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海阳一中2012-2013学年3月份阶段性测试高三数学(理科)试卷


海阳一中 2012-2013 学年 3 月份阶段性测试 高三数学(理科)试卷
1 ?z? z 1 3 B. ? i 2 2
2013-3-6

8. 运行右图的程序框图, 若输出结果为 A. k ? 5 9.设 a ? A.24 B. k ? 6 C. k ? 7

13 , 则判断框中的条件是 ( 7
4



D. k ? 8 )

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i, 则 ( )

?

?

0

1 ? ? ( ? 的展开式的常数项是 sin xdx, 则二项式 ? a x ? x? ?
C. 48 D. ? 48

B. ? 24

1 3 A. ? i 2 2

3 3 3 1 C. ? i D. ? i 2 2 2 2 1 1 x 2. 若集合 M ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1}, N ? {x | ? ( ) ? 1} ,则 M ? N =( 4 2
A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 3} 3.已知 ? ? ? ?, C. {x | 0 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 2}



? ? ?y? x ? ? ? 10.在平面区域 M ? ?? x , y ? ? x ? 0 ? 内随机取一点 P,则点 P 取自圆 ? ? x ? y ? 2? ? ? ?

x 2 ? y 2 ? 1 内部的概率等于( )
2

A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

? ?

3? ? 5 , tan 2? ? ?,cos? ? ? 2 ? 5



)A.

4 3

B. ?

4 3

C. ? 2

D.2

x2 ? y 2 ? ?1 的一个焦点重合,则以此抛物线的焦点为 11.已知抛物线 x ? 12 y 的焦点与双曲线 a
圆心,双曲线的离心率为半径的圆的方程是( A. x ?? y ? 3? ? 9
2 2


2 2

4.在一次数学测验中,统计 7 名学生的成绩分布茎叶如右图所示, 若这 7 名学生的平均成绩为 77 分,则 x 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.设 l , m, n 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l ? ? , m // ? , ? ? ? , 则 l ? m C.若 l // m, m // n, l ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n, 则 l ? ? D. 若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则 m // n )

B. ?x ? 3? ? y ? 3
2 2

C. x ?? y ? 3? ? 3

D. ?x ? 3? ? y ? 9
2 2

12.若直角坐标平面内的两点 P 、 Q 满足条件: ① P 、 Q 都在函数 y ? f ( x ) 的图象上;② P 、 Q 关于原点对称. 则称点对[ P, Q ]是函数 y ? f ( x ) 的一对 “友好点对” (点对[ P, Q ]与[ Q, P ]看作同一对 “友好点对” . )
?log 2 x ( x ? 0) 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则此函数的“友好点对”有 ( ? ? x ? 4 x ( x ? 0)



6.如图,某简单几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 该几何体的俯视图可以是 ( )

? ,则 4

A.0 对 B.1 对 C.2 对 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

D.3 对

13. 函数 y ? log a ?x ? 3? ? 1?a > 0 ,且 a ? 1? 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 (其中 m,n>0) ,则

1 2 ? 的最小值等于 m n

14.为了解我校今年准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理 后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组 7. 已知各项均不为零的等差数列 ? an ? 满足 2a2 ? a7 ? 2a12 ? 0 , 数列 ?bn ? 是等比数列, b7 ? a7 , 且
2

的频率之比为 1: 2 : 3 ,其中第 2 小组的频数为 12 ,则报考飞行员的 总人数是 .
2

则 b3 ? b11 ? A.16
1



) B.8 C.4 D.2

15.不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是



第1页

16.给出下列命题:①命题“ ?x ? R, x ? x >0”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ” ;
2 2

(1) 求常数 p 的值; (2) 求数列 ?a n ?的通项公式; (3) 记 bn ?

