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2.3函数的单调性与最值


1.函数的单调性

[归纳 知识整合]

(1)单调函数的定义:
增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为A,区间I?A.如果对于 区间I内的任意两个值x1,x2 定 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) , 当 x < x 时,都有 1 2 f(x1)<f(x2) 义 ,那么就 那么就说

y=f(x)在区间I上是 说y=f(x)在区间I上是 单调减函数 单调增函数

增函数

减函数

图象 描述

自左向右看图象是 自左向右看图象是
逐渐上升的 ___________
逐渐下降的 ___________

(2)如果函数y=f(x)在区间I上是 单调增函数



单调减函数 ,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有(严格 的)单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

1 [探究] 1.函数 y=x的单调递减区间为(-∞,0)∪(0, +∞),这种表示法对吗?
提示:首先函数的单调区间只能用区间表
示,不能用集合或不等式的形式表示;如果一

个函数有多个单调区间应分别写,分开表示,
不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”

联结.

2.函数f(x)在区间[a,b]上单调递增与函数f(x) 的单调递增区间为[a,b]含义相同吗?

提示:含义不同.f(x)在区间[a,b]上单调递增
并不能排除f(x)在其他区间上单调递增,而f(x)的 单调递增区间为[a,b]意味着f(x)在其他区间上不 可能单调递增.

2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为A

如果存在x0∈A,使得对
条件 于任意的x∈A,都有 ___________ f(x)≤f(x0)

如果存在x0∈A,使得对
于任意的x∈A,都有 f(x)≥f(x0)

结论

称f(x0)为y=f(x)的最大值, 称f(x0)为y=f(x)的最小值, 记为 __________ ymax=f(x0) 记为ymin=f(x0)

[探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映 在其图象上有什么特征?

提示:函数的单调性反映在图象上是上升或
下降的,而最大(小)值反映在图象上为其最高 (低)点的纵坐标的值.

2 1.(教材习题改编)函数 f(x)= ,x∈[2,6],则下列说 x- 1 法正确的有________. ①函数 f(x)为减函数;②函数 f(x)为增函数;③函数 2 f(x)的最大值为 2;④函数 f(x)的最小值为 . 5

[自测 牛刀小试]

2 解析:易知函数 f(x)= 在 x∈[2,6]上为减函数,故 x-1 2 f(x)min=f(6)= ,f(x)max=f(2)=2. 5
答案:①③④

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 ________.

解析:使 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数, 1 则 2k+1<0,即 k<- . 2
1 答案:k<- 2

??1?? 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f??x??<f(1)的实数 ?? ??

x 的取值范围是________.
解析:∵函数 f(x)为 R 上的减函数, 且
??1?? ?? ?? f??x??<f(1), ?? ??

?1? ? ? ∴?x?>1,即|x|<1 ? ?

且|x|≠0.

∴x∈(-1,0)∪(0,1).

答案:(-1,0)∪(0,1)

4.(教材习题改编)若函数 f(x)=4x -kx-8 在[5,20]上是单 调递增函数,则实数 k 的取值范围是________.

2

k 解析:∵函数 f(x)=4x -kx-8 的对称轴为 x= , 8
2

又函数 f(x)在[5,20]上为增函数, k ∴ ≤5,即 k≤40. 8
答案:(-∞,40]

5.(2012· 无锡调研)已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上单 调递增,则a的取值范围为________.

解析:令 m=ax-1,则函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上 单调递增等价于 m=ax-1 在(1,2)上单调递增,且 ax
? ?a>0, -1>0 在(1,2)上恒成立,所以? ? ?a-1≥0,

即 a≥1.

答案:[1,+∞)

函数单调性的判断或证明
[例 1] 已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单 调减函数.

[自主解答]

(1)由 2f(1)=f(-1), 2 2+a,得 a= . 3

可得 2 2-2a=

(2)证明:任取 x1,x2∈ [0,+∞),且 x1<x2, f(x1)- f(x2)= x2 1+1-ax1- x2 1+1- x2 2+1+ax2= x2 2+1-a(x1-x2)

2 x2 - x 1 2 = 2 -a(x1-x2) 2 x1+1+ x2+1

? = (x1-x2)? ? ?

? x1+ x2 ? - a . 2 2 ? x1+1+ x2+1 ?

∵0≤x1<

x2 1+1,0<x2<

2 x2 +1,

x1+ x2 ∴0< 2 <1. 2 x1+1+ x2+1 又∵a≥1,∴f(x1)- f(x2)>0, ∴ f(x)在 [0,+∞)上单调递减.

保持本例条件不变,若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函 数,求 a 的取值范围.

解:任取 1≤x1<x2,f(x1)-f(x2)=
? ? (x1-x2)? ? ? x1+x2 ? -a?, 2 2 x1+1+ x2+1 ?

