能 力 的培 养 要 注 意 分 阶段 、 适 时、 循 序 的 逐 渐 
达成 

由于现 行教 材不 是 采用 先 给 出定 义 、 定 理 再逻 辑 

1 沈建刚. 斜 二侧画法的一次 “ 寻根” 之旅 [ - J J . 中 学 数 学 教 学  参 考( 上旬 ) , 2 0 1 0 , 1 ~2  

展开 的编写 方式 , 而 是 以对 空间几 何 体 整 体结 构 的直  观感 知 为基础 , 所 以几何 直 观能 力 是立 体 几何 四个 能 
力 的基础 , 教 学 中既 要 以它 为 出发 点 , 又要 在 学 习 中 

2 袁武. 立体 几何 教材中几个值 得商 榷 的问题 [ J ] . 中学 数学 
教 学 参 考 (E旬 ) , 2 0 1 0 , 3  

论 教 谈 学   教学时空  
1 6  
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  .

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1 f   、   蔓¨ r  

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数 学 学 习存 在 的 

鼹\ i  孱  j   |  
雷 义敏  罗新 兵 ( 陕 西师 范大学 数学 与信 息科 学学 院 )   当前 , 学 生数 学 学 习仍 然 存 在 一 些 问题 , 笔 者 认  为有 必要 对这 些 问题进 行仔 细 的梳 理 , 并分 析 产 生这  些 问题 的原 因 , 尤 其需 要对 数学 教 师提 出破 解 这 些 问  题 的策 略. 本 文 拟 就数 学 学 习存 在 的 问题 、 原 因及 应  对策略进 行 分 析 和探 讨 , 希 望 能 对 数 学 教 学 有 所 
启 示.  

另外 , 亚洲 学生 在 国际 比赛 中 取 得卓 越 成 绩 的 同 时 ,   我们 也要 注意 到这样 的事实 , 这些 学 生 中有 相 当一 部 
分承 认对 数学 有消极 态 度.  
1 . 3 没 有 很 好 理 解 数 学 学 习 

F r a n k等 人 的研 究 还 表 明 : 学 生 认 为数 学 学 习就 

是从 教 师那里 学 习事 实 、 规 则 和 程 序 的 集 合. 金美月  
等研 究 发现 : 中学 生认 为个 别学 习并 不 比小 组 学 习更  重要 ; 花 长 时间 解一 道 题 是 浪 费时 间 ; 学 好 数 学 要 有 

1 问题 的 明晰 : 数 学 学 习 问题 梳 理 
1 . 1 不 能正确 认识 数学 学 科 

先 天性 的才 能. 李琼 等人 的研 究 表 明 : 学 生 往往 持 一  种 机械 的数 学学 习观 , 把 教师作 为 评价 答 案合 理 性 的  权威 , 做数学 题 就 是按 照 既定 的 步骤 , 获 得 教 师 预期  的答案 , 体会不 到 数学 在 思维 训 练和 实 际应 用 中 的价  值. 这些研究说 明 , 学生对 数学 学 习的方 式与方 法 没有  很 好地理解 , 如 对新 课 程倡 导 的新 的 学 习方 式 持有 错  误的认识 , 更 不用说如何认 识这些学 习方式 的价值 .  
1 . 4 没 有很 好理解 数 学教 学  F r a n k等 人研 究发 现 : 学 生认 为数 学教 师 的任 务 

学生 对数 学 的认 识 既 与数学 课 程 内容 紧密 相关 ,  
也与 学生 在数 学 学 习 过程 中形 成 的对 数 学 内 隐 的看 

法密 切 相 关. F r a n k通 过对 2 7名 中学 生 长 时 间 的观 

察得 出 : 学生认 为数 学 就 是 计 算 ; 数 学 问题 能在 几 步 
之 内得 到解决 . 黄 毅英 等 人 研 究 发 现 : 学 生 认 为 了解  数 学等 同于 掌握 其背后 原 理 、 理 清 其 中概 念及 弹性 运  用公 式 , 大部 分 学生 以数 学课题 内容 和术 语去 判 断某  个 行为 是否 在做 数学 , 学 生把数 学 看 做一 堆公 式 的集  合. 金 美月 等通 过 问 卷 调 查 发 现 : 中学 生 普 遍 认 为数  学是 由绝 对 的、 固定 不 变 的 事 实 组 成 的 , 数 学 是 由需  要背 的事 实和解 题技 巧组 成 的. 通 过 以上几 项研 究 可  以看 出 , 虽然学 生在 数学 学 习上 投入 了大量 的 精力 和  较长 的 时 间 , 但是 不 能正 确 地认 识学 习 的对象 —— 数  学学 科 本身. 对一 个 不 能 正确 认 识 的对 象 进 行 学 习 ,   其效 果 肯定会 受 影响 .  
1 . 2 不 能 正 确 认 识 学 习 目 的 

就是 “ 传 授” 数 学 知识 , 他们 希望 把时 间花 在 “ 解释” 和  “ 覆 盖” 课 本 的材 料 上 , 通过 核 对 答 案 , 检 查 自己是 否 
接 受 了知识 . 中学 生认 为教 师 的作 用 是 钻 研 教 材 , 有 

逻 辑 的传授 知识 , 引 导 学 生思 考 和探 究 问题 ; 只 有 教  师才能 判 断学生 得 出的答 案 的正误 , 并且 教 师必 须 对  学 生提 出的 问题 给予 正确 的答 案 . 由此 可 以看 出 , 学  生对数 学 教学并 未形 成 正确 的认 识 , 他们 往 往把 数 学  教学 等 同于提 供 现 成 的 数 学 知识 、 检查作业、 核 对 标  准答 案 以及应 付有 关考 试.  

学 生不仅 不 能正 确认 识数 学学 科 , 而 且不 能 正确  认 识学 习 目的. 对部分学生来说, 学 习数 学 就 是 为 了 

获得 高分 , 取得好 的成绩 , 为 了升 入重 点 中学 、 名 牌 大 
学. 数学 是升学 考 试 的一 门主 干 学 科 , 所 以一 部 分 学  生 纯粹抱 着 功利 性 的 心 态 , 被 迫 学 习数 学 , 甚 至 有 学  生认 为 “ 学 习数 学 一 切 为 了高 考 , 没 有 高考 就 没 有 人  会 学这 些没 用 的东 西 ” . 这 些 学 生 的 数 学 学 习基 本 处  于盲 目的 、 被动 的状 态 , 自身并 没 有 明确 的学 习 目的.  

2   问题 的 归 因 : 数 学 学 习 问 题 原 因 分 析 
学 生在 数学 学 习上存 在着 上述 问题 , 究竟 是 哪 些 
原 因导 致上 述 问题 呢 ? 以下 对 一 些 主 要 的 原 因 进 行  分析.  
2 . 1 社 会 环 境 

当前 , 无 论 是 教育 主管 部 门还是 各 级 学 校 领 导 、  

教  学 
。  

馆,  
教师 、 学生 家 长 , 对 数 学 学 习 的 评 价 离 不 开 学 生 的考  则 与 之相 距甚 远 . 对学 生而言, 数 学 学 习在 某 种 程 度  上就简 化 为 “ 听 课 一 练 习一 模 仿一 记 忆 一熟 练 ”的 
过程.  

学  试 成绩 、 分 数排 名 以及 重点 中学 、 大学 的升 学 率. 他们 
更倾 向于 眼前 的利 益 , 为 了学 生 能进 重 点 中学 、 大学 ,  

毒   _ 不惜 采 取 急功 近 利 的 做 法 , 甚 至 盲 目跟 风. 如 家 长 在 
孩 子成 绩 不理 想 时 , 不 去 主动 分 析 根 本 原 因 , 而 过 分  地依 靠外 界 力量 , 给 孩子 请 家教 , 让 孩 子 参 加辅 导 班 ,  
如此 一来 , 剥夺 同时 , 学 校 考试 非  ∽  了孩 子 的休 息 时间. 常频 繁 , 成 绩跌宕 起 伏也 让学 生 承 受着 很 大 的 心理 压  力. 另外 , 评 价 的机 制和体 系 也 有待 进 一 步完 善 , 目前  基本 上是 将 学生 的 考试 成绩 ( 尤 其是 中考 、 高考) 作 为  衡量 学 生学 习水 平 、 教师 教学 水 平 乃 至学 校 教 学质 量 
的主 要参 考 . 一方 面 看 , 是 一 种相 对 公 平 、 公 正 的评 价  方式 ; 另 一方 面 , 无 形 之 中在 学校 、 教 师 和 学 生 中形 成 

2 . 5 教师 教 学方 式  教 师往 往 囿 于 已经 形 成 的教学 风格 , 局 限 于 现有 

的教学 水平 , 很 难 突破 传 统 的 教 学模 式 , 教 师 的教 学  流 程基 本上 还 是传 统 的五 环 节 : 导 人一 复 习一 新 授一  巩 固一 作业 , 数 学教 学显得 沉 闷、 乏 味. 在 数 学 教 学  中, 教 师还 是 注 重 知 识 的 传 授 , 忽视 学生 的发展 , 比 
如, 让学 生 经历 探究 过程 , 组 织 学生 动 手 实践 , 鼓励 小 

组讨 论 交流 , 这 些在 数学 教学 中难 得 一见 . 究其原 因,  
在 于教 师 自身缺 乏必 要 的上 进 心 , 很难 对 数 学 教学 进  行一 定 的创 新 , 导 致 数 学 教 学 虽 无 大 的 问题 , 但 效 果 

了“ 唯考 试优 先 、 唯分 数 至上 ” 的不 良风气 .  
2 . 2 数 学 学科特 点 

非常 有 限 , 课 堂 教学 缺乏 新 意和 亮点 .  

数学 由 于其 高 度 的抽 象 性 、 形 式 化 和严 谨 性 , 结  论 的确定 性 , 内在 的 统 一 性 和 应 用 的 广 泛 性 , 并 将 逻  辑 思维 和 推理 模式 集 中在 一起 , 使 数 学 教 学 既不 能 像  语文 、 历 史那样 绘 声 绘 色 的 描 绘 或 勾 画 场 景 , 也 不 能  像 物理 、 化学那 样 直接 从现 实 世界 中得 到检 验 或 者 通 

3   问题的破解 : 数学学 习问题 应对策略 
针对 上述 问题及 其 原 因分析 , 如何 才 能有 效 破 解  这 些 问题 ?笔 者 觉得 关键 在 于数 学 教 师. 以下 从 教 师  的角 度提 出几 条 应对 的策略 .  
3 . 1 数 学教 学应 回归数 学 意义 

川中 过 实验 验 证 这就 基 本 上 采 用 讲  年, 学    使 其 教 学 方式 单 一 ,
授法 , 在课 程改 革后 , 基 本 采用 教 师 问 、 学生 答 的教 学  方式 , 学生 并不 能 很 好 地 经 历 数 学 学 习 的 过 程 , 积 累  丰 富 的数 学活 动经 验 , 对数 学 的认 识 往 往局 限于 一些  抽 象 的符 号 、 定理和公式 , 并 对 数 学 学 习形 成 了一 些 
错误 认 识 .   2 . 3 学 校 课7  程 设 置 
助 教 

数学 教学 必须 能 够启 发诱 导 学 生 独立 思 考 , 激 发  他 们 对数 学 的兴 趣 , 帮 助 他 们 做 自己想 做 的事 . 数 学  教 学不 是 把数 学作 为 各个 片段 知 识 灌输 给 学 生 , 不 是  把 数学 作 为一 个封 闭 系统 呈现 给 学 生 , 不是 仅 仅 为 了  让 学 生获 得高 分 , 不是 为了让学生做考试题. 目前 数 
学 教学 更 多 地 表 现 为 知 识 的教 育 , 而 不 是 过 程 的 教 

酣   : ;  

育, 在 学生 眼里 , 数学是一堆数学概念 、 定理 、 公 式 的 
集合 , 数 学 意 义 —— 无 论 是 科 学 意 义 还 是 教 育 意 

相 对 其 他 学科 来 说 , 数学学科的抽象性、 严 密 性 

更强, 对 学 生 的思维 能力 和 认 知水 平 要求 更 高 . 但是 ,  
学校 并 没有 针对 数 学学科 的特 点 , 开设 指 导 学 生数 学 
学 习 的课程 , 这 直 接 导 致 了学 生 数 学 学 习 的 随 意 性 、  

义— — 离 他们 远去 了. 然而 , 远 离 了 意 义 的 数 学 教 育  也 就从 根本 上 远离 了学 生 的生 活 , 从 而将 数 学 知 识局 

限 于认 识论 的窠 臼 , 片 面强 调 数 学 知 识 的 客 观 性 、 抽 
象 性 和确定 性 , 遮 蔽 了数 学 知 识 所 蕴 涵 的 意 义 世 界 ,   所以 , 数学 教 育必须 超 越抽 象 的世 界 、 符 号 的世 界 、 逻  辑 的世 界 、 知识 的世 界 、 绝 对 真 理 的 世 界 以及 升 学 工  具 的世 界 , 迈 向意 义 的世 界 , 可 以说 回归 数 学 意 义 是  每一 位 数学 教 育工作 者 神圣 的 使命 . 走 向意 义 的数 学  教育理所 当然 应 该 成 为新 的教 育 方 向, 新 的 教 育  追求 .  
3 . 2 数 学教 师 应定 位 新 的角色 

盲 目性 , 没 有 明确 的学 习 目的 , 没有 正 确 的学 习态 度.   同时作 为 主要科 目之 一 , 数学课程往往课 时多、 作 业  多, 学生 为 了完成 数 学作 业 , 只好 放 弃 休 息 时 间 , 部 分  学生 因此 失 去 了 数 学 学 习 的 兴 趣 , 甚 至 开 始 远 离 数 
学、 厌 恶 数学 .  
2 . 4 数 学 教 材 编 排 

目前 , 数学 教 材 大 多 以“ 相 关 定 义—— 推 导 公  式—— 求 解证 明— — 呈现 例题 —— 模 拟 练 习 ” 的形 式  编排 , 往 往给 学 生 冷 冰 冰 的 感 觉 , 正 如 弗 赖 登 塔 尔 所  说: 数 学 是在 “ 冰 冷 的美 丽 下 掩 盖 着 火 热 的思 考 ” , 大 

数学 课 程改 革提 倡 教师是 学 生 学 习 的指 导 者 、 促 

进 者 和合 作 者 , 而实际上教师往往是主导者 、 指 挥 者  和 控 制者 , 教师为了完成知识教学 , 并 不 思 考 如 何 有 

多数 学 生只 能体会 到 “ 冰冷 的美丽 ” , 而“ 火 热 的思 考 ”  

. 

