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复数基础测试题题库


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一、选择题(题型注释) 1.若复数 z 的实部为 1 ,且 |z |? 2 ,则复数 z 的虚部是( A. ? 3 B. ? 3 C. ? 3i ) ) D. 3i

10.设 (2 ? i) z ? 3 ? 4i ,则 z ? ( 11.设 (2 ? i) z ? 3 ? 4i ,则 z ? ( 12.已知 a 是实数,

A. 2 ? i A. 2 ? i

B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i B. 2 ? i C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2.设 i 是虚数单位,复数 A.-i B.-l C.i

10 的虚部为( 3?i
D.1

a?i 是纯虚数,则 a 等于( ) 1? i A. B. ?1 C. 2 D. ? 2 1 a?i 13.已知 a 是实数, 是纯虚数,则 a 等于()A.1 B. ?1 C. 2 1? i

z (1 ? 2 i ) z ? 4 ? 3 i 14.已知 ,则 z =

D. ? 2

3.已知 i 为虚数单位,a ? R ,如果复数 2i ? A、 ?4 B、2 C、 ?2 D、4

a 是实数,则 a 的值为( 1? i
z ? 2z 等于 ( z
2

z 为其共轭复数, 4. 已知 i 为虚数单位, 复数 z ? 1 ? i , 则



3 ? 4i A. 5
15.复数

3 ? 4i B. 5

4 ? 3i C. 5

4 ? 3i D. 5

A、 ?1 ? i B、 1 ? i C、 ? 1 ? i D、 1 ? i 5.已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于(

)

1 D. ?2 2 2 2 6.设 z=1–i(i 是虚数单位) ,则复数 +i 的虚部是 z
A. 2 B. C. ? A.1 B.-1 C.i D.-i 7.设 a 是实数,若复数

1 2

2i ( i 是虚数单位)的虚部为( )A. ?1 B. i C. 1 D. 2 1? i ? 2 ? 3i 16.在复平面内,复数 ( i 是虚数单位)所对应的点位于( ) 3 ? 4i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) 17.在复平面内,复数

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于( 3 ? 4i

a 1? i ? ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直 1? i 2
A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2

线 x ? y ? 0 上,则 a 的值为(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 18.在复平面内,若 z=m (1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实 数 m 的取值范围是 ( ). A.(0,3) B.(-∞,-2) C.(-2,0) D.(3,4) 2 19.设 a∈R,且(a+i) i 为正实数,则 a 等于 A.2 B.1 C.0 D.-1

8.已知复数 z 满足 1 ? 3i z ? 2 3i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应 的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 A. ?i D.第四象限 C. ?1

?

?

2i 3 20.i 是虚数单位, =( A.1+i 1-i
21.复数

B.-1+i

C.1-i

D.-1-i

2?i 9.已知 i 是虚数单位,则 =( 1 ? 2i

4 3 B. ? i 5 5

4 D. ? i 5


3 3 2+ i 的共轭复数为 ( ).A.- i B. i C.-i 5 5 1-2i 2- i 22.复数 z= 在复平面内对应的点所在象限是 ( ). 2+ i
第2页 共4页

D.i

第1页 共4页

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

i 25.i 是虚数单位, =( ). 3+3i
A.

1 3 i 4 12

B.

1 3 1 3 + i C. + i 4 12 2 6
2

D.

1 3 i 2 6
)

2i 对应点的坐标为________,复数的模为________. 1-i 1-3i 40.若复数 z=1-2i,则 z z +z=________.41.复数 =________. 1- i
39.在复平面内复数 42.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i,则 z 的实部为________. 43.m 取何实数时,复数 z=

26.以 2i- 5 的虚部为实部,以 5 i+2i 的实部为虚部的新复数是( A.2-2i B.2+I C.- 5 + 5i D.

m 2-m-6 +(m2-2m-15)i. m+3

5+ 5i


(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数.

2?i 27.在复平面内,复数 对应的点位于( i

m2-7m+6 44.已知复数 z= +(m2-5m-6)i(m∈R),试求实数 m 分别取什么 2 m -1
值时,z 分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 45.若 z 为复数,且

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 28.设复数 z 满足 z·i=3+4i (i 是虚数单位),则复数 z 的模为 . ? 29.已知虚数 z 满足等式 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则 z= 2i z? 1 ? i (为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第 30 .在复平面内,复数 __________象限. 31.在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于________. 32.设复数 z 满足|z|=|z-1|=1,则复数 z 的实部为________. 33.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的虚部为 ________. 34.设 z=(2-i)2(i 为虚数单位),则复数 z 的模为________. 35.设(1+2i) z =3-4i(i 为虚数单位),则|z|=________.
第3页 共4页 ◎

z ∈R,求复数 z 满足的条件. 1+z 2

46.已知复数 z1=3 和 z2=-5+5i 对应的向量分别为 OZ1 =a, OZ2 =b,求 向量 a 与 b 的夹角. 2 2 47.解关于 x 的方程 ①x +2x+3=0;②x +6x+13=0. 48.计算下列各式: (1)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i;(2)

