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1.5.1曲边梯形的面积


1.5.1 曲边梯形的面积
一、教学目标: 知识与技能:理解求曲边图形面积的过程:分割、以直代曲、逼近,感受在其过程中渗透 的思想方法 过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和 解决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点与难点: 重点 掌握过程步骤:分割、以直代曲、求和、求极限 难点

对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解 三、教学过程: 1.创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积,这些图形都是由直线段围成的。 那么,如何求曲线围成的平面图形的面积呢? 这就是定积分要解决的问题。 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本 概念以及定积分的简单应用,初步体会定积分的思想及其应用价值。 一个概念: 如果函数 y ? f ( x) 在某一区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线, 那么就 把函数 y ? f ( x) 称为区间 I 上的连续函数. (不加说明,下面研究的都是连续函数) 2.新课讲授 问题:如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是 曲 线 y ? f ( x) 的 一 段 , 我 们 把 由 直 线

x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形
称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积?
2 例 1: 求图中阴影部分是由抛物线 y ? x , 直线 x ? 1 以 及 x 轴所围成的平面图形的面积 S。 思考: (1)曲边梯形与“直边图形”的区别? (2)能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化 为求“直边图形”面积的问题? 分析:曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲 边梯形有一边是曲线段, “直边图形”的所有边都是 直线段. “以直代曲”的思想的应用.

y

y

y

y y=x 2

x 1 1 1 i-1 i 1x 把区间 ? 0 ,1? 分成许多个小区间,进而把区边梯形拆为一些小曲边 O x x x n n 梯形,对每个小曲边梯形“以直代取” ,即用矩形的面积近似代替小 曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似 值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细,面积的近似值就越精确。当分割无限
32

x

x

变细时,这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S.也即:用划归为计算矩形面积和 逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 解: (1) .分割 在区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ? 0 ,1? 等分成 n 个小区间:

? 1 ? ?1 2? ? n ?1 ? , ,?, 0 , , ,1? ? ? ? n? ? ? ?n n? ? ? n ? i i ?1 1 ? i ?1 i ? ? 记第 i 个区间为 ? , ? (i ? 1, 2 , ? , n) ,其长度为: ?x ? ? n n n ? n n? 分别过上述 n ? 1 个分点作 x 轴的垂线, 从而得到 n 个小曲边梯
形,他们的面积分别记作:

?S1 , ?S2 ,?, ?Sn ,显然, S ? ? ?Si
i ?1

n

y y=x 2
f( i ?1 ) n

(2)近似代替
2

记 f ? x ? ? x ,如图所示,当 n 很大,即 ?x 很小时,在区间

? i ?1 i ? i-1 i , ? 上,可以认为函数 f ? x ? ? x2 的值变化很小,近似 1x O ? n n? ? n n i ?1 的等于一个常数, 不妨认为它近似的等于左端点 处的函数 n ? i ?1 ? 值f? ? ,从图形上看,就是用平行于 x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边(如 ? n ? ? i ?1 i ? 图) .这样,在区间 ? 上,用小矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si ,即在局部范围内 , ? n n? ?
“以直代取” ,则有

? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 ?Si ? ?Si? ? f ? ?x ? ? ???x ? ? ? ? ? ? (i ? 1,2,?, n) ① ? n ? ? n ? ? n ? n
(3)求和 由①,上图中阴影部分的面积 Sn 为
n ? i ?1 ? ? i ?1 ? 1 Sn ? ? ?Si? ? ? f ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? n ? i ?1 i ?1 i ?1 ? n ? n 2 2 1 ?1? 1 2 ? n ?1 ? 1 1 ? 2 2 ? = 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n3 ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? n ?n? n n n ? ? n ? 1 n 2 n ? 1 ? ? ? = 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? = 3 ?1 ? ??1 ? ? n 6 3 ? n ?? 2n ? 1 ? 1 ?? 1 ? 从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? ?1 ? ??1 ? ? 3 ? n ?? 2n ? n n 2

2

2

(4)取极限
33

分别将区间 ? 0 ,1? 等分 8, 16, 20, ?等份 (如图) , 可以看到, 当 n 趋向于无穷大时, 即 ?x 趋向于 0 时, Sn ?