2 0 11年 第 7明 ( 上 甸 )  

、   ∽ } L  

。。   . .   .

论教谈学 n教 学 时 空  

”  

中学 毅 学教 学 参考 

效促 进学 生学 习 , 把“ 引导思 考 变成 替 代思 考 , 促 进学  习变 成直 接学 习 ” . 为何 会 出现这 些 问 题 , 在 于角 色定  位落 伍 , 没有 紧跟 数学 教育 发展 趋 势 , 为此 , 我 们 提 出  数学 教 师应定 位新 角 色.   ( 1 ) 做教 材 的创 新 者 . 新课改提倡“ 用教材教” 而 
不是 “ 教 教材 ” , 面 对 各版 本 的数 学 教 材 , 内容 虽 然 一 

些数学 教学 理念 理解 的片 面化 , 导 致 了数 学教 学 的形 
式化. 虽然 数学 课 堂 多 处 出现 新 理 念 的 “ 影子” , 但 其 

效果很 差 , 甚至 出现 负 面 影 响 , 因 此 也 要 强 调 数 学 教  学 的实 效性 . 比如 , 在 创设 情境 时 , 必 须要 求做 到 以下 
几点 : 一是 情境不 能 过于 复杂 , 容 易描 述 清楚 , 也 不 晦 

涩难懂 ; 二 是学 生 能 够 根 据情 境 容 易想 到教 学 主题 .   又如 , 在设 计动 手 实 践 活 动 时 , 教 师 必 须 明 确 设 计 活  动 的 目的 与效果 , 同时也要 引导学 生对 活 动 过程 进 行  组织 和提炼 , 明确 不 是 为 活 动 而 活 动 , 清 楚 活 动 在 学 
生数学 学 习 中的作用 .  

致, 编排方 式却 有 不 同. 教师 能 否通 过认 真 思考 , 取其  所长 , 避其 所短 , 针 对学 生具 体情 况 , 结 合 学校 教 学条  件, 大胆 改造教 材 , 设计 有效 教学 . 这 在 很 大程 度 上取 
决 于教师 能否 主动 地分 析 与研究 教 材 , 其 中既 包 括对 

教材 整体 的理 解 , 也包 括对 教材 细节 的认识 .  
( 2 ) 做教 学 的 生成 者 . 数 学 教 学往 往 充 满 各 种 奇  思妙 想 , 教师应 该 从 预 设 的课 堂 走 向生 成 的课 堂 , 随 

( 4 ) 数 学教学 要 体现 多元 化. 这里 所 说 的多 元化 ,  
主要包 含 以下含 义 .  


是 教师 角色 的多元 化 , 即教 师 除 了承 担传 统 的 

时准 备应 对课 堂 中学 生 形 成 的各 种 想 法. 一 个 问题 ,  
如果从 学 生 的角度 看可 能会 产 生多 种 思路 , 教 师 就需 

知识传 播 者 、 课 堂 管 理 者 以外 , 还 要 成 为 学 生 学 习 的 
指导者 、 合 作者 和促 进者. 另外 , 还 要 与学 生 建立 起 良 
好 的师 生关 系 , 课 上 是老 师 , 课 下是 朋 友 , 要 让学 生 亲 

要基 于学 生 的立 场 , 从 学生 的视 角 出发 帮 助学 生 去分  析思 路 , 并 从 中选 择合 适 的方法 . 同时 , 教 师还 要 积极 
关注 学生 的行 为 , 及时 改变 授课 方式 , 调整 教 学思 路 ,  

近教 师 , 进 而喜 欢数 学.   二 是 教学设 计 的多元 化 , 即教 师 应综 合 考虑 数 学  特点 、 具 体 学情 、 自身特点 设计 多样 化 的教学 , 如 教 学 
模 式 的多 元化 、 教 学 过 程 的 多样 化 、 教 学 方 法 的 多 样 

调动 学 生学 习的 积极性 . 这 就要 求教 师 做 教学 的 生成  者, 不要 囿于 原有 教学 设 计 , 而 要 根 据课 堂实 际及 时  做 出调整 , 保证 课 堂取 得好 的教 学效 果.  
3 . 3 数 学教 师应 确立 新 的追 求 

化等.  
三是 学 习方 式 的 多元 化 , 即在 数 学 教 学 过 程 中 ,  

( 1 ) 数学 教学 要 占领 制 高 点 . 有些 课 堂教 学 效 果 
非 常有 限 , 或者 效 率低 下 , 原 因在于 教 学没 有 高度 . 笔  者认 为 , 数学 教学 要 占领 一 定 的制 高 点 , 具 体 可 以从 

应 能看 到 学生 多元化 的学 习 活动. 除 了我 们 比较 熟 悉  的认 真听 讲 、 做好笔记 , 更 包 括 新 课 程 倡 导 的 新 的数  学学 习方 式 , 如 自主 探 索 、 合作交流 、 动 手 实践 、 阅 读  自学 等 , 这些学 习方 式 除 了要 让 学 生 获 取 数 学 知 识 ,  
也要让 学 生从 中学 会获 取数 学知识 的方 法.  
参 考 文 献 

以下 几个 方 面来 理 解 : 一 是 要 抓 住 数 学 知 识 的本 质 ;   二是 从 高等数 学 知识视 角 透视 中学 数 学 内容 ; 三 是从  整体 性 、 统领 性 的 角度 考 察 中学 数 学 内容 ; 四是 注意  揭示 数 学知识 背 后 的数学 思想 方法 .  
( 2 ) 数学 教学 要含 有思 维量 . 数 学 是 思维 的科 学 ,   从 这个 意义上 说 数学也 是 “ 思维 的体 操 ” . 学生 的数学 

1 周琰 , 谭 顶 良. 学生 数学 观发展 状况 的调 查研 究 [ J ] . 数 学  教育学报 , 2 0 1 0 , 4  

2 金美月. 学生数 学信 念系统 研究 综述 E J 3 . 数 学教 育学 报 ,  
2 01 O. 4  

学 习始 于模仿 并 以 “ 创造” 为 目的 , 这就是“ 创 造性 思 
维” . 课 堂教 学是 人与人 之 间 的对话 , 其本 质就 是 思维 

3 李琼. 小学生数 学观 : 结 构与 特点 的研 究[ J ] . 心 理 发 展 与  教育 , 2 0 0 6 , 1   4 胡典顺 . 人 为 什 么 要 学 数 学 — — 数 学 意 义 的哲 学 思 考 [ J ] .   数 学 教 育学 报 , 2 0 1 0 , 4   5 伯纳德 . 数学 教育 的社会 文化研 究 : 中 国 面 临 的 挑 战 与 机  遇[ J ] . 数学教育学报 , 2 0 1 0 , 5   6   孟 迎 芳. 新 手 一 熟 手 ~ 专 家 型 教 师 教 学 策 略 的 比较 研 究 

与 思维 的碰撞 , 这 就要 求教 师从 问题 的 引入 到课 堂 的  小结 , 从 课 堂的讲 解 到 板 书 的设 计 , 从 课 堂 的 提 问 到  小 组 的讨论 , 都要 有 一定 的思 维量 . 特别指出, 学 生 的  思 维是 任何 人代 替不 了的 , 所 以该 让 学 生思 考 的一定 
要 让学 生 自己去 思 考 , 哪 怕 思 考 的 时 间 长一 些 , 哪 怕 

思考 的结论 有 问 题. 只 有 学 生 亲 自经 历 的 思 维 过程 ,   才能记 忆 牢 固 、 理解 深刻 , 思 维也 能得 到切实 历练 .   ( 3 ) 数 学教 学要 注 重实 效性.目前 , 由于教 师对 一 

E D ] . 福建师 范大学 , 2 0 0 2   7 杜庆洪. 开 展 高效 数学 教 学 的行动 研究 [ J ] . 数 学 教 育 学 
报 , 2 0l O , 5  

教 学 时 空  论 教谈 学 



。  



m 

2 0 1 1年 第7 期 (上 甸 )  
中 学文 学毅 学 参考 

随 
思  们 退 回 

万姝 玮  蒋  亦( 江 苏 省奔 牛高 级 中学 )  
近期 , 笔 者 参 加 了常 州 市 举 办 的 同课 异 构 ( 两 角  和与 差 的余 弦 ) 活动 , 现就 三 位 教 师 的 不 同引 人 谈 一  些 粗 浅 的想法 , 以求抛 砖 引 玉.  


学生 : 由 图 1可 知 , a一 ( C O S   7 5 。 , s i n   7 5 。 ) 与  ( C O S   1 5 。 , s i n   1 5 。 ) 的夹 角 为 7 5 。 一1 5 。 .  
5   s i n   7 5 3  

1 课 题 引人 再 现 
片段 1 : 从 书本 引言 引入.  

厂  
i  
. 

C O S   1 5   s i n   1   5 o )  

在第 一 章 , 开 始 初 步 研究 圆 周 上 一 点 的 运 动 , 并  用 正 弦 函数 = = : s i n   z来 刻 画周 期 运动 , 与 周期 运 动相  关 的 另一 个基 本 问题 是 “ 周期 运 动 的叠加 ” .   教师 : 猜 想 函数  —s i n   z +C O S   z表 示什 么 ?   学生 : 因为 正 弦 、 余 弦 函数都 具有 周期 性 , 所 以  s i n   z +C O S   z可 以看成 是 刻 画周期 运 动 的叠加 .   教师 : 如果 猜 想 是 正 确 的 , 那么 s i n   z+ C O S   是 
?

图 1  
。 。 .

n ?b= = =l 口I   l   6     l C O S   0= = :, / c o s   7 5 。 +s i n 2 7 5 。  

 ̄ / c o s   1 5 。 +s i n z 1 5 。 c o s ( 7 5 。 一1 5 。 )  C O S ( 7 5 。 -1 5 。 ) ,  
又 a ? 6 一 z1 z 2 +  1  2 一 C O S  7 5 。C O S  1 5 。  

+s i n   7 5 。?s i n   1 5 。 。  



. C O S ( 7 5 。 一1 5 。 ) 一C O S   7 5 。 C O S   1 5 。 +s i n   7 5 。 s i n   1 5 。 .  

否 能够 恒 等变 形为 As i n (  + ) 的形 式 ?   教 师 提示 : 阅读教 材 第 9 1页 引 言部 分 , 思 考运 用 
的 原理 是 什么 ?  

教师 : 能 否得 到更 一般 性 的结 论 ?   学生 : C O S ( a 一 ) 一C O S   a c o s  +s i n   a s i n   教师 : 如何 证 明 ?   片段 3 : 从特 殊 条件 引入 .  

学生 : 第一 步, 将 式 子 看 成 是 两 个 向量 坐 标 的乘 
积 s i n   +C O S  =( C O S   z, s i n   )?( 1 , 1 ) ;  

教师 : 求值 : C O S   4 5 。 , C O S   3 0 。 , C O S   1 5 。 .  
学 生: c o s  4 5 。一 4 百 z ,c o s  3 0 。 一 


一 

, q 

第二步, 运 用 向量 数 量 积 运 算 法 则 : ( C O S   ,  

,c o s  1 5 。  

s i n   )?( 1 , 1 )一  ̄ / c o s   +s i n   ? ̄ / 1 。 +1 。 C O S   0  


g 一c o s ( 4 5 。 一3 0 。 ) 一c o s   4 5 。 一c o s   3 0 。 一, — / g , /
 

√ 2 c O S   0 , 其 中  为 向 量 ( C O S   z, s i n  ) 与 向量 ( 1 , 1 )  
教师 : 是否 正确 ?  

_



. 

的 夹角 ;  

第 三步 , 将  用 已知量 表示 , 于是 有 C O S   z +s i n   z  
一  

学生 : 前两个是 对的 , 第 三个错 了, 因为 C O S   1 5 。  
>o , 而 
厶  

/  



、  



√ 2 C O S f z 一- “ 7 - 1 .   、   £ 士 ,  

<0 , 所 以不 正确 .  

教师 : 那 么更 一 般 性 的 问题 : C O S ( a 一 ) 能 否用  的三 角 函数 与  的三 角 函数来 表示 ?  
片段 2 : 从 书 本 习 题 引入 .  

教师: 虽然结论不正确 , 但 该 同学 回答 中是 否 有 
可取 之处 ?  

学生 : 有, C O S   1 5 。 一c o s ( 4 5 。 一3 0 。 ) 是 正 确 的.  

习题 : 向量 a 一 ( C O S   7 5 。 , s i n   7 5 。 ) ,  一 ( C O S   1 5 。 ,  

教师 : 很 好 !如 图 2 , 已 知锐 角 3 O 。 的 终 边与 单 位  圆交 于 P   ( C O S   3 0 。 , s i n   3 0 。 ) , 锐角 4 5 。 的 终 边 与 单 位  圆交 于 P 2 ( C O S   4 5 。 , s i n   4 5 。 ) , 试用 3 O 。 与4 5 。 的正弦、   余 弦表 示 C O S   1 5 。 .  

s i n   1 5 。 ) , 试 分别 计算 口? 6 一J   a   I     J 6   l   C O S   0 及 a? 6  
= zl z2 + Yl  2 .  

教师 : 比较两 次计 算 的结 果 , 你 能发 现 什么 ?  

论 教 谈 学   教掌时空  
2 0   ’  
、 

m , ,   .  

  ,

.  



Y?  

