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安徽省合肥一中2016~2017学年高一数学期中试题Word版含答案.doc


数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?4,5?, M ? x x ? a ? b, a ? A, b ? B ,则 M 中的元素个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

?

?

2.下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) A. y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 x?3

B. f ( x) ? x, g ( x) ?

x2

C . f ( x ) ? 3 x 4 ? x 3 , F ( x) ? x 3 x ? 1

D. f1 ( x) ? 2x ? 5 , f 2 ( x) ? 2x ? 5

3.在映射 f : A ? B 中,A ? B ? ( x, y) x, y ? R , 且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) , 则与 A 中 的元素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为( ) A. (?3,1) B. (1,3) C. (?1,?3) D. (3,1)

?

?

4.图中函数图象所表示的解析式为( )

3 x ? 1 (0 ? x ? 2) 2 3 C. y ? ? x ? 1 (0 ? x ? 2) 2
A. y ?

B. y ?

3 3 ? x ? 1 (0 ? x ? 2) 2 2

D. y ? 1 ? x ?1(0 ? x ? 2)

5.设函数 f ( x) ? ? A. 5

x ? 3, x ? 10, 则 f (6) 的值为( ) ? f ( f ( x ? 5)), x ? 10, ?
C. 7 D. 8

B. 6

6.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“合一函数” ,

1,7? 的“合一函数”共有( ) 那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1 ,值域为 ?
2

A. 10 个

B. 9 个

C. 8 个

D. 4 个

7.函数 f ( x ) ?

2x ?1 ,则 y ? f [ f ( x)] 的定义域是( ) 3? x

A. x x ? R, x ? ?3

?

?
1? ? 2?

B. ? x x ? R, x ? ?3且x ? ? ?

? ?

5? 8? 8? 5?
2? x 是( ) 2 ? ( x ? 2)

C. ? x x ? R, x ? ?3且x ?

? ?

D. ? x x ? R, x ? ?3且x ? ? ?

? ?

8.定义两种运算: a ? b ? A.奇函数

a 2 ? b 2 , a ? b ? (a ? b) 2 ,则 f ( x) ?
C.既奇又偶函数

B.偶函数

D.非奇非偶函数

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? (??,0](x1 ? x2 ) ,有

2 f ( x) ? f (? x) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 的解集是( ) ? 0 ,且 f (2) ? 0 ,则不等式 5x x2 ? x1
A. (??,?2) ? (2,??) D. (??,?2) ? (0,2) 10.若函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3) ,且对实数 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a ,则( ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定 B. (?2,0) ? (0,2) C. (?2,0) ? (2,??)

11.函数 f ( x) 对任意正整数 m, n 满足条件 f (m ? n) ? f (m) f (n) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (4) f (6) f (2016 ) ? ? ? ??? ? ?( ) f (1) f (3) f (5) f (2015 )
A. 4032 B. 1008 C. 2016 D. 2
1008

12.在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数, 且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1,2] 上的减函数, 则 f ( x) ( ) A.在区间 [ ?2,?1] 上是增函数,在区间 [3,4] 上是增函数 B.在区间 [ ?2,?1] 上是减函数,在区间 [3,4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2,?1] 上是减函数,在区间 [3,4] 上是增函数

D.在区间 [ ?2,?1] 上是增函数,在区间 [3,4] 上是减函数 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x 的值域是______. 14.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? x ?1 ,若 f (?2) ? 2 ,求 f (2) ? ______. 15.若函数 y ?

x?7 的定义域为 R ,则 k ? ______. kx ? 4kx ? 3
2

16.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x , x ? 0
2

,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是______.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 3x ? 18 ? 0 , B ? ? x (1)求 (CU B) ? A ; (2)若集合 C ? x 2a ? x ? a ?1 ,且 B ? C ? B ,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 在 1 到 200 这 200 个整数中既不是 2 的倍数,又不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数的整数共有 多少个?并说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 合肥市“网约车”的现行计价标准是:路程在 2km 以内(含 2km )按起步价 8 元收取,超 过 2km 后的路程按 1.9 元/ km 收取, 但超过 10 km 后的路程需加收 50 % 的返空费 (即单价为

?

?

? x?5 ? ? 0? . ? x ? 14 ?

?

?

1.9 ? (1 ? 50%) ? 2.85 元/ km ).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用 f ( x) (单位:元)表示为行程 x(0 ? x ? 60 ,单 位: km )的分段函数; (2)某乘客的行程为 16 km ,他准备先乘一辆“网约车”行驶 8km 后,再换乘另一辆“网 约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱?请 说明理由. 20.(本小题满分 12 分)

已知

1 ? a ? 1 ,若函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 1 在区间 [1,3] 上的最大值为 M (a) ,最小值为 3

N (a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) .
(1)求 g (a ) 的函数表达式; (2)判断并证明函数 g (a ) 在区间 [ ,1] 上的单调性,并求出 g (a ) 的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常数 c ,使得对任意

1 3

x1 ?[a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ? D ,当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则称
函数 f ( x) 为区间 D 上的“平底型”函数. (1)判断函数 f1 ( x) ? x ?1 ? x ? 2 和 f 2 ( x) ? x ? x ? 2 是否为 R 上的“平底型”函数? (2)若函数 g ( x) ? mx ? 值. 22.(本小题满分 12 分) 定义在 (?1,1) 的函数 f ( x) 满足:①对任意 x, y ? (?1,1) 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .回答下列问题: (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性,并说明理由; (3)若 f ( ) ?

