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2015-2016学年高中数学 1.1.2集合间的基本关系课件 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念

1.1

集合

1.1.2 集合间的基本关系

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.理解集合之间包含和相等的含义,并会用符号和V

enn图 表示. 2.会识别给定集合的真子集,会判断给定集合间的关 系,并会用符号和Venn图表示. 3.在具体情境中理解空集的含义.

课前热身 1.对于两个集合A,B,如果________________________ ______________,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B的________,记作________或________. 2.如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的 子集(B?A),此时集合A和集合B中的元素________,因此,集 合A与集合B________,记作________.

3.如果集合A?B,但存在元素x∈B且________,我们称 集合A是集合B的______,记作______. 4.我们把________叫做空集,记为________,并规定: 空集是任何集合的________.若A非空,则?是A的________. 5.任何一个集合是它本身的________,即 A________A.对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么 A________C.

自 我 校 对

1.集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 子集 A?B B?A 相等 A=B

2.是一样的 3.x?A

真子集

A? B(或B? A) ? 子集 真子集

4.不含任何元素的集合

思考探究1

“∈”与“?”有什么区别?

提示 “∈”表示元素与集合之间的关系,而“?”表示 集合与集合之间的关系. 思考探究2 ?与{0}有什么区别?

提示 (1)?是不含任何元素的集合;(2){0}是含有一个元 素0的集合,?? {0}.

名师点拨 1.子集概念的理解 (1)子集的概念是由讨论集合与集合间的关系引出的,两 个集合A与B之间的关系如下:
? ? ?A=B?A?B,且B?A ? ?A?B? ? B ?A≠B?A? ? ? ? ?A?B

其中记号A?B(或B?A)表示集合A不包含于集合B(或集合 B不包含于集合A). (2)子集具有以下性质: ①A?A,即任何一个集合都是它本身的子集. ②如果A?B,B?A,那么A=B. ③如果A?B,B?C,那么A?C. ④如果A? B,B? C,那么A? C.

(3)包含的定义也可以表述成:如果由任一x∈A,可以推 出x∈B,那么A?B(或B?A). 不包含的定义也可以表述为:对于两个集合A与B,如果 集合A中至少有一个元素不是集合B的元素,那么A?B(或B? A). (4)不要把子集理解为由集合B中的部分元素组成的集合是 B的子集.这样与??B相抵触,更与B?B相矛盾.

2.Venn图 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合, 这种图形称Venn图.Venn图对抽象集合或离散的数集表示其关 系很方便,且有直观明了的效果,特别在下节集合的运算中应 用更为简捷.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



求给定集合的子集及其个数
分别写出下列各集合的子集及其个数:?,

【例1】

{a},{a,b},{a,b,c}.

【解】

?的子集:?,即?有1个子集;

{a}的子集:?,{a},即{a}有2个子集; {a,b}的子集:?,{a},{b},{a,b},即{a,b}有4个子 集; {a,b,c}的子集:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c}, {b,c},{a,b,c},即{a,b,c}有8个子集.

规律技巧

写一个集合的子集时,按子集中元素的个数多

少,以一定顺序来写不易发生重复和遗漏.

变式训练1

若?? A?{a,b,c,d},写出所有集合A.



∵?? A,∴A中至少含有一个元素.

当A中含有一个元素时,A为{a},{b},{c},{d};当A中 含有两个元素时,A为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c}, {b,d},{c,d};当A中含有三个元素时,A为{a,b,c}, {a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};当A中含有四个元素时, A为{a,b,c,d}.



集合间包含关系的判定

【例2】

设M={x|x=a2+1,a∈R},P={x|x=b2-4b+

3,b∈R},试确定M与P的关系. 【分析】 集合M与P都是数集.可分别求出x的取值范

围,借助数轴判断M与P的关系.

【解】 M={x|x=a2+1,a∈R}={x|x≥1}.P={x|x=b2 -4b+3=(b-2)2-1,b∈R}={x|x≥-1}. 如图所示,可知M? P.

规律技巧 间的关系.

对于两个无穷数集,可借助数轴来确定它们之

变式训练2 设集合M=

? ? n ? ? ?x|x= ,n∈Z? 2 ? ? ? ?

,N=

? ? 1 ? ? ?x|x= +n,n∈Z?,试判断M与N之间的关系. 2 ? ? ? ?

n 解 解法一:对于集合M,其组成元素是 2 ,n∈Z,分子 部分表示所有的整数; 2n+1 1 而对于集合N,其组成元素是 +n= ,n∈Z,分子 2 2 部分表示所有的奇数. 由真子集的概念知,N? M.

解法二:上述集合,用列举法表示如下:
? ? 3 1 1 3 5 ? ? ? M= ?,-2,-1,-2,0,2,1,2,2,2,??, ? ? ? ? ? ? 3 1 1 3 5 ? ? ? N= ?,-2,-2,2,2,2,??, ? ? ? ?

