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1.4全称量词与存在量词


§1.4全称量词与存在量词 1.4全称量词与存在量词

复习回顾
1.含逻辑联结词“且”、“或”、“非”的命题 2.判断p且q的真假:一假必假 3.判断p或q的真假:一真必真 4.p与﹁p的真假相反 思考:“矩形的对角线相等”的否命题 思考: 不是矩形的对角线不相等 其命题的否定为 矩形的对角线不相等 . 注:否命题同时否定条件和结论, 否命题同时否定条件和结论, 命题的否定只否定结论

思考
下列语句是命题吗? 下列语句是命题吗?⑴与⑶,⑵与⑷之间有什么 关系? 关系? ⑴x>3; > ; 是整数; ⑵2x+1是整数; 是整数 对所有的x∈ , > ⑶对所有的 ∈R, x>3 ; 对任意一个x∈ , 是整数. ⑷对任意一个 ∈Z, 2x+1是整数 是整数

全称量词与全称命题
“一切”、 1 全称量词 短语“所有的”、 全称量词: “任意一个”、 “每一个”等, 符号: “任给”、 全称命题:含有全称量词的命题, 全称命题 例如:对任意的n∈Z,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。 全称命题的形式:“对M中任意一个x,有p(x)成立 全称命题的形式 符号: x∈M,p(x) 例如:对任意一个x∈Z, 2x+1是整数. 用符号表示为: x∈Z, 2x+1 ∈Z

例题分析
判断下列全称命题的真假. 例1 判断下列全称命题的真假 所有的素数都是奇数; ⑴所有的素数都是奇数; 假 ⑵ x∈R, x2+1≥1 ; 真 ∈ , 对每一个无理数x, 也是无理数; ⑶对每一个无理数 ,x2也是无理数; 假 每个指数函数都是单调函数. 真 ⑷每个指数函数都是单调函数

思考
下列语句是命题吗? 下列语句是命题吗?⑴与⑶,⑵与⑷之间 有什么关系? 有什么关系? ⑴2x+1=3; ; ⑵x能被 和3 整除; 能被2 整除; 能被 存在一个x ⑶存在一个 0∈R,使2x0+1=3; , ; 至少有一个x 整除. ⑷至少有一个 0∈ Z,x0能被 和3 整除 , 能被2

存在量词与特称命题
2 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”、 存在量词:短语 存在一个”、 短语“ 至少有一个” “有些”、 有些” “对某个”等符号: 对某个” 符号: , 有些 对某个 特称命题: 特称命题:含有存在量词的命题 例如:有的平行四边形是菱形; 例如:有的平行四边形是菱形; 有一个素数不是奇数. 有一个素数不是奇数 特称命题的形式: 存在 中的元素 中的元素x 特称命题的形式:“存在M中的元素 0,使p(x0)成立 成立 , 符号: 符号: x0∈M,p(x0) 例如:存在一个x 例如:存在一个 0∈R,使2x0+1=3 , 用符号表示为: 用符号表示为 x0∈R,2x0+1=3 ,

例题分析
判断下列特称命题的真假. 例2 判断下列特称命题的真假 有一个实数x ⑴有一个实数 0,使x02+2x0+3=0;假 ; 存在两个相交平面垂直于同一条直线; ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线; 假 有些整数只有两个正因数; ⑶有些整数只有两个正因数;真 真 ⑷ x0∈R,x0≤0 . ,

思考
写出下列命题的否定: 写出下列命题的否定: 所有的矩形都是平行四边形; ⑴所有的矩形都是平行四边形; 某些平行四边形是菱形; ⑵某些平行四边形是菱形; 解:⑴存在一个矩形不是平行四边形; 存在一个矩形不是平行四边形; ⑵每一个平行四边形都不是菱形; 每一个平行四边形都不是菱形;

含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p: x∈M,p(x) 它的否定 p : x0∈M, p(x0) 2 特称命题p: x0∈M,p(x0) 它的否定 p :

x∈M, p(x)

全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.

例题分析
例3 写出下列命题的否定 (1)所有能被3整除的数都是奇数; (2) x∈R, x2+1≥1; (3)有的三角形是等边三角形; (4) x0∈R,x0>0; (5)奇函数的图象关于原点对称. 解:(1)有些能被3整除的数不是奇数; (2) x0∈R,x02+1<1; (3)所有的三角形都不是等边三角形; (4) x∈R,x≤0; (5)存在一个奇函数的图象不关于原点对称.


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