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的

x? y ) ;② 1 ? xy

1 5

1 1 1 1 ,试求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值. 2 2 11 19

高一数学参考答案 一、选择题:BCABC 二、填空题:13. [0,2] 三、解答题 17.解: (1)∵ A ? x x ? 6或x ? ?3 , B ? x ? 5 ? x ? 14 , ∴ (CU B) ? A ? x x ? 14或x ? ?5 . (2) B ? C ? B ,则 C ? B . 当 C ? ? 时, 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ; BDADA 14. 0 CD 15. [ 0, )

3 4

16 (?2,1)

?

?

?

?

?

?

? ?2a ? a ? 1, ? a ? 1, 5 ? ? 当 C ? ? 时, ? a ? 1 ? 14, ? ? a ? 13, ? ? ? a ? 1 , 2 5 ? 2a ? ?5 ? a ? ? ? ? 2 ? 5 综上 a ? ? . 2
18.解:方法一:集合 A 表示 1 到 200 中是 2 的倍数的数组成的集合,集合 B 表示 1 到 200 中 是 3 的倍数的数组成的集合,集合 C 表示 1 到 200 中是 5 的倍数的数组成的集合,

Card ( A) ? 100, Card ( B) ? 66, Card (C ) ? 40, Card ( A ? B) ? 33, Card ( A ? C ) ? 20 , Card ( B ? C ) ? 13, Card ( A ? B ? C ) ? 6 , Card ( A ? B ? C ) ? Card ( A) ? Card ( B) ? Card (C ) ? Card ( A ? B) ? Card ( B ? C ) ? Card ( A ? C ) ? Card ( A ? B ? C ) ? 146,所以 200 ? 146 ? 54 .
方法二:用韦恩图解也可.

19.解: (1)由题意得,车费 f ( x) 关于路程 x 的函数为:

8, (0 ? x ? 2) 8, (0 ? x ? 2) ? ? ? ? f ( x) ? ? 8 ? 1.9( x ? 2), (2 ? x ? 10) ? ? 4.2 ? 1.9 x, (2 ? x ? 10) ?8 ? 1.9 ? 8 ? 2.85( x ? 10), (10 ? x ? 60) ?2.85x ? 5.3, (10 ? x ? 60) ? ?
(2)只乘一辆车的车费为: f (16) ? 2.85?16 ? 5.3 ? 40.3 (元) ,

∴ f ( x) 有最小值 N ( a ) ? 1 ? 当2?

1 . a

1 1 1 ? 3 时, a ? [ , ] , f ( x) 有最大值 M (a) ? f (1) ? a ? 1 ; a 3 2 1 1 当 1 ? ? 2 时, a ? ( ,1] , f ( x) 有最大值 M (a) ? f (3) ? 9a ? 5 ; a 2 1 1 1 ? ?a ? 2 ? a ( 3 ? a ? 2 ), ∴ g (a) ? ? 1 1 ?9a ? 6 ? ( ? a ? 1) a 2 ?
(2)设

1 1 1 ? a1 ? a2 ? ,则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(1 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ) , 3 2 a1a2

∴ g (a ) 在 [ , ] 上是减函数. 设

1 1 3 2

1 1 ? a1 ? a2 ? 1 ,则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(9 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ) , 2 a1a2

∴ g (a ) 在 ( ,1] 上是增函数.∴当 a ?

1 2

1 1 时, g (a ) 有最小值 . 2 2

21.解: (1)对于函数 f1 ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ,当 x ?[1,2] 时, f1 ( x) ? 1 . 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f1 ( x) ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 1恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数. 对于函数 f 2 ( x) ? x ? x ? 2 ,当 x ? (??,2] 时, f 2 ( x) ? 2 ; 当 x ? (2,??) 时, f 2 ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 , 所以不存在闭区间 [ a, b] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立,故 f 2 ( x) 不是“平底型”函

数. (2)因为函数 g ( x) ? mx ?

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数,则

存在区间 [a, b] ? [?2,??) 和常数 c ,使得 mx? x2 ? 2x ? n ? c 恒成立.

? m 2 ? 1, ? m ? 1, ?m ? ?1, ? ? ? 2 2 所以 x ? 2 x ? n ? (mx? c) 恒成立,即 ?? 2m c ? 2, 解得 ?c ? ?1, 或 ? c ? 1, . ? n ?1 ? n ?1 ? c2 ? n ? ? ?
? m ? 1, ? 当 ?c ? ?1, 时, g ( x) ? x ? x ?1 .当 x ? [?2,?1]时, g ( x) ? ?1 ;当 x ? (?1,??) 时, ? n ?1 ?
g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1恒成立,此时, g ( x) 是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数.

?m ? ?1, ? 当 ? c ? 1, 时,g ( x) ? ? x ? x ? 1 .当 x ? [?2,?1]时,g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ; 当 x ? (?1,??) ? n ?1 ?
时, g ( x) ? 1 恒成立,此时, g ( x) 不是区间 [?2,??) 上的“平底型”函数. 综上分析, m ? 1, n ? 1 为所求. 22.解: (1)令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 ,令 y ? ? x 则 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (?1,1) 上是奇函数. (2)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ), 1 ? x1 x2

而 x1 ? x2 ? 0,0 ? x1 x2 ? 1 ,则 故 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减.

x1 ? x2 x ?x ? 0 ,所以 f ( 1 2 ) ? 0 , 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

1 1 5 1 1 5 ) ? f ( ) ? f ( ) , f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 1. 11 19 13 5 5 13 1 1 ? 1 1 1 1 1 法二: (3)由于 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f ( 2 5 ) ? f ( ) , 1 2 5 2 5 3 1? 2?5 1 1 1 1 1 1 f ( )? f ( ) ? f ( ), f ( )? f ( ) ? f ( ), 3 11 4 4 19 5
(3) f ( ) ? f (

1 2

1 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 f ( ) ? 2 ? ? 1. 2 11 19 5 2


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