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初中数学二次函数知识点超好


1.定义:一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 y ? ax2 的性质
(1)抛物线 y ? ax2 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴. (2)函数 y ? ax2 的图像与 a 的符号关系. ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点; ②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点.

( a ? 0) (3)顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ? ax2 .

3.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
4. 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 用 配 方 法 可 化 成 : y ? a?x ? h? ? k 的 形 式 , 其 中
2

2

h??

b 4ac ? b 2 ,k ? . 2a 4a
2 2

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:① y ? ax ;② y ? ax ? k ;③ y ? a?x ? h? ;④
2

y ? a?x ? h? ? k ;⑤ y ? ax2 ? bx ? c .
2

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向:当 a ? 0 时,开口向上;当 a ? 0 时,开口向下;

a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴(或重合)的直线记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口 大小完全相同,只是顶点的位置不同.

b ? 4ac ? b 2 ? 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法: y ? ax ? bx ? c ? a? x ? ,∴顶点是 ? ? 2a ? 4a ?
2

2

(?

b b 4ac ? b 2 , ) ,对称轴是直线 x ? ? . 2a 2a 4a
2

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h? ? k 的形式,得到顶点为( h , k ), 对称轴是直线 x ? h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分

1

线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 中, a , b, c 的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax2 中的 a 完全一样. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的对称轴是直线

x??


b b ,故:① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② ? 0 (即 a 、 b 同号)时,对称轴在 y 轴左侧; a 2a

b ? 0 (即 a 、 b 异号)时,对称轴在 y 轴右侧. a

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交点的位置. 当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ) : ① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k )

b ? 0. a

y ? ax2 y ? ax2 ? k

x ? 0 ( y 轴) x ? 0 ( y 轴)
2

y ? a?x ? h?

当a ? 0时 开口向上 当 a ? 0时 开口向下

x?h x?h

y ? a?x ? h? ? k
2

y ? ax ? bx ? c
2

x??

b 2a

b 4ac ? b 2 , (? ) 2a 4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

(2)顶点式: y ? a?x ? h? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ,通常选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? . 12.直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线 y ? ax ? bx ? c 得交点为(0, c ).
2

2

2 (2)与 y 轴平行的直线 x ? h 与抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 有且只有一个交点( h , ah ? bh ? c ).

(3)抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定: ①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. (4)平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵 坐标为 k ,则横坐标是 ax ? bx ? c ? k 的两个实数根.
2

(组无解时 ? l 与 G 没有交点. (6)抛物线与 x 轴两交点之间的距离:若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴两交点为 A?x1, 0?,B?x2, 0? , 由于 x1 、 x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,故
2

b c x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? a a

AB ? x1 ? x2 ?

?x1 ? x2 ?2

?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

b 2 ? 4ac ? ? b ? 4c ? ?? ? ? ? ? a a a ? a?

2

一次函数与反比例函数
考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。 其中,水平的数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方 向;两轴的交点 O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第一 象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和 y 轴上的点,不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“, ”分开,横、纵坐标的位
3

(3 分)

置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当 a ? b 时, (a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第二象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第三象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第四象限 ? x ? 0, y ? 0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y ? 0 ,x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x ? 0 ,y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 ? x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0) 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ? x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等,横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y (2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x
2 2 (3)点 P(x,y)到原点的距离等于 x ? y

(3 分)

考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量

(3~8 分)

在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。 一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对 应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法
4

叫做解析法。 (2)列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 (3~10 分) 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,如果 y ? kx ? b (k,b 是常数,k ? 0) ,那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地,当一次函数 y ? kx ? b 中的 b 为 0 时, y ? kx (k 为常数,k ? 0) 。这时,y 叫做 x 的正比 例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:一次函数 y ? kx ? b 的图像是经过点(0,b)的直线; 正比例函数 y ? kx 的图像是经过原点(0,0)的直线。 k 的符号 b 的符号 函数图像 y 图像特征