(- 1+ 3i)3 -2+i . - (1+i)6 1+2i

49.实数 m 取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
第4页 共4页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

5i 23. =( ).A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i 1-2i a 1+i + 24.设 a 是实数,且 是实数,则 a 等于 ( ) 1+i 2 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2

36.已知 i 是虚数单位,则

2 (2+i) =________. 3-4i

37.已知 z=(a-i)(1+i)(a∈R,i 为虚数单位),若复数 z 在复平面内对应的点在 实轴上,则 a=________. 38.复数 z= 2 +i 的共轭复数为________.

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

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参考答案 1.B【解析】试题分析: 设 z ? 1 ? yi( x, y ? R) ,则由 |z |? 2 , 得 1 ? y 2 ? 4. y ? ? 3 , 即复数 z 的虚部是 ? 3 ,选 B .考点:复数的概念,复数的模. 2.D【解析】试题分析:因为

10 10(3 ? i ) 10 ? ? 3 ? i ,所以,复数 的虚部为 1 , 3?i 10 3?i a a (1 ? i ) a a a ? 2i ? ? ? ? (2 ? )i 是实数,则 2 ? ? 0 , 2 2 2 2 1? i
z 2 ? 2 z (1 ? i)2 ? 2(1 ? i) ? 2 ? ? ? ?1 ? i ,选 A. 1? i 1? i z

选 D .考点:复数的概念,复数的四则运算. 3.D【解析】试题分析: 2i ?

故 a ? 4 选 D 考点:复数的运算。 4.A【解析】试题分析: z ? 1 ? i , 考点:复数的运算。 5.A【解析】 试 题 分 析 : (1 ? ai)(2 ? i) ? (2 ? a) ? (1 ? 2a)i , 若 复 数 (1 ? ai)(2 ? i) 是 纯 虚 数 , 则

?2 ? a ? 0 ,所以 a ? 2 .考点:复数的基本运算. ? ?1 ? 2a ? 0
6.A【解析】试题分析:根据复数的四则运算可得: 考点:复数的概念与四则运算. 7.B【解析】 试题分析:因为

2 2 +i = i,∴虚部是 1. z

a 1? i a a 1 1 a 1 ?a 1? ? ? ? i ? ? i ? ? ? ? ? ? i ,又复数 a ? 1 ? i ( i 1? i 2 2 2 2 2 2 2 ?2 2? 1? i 2
a 1 ?a 1? ? ? ? ? ? ? 0, 解得 a ? 0 . 2 2 ? 2 2?

为虚数单位) 在复平面内对应的点在直线 x ? y ? 0 上, 故 考点:复数运算. 8.A 【解析】 试题分析:由题意 z ?

2 3i ? 6 ? 2 3i ,由复数的几何意义可知,复数 z 对应的点位于第 1 ? 3i

一象限.考点:复数的运算,复数的几何意义. 9. A 【解析】 试题分析: 根据复数的除法公式可得 故选 A.考点:复数除法 10.A【解析】 试题分析:由题可知, z ?

? 2 ? i ??1 ? 2i ? ? 2 ? 5i ? 2i 2 ? ?i , 2?i ? 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 1 ? 4i 2

3 ? 4i (3 ? 4i)(2 ? i) 10 ? 5i ? ? ? 2 ? i ,故 z ? 2 ? i ,选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 2
答案第 1 页,总 7 页

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考点:1.复数的运算;2.共轭复数;3.复数的除法. 11. A 【解析】 试题分析: 由题可知,z ?

3 ? 4i (3 ? 4i)(2 ? i) 10 ? 5i 故 z ? 2?i, ? ? ? 2?i , 2?i (2 ? i)(2 ? i) 2

选 A.考点:1.复数的运算;2.共轭复数;3.复数的除法. 12.A 【解析】 试题分析:

a ? i (a ? i )(1 ? i ) a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A ? ? 1? i 2 2

考点:复数除法 纯虚数 13.A 【解析】 试题分析:

a ? i (a ? i )(1 ? i ) a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A ? ? 1? i 2 2

考点:复数除法 纯虚数 14.B 【解析】 试题分析:利用待定系数法设复数的代数形式,然后利用复数相等建立方程来解决. 考点:复数的运算. 15.C 【解析】 试题分析:

2i 2i(1 ? i) ? ? 1 ? i ,其虚部为 1 ,选 C . 1? i 2

考点:复数的概念,复数的四则运算. 16.B 【解析】 试题分析:∵

18 1 ?2 ? 3i (?2 ? 3i)(3 ? 4i) ?18 ? i 18 1 ? ? ? ? ? i ,∴复数 ? ? i 所对 25 25 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 25 25

应的点为 ( ?