45 。 s i n   4 5 。 )  


Y 

片段 1是通 过 阅 读 课 本 引 言 直 接 告 诉 学 生 可 以 
4 5  ̄ , s i n   4 5 。 )  

0 5   3 O   s i n   3   0 o )  

厂   、   ( C O (  
图3  

O S   3 O o ’ s i n   3 o  ̄ )  

这 样完 成 , 而片 段 2 、 片段 3均采 取 了从特 殊 到一般 的 

方法 , 更 加符 合认 知 发 展 的规 律. 但 观 察 片段 2 、 片 段  3 , 不难 发现 它们 之 间也有 区别 , 片 段 2虽 然 课 堂效 果  突出 , 但 没有 引 导 学 生通 过 自主探 究 和合 作 讨 论 , 自   发 地用 向量 数量 积推 导 出两角 和 与差 的余 弦公 式 ; 片  段3 先让 学生猜 想 C O S   1 5 。 的值 , 接 着 引导 学 生将 角 植  入 单位 圆 中去 寻 找 已有 量 , 然后引入向量, 在 学 生 意 
识 到两 向量 的夹 角就 是 1 5 。 时 , 让 一些 学 生 能感 悟 到 

图2  

教师 : 你 可 以发 现什 么?   学生 1 :   P l OP 2 一  x OP 2 一  x O P1 , 即 1 5 。  
一 45 。 一 3 O。
.  

学生 2 : 0 P1 —1 , 0P 2 —1 .  

教师: 看图3 , 有何 发现 ?  

向量 的数量 积 运算 法 则 . 提 出的 问 题层 层 递 进 , 逐 步 
分 散难 点 , 但 决 不逃 避难 点 , 体 现 了学 习数 学 的本 质 ,   即提 高思维 能力 .  

学生:   一( C O S   4 5 。 , s i n   4 5 。 ) , o p ; 一( C O S   3 0 。 ,   s i n   3 0 。 ) , J 两 l —I   l 一1 .  
教师: 1 5 。 =4 5 。 一3 o 。 , 其实角 1 5 。 就 是 向量  与  的夹角 , 试用 3 0 。 与4 5 。 的正 弦 、 余 弦表 示 C O S   1 5 。 .  

3 教学 反 思 
3 . 1   为什 么在 三 角 函数和 三角 恒等 变 换 中插 入 平面  向量 这一 章节  向量 是 沟 通 代 数 、 几 何 与 三 角 函数 的一 种 _ T具 ,   有 着 丰 富的实 际背 景. 在第 一章 中学 生 已经 感 受 到生 

?

学生: 由向量的数量积可知   ?   一I 两 I     l l   c O S  P   0 P   一c o s ( 4 5 。 一3 0 。 ) , o P ; ?  

一 ( C O S   4 5 。 , s i n   4 5 。 )   ?   (C O S   3 0 。 , s i n   3 0 。 )  
一C OS   45 。 C OS   30 。 +s i n   45 。 s i n   3 0 。 。  
。 . .

C O S  1 5 。一 C O S (4 5 。一 3 0 。 )一 C OS  4 5 。C O S  3 0 。  

活 中有大 量 的现象 具有 周期 性 , 引用 物 理 中 的简谐 运  动, 让 学生 明 白研 究 三 角 函数 图象 与 性 质 的必 要 . 但  生活 中、 物理 中 的周 期 现 象 决 不 单 一 , 很 多是 周 期 运  动 的叠加 , 仅 仅 依 靠 第 一 章 的知 识 已 不 足 以 解 决 问 
题, 此时通 过 学 习 向量 , 学 生 不仅 可 以掌 握 一种 新 的 

+s i n   4 5 。?s i n   3 0 。 .  

教师 : 那 么 更 加 一 般 的 结 论 是 什 么 ? 并 加 以 
证 明.  

2 课 后 思 考 与 辨 析 
片段 1 : 高起 点 , 立意 高远 .   片段 1在 引入 上 很 新 颖 , 有高度, 试 图用 三 角 函  数 的周期 性来 研 究 三 角 恒 等 变换 , 用“ 周 期 运 动 的叠  加” , 言简 意赅 的将 两 部分 知识 融为一 体 , 浑然 天成 !   片段 2 : 高效 率 , 气 氛浓烈 .  
由课 本 习题直 入 主题 , 让学 生 用 向量 的 两种 表示 

数学 工具 , 而 且 可 以 帮助 学 生体 会 数 学 的 内部 联 系 ,   数学 与实 际生 活 的联 系 , 以及数 学 在解 决 实 际 问题 中 
的作 用.  

本节 课用 向量 数 量 积 的 知 识 推 导 出 两 角 和 与 差  的余 弦公 式很 有研 究 的价 值 , 充 分 体 现 了 向量在 处 理  三角 函数 问题 中的工 具作 用. 教 材 一 直坚 持 从形 和 数  两方 面 来 建 构 和 研 究 数 学 , 向 量 作 为 数 形 结 合 的 载  体, 具有 承上 启 下 的作 用 .  
3 . 2 在 课 堂教 学 中怎样 引入 才会 更加 合理  首先 , 要 符 合 学 生 的认 知 发展 规 律 , 不 能 跳 跃 太  大, 让学 生感 到无 从 下手 , 应在 已有 的知 识积 累 中 , 最 

方法 探究 两 角和 与差 的余 弦公 式 , 通过 计 算 证 明特殊 
条件 下 的成 立 , 进 而再 推 广 到 一 般形 式 , 这 节 课 的效  率 很高 , 大部 分学 生都 能 轻松解 决 问题.   片段 3 : 高含量 , 层 层递 进.   片段 3最大 限度 地让 学生 参 与课 堂 教 学 , 不断 地  提 出 问题 , 意在 让学 生 自己仔 细 观察 、 独 立 思考 , 给 学 
生 提供 了很 大 的思维 空 间 , 激 发 了他 们学 习数 学 的热 

好是 近 期所 学 知识 的基 础上逐 步 提 高 , 完成 从 量 变到 
质 变 的飞跃 . 其次 , 教 师 在 学 生探 索 新 知 的过 程 中所 

扮 演 的角 色应 当 是 引 领 者 , 决不能灌输 , 扼 杀 学 生 的 
创造力, 也 不能 铺 垫 太 多 , 干 涉学 生 的独 立 思 考 与合 

情 和 兴趣 . 虽然 只有 少 部 分 学 生 能 发 现 结 论 , 但 绝 大 
多数 学生 都在 积 极 思 考 , 勇于参与 , 还有学生能给 出   不 同于课 本 的解法 .   笔者 在 思 考 三 个 片 段 的 优 点 时 , 再次研究课本 ,   认 为 在本 节课 的教 学 引入 中应该 着力 解决 两 大问题 :   ( 1 ) 为什 么要 在单 位 圆 中研 究 问题 ?   ( 2 ) 怎样 让学 生发 现 用 向量 数 量 积 的两 种形 式解 
决 问题 ?  

作 探 究. 教 师不 是 联 通 两 岸 的桥 梁 , 而是 黑 暗 中 的 一  盏明灯 , 陪伴学 生 突破 难 点 , 找 到 方 向. 正 因为 如 此 ,   教 师 所提 出 的问题 更要 像 春雨般 随风 潜入 夜 , 润 物 细  无声 , 让 学生 在不 自觉 中前 进.  
参 考 文 献 

1 杨佩 琼 , 王 一 杰 .如 此 创 设 情 境 为 哪 般 ? [ J ] . 中 学 数 学  教学 参 考 ( 上半 月) , 2 0 0 8 , 1 ~2   2 臧 立 本 .两 角 和 与 差 的余 弦公 式 教学 实 录 与 反 思 [ J _ . 中 
学 数 学 月刊 , 2 O 1 0 , 4  

教 学 时 空  论教谈 学 

Ⅲ…  

,  



年 第7期  上 旬 ,  

中学 瓠 学教 学 参考 

挖 掘 ‘ ‘   微 积 分 概 念  , ,   中 的 
|   李佳 慧 ( 山东 省沾 化 县第 一 中学 )  
微 积分 的理 论 从 发 端 到 成 熟 , 前后经历 了 2 0 0 0  

样, 理 解导 数 之本 质 的最好 方 法是 考虑 速 度.  

多 年 的 时间 , 这说 明古 人 发展 和 接受 这 个 理 论并 不 顺  利. 今 天 的学生 在 学 习时产 生 理解 上 的 困难 是毫 不 奇  怪的 , 他们 也许 可 以凭 借 着公 式熟 练 地 进 行 导数 与 积  分 的计 算 , 但却 可 能不 知 道这 种 表 面化 计 算 的 内在 涵 
义. 近 年来 人们 已经 认 识 到 , 在 学 习数 学 时 如 果 不 从 

首先 , 学 生 已经从 物理 学得 知 自由落体 是 匀 加 速 

运动, 其位移是 s ( £ ) 一÷g £   , 瞬时速度为 ( £ ) 一g t ,  
那 么物 体 下落 2秒 时 的 瞬 时 速 度 为 2 g . 换 个 角 度 从 
平均 速 度进 行 逼近 也 可获得 此 结 论. 教 师让 学 生 观察 

数学 历 史发 展 的角 度来 组 织教 学 的 体 系 与 内容 , 就 难  以让 学 生 真正 理 解 课 本 上 形 式 化 推 理 体 系 背 后 所 包  含 的实 际 内涵 . 人们发现 , 历 史 上 数 学 家 们 的 一 些 朴  素 的想 法 和所 解 决 的 一 些 相 对 简 单 的 问题 极 具 教 育  上 的价 值. 本文 试 图运用 数 学史 的观 点 与材 料 来 重 新  组织 微 积分 概 念 的入 门教学 , 希 望 能 给 高 中数 学 教 师 


不 同时 间 间隔 上 的 平 均 速 度 : [ 1 , 2 ] 上 的 平 均 速 度 是 


警 , 依 此 类 推 , [   3 , 2 ] 上 的 平 均 速 度 是  

华, 4   I 1   导, 2   I   l 上 的 平 均 速 度 是   O  I , J   华, 2   l 『   上 的 平 均 速  

度 是 警, … , I   2 一   , 2 】 上 的 平 均 速 度 是 ( 2 一  ) g .  
显然 , 当时 间间 隔 越 来 越 小 时 , 平 均 速 度 也 就 越 来 越  接 近 2秒 时 的瞬 时速 度 2 g .   这一 过 程学 生 比较 容易 接受 , 也可 以让 学生 感 到  导 数 与现 实 生 活有 着 密 切关 系. 接下来 , 教 师 又 将 这 


些 具 体 的教学 建议 .  
有 的教 师 常会 提 出这 样 的 问 题 “ 不讲极限定义 ,  

如何 讲 好微 积 分?应 怎 样设 计 教 学 ? ” 回顾 历史 , 我 们  将看到 , 极 限 的严 格 定 义 是 很 晚 才 出 现 的. 人 们 先 是  提 出 了求 不 规则 图形 的 面积 与体 积 、 求作 切 线 和 求极 

认 知过 程迁 移 到平 均 变 化 率 , 再到变化率 , 认 识 导  《 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实验) 》 的妙 处 就 在 于 

值 等 问题 , 接 着 给 出 了 各 种 特 殊 的解 法 , 然 后 再 从 这 
些 解 法 中提炼 出导数 与积 分 的重 要 概 念 , 形 成 微 积分 

数 也就 水 到渠 成 了.   让 学生 通 过 观察 一 系列 平 均 速 度 的逼 近变 化 形 成 思  维 的嬗 变 , 升华 出瞬 时速度 的概 念 , 理解 变 化 率 思想 .   可 以说 , 学 生 在最 近发 展 区 内通过 已有 的 知识 框 架建  构 出 了新 的 知 识—— 导 数 概 念. 事实上 , 这 也 正 是 当  初 微 积 分产 生 时 的朴 素思想 和 基本 过程 .  

简单 的统一解 法 . 《 普 通 高 中课程 改 革 方案 ( 实验) 》 指 
出: “ 普通 高 中 教育 是 在 九 年 义 务 教 育 基 础 上 进 一 步  提 高 国民素质 、 面 向大 众 的基 础 教 育. ” 鉴于此 , 《 普 通  高 中数学 课程 标 准 ( 实验) 》 明确 强 调 高 中数 学课 程 要  “ 注重 提 高学 生 的数 学 思维 能力 ” “ 发 展 学 生 的数 学 应  用 意 识” . 所以, 作 为“ 下放” 的 内容 , 高 中 微 积 分 课 程 
更 要 注重 知识 发生 、 发 展 的过 程.  

2 关于 定积分概念 的教学 
定 积分 概念 的教 学 可 以 从 阿 基 米 德 怎 样 求 圆 的  面积 谈起 . 这位 古希 腊 最伟 大 的数 学 家把 内接 多边 形  接 近 圆 的思 想发 扬 光大 , 从 而为 微 积分 这 一 数学 中基  础 学科 的产 生奠 定 了思 想基 础 .   阿基 米 德把 圆分成 许多 个 顶点 在 圆 心 的小 扇 形 ,   由于这 些 小 扇形 很 小 , 所 以可 看 成 三 角 形 , 三 角 形 的 

1 关 于导数概念的 教学 
导数 是微积分 的核心 概念 , 理 解 导 数 概 念 的 实  质, 把 握导 数概 念 的生 成 所 反 映 的 思 想 和 方 法 , 是 学  习微积 分 的重 中之 重. 从导 数 概念 的发 生 、 发 展 来看 ,   变 化率 则是 导数 思想 方 法 的核 心 , 亦 即中学 开 设 微 积  分 课程 价值 的核心 . 在 教学 中会 发 现 变化 率 的教 学成 

底 边长 加 起来 近 似等 于 圆 的周 长 C, 而 三角 形 的高 近  似 等 于 圆的半 径 r , 所 以 圆的 面积 就等 于一 个底 为 C,  
( 下转 第 2 6页 )  

为 激发 学 生思 维 、 建 立 导 数 概 念 的“ 焦点” , 我 们 可 以 
围绕速 度 进 行 导 数 概 念 的 教 学 , 正 如 牛 顿 所 做 的 那 

课 例 点评 . .教学 时空  
2 0 1 1年 第7 期 (上 甸 )  
中学 盘 学教 学 参考 
J, 1~  
…   。   . , …  

|  

巧 妙 地 预 设 生 成 课 堂 的精  而 且 更 精彩 .  


