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微积分基本定理


§4.6 微积分基本定理
一、问题的提出 二、原函数存在定理 三、牛顿 — 莱布尼兹( NewtonLeibniz)公式

12:33:41

艾萨克﹒牛顿
? 自然和自然律隐没在黑暗中;
? 神说,让牛顿去吧!万物遂成光明。 ?

——亚力山大﹒波普

12:33:41

一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动,已知速度v ? v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且 v ( t ) ? 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为:

?

T2

T1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为

s(T2 ) ? s(T1 ).
? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ).
T1 T2

其中 s?(t ) ? v(t ).

是否有一般情形:

? ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
a

b

二、积分上限函数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续, 并且设 x 为

[a , b]上的一点, 考察定积分

?

x

a

f (t )dt

积分上限函数
如果上限x 在区间[a , b] 上任意变动,则对于 每一个取定的x 值,定积分有一个对应值,所以 它在[a , b]上定义了一个函数,



?( x ) ? ?a f ( t )dt .

x

原函数存在定理
定理1 如果 f ( x ) 在 [ a, b]上连续,x ? [a, b] 则函数

?( x) ? ? f (t )dt
a

x

在 x 处可微,且

? ?( x) ?? ?

??

x

a

f (t )dt

?

?
x

? f ( x)

证明: 已知 ?( x) ?
则:

?

x

a

f (t )dt 在 x 处可微,

?? lim ?x ? 0 ? x ?( x ? ?x) ? ? ( x) ? lim ?x ?0 ?x

? ? lim
?x ?0

x ??x

a

f (t )dt ? ? f (t )dt
a

x

?x

? ? lim
?x ?0

x ??x

a

f (t )dt ? ? f (t )dt
a

x

y

?x
x ??x

? ? lim
?x ?0

x

f (t )dt

?( x )

?x

o a
y

x

x ? ?x b

x

由积分中值定理得

f (? )?x ? lim ?x ? 0 ?x f (? ) ?x ? lim ? ?x ?x

? ? [ x , x ? ?x ],

?( x )

o

a

x ? x ? ?x b x

? f ( x)

? ??( x ) ? f ( x ).

定理2(原函数存在定理)

如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续,则积分上限的函 数 ?( x ) ? ?a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
x

(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.

例:

? ? sin(t )dt ?
x 2 1 0 2 x

?
x

?

? ? sin(t )dt ?

?
x

?

2 ? x sin(t 2 )dt ?? ? ? ?0 ? ? ?x

练习:

? lim
x ?0

cos x

1

e dt
2

?t 2

x

1 ?? 2e

12:33:41

练习:设函数

f ( x)

连续,且
sin x

F ( x) ? ?


3x

f (t )dt

F ?( x) ?
? ?3 f (3x) ? f (sin x) cos x

三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3(微积分基本公式)

如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数,则.

?

b

a

b f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ? F ( x) a

证 ? 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又?

?

x

a

f (t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
x a

? ? f (t )dt ? F ( x) ? C
令 x?a ?

x ? [a , b ]

?

a

a

f (t )dt ? F (a) ? C,

? 0 ? F (a) ? C ? C ? ? F (a )

即?

?

x

a

f (t )dt ? F ( x) ? F (a)

?

?a

x

f ( t )dt ? F ( x ) ? F (a ),

令x ? b ?

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式

b

?a

b

f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a ) ? ? F ( x)?a ? F ( x)
b
b

b a

注意 当a ? b 时,? f ( x )dx ? F (b) ? F (a ) 仍成立. a

例4

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0
2 原式 ? ?2 sin x ? cos x ? x ?0

? 2



?

? ? 3? . 2

例5

求?

?1

?2

1 dx. x



??2

?1

1 1 dx ? ?ln | x |?? ? 2 ? ln1 ? ln 2 ? ? ln 2. x


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