18 1 , ) ,在第二象限,故选 B. 25 25

考点:1.复数的除法运算;2.复数与复平面上的点的对应关系. 17.B 【解析】 试题分析:∵

18 1 ?2 ? 3i (?2 ? 3i)(3 ? 4i) ?18 ? i 18 1 ? ? ? ? ? i ,∴ ? ? i 对应的点 25 25 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 25 25

为 (?

18 1 , ) ,在第二象限,故选 B. 25 25

考点:1.复数的除法运算;2.复数与复平面上的点的对应关系. 18.D
2 ? ?m -4m<0, 【解析】整理得 z=(m -4m)+(m -m-6)i,对应点在第二象限,则 ? 2 解得 3 ? ?m -m-6>0,
2 2

答案第 2 页,总 7 页

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<m<4. 19.D 2 2 2 【解析】(a+i) i=(a +2ai-1)i=-2a+(a -1)i>0, 解得 a=-1.故选 D. 20.C 【解析】∵i =-i,∴ 21.C 【解析】 22.D 【解析】 23.C 【解析】 24.B 【解析】∵ 25.B 【解析】 26.A 【解析】∵2i- 5 的虚部为 2, 5 i+2i 的实部为-2,
2 3

2i 3 -2i (1-i ) 2 = = =1-i 1-i 1-i 1-i

2+i (2+i )(1+2i) 5i = = =i,其共轭复数为-i. 1-2i (1-2i)(1+2i) 5

2-i (2-i)2 3-4i ?3 4? ,其对应点为 ? , ? ? ,在第四象限. = = 2+i (2+i)(2-i) 5 ?5 5?
5i(1+2i) -10+5i 5i = = =-2+i. 1-2i (1-2i)(1+2i) 5
1- a a 1+i a-ai 1+i a+1 1-a + + + i 为实数,∴ = = =0,∴a=1. 2 1+i 2 2 2 2 2

i i( 3-3i) 3i-3i 2 1 3 = = = + i 3+9 12 4 12 3+3i

∴所求复数为 2-2i. 27.D 【解析】 试题分析:因为

2 ? i (2 ? i)(? i) ? ? 1 ? 2i ,所以其对应点为 (1, ?2) ,位于第四象限.选 D. i 1

考点:复数的几何意义,复数的四则运算. 28.5 【解析】 试题分析:本题有两种解法,一是解出 z ?

3 ? 4i ? 4 ? 3i ,再根据复数模的定义求出 i

| z |? 42 ? (?3) 2 ? 5 , 二 是 利 用 复 数 模 的 性 质 : | z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | 得 到

| z ? i |? | z ?| i | ? | z| ? | ? | 3 i ?4 |

5

答案第 3 页,总 7 页

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考点:复数模,复数运算 29. 1 ? 2i 【解析】 试题分析:设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 2z ? z ? 2(a ? bi ) ? (a ?bi ) ?a ? 3 bi ? 1? 6 i ,所以

?a ? 1 ?a ? 1 ,? ,即 z ? 1 ? 2i . ? ?3b ? 6 ?b ? 2
考点:复数的相等. 30.四(或者 4,Ⅳ) 【解析】 试题分析: 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义, 利用复数的运算法则和共轭复数 的意义即可得出. 考点:复数的运算与复数的几何意义. 31.第四象限 【解析】(2-i)2=3-4i 对应的点为(3,-4)位于第四象限. 32.

1 2
2 2 ? 1, ?a +b = 解得 a 2 2 ( a - 1 ) + b = 1 , ? ?

【解析】设 z=a+bi(a,b∈R).∵复数 z 满足|z|=|z-1|=1,∴ ? =

1 1 .∴复数 z 的实部为 . 2 2

33.0 【解析】因为 z=1+i,所以 z =1-i,所以 z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 34.5
2 【解析】z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,|z|= 32 +(-4) =5

35. 5 【解析】由已知,|(1+2i)z-|=|3-4i|, 即 5 |z-|=5,∴|z|=|z-|= 5 36. -

7 24 + i 25 25
2 (2+i) (3+4i)(3+4i) -7+24i 7 24 = = =- + i. 3-4i 25 25 25 25

【解析】

37.1 【解析】z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,∵z 在复平面内对应的点在实轴上,∴a-1=0,从 而 a=1. 38. 2 -i

答案第 4 页,总 7 页

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【解析】∵z= 2 +i,∴z-= 2 -i. 39.(-1,1), 2 【解析】

2i 2i (1+i ) 2(-1+i ) =-1+i, = = 1-i (1-i )(1+i ) 2

对应点为(-1,1),对应向量的坐标为(-1,1),其模为 2 40.6-2i 【解析】z z +z=(1-2i)(1+2i)+1-2i=5+1-2i=6-2i. 41.2-i 【解析】 42.1 【解析】z+1=

1-3i (1-3i)(1+i) 4-2i = = =2-i. 1-i (1-i)(1+i ) 2
-3+2i i(-3+2i) -2-3i = = =2+3i, i i2 -1

∴z=1+3i,z 的实部为 1. 43. (1)当 m=5 时(2)当 m≠5 且 m≠-3 时(3)当 m=3 或 m=-2 时 【解析】(1)当 ?

