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椭圆切线的一类性质的探究


4
d2 . 4

福建中学数学
m2 x2 d2 , ? m 2 x 2 + n 2 y 2 (1 + λ ) 2

2014 年第 11 期

OE 2 = OA2 ? EA2 = R 2 ?

v2 =

1 AB , 1+ λ 1 1 λ ?1 EM = EB + BM = AB ? AB = AB , 2 1+ λ 2(1 + λ )
AB = AM + MB = (1 + λ ) MB ? MB =

代入⑤式即得弦 AB 的中点 M 的轨迹方程:
(mx 2 + ny 2 )[1 + mn d2 ? ] =1. m 2 x 2 + n 2 y 2 (1 + λ ) 2

(λ ? 1) 2 2 EM = d , 4(1 + λ ) 2
2

当 λ ≠ 1 时,从理论上讲,联立①②③等价变化 消去 u , v 即得分点 M 的轨迹方程,但笔者还未能实 现这一目标,盼有兴趣的同仁能实现此目标. B 拓展题 4 长度为 d 的线段 AB 的两个端点 A , 在抛物线 y 2 = 2 px 上移动,点 M 在 A , B 所在直线 求线段 AB 的分点 M 的轨迹方 上, 满足 AM = λ MB , 程. 探析 λ = 0 时, M 与 A 重合, M 的轨迹就是抛 物线 y 2 = 2 px .下面考虑 λ ≠ 0 的情形. 已知 AM = λ MB ,与拓展题1设法一致, y ) , A( x ? λ u , y ? λ v) , B ( x + u , y + v) , 设 M (x , 则 AB = d ? (1 + λ ) 2 (u 2 + v 2 ) = d 2 ①. 点 A , B 在抛物线 y 2 = 2 px 上,则
( y ? λ v) 2 = 2 p ( x ? λ u ) ②, ( y + v) 2 = 2 p( x + u ) ③ M 为 AB 中点时, λ = 1 :

OM 2 = OE 2 + EM 2 = ( R 2 ?

d2 (λ ? 1) 2 2 )+ d 4 4(1 + λ ) 2

λ d2 . =R ? (1 + λ ) 2
2

∴ M 的轨迹是圆(或点) ,其方程是 x 2 + y 2 = R 2 ?

λ
(1 + λ ) 2

d2 .

特别, M 是 AB 为中点时, λ = 1 , M 的轨迹方 程是 x 2 + y 2 = R 2 ?
d ; λ = 1 , d = 2 R 时,轨迹方程 4 是 x 2 + y 2 = 0 ,表示原点.
2

(2)圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线时,统一设其 m ≠ n) . (对于椭圆,d 不 方程为 mx 2 + ny 2 = 1(mn ≠ 0 , 超过长轴长,否则弦 AB 不存在) . A, B 在圆锥曲线上,则
m( x ? λ u ) + n( y ? λ v) = 1 ②,
2 2

③+②得: v 2 = 2 px ? y 2 ④ ③-②得:u = ?
y2 y2 y v ,u 2 = 2 v 2 = 2 (2 px ? y 2 ) ⑤ p p p

m( x + u ) 2 + n( y + v) 2 = 1 ③.
M 为 AB 中点时, λ = 1 :

③-②得: mxu + nyv = 0 ④ ③+②得: (mx 2 + ny 2 ) + (mu 2 + nv 2 ) = 1 ⑤ 联立①④解得: u 2 =
n2 y 2 d2 ? , 2 2 2 m x + n y (1 + λ ) 2
2

将④⑤代入①式整理即得弦 AB 的中点 M 的轨 pd 2 迹方程: ( y 2 + p 2 )( y 2 ? 2 px) + ( ) = 0. 1+ λ M 不是 AB 中点时, λ ≠ 1 ,从理论上讲,由 ①②③等价消元可得 M 的轨迹方程,但笔者还未实 现,对此感兴趣的同行可以继续探索.

椭圆切线的一类性质的探究
张 琪 福建泉州培元中学(362000) (I)求曲线 Γ 的方程; (II)略; (III)设 为曲线 Γ , 0) 直线 m 是圆 O 所在平面内的一条直线,过点 F (1 , 做直线 m 的垂线,垂足为 T ,连结 OT ,请根据“线 段 OT 的长度 ” 讨论 “ 直线 m 与曲线 Γ 的公共点个 数”. (直接写出结论,不必证明) 笔者对该题第(III)问给出一般性的推广,得

笔者在研究 2014 年福建省高三质检卷理科第 19 题的过程中,发现过焦点作椭圆切线的垂线存在着 若干有趣的性质. 题目 如图, 设 P 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上的点, 过P 作直线 l 垂直 x 轴于点 Q , M 为 l 上的一点,且
PQ = 2 MQ ,当点 P 在圆上运动时,记点 M 的轨迹

2014 年第 11 期

福建中学数学

5 证明显然斜率不存在时,AF1 ,BF2 均垂直于 m . 若斜率存在时,设直线 m : y = mx + n ,
A( x0 , y0 ) , F1 (?c , 0) ,