b>0

0

x

图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大。

k>0

y

b<0

0

x

图像经过一、三、四象限,y 随 x 的增大而增大。

y 图像经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小 0 x
5

K<0

b>0

y

b<0 0 x

图像经过二、三、四象限,y 随 x 的增大而减小。

注:当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质, ,一般地,正比例函数 y ? kx 有下列性质: (1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 5、一次函数的性质, ,一般地,一次函数 y ? kx ? b 有下列性质: (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大 (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y ? kx (k ? 0)中的常数 k。确定一个一次函 数, 需要确定一次函数定义式 y ? kx ? b(k ? 0) 中的常数 k 和 b。 解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 (3~10 分) 1、反比例函数的概念

k (k 是常数,k ? 0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y ? kx ?1 x 的形式。自变量 x 的取值范围是 x ? 0 的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
一般地,函数 y ? 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限, 它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x ? 0,函数 y ? 0,所以,它的图像与 x 轴、y 轴都没有交 点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比例 函数 k 的符号 y 图像 k>0 y

y?

k ( k ? 0) x
k<0

O

x

O

x
6

性质

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k>0 时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k<0 时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y ?

k 中,只有一个待定系数,因此只需要 x

一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k (k ? 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM,PN,则所得的矩形 x k PMON 的面积 S=PM ? PN= y ? x ? xy 。 ? y ? ,? xy ? k , S ? k 。 x
如下图,过反比例函数 y ?

二次函数
考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 (3~8 分)

一般地,如果 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数。

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x ? ?

b 对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与坐标轴的交点: 当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称 点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点 A、B,然后顺 次连接五点,画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 (10~16 分) 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式: y ? ax ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0)
2

7

(2)顶点式: y ? a( x ? h) 2 ? k (a, h, k是常数, a ? 0) (3) 当抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴有交点时, 即对应二次好方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根 x1 和 x2
2

存在时,根据二次三项式的分解因式 ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 可转 化为两根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。如果没有交点,则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 值(或最小值) ,即当 x ? ? (10 分)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大

b 4ac ? b 2 时, y最值 ? 。 2a 4a b 是否在自变量取值范围 x1 ? x ? x2 内, 2a

如果自变量的取值范围是 x1 ? x ? x2 ,那么,首先要看 ?

b 4ac ? b 2 若在此范围内,则当 x= ? 时, y最值 ? ;若不在此范围内,则需要考虑函数在 x1 ? x ? x2 范 2a 4a
2 围内的增减性, 如果在此范围内, y 随 x 的增大而增大, 则当 x ? x2 时, y最大 ? ax2 ? bx2 ? c ,当 x ? x1 2 2 时,y最小 ? ax1 如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当 x ? x1 时,y最大 ? ax1 ? bx1 ? c ; ? bx1 ? c , 2 当 x ? x2 时, y最小 ? ax2 ? bx2 ? c 。

考点四、二次函数的性质 函数

(6~14 分) 1、二次函数的性质 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数,a ? 0)
a>0 y y a<0

图像

0

x

0

x

(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; 性质

(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;

b b b b (2)对称轴是 x= ? ,顶点坐标是( ? , (2)对称轴是 x= ? ,顶点坐标是( ? , 2a 2a 2a 2a

8

4ac ? b 2 ) ; 4a
(3)在对称轴的左侧,即当 x< ?

4ac ? b 2 ) ; 4a
b b 时,y 随 x (3)在对称轴的左侧,即当 x< ? 时,y 随 2a 2a
x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当 x> ?

的增大而减小;在对称轴的右侧,即当

b x> ? 时,y 随 x 的增大而增大,简记左减 2a
右增; (4)抛物线有最低点,当 x= ? 值, y最小值 ?

b 时,y 随 x 的增大而减小,简记左 2a

增右减;

b b 时,y 有最小 (4)抛物线有最高点,当 x= ? 时,y 有最 2a 2a
大值, y最大值 ?