数的 应  
课例 : 潘  静 ( 江 苏省 宜兴 市丁蜀 中等 专业 学校 )   点评 : 周   军( 江 苏省 宜兴 市丁 蜀高级 中学 )   传 统单 元 小结 课 的模 式 人 为 地 将 单 元 知 识 结 构  和 例题 教学 割裂 成“ 两 张 皮” ( 即知 识 与例 题 分 家) , 导 
致 学生 对单 元 知识结 构 的认识 片 面 , 甚 至 只是 记住 了   习, 大 家 已经 认 识 到它 的应 用 价值 . 本 节 课 我 们 通 过 

探 究一 个经 济生 活实例 来 共 同 回顾 、 梳理 第 二 章 的主 
要 知识 .  

题 型套 路 , 而忽 视 了该 单 元 的核 心 知 识 和 思 想 方 法.   因此 , 如何 突破 单元 小结 课 的 固有模 式 ? 怎样 设计 单  元 小 结课 才有 新 意 ? 如何 提 升单 元 小 结 课 的课 堂 效 
率 等 问题 一直 困扰着 一 线 教 师 , 为此 我 们 对 “ 2 0 0 9年 

教师 : 大家 知道 , 2 0 0 8年 在 我 们 的经 济 生 活领 域  里发 生 了一件 大事.   学生 : 金融 危机 .  

教师 : 这场 由美 国次 贷危 机 引发 的华 尔街 金 融风  暴席 卷全 球 , 我 国也 未 能 幸 免 , 经济 受 到 了较 大 的影 
响 和冲击 . 在 中 央政 府 的政 策 调 控 下 , 我 国 当前 的 经 

江苏 省无 锡市 高 中数 学 青 年 教 师优 质课 评 比暨 观摩  活动 ” 中, 潘静老师所执教的苏教版《 数学 1 》 第 二 章  “ 函数 的应用 小结 ” 的课 例 进行 评 析 , 以期 引 起广 大 一 

济运 行情 况 如何 呢? 为此 我 们 先来 了解 一 个 反 映 经 
济 变化 的重要 指标 P MI 的相关 知识 .  

线教 师 对有 效地 上好 单元 小结课 的进一 步研 讨.  

1 教 学 目标 
( 1 ) 通 过实 例 探 究 帮 助 学 生 回顾 、 梳 理 本 章 的知 
识 点 及建 构知 识 结 构 框 图 , 系 统 地 认 识 本 章 内容 , 培 

( 以熟悉 的知 识 背 景 切 人 本 节 课 , 以 经 济 知 识 为 
背景, 提高 了学 生 的学 习积 极 性 , 增 加 了 学 生 对 课 外 
知 识 的 了解 )   2 . 2 实 例 探 究 

养学 生整 合及 运用 所学 知识 解决 具体 问题 的能 力 ;   ( 2 ) 加 深 对 方 程 的 根 与 函数 的零 点 的 联 系 的理  解, 掌握 用二 分 法求 方 程 的近 似 解 , 进 一 步 体会 函数 
与方 程 的思 想 ;  

实例 P MI 是 反 映 经 济 变 化 的重 要 先 行 指 标. 通  过P MI , 可 以及时监 测 和预 测经 济与 商业 活动 中出现  的 问题 和趋势 , 使政府对宏观经济有更好的把握. 一  般 而言 , P MI 在5 O以上 , 反 映 经 济 总体 扩 张 , 接近 6 O   时, 有经 济过 热的 风 险 ; 低于 5 0 , 反 映 经 济 衰退 , 接 近  4 O时 , 有经 济萧 条 的忧虑 .   下 表是 我 国 2 0 0 9年 1月份 到 1 0月 份 的 P MI :  
月 份  1   2   3   4   5   6   7   8   9   1 O  

( 3 ) 能初 步 应 用 函 数模 型解 决 实 际 问题 , 进 一 步  渗 透数 学建 模 、 函数 拟 合 的 思 想 方法 , 体 验 函 数 是 描  述 客观 世界 变化 规律 的基 本数 学模 型 , 感 受 应 用 函数  概 念 建立模 型 的过 程与方 法 , 逐 步认 识 数学 的科学 价 

值、 文化价 值 和应 用价值 .  

【 P M I   4 5 . 3  4 9  5 2 . 4   5 3 . 5   5 3 . 1   5 3 . 2   5 3 . 3  5 4  5 4 . 3   5 5 . 2  
试根 据 以上数据 预测 我 国 1 1 月份 的 P MI .   ( 以实际 问题 为 载体 , 给 出新 信 息情 境 , 要 求 学生 

2   教 学 简 录 
2 . 1 情 境 引入 

我们知道, 数 学 来 源 于生 活 而 又 服 务 于 生 活. 函  

联 系 已学 过 的函数模 型分 析 和解 决 问题 , 意在 培 养学 
生 的 阅读 理解 能力 和知 识 的迁移 能力 )  

数 是描 述 客观世 界 变化规 律 的重要 数 学 模 型 , 通 过 学 

々 

教 学 时 空  课例点  

。n 

、  

2 0 1 1 年 第7期 (上 旬 )  
中学 擞 学教 学 参 考  

教师 : 我们通 过什 么方式来 预测 1 1月 份 的 
PM I呢 ?  

教师: 再 结 合 题 意 和 实 际思 考一 下 , 大 家 分 组讨 
论, 说 说 自己的观 点.  

学生 : 建 立 函数模 型 .   教师 : 建 立 函数模 型解 决 实 际 问题 的基 本 过 程是 
什么呢?   ( 回归 课 本 , 引导 学 生 看 课 本 P . 8 2的相 关 内容 ,  

学生 : 如 果选 择 分段 函数 , 经济 增 长 速度 太快 , 很  快 会 出现 经济 过 热 的现象 .   学生 : 可 选 择 对 数 函数 型 或 
幂 函数型 .  
( 动 画展示 图 3 )  

并 熟悉 建 立 函数模 型解 决 实 际问题 的六 个 步骤 )   教师 : 由 于手 工 描 点 不 精 确 ,  
老 师 已利 用 电 脑 帮 助 大 家 画 出 了 

( 在选 择拟 合 函数 类 型 的过 程 
中, 呈 现知 识 点 2 —— 几 类 不 同增  长 的 函数模 型 )  
图3  

散 点 图. 请大家仔 细观察散 点图 ,  
看 看它 比 较 吻 合 哪 个 函数 模 型 的 
图象 ?( 动 画展 示 图 1 )  

教师 : 假如 我们 都 是 经 济 学 家 , 大家更希望 P MI   数 据 吻合 哪个 函数模 型 ?为 什 么?   学生 : 对 数 函数 型 ; 幂 函数 型 的增 长 速 度 比对 数  函数 型的要 快 , 容易经济过热 , 对 数 函 数 型 的 增 长 速 
度 比较 平缓 .   教师 : 选 定 对数 函数 型 , 为 了方 便计 算 , 将 系数 适  当地 简 化 , 取 Y 一3 . 8 1 n   z+4 6 . 6 , 用 这 个 函数 模 型 来 

( 组 织 学生 主动 地探 求 、 同伴 间合 作 交 流 , 有 利 于 
学 生 自觉地 将所 学 的知 识用 于解 决 实 际 的 问题 , 增 强  学 生 的应 用 意识 )   教师 : 大家选 择 了哪些 函数模 型 ?  

学生 : 对 数 函数 型 、 幂 函数 型 、 分 段 函数 型… …  教师 : 大家 为什 么没 有选 择 指数 函数 型 呢?   学生 : 指数 函数 型 的增长 速度 越 来 越 快 , 呈“ 指 数 
爆炸” 的特点 .  

近似 刻 画 P MI 与 月 份 的 函数 关 系 , 请 同学 们 用 这 个 
函数 模 型来 预测 1 1 月份的 P MI .  
学生: 5 5 . 7 .  

教师 : 怎样来 求 这些 函数 模 型呢 ?   学生 : 选 择数 据 , 利 用 待定 系 数法 , 借 助 计算 器 进 
行 求解 .  

教师: 数 据 比较理 想 , 但 是 否 准确 要 等 到 1 1月 份 
经济 数据 的揭 晓.   教师: 我 们知 道经 济学 家 的 眼光 是 独 到犀 利 而 又  长远 的 , 同 学 们 能 否 利 用 对 数 函数 型 进 一 步 预 测 一  下, 经过 多少 个月后 , 会 出现经 济 过热 的现 象 呢 ?  

教师 : 我 们 知 道选 择 的数 据 不 同 , 求 出的 函 数 解  析 式 可能 会不 一 样 , 甚 至会大不一样 , 今 天 我 们 运 用  计 算机 来 获得 更精 确 的 函数模 型.   ( 在学 生 思维 的最 近 发 展 区 提 出 新 问 题 , 呈 现 知 
识点 1 —— 建 立 实 际问 题 的函数 模 型)  

学生 : 求 解方 程 3 . 8 1 n   z+4 6 . 6 —6 0 , 即 3 . 8 1 n   z   = = = 1 3 . 4 , 用 计算 器求 得  一3 3 . 9 9 .   ( 在利 用 函数 模 型 进 行 预 测 的 过 程 中 , 呈 现 知识  点 3 —— 用 已知 函数模 型解决 问题 )   教师 : 我们 刚才 用 计算 器求 出 了这 个方 程 的近似  解, 本 章我 们 学 习 了一 种 求 方 程 的近 似 解 的 方 法 叫  什么?  
学生 : 二分 法.  

打开 e x c e l , 输入 数 据并选 中, 插入 “ 图表 ” 中 的  “ 散 点 图” , 选 中散 点 图 中的散 点点 击右 键 , 选择“ 添加  趋 势线 ” ( 即 拟 合 程 度 最 好 的 函 数 的 图象 ) , 点击 “ 类  型” 中 的“ 对数” “ 选项” 中的“ 显 示  公式 ” , 点击 “ 确定” , 求 出 了对数 函 
数型, 比用计算器求 解更方便 、 更 

教师 : 我们 会用 二 分法 求这 个 方程 的 近似解 吗 ?  
引导学 生看 课本 P . 9 0的 相 关 内容 , 并 熟 悉 用 二  分 法求 方程 近 似解 的基 本步 骤 .  

精确 . ( 动 画展示 图 2 )  

学生 : 先令 厂 ( z ) = = = 3 . 8 1 n   z 一1 3 . 4 ( 求 方 程 的根转  化 为求 函数 的零 点 ) , 确 定 函数 零 点 的初 始 区 间 , 根据 

函数 零 点 的存在 性定 理 逐步 缩小 零 点 所 在 的 区 间 , 结  合实际, 有 限次 重复相 同步骤 后 可得 到 结果 .  
( 在 回归 课 本 的 过 程 中 , 呈现 知识 点 4 —— 函数  的零 点 与其 对应 方程 根 的关 系 )   教师: 大 家对 用二 分 法求 方 程 的 近似 解 的基 本步 

, 

二 ‘ .  

2 0 1 1年 第 7 期 (上 甸 )   中学 教 学教 学 参考 

课例点评  教 学 时 空  
.  

。 

骤还 是很 熟悉 , 注 意体 会 函数 与 方 程 的 联 系 和 “ 逐 步  逼近 ” 的 思想 . 由于要重 复 相 同的步 骤 , 所 以可 设 计程  序借 助计 算 器完 成.  
( 在 运用 二分 法求 近似 解 的 过程 中 , 呈 现 知识 点  5 —— 用 二分 法求 方程 的近似解 )  

为 了“ 省 时间 、 赶进 度 ” , 教 师 就 少 上 或不 上 单 元小 结 

课, 将 其 内容安 排 为 学 生 的课 外 作 业 , 由学 生课 外 自   己完 成 , 然 后直 接 进 行 拔 高性 的例 题 教 学 , 章 节 复 习  与单 元小 结往往 被 高难度 、 高 强度 的“ 一步 到位 ” 式 的 
题 型教学 和一招 一式 、 支离 破碎 的题 组训 练所 替代 .   模式 2 “ 课 堂 引导 + 例题 教 学 +变 式 训 练 ” 式.  

3 教 学 反 思 
通 过 本 节 课 的教 学 实 践 , 认 识 到 多 一 点 精 心 预  设, 就能 融 一 份 动 态 生 成 , 体会到什 么是 由“ 关 注 知  识” 转 向“ 关注学生” . 在 教学 过 程 中 , 注 意 到 了 由“ 给  出知识 ” 转 向“ 引起 活动 ” , 由“ 完成 教学 任 务 ” 转 向“ 促 
进 学生 发展 ” , 课 堂 上 的真 正 主人是 学生 .  


课 堂引导 又分 为两种 形式 , 一 种是 教 师往 往 只是 停 留  
在课 堂上 , 给一 定 的 时 间 让 学 生 自行 整理 , 然 后 简 单 

地 归纳一 下就 进行 大量 的例题 教 学 ; 另一 种 是教 师 借  用 一些 流行 的资料 上 的做 法 , 先采 用 教 师 问学生 答 的  方式 引导 学生 进行 知识结 构 梳理 , 再 通过 典 型例 题 和  变 式训 练这种 讲练 结合 的方式 进行 归 纳小结 .  
事 实上 , 单元 小结课 的价 值 与功 能 在 于通 过 呼朋 

堂好课 , 教 师 和 学 生 一定 会 有 共 同的 、 积 极 的 

情 感体 验. 本节 课 的 教 学 中 , 知 识 点 均 是 学 生 通 过 在  解 决实 际 生活 问题 的过 程 中“ 抽 出” 的, 并 通 过 动态 地  串知成 链 , 完成 知 识 结 构 框 架 图 , 学 生 真 正 体 会 到 数 
学 来源 于 生活 又服 务 于生活 .  