②命题“若 am < bm ,则 a <b”的逆命题是真命题; ③ f ? x ? 是 ?? ?,0? ? ?0,??? 上的奇函数, x >0 时的解析式是 f ?x ? ? 2 .
*

2

2

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n?3

则 x <0 时的解析式为 f ?x ? ? ?2

?x



20.(本小题满分 12 分)

④若随机变量 ? ~ N 1, ? , 且 P?0 ? ? ? 1? ? 0.3 ,则 P?? ? 2? ? 0.2.
2

?

?

其中真命题的序号是___________.(写出所有你认为正确命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P( ?1, 3) .

1 BC ? a , E 是 BC 的中点,将 ?BAE 沿 2 B1 着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使面 B1 AE ? 面 AECD , F 为 B1 D 的中点. F D A (Ⅰ)证明: B1 E ∥面 ACF ; D A
已知四边形 ABCD 满足 AD ∥ BC , BA ? AD ? DC ? (Ⅱ)求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值.

?? ? 1 m ? ( ,cos x ), n ? ( f ( x ),cos x +?)。 ( ) 2
(Ⅰ)求 sin 2? ? tan ? 的值; (Ⅱ)当 m ? n 时,求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B 为锐角,

21. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C:

B

E

C

E

C

??

?

x2 y2 ? ? 1 焦点在 x 轴上,左、右顶点分别为 A1、A,上顶点为 B.抛物线 C1、C: 2 a2
2 x 上一点 P.

分别以 A、B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y ? ⑴求椭圆 C 及抛物线 C1、C2 的方程;

3 且 f ? B ? ? , b ? 1, c ? 3, 求 a. 2
18. (本小题满分 12 分) 某校为宣传县教育局提出的“教育发展,我的责任”教育实践活动,要举行一次以“我为教育发展 做什么”为主题的的演讲比赛,比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,已知某选手通过初赛、 复赛、决赛的概率分别是

⑵若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同两点 M、N, 已知点 Q( ? 2 ,0) ,求 QM ? QN 的最小值.

2 1 1 , , ,且各阶段通过与否相互独立. 3 3 4

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2ax ? (I)若 f (x) 在 x ? 1, x ? ①求 a 、 b 的值;
?

b ? ln x . x

(I)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率; (II)设该选手在比赛中比赛的次数为 ? ,求 ? 的分布列、数学期望和方差. 19. (本小题满分 12 分) 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1, S n 是 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 , 对 任 意 n ? N , 有

1 处取和极值, 2

②存在 x 0 ? [ ,2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? c ? 0 成立,求 c 的最小值; (II)当 b ? a 时,若 f (x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围. (参考数据 e ? 7.389 , e ? 20.08 )
2 3

1 4

2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R) .
2

2

第2页

海阳一中 2012-2013 学年 3 月份阶段性测试 高三数学(理科)试卷参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1~5 :D A B C C 6~10:D A B A A 11~12:A C 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13 . 8 14. 48 15. ? -1, 4? 16. ①③④

决赛”为事件 C,则 P( A) ?

2 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? . 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是: 3 3 4 2 1 4 …………………………4 分 p ? p( AB) ? P( A) P( B) ? ? (1 ? ) ? . 3 3 9
…………………5 分

(II) ? 可能取值为 1,2,3.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)因为角 ? 终边经过点 P( ?1, 3) ,? sin ? ?

2 1 P(? ? 1 ) P (A ? ?1 ? ? ) P ?( , ? 3 3 2 P(? ? 3 )? P (A B ) P ( A ) P ( B ) ? ? 3

? 2 )P A(B ?
1 ? 3 2 ? 9

2 1 4 ) P A( P) B( )? ? ( 1 ? ? 3 3 9

)

,

. ………………………8 分

3 1 , cos ? ? ? , tan ? ? ? 3 2 2

? 的分布列为
1 4 2 17 …………10 分 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 3 9 9 9 17 1 17 4 17 2 44 . ……12 分 D? ? (1 ? )2 ? ? (2 ? ) 2 ? ? (3 ? ) 2 ? ? 9 3 9 9 9 9 81
2 ?

?
P

1

2

3

? sin 2? ? tan ? ? 2 sin ? cos ? ? tan ? ? ?