4ac ? b 2 4a

4ac ? b 2 4a

2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a, b, c是常数, a ? 0) 中, a、b、c 的含义: a 表示开口方向: a >0 时,抛物线开口向上, , ,

a <0 时,抛物线开口向下 b b 与对称轴有关:对称轴为 x= ? 2a ( 0, c ) c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标:

3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ? ? b ? 4ac ,在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。
2

当 ? >0 时,图像与 x 轴有两个交点; 当 ? =0 时,图像与 x 轴有一个交点; 当 ? <0 时,图像与 x 轴没有交点。 补充: 1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法) y 如图:点 A 坐标为(x1,y1)点 B 坐标为(x2,y2) 则 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2
0 B

A x

2、函数平移规律(中考试题中,只占 3 分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以 大大节省做题的时间) 3、直线斜率:

k ? tan? ?

y 2 ? y1 x2 ? x1

b为直线在y轴上的截距

9

4、直线方程:

一般两点斜截距
ax+by+c=0
--最最常用, 记牢

1,一般 2,两点 3,点斜
4,斜截 5 ,截距

一般 直线方程

由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:

y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

知道一点与斜率 y ? y1 ? k ( x ? x1 )
斜截式方程,简称斜截式: y=kx+b(k≠0)

由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距

式方程,简称截距式:

x y ? ?1 a b

记牢可大幅提高运算速度
5、设两条直线分别为, l1 : y ? k1 x ? b1

l2 : y ? k2 x ? b2

若 l1 // l2 ,则有 l1 // l2 ? k1 ? k2 且 b1 ? b2 。 若 l ? l ? k ? k ? ?1 1 2 1 2 6、点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离: d ?

kx0 ? y 0 ? b k 2 ? (?1) 2

?

kx0 ? y 0 ? b k 2 ?1

对于点P(x0,y0)到直线滴一般式方程

ax+by+c=0

滴距离有

d?
中考点击 考点分析:

ax0 ? by0 ? c a ?b
2 2

常用记牢
要求
10

内容

1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别,理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况,会作图 5、反比例函数的概念、图像特征,以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质,在实际情景中理解二次函数的意义,会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ

命题预测:函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的概念主要用选择、填空的 形式考查自变量的取值范围,及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等,一般占 2%左右.一次 函数与一次方程有紧密地联系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查,占 5%左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现,要关注反比例函数与实际问题的联系, 突出应用价值,3—6 分;二次函数是初中数学的一个十分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现 在试卷中.要求:能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次函数的意义;会用描 点法画二次函数图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称 轴,并能解决实际问题.会求一元二次方程的近似值. 分析近年中考,尤其是课改实验区的试题,预计 2007 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与 因变量之间的变化图像,一次函数的图像和性质,在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理 解.同时将注重考查二次函数,特别是二次函数的在实际生活中应用.

初中数学助记口诀(函数部分)
特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后; X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。 对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X 轴对称 y 相反,Y 轴对称,x 前面添负号;原点 对称最好记,横纵坐标变符号。 自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。 函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成 y=a(x+h) 2+k 的形式,则用下面后的口诀“

同左上加,异右下减”。

一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线; 两个系数 k 与 b,作用之大莫小看,k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减;k 为 负来左下展,变化规律正相反;k 的绝对值越大,线离横轴就越远。 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象现; 开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与 a 相关联;顶点位置先找见,Y 轴作为参考 线,左同右异中为 0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数 最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。 反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限,k 为 负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长 越近轴,永远与轴不沾边。 正比例函数是直线,图象一定过圆点,k 的正负是关键,决定直线的象限,负 k 经过二四限,x 增大 y 在减,上下平移 k 不变,由引得到一次线,向上加 b 向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定 系数是关键。 反比例函数双曲线,待定只需一个点,正 k 落在一三限,x 增大 y 在减,图象上面任意点,矩形面积
11

都不变,对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换。 二次函数抛物线,选定需要三个点,a 的正负开口判,c 的大小 y 轴看,△的符号最简便,x 轴上数 交点,a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。

1.

一元一次不等式解题的一般步骤:
去分母、去括号,移项时候要变号; 同类项、合并好,再把系数来除掉; 两边除(以)负数时,不等号改向别忘了。

2.

特殊点坐标特征:
坐标平面点(x,y),横在前来纵在后; (+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后; X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y 轴。

3.