引伴式 的“ 温故” , 实现举 杯相邀式 的“ 知新 ” , 在“ 立 
足” 与“ 拔高” 的 同时 , 展 现“ 深 情 回望 ” 与“ 启 迪 未来 ” .  

通 过单元 复 习促进 知识 的前 后联 系 , 及 时解 决 学 生 的  疑难 问题 , 提 高学 生 的解 题 技 能 , 使 学 生 在 原 有 的知  识 基础 上得 到更 大 的 提 高. 因此 , 上 好 单 元 复 习小 结  课, 是 提高数 学教 学质量 的一个 重要 环节 .   潘 老师 这堂单 元小 结课 , 确 实让 人 有 耳 目一 新 的  感觉 , 在高效 地 完成 了教 学 任 务 的 同时 , 体 现 了 如 下 
特色 :  
4 . 1 前 卫 的 设 计 理 念 

成 功 之 处 :一 是 教学 设 计独 到 而又 新颖 , 打破 常  规, 不 走 寻常路 , 利 用 一个 实例 的探 究 完 成 本 节 课 的  教学 目标 , 突 出 以学 生 为 主 体 , 教 师 以 引导 者 的身 份  帮助他 们 完成 知识 结构 体系 的建 构 ; 二 是教 态 自然得  体, 亲 和力 强 , 能很 好地 驾驭 课 堂 , 积 极 调动 学 生 思考  问题 , 课 堂气 氛活 跃 ; 三 是 多媒 体 课 件 的 内容 丰 富而  又简 洁 , 它仅 仅作 为课 堂教 学 的辅 助 载体.  
改进 之 处 :一是 由于时 间关 系 , 这 堂课 中在 完成 

对 于 这 节单 元 小 结 课 , 有 专 家 评 委 提 出质 疑 , 认 
为上得 有些 不伦 不类 , 最大 的 问题 是 到底 这是 一 节 复 

了知识 结 构体 系 的建 构后 , 没有 时 间去 梳理 本 章 知识  方法 上 的易混 点 、 易错 点 , 若 时 间充 裕 , 可考 虑 布 置一  定数 量 的小题 让学 生在 解题 的过程 中加 以 区分 ; 二是  现在 1 1月 份 的 P MI 数 据 已经 出 来 , 再 次 上 这 节 课  时, 可 以通过 网上链 接 比较 学 生 自己 的计 算 结 果 , 让 
学生 享受 成 功 的喜 悦 .  

习课 还是新 授课 , 如果 是 复 习课 , 那 么 应该 把 重 点 放  在 回顾 本 单元知识 要 点上 , 然后 通 过典 型例 题夯 实 基  础, 没有必 要像 新授 课 那 样 设 计 问题 情 境 , 潘 老 师 的  上课方 式 显得课 型定位 不 准确 . 而 笔 者 的观 点恰 恰 相  反, 单 元 复习小 结课 , 不 只 是 将 所 学 的数 学 知 识 机 械  地重 复 和简单 地 罗列 , 而是 将 知识 、 思 想 和 方 法 融 人 
问题 情境 之 中 , 在 问 题 探 究 的 过 程 中 加 以归 纳 总 结 ,  

预设 思路 决 定 出路 , 生成 细 节 决 定成 败 , 让 我们  像该 课例 一样 去创 造 性地使 用 教材 , 在 平 常 的教 学 中  多一 些创 造 意识 和创 造精 神 , 这样 我们 的数 学课 堂 教  学一 定会 更 加有 效 , 更加精 彩 .  

使其 动态 化 、 系统化 、 网络 化 和结 构化 , 形成 一 个完 整 
的知 识结 构库 和一 副动态 的思 维 导 向 图. 潘 老 师成 功 

地 实现 了这一 点 , 本 节课 最值 得借 鉴 之 处 就是 将设 计 

4 教学评 析 
单元 小 结课 过 去 传 统 的做 法 是 首 先 把 本 单 元 内   容 的知识 点 串讲 一遍 , 以及 由此所 牵 涉 的一 些方 法 和  技 能再做 一 些 小结 , 然 后 提 供 一 些 典 型 的例 题 , 作 为  知识 点 和技 能方 法 的熟 练和 提升 , 更 多 的是 让学 生 做  题. 通 常有 如下 两种 传统 的操 作模 式 :  
模式 1 “ 学 生 自学 +题 型讲 授 + 题组 训 练 ” 式.  

理念 定位 在打 破传 统单元 小结 课 的格 局 上 , 以新授 课 
的模 式来 构 建 复 习 课 的课 堂 , 从 以 生 为 本 的 角 度 出  发, 通过 一 个 问 题 的 探 究 , 紧 紧 围绕 重 点 展 开 , 采 用  “ 问题情 境一 实例探 究一 探 中抽 知 一分 段 呈 现一 动 态  生 成一 有效 建构” 的教 学 流 程 , 既较 好 地兼 顾 了全 章  认 知结构 的形 成 和知识要 点 的 梳理 , 又突 出体 现 了学  生 如何 应用 函数模 型解 决实 际 问题 的能 力提 升 , 有 效 
地 突破 了难 点 , 两 者有 机 匹配 , 相得 益 彰 . 谁 说 复 习课 

教  时 


课例点 评。 i    、   } f   …。   . 、 0  n r ' J g 5 :    n L I C : ∞   ㈣ c   0  
’  

2 — 0 … 1 1 年 茸 第 蔼 7   期 乳  上  I - 甸 , 、  
中 学数学 教学参 考 厶  

就 不 能有情 境 的设 计 和 问题 的引 入 , 另类 的设 计 有错  吗 ?笔 者 认 为 , 潘老 师独具 匠心, 课 堂设计大 胆、 前 

势 有 时候 会误 导选 择 , 而现 在通 过 电脑作 图可 以减 少  误差 , 更加 有助 于 学生做 出准确 的选 择. 在 这一 环 节 ,   笔 者认 为 如果 让 几 位 学 生 到 电 脑 前 操 作 一 下 作 图过  程, 让 其他 学生 观察 讨论 或 者干 脆 把课 堂安 排在 多媒  体机 房 , 让 每位 学生 都参 与实 践 , 这 样 更 能 活跃 课 堂 ,  

卫, 敢 于 向传统 权 威 挑 战 , 这 正 是 新 课 程 改 革 中不 可 
或 缺 的创新 精 神.  
4 . 2 巧 妙 的 知 识 梳 理 

传 统 的单元 小 结 课 对 于 知识 的 梳 理 无 非 两 种 处  理方 式 : ( 1 ) 以讲 学稿 形 式给 出本 单 元 知识 要 点 框 图 ,   让学 生 自行 梳 理 ; ( 2 ) 教 师将 各 知识 要 点 转 化 为 问 题  形 式 向学 生 提 出 , 在一 问 一 答 中实 现 知 识 的梳 理 . 这  两种 知识 的 梳理 方法 , 都 过于 机 械化 、 程式化 , 没 有 很  好 地 考虑 学 生 的学 习兴 趣 和记 忆 能力 , 因此 , 学 生 即  使 被动 接 受 , 强行 记忆 , 也并 未 真 正 理解 掌 握 , 而 且 容  易 短 时遗 忘. 本章 有两 大节 共 五个 知识 点 , 其 中“ 建立 
实 际 问题 的 函数 模 型 和 利 用 已知 函数 的模 型 解 决 实 

激发 学 生 的学 习热情 和操 作 意识 , 从 而对 相关 知 识 点 
认识 更 深刻 , 掌 握更 牢 固. 又如, 当学 生 选 定对 数 函数 

模 型来 近似 刻 画 P MI 与 月 份 的 函数 关 系 时 , 适 当 简  化 系数 , 取  一 3 . 8 1 n   +4 6 . 6 , 如 何 用 它 来 预 测 经 过  多少 个 月 后 , 会 出现 经 济 过 热 的 现 象 呢?根 据 P MI   经 济 指标 的 意义 , 接近 6 O就会 经 济 过热 , 所 以只 需求  解方程 3 . 8 1 n   z +4 6 . 6 —6 0 , 教 师 引 导 学 生 用 本 章所 

学的“ 二分 法 ” 求方 程 的近 似解 . 这 里 呈 现 了一 个 具有 
重 要 意义 的例 题 , 由 于受 高 中 知识 体 系 的 限 制 , 有 一  类 超越 方 程我 们 无 法 求 解 , 只 能通 过 “ 折半查找” “ 无  限逼 近 ” 的思想 , 求 方程 的 近似解 , 从 中我 们 能 感受 到  大 学高 等数 学 的 思 想 精髓 在 中 等 数 学 教 学 中 的 自然  渗透 . 单 元 复习 课 中 , 例题 教 学不 可 或 缺 , 但 如果 生硬  地 与单 元知 识结 构 割裂 , 只是 罗 列 题 型 , 提炼 方 法 , 那 
么学 生 只能 为 题 型所 累 , 沦 为 机 械 解 题 的工 具 . 而 在 

际 问题 ” 作 为 一条 主线 贯 彻 全 章 始 终 , 而 方 程 的根 与  函数 的零 点 的关 系 , 用二分法求方程 的近似解 , 是 在  建立 和 运用 函数 模 型 的大背 景 下展 开 的 . 如 此 纷杂 的  知识 脉 络 , 让 学 生 自行 梳 理 或 教 师 直 接 灌 输 都 不 是  “ 上 策” . 本 节课 中 的所 有 知 识 点 , 教 师 并 没 有 直 接 给  出, 而是 采用 探究 抽 知 、 分块 搭建 和情 境 交融 的方 法 ,   在 教 师精 心设 计 的 问题 中让 学生 “ 发现” 知识 点 , 巧 妙  地 再 现 了本 章 的主要 知识 点 , 在 动态 生 成 的过 程 中使 

潘 老 师 的课 中 , 例题 与知 识点 蕴 涵 于实 例 探究 的各 个  环节 之 中 , 看 似 寻 找 预测 1 1月 份 P MI 值的方式 , 实  则 在 分层 探究 的每个 步骤 中 隐性 呈 现 了经 典 例 题 , 水  到渠 成地 引 出 了知识 点 , 可 谓“ 明修 栈 道 , 暗度 陈仓 ” .   这 样 的设 计 , 可 以将 例 题 和 知识 点 有 机 结 合 , 水 乳交  融, 最 大程 度 地完 善 学 生 的认 知结 构 和 知 识 体 系 , 这  是 任何 传 统单 元小 结课 所无 法 比拟 的.  
4 . 4 浓厚 的 人文气 息 

学 生有 效 地完 成 了本 章知识 体 系 的建构 , 充分 体 现 了  教 师 的主 导性 、 学 生 的 主 体性 . 整 个 课 堂教 学 活 动 有 
条 不紊 , 凡 是学 生 自己 能解 决 的 事 情 , 教 师 都 没 有 包  办 代替 , 坚 决让 学 生 自 己做 , 学 生 在 自主 、 合作 、 探 究  学 习 的过 程 中 , 不 仅 完 成 了本 节 课 的 教 学 目标 , 而 且  尝 到 了学 习数 学 的乐趣 , 处 处感 受 到 成 功 的喜 悦 和数 
学 文化 的魅 力.  

传 统 的单 元 小 结 课 , 由于 复 习 的知 识 内容 繁 杂 ,  

4 . 3 隐蔽 的例 题教 学 

例 题教 学 的难 度 颇 高 , 往 往 使 得 教 师 只顾 赶 进 度 , 学 
生 疲 于做题 目, 课 堂 气 氛 比较 紧张 沉 闷 , 学 生 已无 暇 
顾及 课 堂 以外 与所学 知识 有联 系 的东 西 , 这 样 的课 已 

回顾 整 个教 学 过程 , 似 乎没 有 发现 单 独 的 例题 教 
学模 块 , 是不 是教 师 设计 的 失误 呢 ?  

细加 琢磨 , 并 非 如 此. 其实, 这节 课 最能 体 现教 师  高超 的教 学机 智 的地 方就 在 于设 计 了一个 探 究 实 例 ,   并 需要 分 层次 实 施 操 作 , 解决问题. 每解 决 一 个 问 题  就 非常 自然地 呈 现 出本 章 的一 个 重 要 知识 点 , 而 在 解  决 问题 的过程 中 已经潜 移 默化 地 渗 透 了例 题 教学 . 譬  如, 教 师通 过 电脑 作 图 , 呈 现 实 例 表 格 中数 据 的 散 点  图, 让学 生 通过 观察 来选 择 对 数 函数 型 、 指 数 函数 型 、  

经完 全 失去 了对 学生 思想 和精 神 的教 化 功能 . 而在 潘  老师 的课 堂 中始 终弥 漫着 浓厚 的人 文 气 息 , 丝 毫感 觉  不 到紧 张 , 相 反更 多 的是 清新 和 愉悦 , 细 细想 来 , 主要  来 源 于精心设 计 的引例. 选用“ 探 究 重 要 经 济 指 标  P MI ” 为背景明线 , 从 学 生 熟 悉 的生 活 情 境— — 金 融  危 机 出发 设计 数 学 问题 , 让 学生 体 验 到 数 学原 来 是 多  么 贴 近生 活 , 多么丰富多彩, 用强烈 的、 丰 富的、 感 性 

幂 函数 型 、 分段 函数 型 等 为 数 据 建模 , 选 择 的过 程 本  身就 是 一类 典 型 例 题— — “ 根据数 据绘制散点图 , 选  择合 适 函数 模 型 拟 合 数 据 ” , 只 不 过 在 这 节 课 中没 有  单独 分 类呈 现 而 已 , 而 且 这 类 题 型 可操 作 性 强 , 如 果 
让学 生 在纸 上作 图判 断往 往 不 够精 确 , 图象 的变 化 趋 

的材料 , 创 设 出使学 生跃 跃 欲试 、 寻根 问底 的 情境 ; 把  抽 象 的知识 主 线具 体化 , 引导 学 生 主 动建 构 数 学 知识 
的同 时 , 多 处对 学 生 进 行 人 文 精 神 的 熏 陶 , 让 学 生 彻  底 摒弃 “ 两 耳不 闻窗 外事 , 一 心 只读 圣 贤 书 ” 的错 误观 

