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函数思想在中学数学中的应用 (2)


函数思想在中学数学中的应用
韩伟

摘 要:函数思想是解决一些中学数学问题的重要思想方法,本文通过列举函数思想在数列、 不等式、 最值问题中的应用,来体现函数思想在中学数学中的 作用. 关键词: 函数思想 数列 不等式 最值

一、知识回顾 1.引言 在中学代数的学习中,函数起着 “纽带”的作用,特别是在近几年全国各地高考中,好多问题如数列问题多以压轴题的面目出现, 且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法 .这就要求我们在平时的学习中更加重视对函数的学习和理解 ,我们应掌握函数的概 念、本质及相关性质.通过此篇文章希望大家可以深刻体会一下函数思想在中学数学中的应用. 2.函数的概念 (1)对应说:在变化过程中,有两个变量 x 和 y .如果给定一个 x 值,相应地就确定了一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其 中 x 是自变量, y 是因变量. (2)集合说:给定两个非空数集 A 和 B ,如果按照某个对应关系 f ,对于 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都存在唯一确定的 数 f ( x ) 与之对应,那么就把对应关系 f 叫做定义在 A 上的函数,记作 f : A ? B 或 y ? f ( x), x ? A .此时 x 叫做自变量,集合

A 叫做函数的定义域,集合{ f ( x) | x ? A }叫作函数的值域,习惯上称 y 是 x 的函数.
(3)映射说:设 A , B 是两个非空数集, f 是 A 到 B 的一个映射,那么映射 f : A ? B 称为 A 到 B 的函数. 3.函数的本质 函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系. 4.函数的性质 (1)有界性:如果存在正数 M ,对于函数 f ( x ) 定义域(或其子集)内的一切 x 值,都有| f ( x ) | ? M 成立,那么函数 f ( x ) 叫做 在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数 M 不存在,那么称这个函数是无界的. (2) 单 调性 : 一般地 , 对于函数 y ? f ( x) 的 定义域内的一个子集

A , 如果对于任意 的 x1 , x2 ? A , 当 x1 ? x2 时都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) ,就称函数 y ? f ( x) 在数集 A 上是增加的 ( 或减少的 ) .
(3)奇偶性:对于函数 f ( x ) 在定义域内的任意一个 x 值,如果都有 f (? x) ? ? f ( x) 成立,那么函数 f ( x ) 叫做奇函数;如果都 有 f (? x) ? f ( x) 成立,那么函数 f ( x ) 叫做偶函数. (4) 周 期 性 : 设 f ( x ) 是 定 义 在 数 集 M 上 的 函 数 , 如 果 存 在 常 数 T ? 0 , 对 于 任 意 的 x ? M , 都 有 x ? T ? M , 且

f ( x ? T ) ? f ( x) 总成立,则函数 f ( x) 叫做周期函数,常数 T 称为 f ( x) 的周期.

二. 利用函数思想解决数列的问题

数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查 学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往 往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的 函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下: 例 1.若数列{ an }的通项公式为 an ?

8 1 1 1 ? ( ) n ? 3 ? ( ) n ? ( ) n ( 其中 n ? N * ) ,且该数列中最大项为 am ,求 m 的值. 3 8 4 2 8 1 1 1 1 n 1 此时若令 x ? ( ) ? (0, ] ,则 an 所对应的函数 ? ( )3n ? 3 ? ( ) 2 n ? ( ) n , 3 2 2 2 2 2

分析:由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公 式 an 的形式特点,不难发现它可以变形为: an ? 为 f ( x) ? 值. 解: 由已知,得 an ?

