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江苏省南通市启东中学2015-2016学年高一(下)第一次月考数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次月考数 学试卷
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.若 ,则 S50= .

2. 若点 A 在点 C 的北偏东 30°, 点 B 在点 C 的南偏东 60°, 且 AC=BC, 则点 A 在点 B 的 . 3.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a= . 4.图 1,2,3,4 分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图 形,则第 n 个图包含 个互不重叠的单位正方形.

5.直线 xcosα+ y+2=0 的倾斜角范围为 . 6.某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150°,然后沿新方向走了 3km,结果离出发点恰 好 km,那么 x 的值为 . 7.制造某种产品,计划经过两年要使成本降低 36%,则平均每年应降低成本 . 8.在△ABC 中,tanA 是以﹣4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 为第 三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是 . 9.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄,若 年利率为 p 且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期,到 2008 年将 所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 . 10. 在数列{an}中, , 记 Tn=a1?a2?…?an, 则使 成立的最小正整数 n= .

11. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 升. 12. f x) =log( 已知函数 ( , 且 a>b>c>0, 则 2 x+1) 13.等比数列{an}中,a1=1,an= 的大小顺序是 . .

(n=3,4,…) ,则{an}的前 n 项和为

14.若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1)n+2010?a, <bn 对任意 n∈N*恒成立,则常数 a 的取值范围是 二、解答题(共 90 分) .

,且 an

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15.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆半径为 1,且有

(1)求 A、B、C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 16. 如图, 甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当 甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?

17.某人年初向银行贷款 10 万元用于购房, (1)如果他向建设银行贷款,年利率为 5%,且这笔款分 10 次等额归还(不计复利) ,每 年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应付多少元? (2)如果他向工商银行贷款,年利率为 4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本 金生息) ,仍分 10 次等额归还,每年一次,每年应还多少元?(其中:1.0410=1.4802) 18.一种计算装置,有一数据入口 A 和一个运算出口 B,按照某种运算程序: ①当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到 ,记为 ;

②当从 A 口输入自然数 n(n≥2)时,在 B 口得到的结果 f(n)是前一个结果 f(n﹣1) 的 倍.

(1)当从 A 口分别输入自然数 2,3,4 时,从 B 口分别得到什么数?并求 f(n)的表达 式; (2)记 Sn 为数列{f(n)}的前 n 项的和.当从 B 口得到 16112195 的倒数时,求此时对应 的 Sn 的值. 19.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn) ,均在函数 y=bx+r (b>0)且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= (n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. .

20.记公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ ,S3=12+3 (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn. (2)已知等比数列{bnk},bn+ =an,n1=1,n2=3,求 nk. (3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由.

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2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高一(下)第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.若 ,则 S50= ﹣25 .

【考点】数列的求和. 【分析】根据 SN 表达式,采用分组法为宜,从第一项起每相邻两项的和为﹣1.进行计算. 【解答】解:S50=(1﹣2)+(3﹣4)+…+(49﹣50) =(﹣1)+(﹣1)+…+(﹣1) =﹣25 故答案为:﹣25 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的 北偏西 15° . 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】由题意画出图形,数形结合可得答案. 【解答】解:如图,

∵AC=BC,由图可知,∠CAB=∠CBA=45°, 利用内错角相等可知,A 位于 B 北偏西 15°. 故答案为:北偏西 15°. 3.若互不相等的实数 a、b、c 成等差数列,c、a、b 成等比数列,且 a+3b+c=10,则 a= ﹣ 4 . 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】设这三个数为 b﹣d,b,b+d,再根据已知条件寻找关于 b,d 的两个方程,通过解 方程组即可获解. 【解答】解:由互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,可设 a=b﹣d,c=b+d, 由题设得,

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∵d≠0,∴b=2,d=6, ∴a=b﹣d=﹣4, 故答案为:﹣4. 4.图 1,2,3,4 分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图 形,则第 n 个图包含 2n2﹣2n+1 个互不重叠的单位正方形.

