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第55届国际数学奥林匹克(IMO)试题(共6题)


(IMO) 试题 2014 年第 55 届国际数学奥林匹克 届国际数学奥林匹克(IMO) (IMO)试题 第一天
2014 年 7 月 8 日,星期二 第1题 设 a0 < a1 < ××× 为一个无穷正整数列,证明:存在唯一的整数使得: n ≥1 使得:

an ≤

a0 + a1 +×××+ an a ≤ n +

1 . n

第2题

设 n ≥2 为一个正整数,考虑由 n 2 个单位正方格构成的 n ? n 的正方形棋盘, 一种放

置 n 个棋子“车”的方案被称为 和平的 ,如果每一行每一列上正好有一个“车” .求最大的正 整数 k 使得对于任何一种和平放置 n 个棋子 “车” 的方案, 都存在一个 k ? k 的棋盘使得它的 k 2 个单位正方格中都没有“车” .

第3题

在凸四边形 ABCD 中 ? ABC = ? CDA = 90° ,点 H 是 A 向 BD 引的垂线的垂足,

点 S 和点 T 分别 在边 AB 和 AD 上, 使得 H 在 △ SCT 内部 ,且 ? CHS - ? CSB = 90° ,

?THC - ?DTC = 90° .证明:直线 BD 和△ TSH 外接圆相切.

(IMO) 试题 2014 年第 55 届国际数学奥林匹克 届国际数学奥林匹克(IMO) (IMO)试题 第二天
2014 年 7 月 9 日,星期三 第4题 锐角△ ABC 中,点 P 和点 Q 是在边 BC 上满足

?PAB = ?BCA 和 ?CAQ = ?ABC 的两点。点 M 和点 N 分
别在直线 AP, AQ 上满足: P 是 AM 中点, Q 是 AN 中点. 证明: BM , CN 的交点在△ ABC 的外接圆上.

第5题

对于任意正整数 n , 开普敦银行提供面值为

1 的硬币, 对于给定有限枚硬币他们面 n

值的和不超过 99 +

1 .证明:可以把这些硬币分成 100 组使得每组面值和至多为 1. (空集也 2

可以视为一组硬币)

第6题

一个平面上的直线集被称为一般的,如果不存在两两平行或者三线共点.一组一般

的直线集把平面切割成若干区域.若一个区域的面积是有限的则称为 有限区间 .证明:对所有 充分大的正整数 n ,任意的有 n 条直线构成的一般的直线集可以把至少条 n 直线染为蓝色使 得没有一个有限区间被蓝线包围. 说明:如果把题中的 n 改为 c n 可以获得更多分值.


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