∵f(x)单调递增,所以 f(x1)-f(x2)<0.

x1+x2 又 x1-x2<0, 那么必须 2 -a>0 恒成立. 2 x1+1+ x2+1
2 2 2 2 ∵1≤x1<x2?2x1≥x1+1,2x2>x2+1,

∴ 2x1≥

2 x1+1,

2x2>

2 x2+1. 2 x2+1?

相加得 2(x1+x2)>

2 x1+1+

x1+x2 2 2 > ,∴0<a≤ . 2 2 2 x1+1 x2+1 2

判断或证明函数的单调性的两种方法 (1)利用定义的基本步骤是: 取值 ? 作差?商?变形 ? 确定符号 ? 得出结论 (2)利用导数的基本步骤是: 求导函数 ? 确定符号 ? 得出结论

ax 1.讨论函数 f(x)= 2 (a>0)的单调性. x -1
解:由 x2-1≠0,得 x≠± 1,即 定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). ①当 x∈(-1,1)时,设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2-1
2 ax1x2 a?x2-x1??x1x2+1? 2-ax1-ax2x1+ax2 = = . 2 2 2 2 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x2 - 1)( x 1 2-1)>0.

又 a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数 f(x)在(-1,1)上为减函数.

②设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2) a?x2-x1??x1x2+1? ax1 ax2 = 2 - 2 = , 2 2 x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1?
2 ∵1<x1<x2,∴x2 - 1>0 , x 1 2-1>0,

x2-x1>0,x1x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(1,+∞)上为减函数, 又函数 f(x)是奇函数, ∴f(x)在(-∞,-1)上是减函数.

求函数的单调区间
[例 2] 求下列函数的单调区间. (1)y=-x2+2|x|+3; (2)y=log2(x2-1).
[自主解答] (1)依题意,可得 当 x≥0 时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当 x<0 时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4. 由二次函数的图象知,

函数 y=-x2+2|x|+3 在(-∞,-1],[0,1]上是增函数, 在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.

(2)∵y=log2(x -1), ∴该函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 又∵y=log2(x2-1)可看作由 y=log2μ 和 μ=x2-1 两个 函数复合而成的,且 y=log2μ 在 μ∈(0,+∞)上为增函数, 而 μ=x2-1 在(-∞,-1)上为减函数且 μ>0, 在(1,+∞)上为增函数且 μ>0. ∴当 x∈(-∞,-1)时,y=log2(x -1)为减函数, 当 x∈(1,+∞)时,y=log2(x2-1)为增函数.
2

2

—————

————————————

1.求函数单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集, 求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域,求函 数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行. ————————————————————————

—————

————————————

2.求复合函数y=f[g(x)]的单调区间的步骤 (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u= g(x ).

(3)分别确定这两个函数的单调区间.
(4)若这两个函数同增或同减,则y=f[g(x)]为增函
———————————————————————— 数;若一增一减,则 y=f[g(x)]为减函数,即“同增异

减”.

2.求函数 y=

x2+x-6的单调区间.
x2+x-6可以看作有 y= u

解:令 u=x2+x-6,y=

与 u=x2+x-6 的复合函数. 由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数, 在[2,+∞)上是增函数,而 y= 函数. ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增 u在(0,+∞)上是增

区间为[2,+∞).

第三节

函数的单调与最值

基 础 知 识 要 打 牢

[例3]

(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)

高 分 障 碍 要 破 除
解 题 训 练 要 高 效

<f(m2)的实数m的取值范围是________.

高 频 考 点 要 通 关

(2)(2012· 安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调
递增区间是[3,+∞),则a=________.

北师大版数学(理)

目录

第三节

函数的单调与最值

[解析]
基 础 知 识 要 打 牢

(1)∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-m<m2.
高 分 障 碍 要 破 除
解 题 训 练 要 高 效

∴m +m-2>0.∴m>1 或 m<-2.

2

高 频 考 点 要 通 关

a ? ?-2x-a,x<-2, (2)由 f(x)=? ?2x+a,x≥-a, 2 ?
? a ? 单调递增区间为?-2,+∞?,故 ? ?
[答案]

可得函数 f(x)的

a 3=- ,解得 a=-6. 2

(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)

(2)-6
目录

北师大版数学(理)

2 个防范——对函数单调区间的记法及性质的防范
(1) 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单 调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的 单调性相同,也不能用并集表示.

(2)两函数 f(x),g(x)在 x∈(a,b)上都是增(减)函数,则 f(x) 1 +g(x)也为增(减)函数,但 f(x)· g(x), 等的单调性与其正负有 f?x? 关,切不可盲目类比.

2 种形式——单调函数的等价变形
设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? (1) >0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a, b] x1-x2 上是增函数;

f?x1?-f?x2? (2) <0?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a, x1-x2 b]上是减函数.

4 种方法——函数单调性的判断
判断函数单调性的方法有以下四种: (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论;

(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为 增函数,不同时为减函数;
(3)导数法:利用导数研究函数的单调性;

(4)图象法:利用图象研究函数的单调性.