所以N? M.



集合相等及应用
? b? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 若 1,a,a = ??0,a+b,a ??? ,则a2014+b2014的值 ? ? ? ?

【例3】 为________.

【解析】

利用集合相等,它们所含的元素相同来确定a,

b的值,再求a2014+b2014的值.
? b? ? ? ? ∵ 1,a,a?={0,a+b,a2}, ? ? ? ? ? b? ? ? ? ∴0∈ 1,a,a?,∴b=0. ? ? ? ?

此时有{1,a,0}={0,a,a2},∴a2=1,∴a=± 1. 当a=1时,不满足互异性. ∴a=-1.∴a2014+b2014=1.

【答案】 1

规律技巧

(1)两个集合相等,则所含元素完全相同,与

顺序无关,但要注意检验,排除与集合元素的互异性或与已知 相矛盾的情形. (2)证明两个集合相等常用方法是证:A?B,且B?A.

变式训练3

已知集合A={x,xy,x-y},B={0,|x|,y}

且A=B,求实数x与y的值.

解 由已知A=B={0,|x|,y},∴0∈A. 若x=0,则A={0,0,-y},不满足元素的互异性; 若y=0,则B={0,|x|,0},也不满足元素的互异性. ∴只有x-y=0,即y=x. ∴A={x,xy,x-y}={x,x2,0}, ∴B={0,|x|,x}. ∴x2=|x|,∴x=0(舍),或x=1,或x=-1.

当x=1时,A=B={1,1,0},不满足元素的互异性,故 x≠1. 当x=-1时,A=B={-1,1,0}满足题意. ∴x=y=-1即为所求.



集合基本关系的应用

【例4】

已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若

A? B,求实数a的取值集合.

【解】

将数集A表示在数轴上(如下图所示),要满足

A? B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右 边,所以所求a的集合为{a|a≥4}.

规律技巧

这类问题,要利用数轴,数形结合,以形定数.

同时要注意验证端点值,做到准确无误.

变式训练4 1<x<2a+1}.

已知非空集合A={x|2a-3<x<3},B={x|-

(1)若B?A,求a的取值范围; (2)若A=B,求a的值.

解 (1) 如图所示,由题意知,A≠?,B≠?,且B?A, ? ?2a-3<3, ?2a+1>-1, ∴? ?2a-3≤-1, ? ?2a+1≤3, ?a<3, ? ??a>-1, ?a≤1, ?

∴-1<a≤1.

? ?2a-3=-1, (2)若A=B,则? ? ?2a+1=3,

∴a=1.

易错探究 【例5】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+ 1≤x≤2m-1},若B?A,求实数m的取值范围. ?m+1≥-2, ? 由B?A,得?2m-1≤5, ?m+1≤2m-1, ?

【错解】

解得2≤m≤3.

【错因分析】

上述解法是初学者解此类问题的典型错误

解法.原因是考虑不全面,由集合B的含义及B?A,忽略了集 合B为?的可能而漏掉解.因此题目若出现包含关系时,应首先 想到有没有出现?的可能.

【正解】 1},且B?A.

A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-

①若B=?,则m+1>2m-1,解得m<2,此时有B?A; ②若B≠?,则m+1≤2m-1,即m≥2, ?m≥2, ? 由B?A,得?m+1≥-2, ?2m-1≤5, ? 由①②得m≤3. ∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.

,解得2≤m≤3.

当堂检测 1.下列四个集合中,表示空集的是( A.{0} B.{(x,y)|x2+y2=0,x,y∈R} C.{x||x|=5,x∈Z,x?N} D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N} )

解析 {0}中有一个元素0,不是空集;{(x,y)|x2+y2= 0,x,y∈R}={(0,0)},不是空集;{x||x|=5,x∈Z,x?N}= {-5},不是空集,故选D.

答案

D

2.下列关系中,表示正确的是( A.1∈{0,1} C.1?{0,1} B.1? {0,1}

)

D.{1}∈{0,1}

解析 ? 、?表示集合之间的关系,故B,C错误;∈表示 元素与集合之间的关系,故D错误.

答案

A

3.已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集 个数为( A.1个 C.3个 ) B.2个 D.4个

解析 由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子 集有3个.
答案 C

4.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A?B,则a的取值范 围是( ) B.a≤1 D.a≥2

A.a≤2 C.a≥1

解析 答案

∵A?B,∴a≥2. D

5.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0}, 且N?M,求实数a的值.
解 由题意可得M={2,-3}, 当a=2时,N={2}满足题意,故a=2; 当a≠2时,N={2,a},由N?M,得a=-3. 综上所述,a=2或a=-3.


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