到判断直线与椭圆位置关系的一种方法. 性质 1 直线 m 是平面内的一条直线, O 为坐标
x2 y2 原点,过椭圆 Γ : 2 + 2 = 1 的焦点 F 作直线 m 的垂 a b 线l , 垂足为 T , ①若 | OT |= a , 则直线 m 与椭圆 Γ 相

切;②若 | OT |> a ,则直线 m 与椭圆 Γ 相离;③若
| OT |< a ,则直线 m 与椭圆 Γ 相交. 0) , 证明 设 F (c ,

? y0 = mx0 + n (1) , ? ( (2) 性质 1 已证) 依题意,?b 2 + am 2 = n 2 (2) , ? x 2 + y 2 = a 2 (3) , 0 ? 0 联立 (1) (3) 可得: (1 + m 2 ) x0 2 + 2mnx0 + n 2 ? a 2 = 0

显然直线 m 斜率不存在时,性质 1 是成立的,
x y + = 1, a 2 b2 整理得 (b 2 + a 2 m 2 ) x 2 + 2mna 2 x + a 2 n 2 ? a 2 b 2 = 0 ,

(*) ,判别式化简为: Δ = 4(? n 2 + a 2 + m2 a 2 ) , 把(2)代入可得: Δ = 4(a 2 ? b 2 ) = 4c 2 > 0 , ?mn ± c , 故方程(*)的两根为 x = 1 + m2 ?mn ? c .又因为直线 m 的方向向量为 即 x0 = 1 + m2 u = (1 , m) , F1 A = ( x0 + c , y0 ) , 则 u ? F1 A = x0 + c + my0 = (1 + m 2 ) x0 2 + mn + c = 0 , 即 AF1 ⊥ m .同理: BF2 ⊥ m ,故命题得证.
A y B m x y P M O F 图2 x 图1

设直线 m : y = mx + n ,将其代入

2

2

则判别式化简为:Δ = 4a 2 b 2 (a 2 m 2 + b 2 ? n 2 ) (1) 1 因为直线 l 与 m 垂直,则直线 l : y = ? ( x ? c) , m 1 ? c ? nm mc + n ? y = ? ( x ? c) , 联立 ? 得T( 2 , ), m m + 1 m2 + 1 ? ? y = mx + n , 则 | OT |2 = (
c ? nm 2 mc + n 2 ) +( 2 ) m2 + 1 m +1 c 2 + m2 n2 + m2 c 2 + n2 n 2 + c 2 = 2 , = m +1 (m 2 + 1) 2

F1O F2

若 | OT |= a ,令

n2 + c2 = a2 , m2 + 1 化简得 n 2 = a 2 m 2 + b 2 (2)

x2 y 2 + =1相 a2 b2 切于 P 点,过焦点 F 作直线 m 的垂线,直线 OP 与直

推论 4 如图 2, 若直线 m 与椭圆 Γ :

把(2)代入(1),得 Δ = 0 ,即直线 m 与椭圆 Γ 相 切.显然若 | OT |> a ,则 Δ < 0 ,即直线 m 与椭圆 Γ 相 离;若 | OT |< a ,则 Δ > 0 ,即直线 m 与椭圆 Γ 相交. 对该图形再研究:我们可以得到以下推论: 推论 1 任取圆 x 2 + y 2 = a 2 上的任意一点 T ,连
x2 y 2 + = 1 焦点 F 与 T 点,过 T 作直线 TF a2 b2 的垂线 m ,则直线 m 必与椭圆 Γ 相切.

线 m 相交于 M 点,则 M 点在准线 x =

a2 上. c y y0 ) ,直线 OP : y = 0 x , 证明 设切线点 P( x0 , x0

易知切线 m :

结椭圆 Γ :

x0 x y0 y + 2 = 1, a2 b 2 a y 则直线 FM : y = 2 0 ( x ? c) , b x0

联立两直线方程,得 xM =

x2 y 2 + = 1 相切的直线 m ,过 a2 b2 焦点 F 作直线 m 的垂线 l ,垂足为 T ,则垂足 T 在圆

推论 2 与椭圆 Γ :

a2 ,故命题得证. c 类似可证:双曲线也具有性质 2:直线 m 是平面 x2 y 2 ? a2 b2

内的一条直线,O 为坐标原点,过双曲线 C :

x 2 + y 2 = a 2 上.

结论 1、2 由性质 1 即证明.
x2 推论 3 如图 1,与椭圆 Γ : 2 a y2 = 1 相切的直线 m 交 x 2 + y 2 = a 2 于 A , B 两点, b2 则 AF1 , BF2 均垂直于 m . +

= 1 的焦点 F 作直线 m 的垂线 l ,垂足为 T ,①若
| OT |= a ,则直线 m 与双曲线 C 相切;②若 | OT |> a ,

则直线 m 与双曲线 C 相离;③若 | OT |< a ,则直线 m 与双曲线 C 相交. 同样由性质 2, 亦可得双曲线具有与椭圆类似的 推论 1-4,本文不再给予说明.


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