念, 将 目光 更多 的关 注 社 会 经 济 领 域 的 变化 , 国家 人 

课例点评  教 学 时 空  
2 6   0 1 1   中
’  
甘  ,  

文 历史 的发 展 , 树立“ 忧 国忧 民” 的 高 尚情 操 ; 同时将  建立 函数模 型 的思想 暗线 穿插 于课 堂始 终 , 通过 探 究  如 何建 立合 适 的 函 数模 型来 预 测 我 国 2 0 0 9年 1 1月   份的 P MI , 引 导学 生扮 演经 济学 家 的身份 以睿智 的头 
脑 分析 当前 的经 济形 势 , 承 担 研 究 实 际 问题 , 提 供 决 



社 会 经济生 活 中的热点 问题 为 切入 点 , 引 出 了反 映 

经 济变 化 的重要 指 标 P MI的相 关 知 识 , 这 些 内容 也  是 政治 经济学 课程 中浓 墨重 彩反 映 的 , 这样 的设 计 让  数 学学 科与社 会 政治经 济学 科找 到 了完 美 的契 合 点 ,  
同时 吊足 了学 生 的 胃口, 迫不 及 待地 跟 随教 师 往 下探 

策 依据 , 做 好 防范 风 险 的任 务 , 既让 学 生 充 分 领 悟 到  学 习数 学 的人 文 价 值 , 又 培 养 了学 生 理 论 联 系 实 际 ,   学 以致 用 的意识 , 提高 了学 生解决 实 际问题 的 能力.  
4 . 5 强 大的 整合 功能 

究, 心 甘情愿地钻进教 师设 计 的一个 个 “ 套” 中, 听 从 教 
师 的指 令 扮 演 不 同 的 角 色 . 教 师在 教 学 中 承 担 了一 

个 出色 的 导演 的 职责 , 统筹 安 排 各个 环 节 , 合 理 整 合  教学资源 , 不 急 于将 数 学 知 识 、 数学思想 、 数 学 方 法  等显 性 化 或贴 标 签 , 而 只是 隐性 渗 透 , 让 学生 自己去 
感悟. 正可谓是“ 花开无声 , 静水深流 , 教育无痕 , 润  物无 声 ” , 这样 的处 理 方 式 , 是 传 统 单 元 小 结 课 所 望  尘莫 及 的 .  
参 考 文 献 

本节课 的设 计 体现 了强 大 的整 合 功能 , 首 先 问题  的引入 、 重 点 的突 出 、 难 点 的突破 , 都 恰 时恰 当地利 用  多媒体 课 件展 示 , 课 堂 中黑 板 、 多媒 体 、 计算 器 和投 影  仪交 互使 用 , 显示 了教 师对 现代 信息 技 术 的纯 熟 地操  作能 力 , 有效 地实 现 了信息 技术 与数 学 课 程 的有 机整  合, 尤其 在让 学 生选 择 函数 模 型 刻 画散 点 图时 , 由学  生操 作 电子表 格 生成不 同的 函数 图象 , 观 察 比较 找 出  拟合 程 度最佳 的 曲线 , 鼓 励 学 生 动手 又动 脑 , 借 助科  技 手段 解决 实际 问题 , 这种 复 习方 式 在传 统小 结 课 中  是很 少 见 的 ; 其次 , 本 课一 开始 就 以“ 金融 危机 ” 这  ( 上接 第 2 1页 )   的 问题 转 化为求 圆周长 C的 问题. 从 现在 圆 的周长 、 面 
1  

1   中华 人 民共 和 国 教 育 部 制 订 . 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实 

验) E M] . 南京 : 江 苏 教 育 出版 社 , 2 0 0 7   2 单蝉. 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 实 验 教 科 书 ?数 学 1 ( 必修 )  
[ M] . 南京 : 江 苏 教 育 出版 社 , 2 0 0 7   3 解俊. 知识梳理 课要“ 追 根溯 源, 基于有 效” [ J ] . 中 学 数 学 
教 学 参 考 (匕旬 ), 2 0 0 9, 1 2  

对 于有能 力 的学 生 , 教 师 可 以在 微 积 分 的学 习结 

高为 r的三角 形 的面积 , 这样 , 阿基 米 德就 把 求 圆 面积  束 后让他 们探 究一 下 :  



求l i m  

( pE   N+) 的值 .  

积公式 出发 , 可 以验 证 出此想 法 的正 确 性 : s = = = _ 去 _ c r 一 
厶 

1  

解 . 原 式 一   n (   )   I —   X p d x -   .  
通 过这 样 的方 式 可 以加 深学 生对 定 积 分概 念 的 理  学 素质 .  

÷( 2 n r ) r =  r 。 . 阿基米德的这个成就确实是惊人 的,  
厶 

它可 以让 学生 初 步 体 会 无 穷逼 近 方法 的 巨大 威 力 , 而  解 , 并 能充分 调动 学生 的积极 性 , 有利 于提 高 学生 的 数  这一 方法 正是 微积 分 的精华 所 在.   阿基 米德 的方 法 依 赖 于 特 殊 结 构 , 不 能 适 用 于 其 

在 长期 的教 学 中, 教 师 把 逻 辑 推 理 和 计 算 作 为 学  他 曲线 , 十七 世 纪 的 数学 家 们 发 展 了更 为 简 便 的 小 矩  习微 积分 的终 极 目标 , 忽略 了微 积 分 思 想 方 法 层 面 的  形 求和 的逼 近方 法. 可 以先 考 虑 函数 —  在 区间 [ 0 ,   1 ] 上 的曲边 三角 形 的面积 , 把 这个 区 间  等 分 , 用 每 个  小 区间上 的小 矩形 ( 取 小 区间 右端 点 的 函数 值 作 为 小 
矩 形 的长 ) 的面 积来 代替 相关 的 曲边梯 形 的面积 , 然 后  求 和 即可 . 学生通过讨论 , 可 得 出“ 分得越细 ( n越 大 )   价值 , 影 响了课 程核 心 目标 的实 现. 课 程 的评 价 不应 简  单地 停 留在 认 知 上 , 关键 在 于 考 察 是 否 实 现 了课 程 的 

核 心价值 . 若不 能将 瞬 时速度 、 变化 率 与 导数 建 立起 本  质联 系 , 仅 仅记 住 了导数 的形式 上 的定 义 , 怎能 说 是 理  解 和掌握 了导数概 念 呢?不能 正 确理 解 求 和逼 近 的 现 

逼近效 果 越好 ” 的结 论 . 再用 求 和逼 近 的方法 分 别求 出  
—  

在[ 0 , 1 ] 上和 Y 一2 x在 [ 1 , 4 ] 上 的面 积 , 并 且 与 

实 含义 , 又 怎 能 说 是 掌握 了 微 积 分 的 思 想 和 方 法 呢?  

而且要 懂得 结 果 的 产生 过 程 , 从  直接 用初 等几 何 方 法 得 出的结 果 进 行 比较 , 发 现 完 全  学 生不仅 要 知道结 果 , 体会 数学 的 思想 和 方 法 , 培养 现 代  致. 不仅 如 此 , 人 们 发现许 多 其他 的几 何 量 与物 理量  而感悟 数学 的精 神 ,


  的计 算也 需要 这 种 求 和 逼 近 的方 法 , 因此 值 得将 此方  数 学 的素质 . 法加 以提 炼 , 抽 象 出一 个基 本 的概念—— 定 积分 .   生对 现代 数学 中数 值 计算 的基 本原理 有初 步 的了解 .  
参 考文 献 

  中华 人 民 共 和 国 教 育 部 . 普通 高 中数 学 课 程标 准 ( 实验 )   这样 的 引入 能让 学 生 产 生浓 厚 的兴 趣 , 也 能 使 学  I

[ M] . 北京 : 人 民教 育 出版 社 , 2 0 0 3  

‰ 

懈 

巾  

m  

二 次 分 式 函 数 值 域 

瓣 二 次 函数 零 点 分 布 问题 
解 决 函 数 问 题 ,要 注 意 转 化 的 思 想 、图 象 的 应 用和 导 数 的 方 法 .  

黄  超 ( 浙江 省 安吉 县 昌硕 高级 中学 )   就 可 以转化 为 学生 相对 比较 熟 悉 的 问题 , 至 此 教 师 的  教 学就 可 以告 一段 落 了. 我们 在此 讨 论 该 问题 的 目的  并 不是 想让 学 生将 问题 最 终转化 为 函数 ④ 的 问题 ( 这  是 一种 非 等价 转 化 ) 加 以解 决 , 而 是 为 了适 当简 化 对  问题 的讨论 . 以下 的讨 论我 们将 从 函数 ②开 始.  
1 . 2 判别 式 法求 二次 分式 函数 值 域 中 的“ 漏 洞” 的再 
分 析 

《 中学 数 学 教 学 参 考 》 ( 上旬 ) 2 0 1 0年 第 1 2期 发  表 的《 幽 探二 次 函数 零 点 分 布及 其 运 用 价 值 》 [ 1 ] 主 要  讨 论 了二 次 分式 函数 的值 域 问题 , 并 涉 及 了二 次 函数 
零 点 分 布 问题. 笔者读后深受启发 , 同 时 对 文 章 中部  分 内容 的处 理产 生 了一些 想 法 , 现从 以下 两 个方 面加  以说 明 , 请 同行指 正 .  

1   二 次 分 式 函 数 的 值 域 问 题 
文[ 1 ] 是 用 判 别 式 法 予 以解 决 的 , 同 时 对 求 解 中  的“ 漏洞” 进 行 了分析 , 并 对转 化 的方 法 给 予 了一 定 的  说明. 笔 者认 为 , 对 于 没 有 给 定 区 间 的 二 次 分 式 函数 
的值域 问题 , 判别 式 法 是 不 错 的 方 法 , 但 对 于 给 定 区 

如 果学 生 在用 判 别 式 法 求 解 二 次 分 式 函数 值 域  时, 都先 尝试 去 对分 子 和分 母 中 的二 次 函数 式 进行 分  解 因式 , 则 可 以有 如 下 的解 题 策 略 : 若 发 现 函数 是 所  谓 的“ 伪” 二 次分 式 函数 , 就 可 以用 一 次分 式 函 数 的方  法予 以解 决 , 否 则就 用 判别 式法 解 决 而且 不 用 检 验 △   一0的情形 . 但 学 生 需 要 先 分 解 因式 , 这 样 还 不 如 先  用 判别 式法 求解 , 再检验 △ 一0的情 形 更 容易 把握 . 判  别式 法 的本 质 是 将 二 次分 式 函数 的 问 题 转 化 为 含 参  数 的二 次 函数 的 问 题 , 这 是 考 查 这 一 类 问题 的 目的.   笔者 认 为 , 从 数 学 问 题 设 计 的角 度 来 看 , 构 造 所 谓 的  “ 伪” 二次 分 式 函数 让学 生去求值 域不是 一个好 的数学 

间上 的二 次分 式 函数 的值 域 问题 , 可 以主 要从 两 个 方 
面来研 究 : 一 是转 化 的思 想 , 二是 导数 的方法 .  
1 . 1 转 化 的思想 

文E Y ] 在“ 关 于二 次分 式 函数 的值 域求 法 的 思考 ”   中给 出 了转化 的求 解 策 略 , 分 析 也 比较 清 楚 . 笔 者 此 
处 只想 给 出转 化 ( 实质 是伸 缩 、 对 称或 平 移 变换 ) 的目  

标 : 函 数 ,   ) : = =   参  
或 可直 接 转化 为 h (  ) 一 

( 记 为 函 数 ① ) 的 问 题   何 意义 . 但 我 们还 是 应 该 搞清 楚 一 个 问 题 , 那 就是 : 如 
( 记 为函数③) 的 
一  

问题 , 因为这 样 的 问题 对 培养 学 生 的数 学 素 养 没有 任 

可 转 化 为 g   ) 一 ; {   詈  ( 记 为 函 数 ② ) 的 问 题 ,   形 ?文 [ 1 ] 对 这个 问题 的回答 不够透彻 , 现补充 如下 :  
问题 , 也 可进 一步 转 化 为 户( z) :  z 十三 +厂 ( 记 为 函  数④ ) 的 问题. 如果 是含 有 参数 问题 的转 化 , 上 面 的 过  —  —— 
\工 


果 是“ 伪” 二次 分 式 函数 , 为 什 么 需 要 检 验 △=0的情  让我 们从 函数② 开 始 , 构造“ 伪” 二 次 分 式 函数 Y  
二!  