【考点】归纳推理. 【分析】根据图 1,2,3,4 分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形,寻找其规 律,可得第 n 个图包含 1+4[1+2+…+(n﹣1)]个互不重叠的单位正方形. 【解答】解:设第 n 个图包含 an 个互不重叠的单位正方形. ∵图 1,2,3,4 分别包含 1,5,13 和 25 个互不重叠的单位正方形, ∴a1=1,a2=5=1+4=1+4×1,a3=13=1+4+8=1+4×(1+2) ,a4=25=1+4+8+12=1+4×(1+2+3) ∴an=1+4[1+2+…+(n﹣1)]=1+4× 故答案为:2n2﹣2n+1 =2n2﹣2n+1

5.直线 xcosα+

y+2=0 的倾斜角范围为



【考点】直线的倾斜角. 【分析】由于直线 xcosα+ π,且﹣ ≤tanθ≤ , y+2=0 的斜率为﹣ ,设此直线的倾斜角为 θ,则 0≤θ<

由此求出 θ 的围. 【解答】解:由于直线 xcosα+ ∴﹣ ≤﹣ ≤ . ≤tanθ≤ . y+2=0 的斜率为﹣ ,由于﹣1≤cosα≤1,

设此直线的倾斜角为 θ,则 0≤θ<π,故﹣ ∴θ∈ 故答案为: . .

6.某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150°,然后沿新方向走了 3km,结果离出发点恰 好 km,那么 x 的值为 或2 . 【考点】向量加减混合运算及其几何意义.

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【分析】作出图象,三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形,由余弦定理建立关于 x 的方程即可求得 x 的值. 【解答】解:如图,AB=x,BC=3,AC= ,∠ABC=30°. 由余弦定理得 3=x2+9﹣2×3×x×cos30°. 解得 x=2 或 x= 故答案为 或 2 .

7.制造某种产品,计划经过两年要使成本降低 36%,则平均每年应降低成本 20% . 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】先设平均每年降低 x,然后根据经过两年使成本降低 36%,列出方程解之即可. 【解答】解:设平均每年降低 x, (1﹣x)2=1﹣36% 解得 x=20%或 x=180%(舍去) . 故平均每年降低 20%. 故答案为:20%.

8.在△ABC 中,tanA 是以﹣4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 为第 三项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形的形状是 锐角三角形 . 【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出 tanA 和 tanB,代入两角 和的正切公式,结合诱导公式,可得 tanC 的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三 角形的形状. 【解答】解:设以﹣4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差为 d 则 d= [4﹣(﹣4)]=2

即 tanA=2 设以 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比为 q

则 q= 即 tanB=3

=3

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则 tan(A+B)=﹣tanC= 即 tanC=1 故 A,B,C 均为锐角 故△ABC 为锐角三角形 故答案为:锐角三角形

=﹣1

9.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄,若 年利率为 p 且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期,到 2008 年将 所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为 [(1+p)8﹣(1+p)] .

【考点】数列的应用;等比数列的前 n 项和. 【分析】由题意知可取回的钱的总数 a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p) ,再由等比数列求和 公式进行求解即可. 【解答】解:第一年存的钱到期可以取:a(1+p)7, 第二年存的钱到期可以取:a(1+p)6, … 可取回的钱的总数: a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p) =

= 故答案为

. .

10.在数列{an}中, 11 . 【考点】数列的求和.

,记 Tn=a1?a2?…?an,则使

成立的最小正整数 n=

【分析】由 Tn=a1?a2?…?an,根据同底数幂的乘法可知:Tn= 差数列的前 n 项和公式, 【解答】解:Tn=a1?a2?…?an, = = = , ? ? ?…? , , ,即可求得

,根据等

>5,即可求得 n 的最小正整数.

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= ∵ ∴ , >5,

∴n2+n﹣110>0,解得:n>10 或 n<﹣11, 由 n∈N*, 最小正整数为:11. 故答案为:11. 11. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 【考点】数列的应用. 升.

【分析】由题设知

,先求出首项和公差,然后再由

等差数列的通项公式求第 5 节的容积.

【解答】解:由题设知



解得 ∴ 故答案为: . =

, .

12.已知函数 f(x)=log2(x+1) ,且 a>b>c>0,则 . 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】利用对数函数的图象及性质,数形结合,把 接直线的斜率,即可得到答案. 【解答】解:由题意,可将

的大小顺序是

看作与原点连

分别看作函数 f(x)=log2(x+1)图象

上的点(a,f(a) ) , (b,f(b) ) , (c,f(c) )与原点连线的斜率.