平行某轴的直线:
平行某轴的直线,点的坐标有讲究, 直线平行 X 轴,纵坐标相等横不同; 直线平行于 Y 轴,点的横坐标仍照旧。

4.

对称点坐标:
对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆, X 轴对称 y 相反, Y 轴对称,x 前面添负号; 原点对称最好记,横纵坐标变符号。

5.

自变量的取值范围:
分式分母不为零,偶次根下负不行; 零次幂底数不为零,整式、奇次根全能行。

6.

函数图像的移动规律:
若把一次函数解析式写成 y=k(x+0)+b, 二次函数的解析式写成 y=a(x+h)2+k 的形式, 则用下面后的口诀: “左右平移在括号,上下平移在末稍, 左正右负须牢记,上正下负错不了”。

7.

一次函数图像与性质口诀:
一次函数是直线,图像经过仨象限; 正比例函数更简单,经过原点一直线; 两个系数 k 与 b,作用之大莫小看, k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见, k 为正来右上斜,x 增减 y 增减;k 为负来左下展,变化规律正相反; k 的绝对值越大,线离横轴就越远。

8.

二次函数图像与性质口诀:
二次函数抛物线,图象对称是关键; 开口、顶点和交点,它们确定图象限;
12

开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与 a 相关联;顶点位置先找见,Y 轴作为参考 线,左同右异中为 0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数 最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。

9.

反比例函数图像与性质口诀:
反比例函数有特点,双曲线相背离的远; k 为正,图在一、三(象)限;k 为负,图在二、四(象)限; 图在一、三函数减,两个分支分别减;图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾 边。

函数学习口决:正比例函数是直线,图象一定过原点,k 的正负是关键,决定直线的象限,负 k 经过二
四限,x 增大 y 在减,上下平移 k 不变,由引得到一次线,向上加 b 向下减,图象经过三个限,两点决定 一条线,选定系数是关键; 反比例函数双曲线,待定只需一个点,正 k 落在一三限,x 增大 y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不 变,对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换; 二次函数抛物线,选定需要三个点,a 的正负开口判,c 的大小 y 轴看,△的符号最简便,x 轴上数交点, a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变,顶点牵着图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。

10.

求定义域:
求定义域有讲究,四项原则须留意。 负数不能开平方,分母为零无意义。 指是分数底正数,数零没有零次幂。 限制条件不唯一,满足多个不等式。 求定义域要过关,四项原则须注意。 负数不能开平方,分母为零无意义。 分数指数底正数,数零没有零次幂。 限制条件不唯一,不等式组求解集。

11.

解一元一次不等式:
先去分母再括号,移项合并同类项。 系数化“1”有讲究,同乘除负要变向。 先去分母再括号,移项别忘要变号。 同类各项去合并,系数化“1”注意了。 同乘除正无防碍,同乘除负也变号。

12.

解一元一次不等式组:
大于头来小于尾,大小不一中间找。 大大小小没有解,四种情况全来了。 同向取两边,异向取中间。 中间无元素,无解便出现。 幼儿园小鬼当家,(同小相对取较小) 敬老院以老为荣,(同大就要取较大) 军营里没老没少。(大小小大就是它) 大大小小解集空。(小小大大哪有哇)

13.

解一元二次不等式:
13

首先化成一般式,构造函数第二站。 判别式值若非负,曲线横轴有交点。 a 正开口它向上,大于零则取两边。 代数式若小于零,解集交点数之间。 方程若无实数根,口上大零解为全。 小于零将没有解,开口向下正相反。

13.1 用公式法解一元二次方程
要用公式解方程,首先化成一般式。 调整系数随其后,使其成为最简比。 确定参数 abc,计算方程判别式。 判别式值与零比,有无实根便得知。 有实根可套公式,没有实根要告之。

14.

用常规配方法解一元二次方程:
左未右已先分离,二系化“1”是其次。 一系折半再平方,两边同加没问题。 左边分解右合并,直接开方去解题。 该种解法叫配方,解方程时多练习。

15.