易误警示——分段函数单调性中的误区

[ 典 例 ]

(2012·福 州 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = 满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 都 有

? ??3a-1?x+4a,x<1, ? ? ?logax,x≥1,

f?x1?-f?x2? <0 成立,则实数 a 的取值范围为________. x1-x2

[解析] 据题意使原函数在定义域 R 上为减函数, ?3a-1<0, ? 1 1 只需满足?0<a<1, 解得 ≤a< . 7 3 ??3a-1?×1+4a≥log 1, ? a

[答案]

?1 1? ? , ? ?7 3?

[易误辨析]
(1) 如果只考虑到使各段函数在相应定义域内为减函 数的条件, 而忽视在 R 上为减函数, 易求错 a 的取值范围.
(2)一般地,若函数 f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区 间[b,c]上为增函数,则不一定说明函数 f(x)在[a,c]上为增

函数,如图:

,由图象可知函数 f(x)在[a,c]上

整体不呈上升趋势, 故此时不能说 f(x)在[a, c]上为增函数,

若图象满足如图:

,即可说明函数在[a,c]上为

增函数,即只需 f(x)在[a,b)上的最大值不大于 f(x)在[b, c]上的最小值即可,同理减函数的情况依据上述思路也可 推得相应结论.

[变式训练]
?1,x>0, ? 1.设函数 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ? 的递减区间是________.

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)

?x2,x>1, ? 解析:g(x)=?0,x=1, 如图所示, ?-x2,x<1. ? 其递减区间是[0,1).

答案:[0,1)(开区间也行)

ax?x>1?, ? ? 2.若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, ?4- ?x+2?x≤1?, ? ?? 2? 则实数 a 的取值范围为________.
解析:函数 f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都为增函数, 且 f(x)在(-∞,1]上的最高点不高于其在 (1,+∞)上的 ?a>1, ? ?4-a>0, 2 最低点,即? ? a ?a≥4- +2, 2 ?

解得 a∈[4,8).

答案:[4,8)

3.设函数 y=f(x)在 R 内有定义,对于给定的正数 k,定 义函数
? ?f?x?,f?x?≤k, fk(x)=? ? ?k,f?x?>k.

取函数 f(x)=log2|x|, 当

1 解析:函数 f(x)=log2|x|,k= 时,函数 2 fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数 fk(x)的单调递增区间为(0, 2 ].

1 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为________. 2

答案:(0, 2 ]

1.求函数 y= log (x -3x+2)的单调增区间.
2
1 2

2

解:令 u=x -3x+2,则原函数可以看作 y= log 1 u 与
2

u=x -3x+2 的复合函数. 令 u=x -3x+2>0,则 x<1 或 x>2. 所以函数 y= log 1
2

2

2

(x -3x+2)的定义域为

2

(-∞,1)∪(2,+∞).

3 又 u=x -3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2
2

所以 u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+ ∞)上是单调增函数. 1 而 y=log u 在(0,+∞)上是单调减函数, 2 1 2 故 y=log (x -3x+2)的单调减区间为(2,+∞),单调增区 2 间为(-∞,1).

mx 2.讨论函数 f(x)= (m<0)的单调性. x-2 解:函数定义域为{x|x≠2},

不妨设 x1,x2∈(-∞,2)且 x1<x2, mx2 mx1 mx2?x1-2?-mx1?x2-2? f(x2)-f(x1)= - = = x2-2 x1-2 ?x1-2??x2-2? 2m?x1-x2? . ?x1-2??x2-2? ∵m<0,x1,x2∈(-∞,2),且 x1<x2, ∴x1-x2<0,(x2-2)(x1-2)>0.

m?x1-x2? ∴ >0, ?x2-2??x1-2? 即 f(x2)>f(x1),故函数 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数. 同理可得函数 f(x)在区间(2,+∞)上也是增函数. 综上,函数 f(x)在(-∞,2),(2,+∞)上为增函数.

3.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x 2 +y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

解:(1)证明:法一:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), 令 x=y=0,得 f(0)=0.再令 y=-x, 得 f(-x)=-f(x).在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),

又∵x>0 时,f(x)<0.而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二:在 R 上任取 x1,x2,不妨设 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2) =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0, ∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数.

(2)∵f(x)在 R 上为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也为减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3), 而 f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1) =f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2. ∵0=f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3), ∴f(-3)=-f(3)=2.

4. 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.

?x ? ? 1? f?x ?= ? 2?

解:(1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x2)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 由于当 x>1 时,f(x)<0, 所以
?x1? f?x ?<0,即 ? 2?

f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2).

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

(3)由

?x1? f?x ?=f(x1)-f(x2)得 ? 2?

?9? f?3?=f(9)-f(3),而 ? ?

f(3)=-1,所以 f(9)=-2.

由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 所以当 x>0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(x)<f(9), 因此 x>9; 当 x<0 时,由 f(|x|)<-2 得 f(-x)<f(9), 因此-x>9,即 x<-9. 因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}.


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