——弋 L  l 、 z 。 2 、   X 3互 且 小  不 相寺 等) ,即 Y ’即   


(  

正 3,   工 

正 2,  



Z  k 二   ,  I x}     、  J 警   , 转 叮   化 r u 为 /   含 口  M 参 数  —L 的 J - I 二 次 ,   方 一 , J  ' 程 ,  


3 广3 C2   x  I  X 3x 2  

程 略嫌 复 杂 , 但如果不含参数 , 上 述 的转 化 过 程 学 生  是 比较 容 易完 成 的. 如 果能 让 学生 熟 悉 这 一条 转 化 的  途径 , 则求 解给 定 区 间上 的二 次分 式 函 数 的值 域 问题 

即( 3 , 一1 )   一[  (  2 + 3 ) 一(  1 + 2 ) ]  + y x 2 z 3  
一z , z 2 =0 ( 记 为方 程⑤ ) , 则 △一0 管3 , 一竺—  , 此 时 

思 想 方 法  鹪题中心  
, '。 

_ u  

2 0 1 1年 第7明 (上 甸 )   中学盘 学惫 学 参 考 

帆  

方 程⑤ 有两 个 相等 的实根  , 即 当 △一0时 方 程⑤ 有  解 而 原 函数 的 Y不 存 在 , 故 对 于“ 伪” 二 次 分 式 函数 ,   需 要检 验 △= = = 0的情形 . 一 言 以蔽 之 , 对于 用判 别式法  求 解二 次 分 式 函数 , 如 果 事 先 不 去 研 究 函 数 是 不 是  “ 伪” 二次分 式 函数 , 是需要 用 △一0 来 检验 的 .  
1 . 3 导数 的方 法 

X  ~ 3 x上 2  

。 + + 1 ’  

( 2 ) ,( z) 一  z  +2 x+ 1’  


z。 一3 x+ 2  

3 x+ 2  

z   +5 x+ 4 ‘  

解: ( 1 )函 数 定 义 域 为 R,  

  I
、  

导 数是 解决 函数 问题 最基 本 也是 最重 要 的工 具 ,   函数 的值域 和 函数 的单 调 性 之 间 有 着 密 不 可 分 的联  系, 故 导数 法也 应成 为求解 二 次分 式 函数 值 域 问题 的 

等罱音测  ) 在  
( 一 c × 3 ,   ) 上 单 调 递 增 , 在  
( 、  二   4 盟  ’ ,   4   ) 上单调递 j - 早  埋  

‘ l  
\  
0  j  

基 本 方法. 章建 跃老 师在 文E 2 3 中指 出 : 我 国数学 教 学 
目前存 在 的主 要 问题 之 一是“ 重解 题 技能 、 技巧 , 轻 普  适 性 思 考 方 法 的概 括 , 以‘ 题 型 +技 巧 ’ 代 替 通性 通  法, 模仿、 记忆多, 理解、 探究少 , 数 学 思维 层 次 不高 ” .   对于 二次 分式 函数 , 如果 我们重 点 关 注 的只 是判 别 式  法 中的 问题 和 技巧 , 而不 是转 化 的思 维策 略 以及 导 数 
的研究 方 法 , 则“ 正 是 教师 在 日常 教 学 中追 求 了太 多 

图 1  

减 , 在 (  

, + o c ] ) 上 单 调 递 增 , 结 合 函 数 图 象  

( 图1 ) 可 知 , 函 数值 域为[ 厂 (  
厂 (  


) ,  

的雕 虫小 技 , 把 学 生 带 到 了解 题 的 泥 沼 中 , 使 他 们 陷  入题 海 , 在 技巧 的犄 角 旮 旯 中苦 苦 挣 扎 , 不 仅 极 大 加  重 了学 生 的 学 习 负 担 , 而 且 使 他 们 忘 记 了 数 学 的 
根本 ” .  

)  [ 3 一   , s +   ] .  
【  

( 2 ) 函数 的 定 义 域 为 ( 一C > O ,  
1 )U ( 一 1 ,+ 。 。) ,f  ( z)  


仍 然 从 函 数 ② 开 始 , 令 g ( z ) 一 爹  
一  

, 则  

鲁  ( z   + 2 z +) 1     , ’   则f ( 、  )   在 ‘ 工  

\  
0 

先求 出 函数 的定义 域 , 然 后通 过求 导分 析 函数 的单 调 
性, 进 而 确 定 函 数 的 值 域. 而 由 于 g  ( z)  

( 一。 。 , 一 1 )上 单 调 递 增 ,在 

图2  

( 一 1 ,   ) 上 单 调 递 减 , 在 ( i 7 ,  

生  

, 箬 X   £ ’  T T   I 口  l   三   、 ’  
2X T e2  

, 导函 ’ J  数   +。 。 ) 上单调递增, 结合函数图象( 如图2 ) 可知, 函数 

的分 子 为二次 函数 ( 或 一次 函数 ) , 此类 函数 的单 调性  是学 生 可 以解 决 的 , 但 要正 确作 出函数 的 图象 并 求 出  函数 的值 域却 不 是 一 件 很 容 易 的事 , 原 因有 二 : 一 是 
问题 中有极 限的 思 想 , 当 z 一。 。 时, g( z ) 一l , 要 在 没 

值 域 为 [ 厂 ( 吾 ) , + 。 。 ) , 即 [ 一 去 , + 。 。 ) .  
( 3 ) 函数 的定 义域 为 ( 一。 。 ,  


4 )U ( 一 4 ,一 1 )U ( 一1 ,  

有极 限概 念 的背 景下让 学 生理解 这 一 点是 困难 的 ; 二 

+c x 。 ) , f   ( z) =  8 x 。 +4 x 一2 2  

I  
-  



 

是 函数 中可 能包 含有不 连 续点 的 问题 , 这 也是 学 生很  难 透彻 理解 的. 但 作 为求解 给定 区间 下二 次分 式 函数 
的值域 问题 , 该 方 法 还 是 比较 有 效 的 , 上 面 提 到 的 两  点 困难 不一 定会 出现 , 而 且通 过合 理 的教 学 手段 可 以   使 学生 直 观 的理 解 ( 比如 , 通过用“ 几何 画板 ” 画 图的 

D 

_ j  

则厂 ( z ) 在( 一。 。 , 一4 ) 上单 调 递 

/ ^ \  
图 3  

增 , 在 ( 一 4 ,  
递 增 , 在(  

) 上 单 调  

方 式使 学生 初 步直 观感知 , 并 辅 以简 单 的分 析 ) . 以下 
我 们通 过例 题 的形式 对三 种基 本 函数 类 型 ( 以 函数 的 

, 一1 ) 上单调递减 , 在  

第 二类 不 连续 点 的 个数 分 类 ) 加 以说 明 , 因为 用 导 数  的方 法求 解 , 可使 给定 区间求 值域 较 之 在定 义 域条 件 

( 一   ,  

) 上 单 调 递 减 , 在 (  

, + c × 。 )  

上单调 递增 , 结 合 函 数 图象 ( 图3 ) 可 知, 函数 值 域 为 

下求 值 域 更 简 单 , 故 我 们 侧 重 于 图 象 的 整 体 表 现 
形式 .  

例 1 求下 列 函数 的值域 :  

( 一 吖(   ) ] u [ , (   ) , + c x 。 )   ( 一 。 。 , t - 3 - - ' F I   l l 一 3 + 竽, + 。 。 ) .  

解  ?   簪   思 想 。  。 方 法     、 4   “ 烈   … 、 c ) 、 、   t   I C   n + ,   C O   m  
从 上 例 可 以看 出 , 如 果 是求 定 义 域条 件 下 二 次 分  式 函 数 的值域 , 判别式法( 此处 略) 比导 数 法 简 单 , 但 
f P   ( O ) 一 0,  

。 Z 。 u   1 . 1 .   年 }   第 7 f 期 '     . I -   甸 胃 l ,2 ,  9
中学 盎 学 教 学 参 考 

如果 是 求 给定 区间上 函数 的值域 , 则 导数 法 要 优 于利  用 二 次 函数零 点 分 布 的 方 法 ( 文E 1 - ] 所 采 用 的方 法 ) .  
即导 数 作 为研 究 函数 的基 本 方法 , 在 处理 二 次 分式 函  数 的过 程 中可 能会 有 一些 困难 , 但 我们 还 是 应该 教 会 

1   0 < 一  

< 3 , 无 解 ;  

㈤ ‘   l   O G   一   一 3 < 3 , … 解 得 志 一 一   等 . ‘  
综 上所 述 , k ∈( 一5 , 一2 ) .  

学生 处 理 问题 的 手段 , 尤 其是 处 理 给定 区间 求值 域 的 
问题 时 , 导 数工 具 能发 挥 简化 问题 的作用 .  

从 上例 可 以看 出 , 讨论 二次 函数 在某 个 区间上 零  点 的 问题 , 两种 方 法 都 有 其 用 武 之 地 . 而 解 法 2中 的 

另外 , 将 二 次 分 式 函数 转 化 为 函 数 ③ 的 问 题 , 求 
导之 后 的结 果 和 函数 ② 求 导 之 后 的结 果 并 无 本 质 上  的差 异 , 故 在此 不 再 讨 论 这 个 问 题 . 至 于 转 化 为 函数 
④ 的 问题 , 显然 是 另一 个话 题 , 笔 者在 此不 予 展开 .  

情况( 3 ) ( 4 ) 是 文E 1 ] 未 曾列 人 的.  
我 们可 以利 用 上 述 的 两 种 方 法解 决 类 似 的二 次  函数 零 点分 布 问题 , 但并 不是 二 次 函数 零 点 分 布 问题  都需 要这 么 解决 , 有 时求 根更 简 单 , 以2 0 0 9年 高考 数  学浙 江卷 文 科第 2 1题第 ( I I ) 问 为例 .   例3   函数 厂 ( z ) 一z 。 +( 1 一口 )   一以 ( 口 +2 )   +b ( a , b ∈R) 在 区间 ( 一1 , 1 ) 上不 单调 , 求 n的 取 值 
范 围.  

2 二 次 函 数零 点 分 布 问 题 
文[ 1 ] 将“ 二 次 函数 零 点 分 布 问题 ” 表达为“ 二 次 
函数 根 的分 布 问 题 ” 是不确切 的 , 但 文 章 对 此 问 题 的  两 种 解决 方 法 是 合 理 的. 笔 者 认 为文 [ 1 ] 对 开 区 间 上  二 次 函数 零 点 的分类 讨 论 不够 全 面 , 还 有 两种 特 殊 情 

解: 厂(  ) 一3 x   +2 ( 1 一口 ) X一口 ( 口 +2 ) = = = 3 ( z  

况 没 有考 虑 . 我们 以 2 0 0 9年 高 考 数 学 浙 江 卷 理科 第 
2 2 题第 ( I) 问为 例来 说 明.  
例 2   已知 函数 (  ) 一 。 +( 忌 一1 ) z   - t - ( 忌 +5 ) x  


— n ) ( z +   ) , 因 为 厂 (   ) 在 区 间 ( 一 1 , 1 ) 上 不 单  
调, 所 以,   ( z) 一0在 ( 一1 , 1 ) 上 有 实数 解 , 且无 重根 .  

1 , 若 P(  ) 在 区间 ( 0 , 3 ) 上 不 单 调, 求 足 的 取 值 
解: P   (  ) 一3 x 。 +2 ( 忌 一1 )  + ( 足 +5 ) , 因为 ( z )  

范围.   在区间( 0 , 3 ) 上 不单 调 , 所以P   ( z) 一0在 ( 0 , 3 ) 上有  实 数解 , 且 无 重 根.  

故 一 1 < n < 1 或 一 1 < 一 生 兽< 1 且以 ≠ 一 _ a +   2 , 故口  

∈ ( 一 5 , 一 号 ) u ( 一   1 ,   ) .  
3   小 结 
对“ 伪” 二 次 分 式 函数 , 可 能有 研 究 的 价 值 , 但 没  有 给学 生 刻意 强调 的 必要 , 用判 别 式 法求 值 域 不妨 去 
检 验 △一0的情 形 .  

解法 1 : ( 参 变 分离 法 ) 由P   (  ) 一0得 k ( 2 x +1 )  


( 3 z一

2 x+ 5 )' . ? . 忌一

 



 

?

[ ( 2 x + 1 ) +   一 萼 ] , 令£ 一 2 z + 1 , 有  

转 化是 重 要 的数学 思想 方 法 , 其 过程 要 让 学 生经  命 题 的等 价性 .  
导 数 是解 决 函数 问题最 基 本也 是 最 重 要 的工 具 ,  

∈( 1 , 7 ) , 记^ ( £ ) 一£ +÷, 则h ( £ ) 在( 1 , 3 ] 上单调递  历 , 也 要让 学生 体会 转 化思 想 的实 质 以及 转 化 过程 中 
减, 在[ 3 , 7 ) 上 单 调递 增 , 所 以有 h ( £ ) ∈[ 6 , 1 0 ) , 于是 

( 2 x + 1 ) +   毒  ∈ [ 6 , 1 0 ) , 得k ∈( 一 5 , 一 2 ] , 而当  
k 一 一2时 , P   ( z) = = = 0在 ( 0 , 3 ) 上 有 两 个 相 等 的实 根 

故应 成 为解 决 二次 分式 函数 值 域 问题 的 基本 方 法 , 但  在 应用 的 过程 中要 注 意对细 节 的把握 .   对 于二 次 函数 零点 分布 问题 , 在用 图象 法 进行 分  类讨 论 时 , 要注 意 分 类 的完 备 性 , 同 时 还 要 注 意 方 法  的多样 性.  
参 考 文 献 

X- - - 1 , 故舍 去 , 所以 足 ∈( 一5 , 一2 ) .  
解法 2 : ( 图象 法 ) 分 四种情 况讨 论 .  

( 1 ) 户   ( o ) ? P   ( 3 ) d0 , 解得一5 <忌 <一 等;  
f P   ( O ) > O,  

( 2   1 l   0 < 一   < 3 , 解 得 一   < k - ( 一 2 ;  
6  


l P   ( 3 ) > 0 -  

9 R  

1 范 虹燕 , 江 战 明. 幽 探 二 次 函 数 零 点 分 布 及 其 运 用 价 值 

[ J ] . 中 学 数 学 教 学 参 考 (t - 旬) , 2 0 1 0 , 1 2   2 章建 跃. 数 学概 念 的 理解 与教 学 F J ] . 中 学 数 学 教 学 参 考 
(E 旬) , 2 0 1 0 , 1 1  

3 0  

嚣  

… | 、   , . .   _ 0 ” .   . b   … j     ;   , l   . .  思 想 方 法j 解 题 中 心  
~  

{  

二 元 二 次 函 数 极 值 问 题 的  种 错 误 解 法 的 反 思 




学 生 有 极 强 的 求 知 欲 ,他 们 想 “ 打 破 砂 锅 问 到 底 ” : 教 师 为 了 解  惑 , 不 得 不  逼 自 己 ” ,这 正 是 教 学 相 长 的 最 好 注 解 .  