8 3 1 x ? 3 x 2 ? x , x ? (0, ] .这样由函数 f ( x) 的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为 am 中的 m 的 3 2

8 1 1 1 ? ( )3n ? 3 ? ( ) 2 n ? ( ) n , ( n ? N * ) 3 2 2 2 1 n 令 f ( x ) ? an , x ? ( ) , 2 1 8 3 2 则 x ? (0, ] ,且 f ( x ) ? x ? 3 x ? x , 2 3 1 1 2 则 f ' ( x) ? 8x ? 6 x ? 1 ? 8 ( x ? ) ( x ? ) . 2 4 1 1 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? (0, ] , 所以该函数在 (0, ] 上是单调递增的; 4 4 1 1 1 1 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? [ , ] , 所以该函数在 [ , ] 上是单调递减的. 4 2 4 2 1 故 x ? 为其极大值点,即 n ? 2 时该数列取得最大项,所以 m ? 2 . 4

例 2.设数列{ an }的首项为 a1 ? ?56 ,且 an?1 ? an ? 12 ( n ? 1, 2, ?? ) ,求此数列到第几项的和最先大于 100 ? 解: 由已知 an?1 ? an ? 12 ,可知数列{ an }为等差数列,且 d ? 12, a1 ? ?56 . 所以该数列通项公式为 an ? ?56 ? (n ?1)12 ? 12n ? 68 . 则 Sn ? ?56n ?

n( n ? 1) ? 12 ? 6n2 ? 62n . 2
2

令 Sn ? 100 , 得 6n ? 62n ? 100 ? 0 , 即

3n2 ? 31n ? 50 ? 0 ? n ?
*

31 ? 1561 31 ? 1561 (? 0) ,或 n ? ( ? 11.7 ) . 6 6

由于 n ? N ,所以满足上述条件的最小正整数为 12 . 故此数列到第 12 项的和最先大于 100 . 注:此类题是利用等差数列前 n 项和公式 Sn ? n a1

?

n( n ? 1) d d ? n2 2 2

? ( a1 ?

d )n? 2

d 2

d 1 a 1 a ? ? n ? ( ? 1 )? ? ( ? 1 ) 2 是关于 n 的二次函数来解题的.当 d ? 0 时, Sn 有最小值;当 d ? 0 时, Sn 有最大值 .由于 n 取 ? 2 2 d 2 d ? ?

2

1 a1 1 a d 1 a ) 不是正整数时, Sn 的最小值或最大值不等于 ? ( ? 1 ) 2 ,此时 n 取最接近于 ( ? 1 ) 的正整数 ? 2 2 d 2 d 2 d 1 a1 ) 的正整数有时是一个,有时有两个. 时,才是 Sn 的最小值或最大值.值得注意的是接近于 ( ? 2 d
正整数,因而当 (

三.利用函数思想解决不等式的问题 在不等式的有关问题(计算、证明)中,函数的性质常常是有力的工具,利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利, 但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下: 例 3.证明不等式

1 2 n

?

1 3 5 2n ? 1 ? ? ?? ? ? 2 4 6 2n

1 2n ? 1

(n ? 1, n ? N ) .

分析:此不等式的证明若用一般的方法难以证明,仔细观察不等式的特点,可利用函数

y ?

x k ?1 k k ?1 ? ? 在 (?1, ??) 上的单调增加性质可得 , k ? 1, 2,..., 2n ? 1 .可对不等式两边采用压缩法和放大法即可 1? x k k ?1 k ? 2 1 3 5 2n ? 1 x ? ? ?? ? ,利用函数 y ? 在 (?1, ??) 上的单调增加性质, 2 4 6 2n 1? x k ?1 k k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., 2n ? 1. k k ?1 k ? 2 1 2 3 ? ? , 2 3 4 2 3 4 ? ? , 3 4 5
??,

证明. 证明:令 c ?

?



? ?

2n ? 2 2n ? 1 2n ? ? , 2n ? 1 2n 2n ? 1 1 1 3 3 5 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ), c2 ? ( ? )( ? )( ? )? ( 2 2 4 4 6 6 2n 2n 1 1 2 3 2n ? 2 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n ( ? )( ? )? ( ? ) ? c2 ? ( ? )( ? ) ? ( ? ), 2 2 3 4 2n ? 1 2n 2 3 4 5 2n 2n ? 1 1 1 1 ? ? c2 ? 2 2n 2n ? 1


1 2 n

?c?