用间接配方法解一元二次方程:
已知未知先分离,因式分解是其次。 调整系数等互反,和差积套恒等式。 完全平方等常数,间接配方显优势 【注】 恒等式

16.

解一元二次方程:
方程没有一次项,直接开方最理想。 如果缺少常数项,因式分解没商量。 b、c 相等都为零,等根是零不要忘。 b、c 同时不为零,因式分解或配方, 也可直接套公式,因题而异择良方。

17.

正比例函数的鉴别:
判断正比例函数,检验当分两步走。 一量表示另一量, 有没有。 若有再去看取值,全体实数都需要。 区分正比例函数,衡量可分两步走。 一量表示另一量, 是与否。 若有还要看取值,全体实数都要有。

18.

正比例函数的图象与性质:
正比函数图直线,经过 和原点。 K 正一三负二四,变化趋势记心间。 K 正左低右边高,同大同小向爬山。 K 负左高右边低,一大另小下山峦。
14

19.

一次函数:
一次函数图直线,经过 点。 K 正左低右边高,越走越高向爬山。 K 负左高右边低,越来越低很明显。 K 称斜率 b 截距,截距为零变正函。

20.

反比例函数:
反比函数双曲线,经过 点。 K 正一三负二四,两轴是它渐近线。 K 正左高右边低,一三象限滑下山。 K 负左低右边高,二四象限如爬山。

21.

二次函数:
二次方程零换 y,二次函数便出现。 全体实数定义域,图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴,两边单调正相反。 A 定开口及大小,线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线,平移也可去描点, 提取配方定顶点,两条途径再挑选。 列表描点后连线,平移规律记心间。 左加右减括号内,号外上加下要减。 二次方程零换 y,就得到二次函数。 图像叫做抛物线,定义域全体实数。 A 定开口及大小,开口向上是正数。 绝对值大开口小,开口向下 A 负数。 抛物线有对称轴,增减特性可看图。

线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出。 如果要画抛物线,描点平移两条路。 提取配方定顶点,平移描点皆成图。 列表描点后连线,三点大致定全图。 若要平移也不难,先画基础抛物线, 顶点移到新位置,开口大小随基础。 【注】基础抛物线 22. 列方程解应用题: 列方程解应用题,审设列解双检答。
15

审题弄清已未知,设元直间两办法。 列表画图造方程,解方程时守章法。 检验准且合题意,问求同一才作答。 23. 两点间距离公式: 同轴两点求距离,大减小数就为之。 与轴等距两个点,间距求法亦如此。 平面任意两个点,横纵标差先求值。 差方相加开平方,距离公式要牢记。

二次函数知识点:1.二次函数的概念:一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ( a ,b ,c 是常数, a ? 0 )
的函数,叫做二次函数。
c 可以 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 a ? 0 ,而 b ,

为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. b, c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项. ⑵ a,

二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式: y ? ax2 的性质:

o

o

结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

16

a?0

向上

0? ?0,
0? ?0,

y轴

x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 0 .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

a?0

向下

y轴

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 0 .

2. y ? ax2 ? c 的性质:

结论:上加下减。 总结:

同左上加,异右下减
顶点坐标
c? ?0,

a 的符号
a?0

开口方向 向上

对称轴

性质
x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大; x ? 0 时, y 随

y轴

x 的增大而减小; x ? 0 时, y 有最小值 c .
x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小; x ? 0 时, y 随

a?0

向下

c? ?0,

y轴

x 的增大而增大; x ? 0 时, y 有最大值 c .

3. y ? a ? x ? h? 的性质:
2

结论:左加右减。 总结:

同左上加,异右下减
开口方向 向上 顶点坐标
0? ?h,

a 的符号
a?0

对称轴 X=h

性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随

x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 0 .

17

a?0

向下

0? ?h,

X=h

x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随

x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 0 .

4. y ? a ? x ? h ? ? k 的性质:
2

总结:

a 的符号
a?0

开口方向 向上

顶点坐标
k? ?h,

对称轴 X=h

性质
x ? h 时, y 随 x 的增大而增大; x ? h 时, y 随

x 的增大而减小; x ? h 时, y 有最小值 k .
x ? h 时, y 随 x 的增大而减小; x ? h 时, y 随

a?0

向下

? h ,k ?