1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? 趋向于 S ,从而有 3 ? n ?? 2n ? n 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? i ?1 ? 1 S ? lim Sn ? lim ? f ? ? ? lim ?1 ? ??1 ? ? ? ? n ?? n ?? ? n ? n n?? 3 ? n ?? 2n ? 3 i ?1

从数值上的变化趋势:

3.求曲边梯形面积的四个步骤:
b?a n 第二步: 近似代替, “以直代取” :?Si ' ? ?Si , 即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.

第一步:分割.将 ? a , b ? 分为 n 等份,每份区间长为 第三步:求和: Sn ? ?S1 '? ?S2 '? ? ? ?Sn '

b?a n 说明:1.归纳以上步骤,其流程图表示为:分割 ? 以直代曲 ? 求和 ? 逼近 2.最后所得曲边形的面积不是近似值,而是真实值

第四步:取极限: S ? lim Sn
n ??

练习.求 y ? 2 x ? x , y ? 0,0 ? x ? 2 围成图形面积 解:1.分割
2

在区间 ?0 , 2? 上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间 ?0 , 2? 等分成 n 个小区间:
34

? 2 ? n ? 1? ? ? 2? ?2 4? ,1? 0 , ? , ? , ? ,?, ? ? ? n ? ?n n? ? n ?
记第 i 个区间为 ?
? 2 ? i ? 1? 2i ? 2i 2 ? i ?1? 2 , ? (i ? 1 , 2 , ? , n) ,其长度为: ?x ? ? ? n? n n n ? n
n

分别过上述 n ? 1 个分点作 x 轴的垂线,从而得到 n 个小曲边梯形,他们的面积分别记作:

?S1 , ?S2 ,?, ?Sn , 显然, S ? ? ?Si
i ?1

(2)近似代替 ∵ y ? 2x ? x2 ,当 n 很大,即 ?x 很小时,在区间 ?
? 2 ? i ? 1? 2i ? , ? (i ? 1 , 2 , ? , n) 上,可 n? ? n

以认为函数 y ? 2x ? x2 的值变化很小, 近似的等于一个常数, 不妨认为它近似的等于左端

? 2 ? i ? 1? ? ? 2 ? i ? 1? ? 2 ? i ? 1? ? 2 ? i ? 1? 2i ? 点 处的函数值 2 ? , ? 上,用小 ??? ? ,这样,在区间 ? n n? ? n ? ? n ? ? n 矩形的面积 ?Si? 近似的代替 ?Si ,即在局部范围内“以直代取” ,则有
2

? ? 2 ? i ? 1? ? ? 2 ? i ? 1? ?2 ? ? ? 2 ? i ? 1? ? ? 2 ? i ? 1? ?2 ? 2 ?Si ? ?Si? ? ?2 ? ??? ? ???x ? ?2 ? ??? ? ?? ① n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(3)求和 由①,上图中阴影部分的面积 Sn 为

? ? 2 ? i ? 1? ? ? 2 ? i ? 1? ?2 ? 2 ?Sn ? ? ?Si? ? ? ?2 ? ??? ? ?? n ? ? n ? ? n i ?1 i ?1 ? ? ? ? n n i ?1 ? i ?1 ? 2 8 2 = ? 4? ? n ? i ? 1? ? ? i ? 1? ? ?1 ? ?? = 3 ? ? ? n ? n ? n n i ?1 ? i ?1
n n

8 8 2 ? 3 12 ? 22 ? ? ? ? n ? 1? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? 2 ? ? n n 8 n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 3 = 2 n 2 n 6 8 n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 3 从而得到 S 的近似值 S ? Sn ? 2 n 2 n 6
= (4)取极限
n ? 8 n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? 2n ? 1? ? 4 S ? lim Sn ? lim ? ? 2 ? 3 ?? n ?? n ?? 2 n 6 i ?1 ? n ? 3

?

?

练习 设 S 表示由曲线 y ? x ,x=1,以及 x 轴所围成平面图形的面积。 四:课堂小结 求曲边梯形的思想和步骤: 分割 ? 以直代曲 ? 求和 ? 逼近 ( “以直代曲” 的思想) 五:教学后记
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