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结合图象可知当 a>b>c>0 时, 故填: .



13.等比数列{an}中,a1=1,an= ﹣ ×( )n .

(n=3,4,…) ,则{an}的前 n 项和为 n 或

【考点】数列递推式. 【分析】由已知条件,先求出公比,再根据前 n 项和公式计算即可. 【解答】解:设公比为 q,由 an= ∴2an= + , ,

∴2= +



解得 q=1 或 q=﹣ , 当 q=1 时,a1=1,an=1,Sn=n, 当 q=﹣ ,a1=1,Sn= = ﹣ ×( )n,

故答案为:n 或 ﹣ ×(

)n,

14.若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1)n+2010?a, <bn 对任意 n∈N*恒成立,则常数 a 的取值范围是 【考点】数列与不等式的综合.
第 8 页(共 14 页)

,且 an .

【分析】根据题中已知条件先求出数列{an},{bn}的规律,然后令(an)max<(bn)min 即可求出 a 的取值范围. 【解答】解:数列{an}的通项公式是 an=(﹣1)n+2010?a=(﹣1)n?a, ∴数列{an}为﹣a,a,﹣a,a,﹣a,a,…,﹣a,a,… 数列{bn}的通项公式为 =2+ ,

∴数列{bn}为 2+1,2﹣ ,2+ ,2﹣ ,…,2+

,…

要想使 an<bn 对任意 n∈N*恒成立,则(an)max<(bn)min, 当 a>0 时则有 a<2﹣ ,即 a< , 当 a<0 时,则有﹣a≤2,即 a≥﹣2, 则 a 的取值范围为﹣2≤a< , 故答案为[﹣2, ) .

二、解答题(共 90 分) 15.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,其外接圆半径为 1,且有

(1)求 A、B、C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】 (1)利用等差数列求出 B,转化已知条件为 A 的方程,利用两角和与差的三角函 数,求出 A,然后求出 C 的大小; (2)结合(1)的结果,利用三角形的面积公式求△ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵A+B+C=180°且 2B=A+C, ∴B=60°,A+C=120°,C=120°﹣A ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵0°<A<180°, ∴A=60°或 A=105° ∴A=60°,B=60°,C=60°或 A=105°,B=60°,C=15° (2)当 A=60°时,B=60°,C=60° 此时
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当 A=105°时,B=60°,C=15°, 此时

16. 如图, 甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当 甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】连接 A1B2,依题意可知 A2B2,求得 A1A2 的值,推断出△A1A2B2 是等边三角形, 进而求得∠B1A1B2,在△A1B2B1 中,利用余弦定理求得 B1B2 的值,进而求得乙船的速度. 【解答】解:如图,连接 A1B2, , ,

△A1A2B2 是等边三角形,∠B1A1B2=105°﹣60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1?A1B2cos45° = , . . 海里.

因此乙船的速度的大小为 答:乙船每小时航行

17.某人年初向银行贷款 10 万元用于购房, (1)如果他向建设银行贷款,年利率为 5%,且这笔款分 10 次等额归还(不计复利) ,每 年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应付多少元? (2)如果他向工商银行贷款,年利率为 4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本 金生息) ,仍分 10 次等额归还,每年一次,每年应还多少元?(其中:1.0410=1.4802) 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)设每年还款 x 元,由题意可得 105(1+10×5%)=x(1+9×5%)+x(1+8×5%) +…+x,从而解 x; (2)设每所还款 y 元,由题意可得 105(1+4%)10=y(1+4%)9+y(1+4%)8+…+y,从而解 y.
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【解答】解: (1)设每年还款 x 元, 5 则 10 (1+10×5%)=x(1+9×5%)+x(1+8×5%)+…+x, 即 105×1.5=10x+45?0.05x, 解得,x= ≈12245(元) ;

(2)设每所还款 y 元, 则 105(1+4%)10=y(1+4%)9+y(1+4%)8+…+y, 即 105×1.0410=y ,

则 y≈

≈12330(元) .