3 3 ? 3? ---- 3 分 2 2

1 3

4 9

2 9

1 (Ⅱ)由 m ? n 得 f ( x )+ cos x cos x +?) 0 ―――― 4 分 ( ? 2
1 3 f ( x ) ? ?2cos x cos x cos ? ? sin x sin ?) ?2cos x ? cos x ? ( ? ( sin x) 分 ―5 2 2
1 3 ? 1 ? cos2 x + 3 sin x ? ( cos 2 x) 1+ + sin 2 x ? sin 2 x + ) ――7 分 ( + 2 2 6 2
所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? (Ⅲ)由 f ( B ) ? ――――――――8 分

19.解: (1)由 a1 ? 1 及 2 S n ? 2 pan ? pan ? p (n ? N ) ,得: 2 ? 2 p ? p ? p (2)由 2S n ? 2a n ? a n ? 1
2

? p ? 1 …2 分


2 2

得 2 S n ?1 ? 2a n ?1 ? a n ?1 ? 1
2



由②—①,得

2a n ?1 ? 2(a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n )

即: 2(a n ?1 ? a n )( a n ?1 ? a n ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 0

? (a n?1 ? a n )( 2a n?1 ? 2a n ? 1) ? 0 ……4 分


由于数列 ?a n ?各项均为正数, ? 2a n ?1 ? 2a n ? 1

an?1 ? a n ?

3 ? 1 3 得 sin 2 B + ) ? ( + 2 6 2 2
2 2

所以 B ?

?
6

――

9 分

1 1 n ?1 ……6 分 ?数列 ?a n ?是首项为 1 ,公差为 的等差数列,? a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2 2 n ?1 n(n ? 3) 4S n (3)由 a n ? ,得: S n ? ? bn ? ? 2 n ? n ? 2 n ……8 分 2 4 n?3
? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ?? ? n ? 2 n
2 ? Tn ?

1 2

c 由余弦定理得 b ? a + c ? 2 a c o s B ――――― 10 分
2

1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ……10 分 1? 2

即 1 ? a + 3 ? 2 3a cos
2 2

2

?
6

解得 a ? 1 或 2

―――12 分

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ?? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?

18. 解: (I)记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,“该选手通过

Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ……12 分
3 第3页

20. (Ⅰ)连接 ED 交 AC 于 O ,连接 OF , 因为 AECD 为菱形, OE ? OD , 又 F 为 B1 D 的中点,所以 FO ∥ B1 E , 所以 B1 E ∥面 ACF ??4 分 (Ⅲ)取 AE 的中点 M , 连接 B1 M 、 MD ,

B1
F

所以椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C1: y 2 ? 16 x, 抛物线 C2: x 2 ? 4 2 y ???5 分 16 2
2 2

A

D A D
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

B
分别以 ME , MD, MB1 为 x, y, z 轴

E

C

E

C

设直线 l 方程为 y ? ?

2 x?b 2

则 E ( , 0, 0), C (a,

a 2

3 3 3 a a, 0), B1 (0, 0, a) a, 0), A(? , 0, 0), D(0, 2 2 2 2

??? ? a 3a ???? ???? a a 3a ???? a 3a 3a EC ? ( , , 0), EB1 ? (? , 0, ), AD ? ( , , 0), AB1 ? ( , 0, ) ??6 分 2 2 2 2 2 2 2 2

? x2 y2 ?1 ? ? ? 16 2 由? ,整理得 5 x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ???? 6 分 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128b ? 20(8b ? 16) ? 0
2 2

?a 3 ay? ? 0 ? x? ? ? ? 3 3 ?2 2 设面 ECB1 的法向量 v ? ( x?, y?, z ?) , ? ,令 x? ? 1,则 u ? (1, ? , ) ?8 分 3 3 a 3 ? ? x? ? az ? ? 0 ? 2 ? 2 ?a ? x? ? ?2 设面 ADB1 的法向量为 u ? ( x, y, z ) , ? ?a x ? ?2 ? 3 ay ? 0 ? 3 3 2 ,令 x ? 1 ,则 v ? (1, ? ,? ) ?10 分 3 3 3 az ? 0 2