X=h

x 的增大而增大; x ? h 时, y 有最大值 k .

二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
k? ; ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h? ? k ,确定其顶点坐标 ? h ,
2

k ? 处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线 y ? ax2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h ,
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“

同左上加,异右下减” .
18

三、二次函数 y ? a ? x ? h? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 的比较
2

请将 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 5 利用配方的形式配成顶点式。请将 y ? ax2 ? bx ? c 配成 y ? a ? x ? h ? ? k 。
2

总结:
从解析式上看, y ? a ? x ? h ? ? k 与 y ? ax2 ? bx ? c 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前
2

b ? 4ac ? b2 b 4ac ? b2 ? 者,即 y ? a ? x ? ? ? ,其中 h ? ? , . k? 2a ? 4a 2a 4a ?

2

四、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 y
c ? 、以及 ? 0 , c ? 关于对称轴对称的点 ? 2h , c ? 、与 x 轴的交点 ? x1 , 0 ? , ? x2 , 0 ? (若与 x 轴的交点 ? 0 ,

轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点.

五、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的性质
1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?
? b 4ac ? b 2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 4a ? 2a ? 2a

当x?? 小值

b b b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 时, y 有最 2a 2a 2a

4ac ? b2 . 4a
? b 4ac ? b 2 ? b b ,顶点坐标为 ? ? , 时, y ? .当 x ? ? 2 a 4 a 2a 2a ? ?

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ?

随 x 的增大而增大;当 x ? ?

b b 4ac ? b2 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 有最大值 . 2a 2a 4a

六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式: y ? ax2 ? bx ? c ( a , b , c 为常数, a ? 0 ) ;
19

2. 顶点式: y ? a( x ? h)2 ? k ( a , h , k 为常数, a ? 0 ) ; 3. 两根式: y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 , x1 , x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即 b 2 ? 4ac ? 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解 析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 . ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向, a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下,

当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;ab 同号 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a

同左上加 异右下减 异右下减

当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.a,b 异号 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即

当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧;a,b 异号 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a

当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.ab 同号 2a

同左上加

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.

总结:

同左上加 异右下减
20

3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ;

⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置. b, c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要 a , 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y? a2 x ? bx ? 关于 c x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a 2 x ? b x? ; c

y ? a ? x ? h? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

2. 关于 y 轴对称
y? a2 x ? bx ? 关于 c y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a 2 x ? bx ?; c

y ? a ? x ? h? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称
y? a2 x ? bx ? 关于原点对称后,得到的解析式是 c y ? ?a 2 x ? b x? ; c

y ? a? x? ?h ? 关于原点对称后,得到的解析式是 k y ? ?a? x ? ?h ? ; k
2 2

4. 关于顶点对称

b2 y? a2 x ? bx ? 关于顶点对称后,得到的解析式是 c y ? ?a 2 x ? b x? c? ; 2a
y ? a ? x ? h? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k .
2 2

n ? 对称 5. 关于点 ? m , n ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k y ? a ? x ? h? ? k 关于点 ? m ,
2

2

根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此 a 永远不变. 求 抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定 原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况.
21

图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴交于两点 A? x1 , 0? , B ? x2 , 0? ( x1 ? x2 ) ,其中的 x1 ,x2 是一元二次 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根.这两点间的距离 AB ? x2 ? x1 ?
b2 ? 4ac . a

② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ;

3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的符 号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的 一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式, 二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数;

? ? 0 抛物线与 x 轴

有两个交点
? ? 0 抛物线与 x 轴

二次三项式的值可 正、可零、可负 二次三项式的值为 非负 二次三项式的值恒 为正

一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根

只有一个交 点
? ? 0 抛物线与 x 轴

一元二次方程无实数根.

无交点

下面以 a ? 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 图像参考:

22

y=2 x2 y=x2

x2 y= 2

x2 y= 2

y= -x2

y=-2x2

y=3 (x+4)2

y=3 x2 y=3 (x-2)2

y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2

23


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