18.一种计算装置,有一数据入口 A 和一个运算出口 B,按照某种运算程序: ①当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到 ,记为 ;

②当从 A 口输入自然数 n(n≥2)时,在 B 口得到的结果 f(n)是前一个结果 f(n﹣1) 的 倍.

(1)当从 A 口分别输入自然数 2,3,4 时,从 B 口分别得到什么数?并求 f(n)的表达 式; (2)记 Sn 为数列{f(n)}的前 n 项的和.当从 B 口得到 16112195 的倒数时,求此时对应 的 Sn 的值. 【考点】数列的应用;数列的求和. 【分析】 (1)根据 f(n)= f(n) ,利用数学归纳法证明; (2)令 f(n)= ,计算 n,使用列项法求出 Sn. f(n﹣1) ,f(1)= , f(n﹣1) ,依次计算 f(2) ,f(3) ,f(4) ,根据规律猜想

【解答】解: (1)由题意得 f(n)= ∴f(2)= f(1)= f(3)= f(2)= f(4)= f(3)= 猜测:f(n)= 显然 n=1 时,猜想成立, 假设 n=k 时,猜想成立,即 f(k)= 则 n=k+1 时,f(k+1)= f(k)= , , . .

, = ,

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∴当 n=k+1 时,猜想成立, ∴f(n)= (2)令 f(n)= . = 得 4n2=16112196,∴n=2007, )+…+ ( ) ﹣ )

∴Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f+ ( = (1﹣ = (1﹣ ﹣ +…+… )= . ﹣

19.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn) ,均在函数 y=bx+r (b>0)且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= (n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列与函数的综合;数列的求和. 【分析】 (1)由“对任意的 n∈N+,点(n,Sn) ,均在函数 y=bx+r(b>0,且 b≠1,b,r 均 为常数)的图象上”可得到 Sn=bn+r,依次求出 a1、a2、a3,由等比数列的性质(a2)2=a1× a3,解可得答案. (2)结合(1)可知 an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,从而 bn= ,符合一个

等差数列与等比数列相应项之积的形式,用错位相减法求解即可. 【解答】解: (1)因为对任意的 n∈N+,点(n,Sn) ,均在函数 y=bx+r(b>0,且 b≠1,b, r 均为常数)的图象上. 所以得 Sn=bn+r, 当 n=1 时,a1=S1=b+r, a2=S2﹣S1=b2+r﹣(b1+r)=b2﹣b1=(b﹣1)b, a3=S3﹣S2=b3+r﹣(b2+r)=b3﹣b2=(b﹣1)b2, 又因为{an}为等比数列,所以(a2)2=a1×a3,则[(b﹣1)b]2=(b﹣1)b2×(b+r) 解可得 r=﹣1, (2)当 b=2 时,an=(b﹣1)bn﹣1=2n﹣1,bn= 则 Tn= Tn= 相减,得 Tn=

+

=

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所以 Tn=

20.记公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2+ ,S3=12+3 . (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn. (2)已知等比数列{bnk},bn+ =an,n1=1,n2=3,求 nk. (3)问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列,说明理由. 【考点】数列递推式. 【分析】 (1)在等差数列{an}中,由已知求得公差,代入等差数列的通项公式得答案; (2)由 bn+ =an,得 ,结合数列{ }是等比数列即可求得 ,即有 ;

(3)假设存在三项 ar,as,at 成等比数列,则

,整理后分 rt﹣s2≠0 和 rt﹣s2=0 推得矛盾,可知不存在 满足题意的三项 ar,as,at. 【解答】解: (1)在等差数列{an}中, ∵a1=2+ ∴ (2)∵bn+ =an,∴ ,S3=12+3 ,∴ , , ,得 d=2, ;



,又数列{

}的首项为

,公比 q=





,则

,故

; ,

(3)假设存在三项 ar,as,at 成等比数列,则 即有 , ,若 rt﹣s2≠0,则

整理得:



∵r,s,t∈N*,∴

是有理数,与

为无理数矛盾;

若 rt﹣s2=0,则 2s﹣r﹣t=0,从而可得 r=s=t,这样 r<s<t 矛盾. 综上可知,不存在满足题意的三项 ar,as,at.

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2016 年 10 月 28 日

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