解得 ? 10 ? b ? 10

???? 7 分

8 2 8b 2 ? 16 设 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? b, x1 x 2 ? 5 5 y1 y 2 ? (? 2 2 1 2b b2 ? 8 ??8 分 x1 ? b)( ? x 2 ? b) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? b 2 ? 2 2 2 2 5

因为 QM ? ( x1 ? 所以 QM

2 , y1 ), QN ? ( x2 ? 2 , y 2 )

1 1 1? ? ? ? 3 3 3 3 则 cos ? u, v ?? ? ,所以二面角的余弦值为 ?????12 分 5 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3
21.解: (Ⅰ)由题意,A( a ,0) ,B(0, 2 ) ,故抛物线 C1 的方程可设为 y ? 4ax ,
2

???? ???? ? ? QN ? ( x1 ? 2 , y1 )( x2 ? 2 , y2 )
9b 2 ? 16b ? 14 ???? 10 分 5

? x1 x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2 ?
因为 ? 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ?

C2 的方程为 x 2 ? 4 2 y ???? 1 分
? y 2 ? 4ax ? 由 ?x 2 ? 4 2 y ? ? ? y ? 2x ?
4 第4页

8 时, QM ? QN 取得最小值 9 9 8 16 8 14 38 其最小值等于 ? (? ) 2 ? (? ) ? ? ? ???? 12 分 5 9 5 9 5 9

得 a ? 4, P(8,8 2 ) ???? 3 分

b b 1 ? ln x ,定义域为 (0, ??) ∴ f '( x) ? 2a ? 2 ? ?1 分 x x x 1 1 ∵ f ( x) 在 x ? 1 , x ? 处取得极值, ∴ f '(1) ? 0 , f '( ) ? 0 2 2 1 ? ?a ? ? 3 ? 2a ? b ? 1 ? 0 1 ? 即? ,所求 a, b 值均为 ? ???3 分 ?? 3 ?2a ? 4b ? 2 ? 0 ?b ? ? 1 ? 3 ? 1 ②在 [ , 2] 存在 x0 ,使得不等式 f ( x0 ) ? c ? 0 成立,则只需 c ? [ f ( x)]min ?? 4 分 4 2 1 1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ?? 由 f '( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 5 分 2 3 3x x 3x 3x 2 1 1 1 ∴ 当 x ? [ , ] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;当 x ? [ ,1] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单 4 2 2 1 调递增;当 x ? [1, 2] 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,∴ f ( x) 在 x ? 处有极小值??6 分 2 3 1 1 1 1 7 1 3 而 f ( ) ? ? ln ? ? ln 2 , f (2) ? ? ? ln 2 又 f ( ) ? f (2) ? ? ln 4 ? ln e 2 ? ln 4 , 2 2 2 3 2 3 6
22.【解析】 (Ⅰ)①? f ( x) ? 2ax ? 因 e ? 16 ? 0 , ? ln e ? ln 4 ? 0 ,
3 3 2

? [ f ( x)]min ? f (2) , ?? 8 分

7 ? c ? [ f ( x)]min ? ? ? ln 2 , 6 7 7 ∴ c ? [? ? ln 2, ??) ,故 cmin ? ? ? ln 2 。????9 分 6 6 2 2ax ? x ? a (Ⅱ)当 a = b 时, f '( x) ? ???10 分 x2
当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x 则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;???11 分 当 a ? 0 时,∵ x ? 0, ? 2ax ? x ? a ? 0 , ? f '( x) ? 0 ,
2

则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;??12 分 当 a ? 0 时,设 g ( x) ? 2ax ? x ? a ,只需 ? ? 0 ,从而得 a ? ?
2

2 , 4

此时 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减;?? 13 分 综上可得, a ? (??, ?
第5页

2 ] ? [0, ??) ?14 分 4

5


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