芮   强( 南 京 师范 大学 附属 中学 )  

1 问题 的 提 出 
笔 者在 听 同事 上 的 一 节 “ 线性 回 归方 程 - [ 1 3 的课 
时, 遇 到这样 一种 “ 情 况” , 过程 如下 :  

2 理 论 的 溯 源 
把上 面 的问题 一般 化 : 有  对 观察 数 据 ( z 。 , Y 。 ) ,  

经 过分 析讨 论 , 最 后 学 生 给 出一 个 拟 合 函数 ( 化 


(  Y z ) , …, (  

) , 求使Q ( a , 6 ) 一∑(  一b x  
i = l  

简 后 的结果 ) : Q( 以 , 6 ) 一1 2 8 6 b   +6 a   +1 4 0 n 6 —3 8 2 0 b  


n )  取得 最小 值 时的 n 、 b的值.   解法 1 : 配 方法. 苏教 版教材《 选修 2 — 3 》 第 三 章 

4 6 0 a+1 0 1 7 2 , 并要求 其最 小 值. 事实 上 , Q( n , 6 ) 是  个二 元二 次 函数 , 如 何 求其 最值 超 出 了教 学 大 纲 ,  



“ 统 计案 例 ” 中 给 出 了一 种 解 法 , 其 主 要 思 想 就 是 配 
方法 .  

教 师 只需 引导学 生 看 书 , 知道 结 果 就 行 了. 这 时一 名 

学 生举 手 , 提 出如 下解 法 ( 因为 这 个 班 学 生经 常有 奇 
思 妙想 , 思 维活跃 , 教 师 自然不 愿错 过 这样 的机会 , 就 

Q ( a , 6 ) 一∑ (  一 b x   一 n )   一…一n ( 7 -6 i  


1  

让 该学 生板 演 ) :   先 把 n看做 常 数 , 那 么 Q是 关 于 b的二 次 函数 ,   通 过 配方知 , 当6 一 一  时, Q 取得 最 小 值 .  

一 n   + 塞 z = 1   c z   一   ,   l   一   ∑ ( z   一   ) (   一  
∑(  一  )  

同理 , 把b 看 做常数 , 那 么 Q是关 于 n的二 次 函数 , 当 
一  

『  ( z   一  

一 _ ) ] 。  


1, ●● ● ●, ● ,, ● ●J
 

 









1 4 0 b   -4 6 0时






Q 取 得 最 小 值 ,因 此 当 

三 三 二   —   — — — — —   ∑( . z   一   )  

+∑ (  一   )   .  

在 上式 中 , 后两项与 口 、 b无 关 , 而 前 两 项 为非 负 
'  

时, Q取 得最 小值 .  

数, 因此 要使 Q 取得 最 小值 , 当且 仅 当前 两 项 的值 均 

f   ∑( z   一   ) (  一   )  
这名 学生 还追 问 : 这 种求 二元 二 次 函数 最值 的 方 

  l b 一生  n   —— — —— — 一,  

法是 不是 一种 通 法 ? ( 这 名 学 生 是参 加竞 赛 培 训 的 ,  
他 可能平 时就 是用 这种 方法处 理 这类 问题 )   教 师 先 问全 班 学 生 答 案 是 否 正 确 , 方 法 是 否 正  确. 见大 家有 疑惑 , 于是 说 “ 这 种 方 法 是 有 问题 的 , 这  两 个等 号有 可能 不 会 同 时 取 到” . 这 个 班 学 生 的 整 体  水 平较 高 , 要 求教 师举 反例 . 教 师说 , 这 里 肯定 是有 问  题的 , 课后 大家 一起想 出一 个反 例吧 .  

为o ,  

∑( z   一   )  

l   一   一   .  
对 于 二元 二次 函数 极值 的一 般解 法 理论 如下 :  
定理 1   ( 必要 条 件 )设 函数 2 一f( x,  ) 在 点  ( z 。 , Y 。 ) 处具有偏导数, 且在该点处有极值, 则 有 

( z 。 , Y 。 ) 一0 ,  ( z 。 , Y 。 ) 一0 , 其 中使  ( z 。 ,  。 ) 一0 ,   ( z o , Y o ) 一0同时成 立 的点 ( z 。 , Y 。 ) 称 为驻 点.  

解   中   思姆方法  

哪 

∽m  

2 0 1 1 年第7 期( 上甸)   1 1  
寺 鸣瓠 嚆散 焉 参 考 

|  

定理 2 E 。   ( 充分 条件 )设 函 数 —f( x,  ) 在 点 
(  。 , Y 。 ) 的某个 领 域 内连 续且 有 一 阶及 二 阶连续 偏 导 

值. 同理 , 把 Y看 做 常数 , 那 么 Q 是 关 于  的二 次 函 
数, 当 z= 下 3 y +l 时 f( z,  ) 取得 最 小 值 , 因 此 当 


数, 又  (   。 , Y 。 ) 一0 ,  ( z 。 , Y 。 ) 一0 , 若令 尼 ( z 。 , Y 。 )  


A,   ( z 。 , Y 。 ) 一B,   ( z 。 , Y 。 ) 一c, 则  ( i )当 AC~ B 。 > 0时, f(  。 , Y 。 ) 是极值, 并 

f  

3 v +】  


f  
一  

2  

1  3 z   即  即 1   3 时   ) 取   得 最 小 、 值 告 言 . ‘  
l  一  ’   【   一一  
错 因分 析 : 这 种 解 法 在 本 质 上 是 上 述 的解 法 2 ,   这里 得 到的 只是 一个 必要 条件 , 所 以还 需 要验 证 其充 

目   < 0时 , 为极 大值 ,  

一I A>0 时, 为极小值 ;  
( i i ) 当 AC—B。 < O时 , f ( x 。 ,  。 ) 不是 极值 ;   ( i i i ) 当 AC —B   一0时 , f( x 。 , Y 。 ) 可能是极值 , 也  可能 不是 极值 .   于是 笔者 给 出运 用偏 导 函数 的方 法求 解 :   解法 2 : 偏 导数 法 .由定 理 1知 , 极值 存 在 的必 要  条 件 是 

分性 : A一2 , B一 一3 , C一2 , AC —B   一 一5 <0 , 这 是 没  有极 值 的情 况.   为 了从 形 的角 度 来 理 解 , 笔  者用 Ma t l a b软件 画 出 了 f ( x,  )  
的三 维 图形 , 如图 1 .  
,   9   0 、  

f Q : ( 口 , 6 ) 一2 ∑(  —b x   ~ n ) ? ( 一1 ) 一0 ,  

说 明:《 一 专, 一 昔) 只是  
f ( x,  ) 的一个 驻 点 , 在 这 一 点处 

{ 【  

Q : ( 口 , 6 ) :2 ∑(  —b x   一口 ) ? ( 一 X i ) 一0 .  
l  

不一 定取 极值 . 这 与求 函数 —z 。   例2   判 断二元 函数 ,(  ,  )   是 否 有最 值 , 若有 的话 , 求 出最 值.  

整理 后得 

f   ∑(  一   ) (  一   )  
l b一三L ————一 ,  

解: 仿 造 例 1 的 解 法 得 到 
4  

{   ∑ 【 ( z   一   )  
口 一   一   .  

{ I   z 一  ’  
, 

f(  , Y )取 得 最 小 值 

再 由定 理 2验证 其 充分 性得 
一  


I   一   ,  
 



如图 2 .  

j   B一   ( n , 6 ) 一2   ∑ 

根据定 理 2 , 可 以对 这 个 结 

I  

果进行 检验 : A一 2 , B一 ~ 1 , C  
:2 , A C— B 一 3 > 0, 且 A一2  

【 C 一   ( n , 6 ) 一2 n ∑z 2   .  
可 知 AC— B。 > 0 , 且 A > 0有极 小值 .  

>O , 所以f ( x,  ) 有 最 小值 .  

例 3   判 断 二 元 函 数  ( z,  

综上 , 命 题得 证 .   有 了解决 二 元二 次 函数极 值 的一 般 理论 , 构造 反 
例 就 简单 了.  

) 一X 。 一2 x y +Y 。一 l O x是 否 有  

一  

图 3  

一  

最值 , 若 有 的话 , 求 出最 值.   解: 用 例 1的方 法 发 现方 程 组无 解 . 如图 3 , 发 现 
函数无极 值 .  

3   问题的解决—— 构造反例 
为 了 比较 直 观 地 看 到 二 元 二 次 函数 的 极 值 是 否 

4 二 元 二 次 函 数 求 最 值 结 论 的总 结 
对 于一 般 的 二 元 二 次 函数 z — f(  , Y) ( 函数 z  

存在 , 笔者 给 出 3 个例子 , 分别 是 三 种 不 同 的情 形 , 同  时 配上 相应 的 图. 例 1就 是本 文 开 头 的学 生 解 法 的一 

个 较好 的反 例 , 这样 的反例 还 有很 多 .  
例 1   判 断二 元 函数 f ( x,  ) -  ̄X -。 ' 一3   + 。 ~z   是否 有 最值 , 如 果有 的话 , 求 出最值 .   错解 : 先 把 z看 做 常数 , 那么 f ( x,  ) 是关 于 Y的 
0 一 

=f( x,  ) 在点( z 。 , Y 。 ) 处具 有偏 导数 ) , 记  ( z 。 , Y 。 )   =A,   ( z 0 , Y 0 ) 一B,   ( z o , Y 0 ) 一C, 其 一 次 项 z的  系数 为 n, 一次 项  的系数 为 b , 常数 项 为 f , 则 
( j ) 当 AC— B   > 0时 , f( z 。 , Y 。 ) 是 极 值, 并 且 

{  : 筹 :  柰 篆 : 其 图 形 为 “ 抛 物 面 ” , 如 图   ;  
( 下转 第 3 2页 )  

二 次 函数 , 通过配方 , 当 Y 一- ~ 5 - 时, f( x,  ) 取 得 最 小 

思 想 方 法  懈题中 心  
3 2   ’  

...   …

 

『  u     u  ‘…   T

 



 

  .

f l   ‘

I   c f  



道 经 典 题 目 求 解 的 

踌  穆 
通 过 解 题 分 析 ,寻 找 到 问题 的 几何 背景 ,使 得 问 题 的 已知 与 结 论 尽  显 图 中,更 揭 示 了 问题 的 深层 结 构 ,挖 掘 出 问题 的本 质 .  

程 自顺 ( 陕 西师 范大 学附属 中学)   当 中. 本文 就是 对此 题 求 解 的完 整 的心 路 历 程 , 现 整 
理 出来 与大 家分享 .   +  一 2  ~  

1   问 题 提 出 


日课 间 , 一 名学生 ( 七 年级 ) 兴 冲冲地 跑 过来 问 

笔者 一道 题 目, 眼 中充 满 迫 切 想 知 道 结 果 的 欲 望 , 但  也 闪烁着 一 丝狡黠 . 题 目是 这样 的 : 已知 n 。 +b   一1 ,   C   +d 。 一1 , a c +b d一0 , 求 口 6 +c d一  . 实 不 相 

2 心路 历程 
2 . 1   由已知条 件到 三角换 元 

2  

一   再 次 审视题 目时 , 笔 者 首先 注 意 到 a 。 +b 。 一1与 

瞒, 初看 题 目并无 太 多想法 , 略感 茫 然 失措 , 顿 时 理解 
学生 眼光 中闪烁 的狡黠 , “ 来 者不 善” 让 笔者 立 马 紧张  起来 . 为 了顾及 颜 面 , 笔 者开 始仔 细 分 析题 目, 题 目涉 

c   - q - d 。 一1 这 两 个 相 似条 件 的共 同结 构 , 这 让 笔 者不 
. 

1— 2 

得 不想起 高中数学 里 常用 的三 角换 元法 , 于是便 n  有 如 
下 的 三角换 元解法 :  
孙   +  解法 1 : 因为 a   +b   一1 , 所 以可设 n —s i n  , b  
S 

及 四个字 母却 仅有 三个 条件 , 以往 的解 题经 验 告诉 自   己可 以使 用 特 殊 值 法 , 尝 试 之余 果 不 其 然 , 比如 令 n  


n 

—C O S 口 , 同理 可设 c —s i n  ,  —C O S   由( 2 C +b d一 0得 s i n   a s i n   +C O S   O t C O S  一0 , 即 
c o s ( a -p ) 一0 .  
1  

1 , 6 = = = 0 , f 一0 ,  一1 , 则可 得 口 6 +c d =0 . 将 此思 考方 

式告 诉学 生 , 并 提示 他 还 可 以选 用 其 他 的特 殊 值 ( 如 
令a 一0 , 6 —1 , f 一1 ,  一0 ) . 他 点 点头表 示 理解这 种方 

所以a b +c d —s i n   o l e o s   a +s i n   9 c O S 卢 一寺s i n   2 a  
2 9 ) 一s i n ( a 十p ) C O S ( 口  

法, 接 着问 了一个 预 料之 中 的问 题 “ 这 道题 目究 竟 怎  么解答 ” , 恰 逢上 课 铃 响笔 者 答 应 学 生 另 找 时 间进 行  讲解, 就让他 先 回教 室 了 , 心里没底 , 长舒 了一 口气 ,  



切才 刚 刚开始 ” , 便 开始 投人 到 对此 题 解法 的 探究 

但是 , 这 并 没 有 让 笔者 高 兴 起 来 , 如 何 拿这 并 不 

( 上接 第 3 1页 )  

师一 带而 过 , 但 是 学 生 往 往有 极 强 的求 知 欲 , 他 们 想 
“ 打 破砂 锅 问 到 底 ” , 教 师 为 了解 惑 , 也不得不 “ 逼 自   己” , 这正 是教 学相 长 的最 好 注解.  

( i i ) 当 Ac—B 。 <0时 , f ( x 。 , Y 。 ) 不 是极 值 , 其 图 
形为 “ 马鞍 面” , 如图 2 ;  

( i i i ) 当 AC—B。 一0时 , 若n 一6 —0 , 有极 值 ; 若n 。  
+b   ≠O , 无极 值 , 其图形为“ U 形面” , 该 图与 水 平 面  有一 定 的倾斜 角度 , 如图 3 .  

注: 苏教 版教材 在 2 0 0 5年 以后 的修 订版 中, 没有  对该 问题 做解 释 , 因为 粗 简 的 解 释

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