?m2-2m-15 ? 0, ?m=5或m=-3, 即? 时, ?m ? -3 ?m+3 ? 0,

∴当 m=5 时,z 是实数.

?m2-2m-15 ? 0, ?m ? 5且m ? -3, (2)当 ? 即? 时, ?m ? -3 ?m+3 ? 0,
∴当 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数.

?m2-m-6=0, ? m=3或m=-2, ? ? (3)当 ?m+3 ? 0, 即 ? m ? -3, 时, ?m2-2m-15 ? 0, ? m ? 5且m ? -3 ? ?
∴当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数 44. (1)m=6(2)m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时, (3)不存在
2 ? ?m=-1或m=6, ?m -5m-6=0, 【解析】(1)当 z 为实数时,则有 ? 2 所以 ? ? ?m ? ?1, ?m -1 ? 0.

所以 m=6,即 m=6 时,z 为实数.

m2-7m+6 (2)当 z 为虚数时,则有 m -5m-6≠0 且 有意义,所以 m≠-1 且 m≠6 且 m m 2-1
2

≠1.∴m≠±1 且 m≠6.所以当 m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.

答案第 5 页,总 7 页

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?m2-5m-6 ? 0, ? (3)当 z 为纯虚数时,则有 ? m2-7m+6 , = 0 ? ? m2-1
所以 ?

? m ? -1且m ? 6, 故不存在实数 m 使 z 为纯虚数. ? m=6且m ? ?1.

45.数或|z|=1. 【解析】设 z=a+bi(a,b∈R) 则

(a+bi)(1+a 2-b2-2abi) a+bi a+bi z = = = 1+z 2 1+(a+bi ) 2 1+a 2-b 2+2abi (1+a 2-b2+2abi )(1+a 2-b 2-2abi ) a(1+a 2-b2 )+2ab2+[b(1+a 2-b2 )-2a 2b]i a(1+a 2-b2 ) ? b(1+a 2-b2 )i = (1+a 2-b2 )2+4a 2b2 (1+a 2-b2 )2+4a 2b2
z 2 2 ∈R,∴b(1-a -b )=0, 2 1+z
2 2





∴b=0 或 a +b =1. 即 z∈R 或|z|=1. 因此复数 z 为实数或|z|=1. 46.

3? 4

【解析】设 a,b 的夹角为α ,a=(3,0),b=(-5,5), 则 cos α =

a ? b 3 ? (-5)+0 ? 5 2 , = =- a?b 2 3 ? 25+25
3? . 4

∵0≤α ≤π ,∴α =

47.①x=-1+ 2 i 或 x=-1- 2 i②x=-3+2i 或 x=-3-2i 【解析】①设 x=a+bi(a,b∈R), 2 2 2 则 x +2x+3=a -b +2abi+2a+2bi+3 2 2 =(a -b +2a+3)+(2ab+2b)i=0. 2 2 ∵a,b∈R,∴a -b +2a+3=0 且 2ab+2b=0. ∴?

? ? a=-1, ? ?a=-1, 或? ∴x=-1+ 2 i 或 x=-1- 2 i ? ?b= 2, ? ?b=- 2,

②设 x=a+bi(a,b∈R), 2 2 2 则 x +6x+13=a -b +2abi+6a+6bi+13 2 2 =a -b +6a+13+(2ab+6b)i=0. 2 2 ∵a,b∈R,∴a -b +6a+13=0 且 2ab+6b=0. ∴?

?a=-3, ?a=-3, 或? ∴x=-3+2i 或 x=-3-2i ?b=2, ?b=- 2,
答案第 6 页,总 7 页

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48. (1) 53+23i (2) 0 【解析】(1)原式=(3+11i)(3-4i)+2i=53+23i.

?-1+ 3i ? - 2i +i = 1 (- 1 + (2)原式=
3 2

(2i)

3

1+2i

i

3

2

3 3 i(2i+ 1) =i-i=0. i) - 2 1+2i

49.(1) m=1 (2) m≠1 (3) m=-1 【解析】(1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数. (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数. (3)当 m+1=0,且 m-1≠0,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数.

答案第 7 页,总 7 页


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