1 . 2n ? 1
b a

例 4.已知实数 a ? b ? e ,其中 e 是自然对数的底,证明 a ? b . 分析:欲证 a ? b ,只需证 b ln a ? a ln b ,即
b a

ln a ln b ln x ? .由此联想到函数 f ( x ) ? 在 (e, ??) 上若是严格递减的即可 a b x

证明结论. 证明: 对于函数 f ( x ) ?

ln x 1 ? ln x ? 0. 在 (e, ??) 上,其导函数 f ' ( x) ? x x2

? f ( x) 在 (e, ??) 上是严格递减的. ? 对 ? a ? b ? e ,都有 f (a) ? f (b) ,即
故 b ln a ? a ln b ,从而 a ? b .
b a

ln a ln b ? . a b

四.利用函数思想解决最值问题 求最值问题是函数思想的重要应用,此类题综合性强,知识面覆盖广,尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广 泛.下面举两例来看一下:
2 例 5.已知 a ? 0 , 0 ? x ? 2? ,函数 y ? cos x ? a sin x ? b 的最大值是 0 ,最小值是 ?4 ,求使 y 取得最大值和最小值的 x 值

以及 a 和 b 的值.
2 解: 设 sin x ? t , t ? 1 ,则 y ? ?t ? at ? b ? 1 ? ? ( t

?

a ) 2

2

?

a2 4

? b ? 1.

因为 ( t

?

a ) 2

2

? 0 ,所以 ? ( t

?

a ) 2

2

a2 ? 0 . 因此 y ? 4

? b ? 1.

故当 t

?

a a2 ? 0 时, y最大值 ? 2 4

? b ?1?0. ?
a ) 有最大值, 2

又 a ? 0 , t ? 1 ,所以当 t ? 1 时, ( t 从而

y最小值 ? ?1 ? a ? b ? 1 ? b ? a ? ?4 .

a2 所以由 4

? b ? 1 ? 0 , b ? a ? ?4 ,

解得 a ? 2, b ? ?2 .

综上可得 y 取最小值时, t ? 1 即 sin x ? 1 ,所以 x ?

? ; 2 3? y 取最大值时, t ? ?1 即 sin x ? ?1 ,所以 x ? . 2

例 6、渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量. 已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正比, 比例系数为 k ( k ? 0 ) . (空闲率为空闲量与最大养殖量的比 值) (1) y ? ?

k m km ( x ? )2 ? 写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; m 2 4

(2) 求鱼群年增长量的最大值; (3) 求鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 解: (1)由题意,得 y ? kx (

m?x x ) ,即 y ? kx(1 ? ) , 0 ? x ? m . m m k m 2 km (2) y ? ? ( x ? ) ? . m 2 4
因为 0 ? x ? m ,

m km 时, y 有最大值 . 2 4 m km (3)依题意,得 0 ? x ? y ? m ,即 0 ? ? ?m. 2 4
所以当 x ? 解得 ?2 ? k ? 2 , 又 k ? 0 , 所以 0 ? k ? 2 .

五.总结 函数思想是研究问题的重要思想,用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值 问题中的应用,来体会函数思想在中学数学中的应用.当然,函数思想在中学数学中的应用远远不止这些,至于在其他方面的应用 还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.

参考文献:
[1] 钱珮玲,邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,1999 年 7 月.84-90. [2] 李永新,滕文凯.中学数学教材教法[M].长春:东北师范大学出版社,2005 年 6 月.100-107. [3] 李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007 年第 12 期.25-26. [4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007 年第 3 期.33-34.

The Application of Function Thinking in Mathematics
Name: Jia Liping Advisor: Yang Shaohua
Abstract: The function thinking is an important way to solve some mathematics problems.This article through enumerating the application of function thinking in the sequence,the inequality and the most value question to embody the role of function thinking in mathematics. Key word: function thinking sequence inequality most value

Student Number: 2003405456


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