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陕西省西安中学2016届高三上学期第四次质量检测(理)数学试题


西安中学 2015 年-2016 学年度高三第四次质量检测试题 数学(理科平行)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? ? x |1 ? x ? 5? , B ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 CA B ? (

?

?



A. ?x | 2 ? x ? 5?
x

B. ?x | 2 ? x ? 5?

C. ?x | 2 ? x ? 5? )

D. ?

2.若 P : 2 ? 1, Q : lg x ? 0 ,则 P 是 Q 的(

A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件

4.函数 y ?

lg x 的图象大致是( x



A.

B. )

C.

D.

sin150 ? cos150 ?( 5. sin150 ? cos150
A. ? 3 B. 3 C. ?

3 3

D.

3 3

6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos( x ? R) ,函数 f ( x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 0 对称,那么 ? 的值可以是 ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2


2 7.已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为(

1

A. (??, ?2) ? (1, ??)

B. (??, ?2) ? (1, 2) D. (??, ?1) ? (?1,1) ? (3, ??)

C. (??, ?1) ? (?1, 0) ? (2, ??)

8. ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b ,满足 AB ? 2a, AC ? 2a ? b ,则下列结论正确的是 ( )

??? ?

??? ?

A. (4a ? b) ? BC

??? ?

b ?1 B. b ? 1 C. a ?

D. a ? b

9.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m ,则 河流的宽度 BC 等于( )

A.120( 3 ?1)m 10.已知 cos ? ? A. ?

B.180( 2 ?1)m C.240( 3 ?1)m D.30( 3 ? 1)m )

1 2

B.

1 1 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ?、? ? (0, ) ,则 cos(? ? ? ) 的值等于( 3 3 2 1 1 23 C. ? D. 2 3 27

11.在 ?ABC 中, P 为 BC 中点,若 (sin C) AC ? (sin A) PA ? (sin B) PB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形



12.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ,其导函数为 y ? f ?( x) ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) , 若 a ? 2 f ( ), b ? ? A. a ? b ? c

1 2

1 1 1 f (?2), c ? ? f (ln ) ,则 a, b, c 的大小关系为( 2 ln 2 2
C. b ? a ? c D. c ? a ? b



B. b ? c ? a

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.若

共 90 分)

?

T

0

x2 dx ? 9 ,则常数 T 的值为________.
2

14.已知命题“任意 x ? R, x ? 5 x ?

15 a ? 0 ”的否定为假命题,则实数 a 的取值范围是________. 2

2

15.函数 y ? log 1 (2 x 2 ? 3 x ?1) 的递减区间为________.
2

16.已知点 P 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是________. e ?1
x

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? ? x ? ?4 ? ? 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?2 ? ? ?

2 t 2 (其中 为参数) .现以 t 2 t 2

坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? . (1)写出 直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 18.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)当 a ? ?2 时,解不等式 f ( x) ? 16 ? 2x ?1 ; (2) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,求证: f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2a .

b? b . 19.(本小题满分 12 分)已知 a ? (5 3 cos x,cos x), b ? (sin x, 2cos x) ,记函数 f ( x ) ? a ? (1)求
函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 单调递增区间. 20. (本小题满分 12 分) 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, 设 BC ? 2BD, CA ? 3CE , (1) 用向量 AB, AC 表示向量 AD 和 BE ,并求 AD?BE ; (2)求 AD 在 BE 方向上的射影. 21.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A , (1) 求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

2

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

????

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R ) . 2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 y ? f ( x) 的单调区间; (3)设 g (x) ? x ? 2x ,若对任意 x1 ? ? 0,2? ,均存在 x2 ? ? 0, 2? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.
2

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 D 8 A 9 A 10 D 11 C 12 B

3

二、填空题: 13.3 14. ( , ??) 15. (1, ??) 三、解答题: 17.解: (1)由题,消去直线 l 参数方程中的参数 t 得普通方程为 y ? x ? 2 .又由 ? ? 2cos ? 得

5 6

16. 135 ? ? ? 180 或 ? ,? ? ? 4 ?
0 0

? 3?

?

? 2 ? 2? cos? ,
? ? x ? ?4 ? ? 由? ? y ? ?2 ? ? ? 2 t 2 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 . 2 t 2
2 2 2 2

(2)曲线 C : x ? y ? 2 x ? 0 可化为 ( x ?1) ? y ? 1 , 设与直线 l 平行的直线为 y ? x ? b ,

当直线 l 与曲线 C 相切时,有

1? b 2

? 1,即 b ? ?1 ? 2 ,

18.解: (1)当 a ? ?2 时,不等式为 x ? 2 ? 2x ?1 ? 16 , 当 x ? ?2 时,原不等式可化为 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 ,解得 x ? ? 当 ?2 ? x ? 当x?

17 ; 3

1 时,原不等式可化为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 ,解之得 x ? ?13 ,不满足,舍去; 2

1 时,原不等式可化为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 ,解之得 x ? 5 ; 2

不等式的解集为 ? x | x ? ?

? ?

17 ? 或x ? 5? . 3 ?

(2) f ( x) ? 1 即 x ? a ? 1,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ( x) ? 1 解集是 ? 0, 2? , 所以 ?

?a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 , ?a ? 1 ? 2
4

从而 f ( x) ? x ?1 ,于是只需证明 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 , 即证 x ?1 ? x ?1 ? 2 , 因为 x ?1 ? x ?1 ? 1? x ? x ? 1 ? 1? x ? x ? 1 ? 2 , 所以 x ?1 ? x ?1 ? 2 . 19.解: (1) a? b ? 5 3 cos x sin x ? 2cos x, b ? sin x ? 4cos x ,
2 2 2

? ?

?2

5 3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ? 3(1 ? cos 2 x) 2 2 5 3 sin 2 x ? 5cos 2 x ? 7 ? 7 ? ? 5sin(2 x ? ) ? 2 6 2 f ( x) ? 5 3 cos x sin x ? sin 2 x ? 6cos 2 x ?
∴T ?

2? ?? . 2

(2)解:不等式 2k? ? ∴ k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2



?
3

? x ? k? ?

?
6



? ?? ? f ( x) 单调递增区间为 ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) . 3 6? ?
20.解: (1) AD ?

? 1 ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 1 ??? 2? ? ?? AB ? AC B E ? B A ? AE ? ? AB ? AC 2 2 3 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? 2 ???? 1 AD?BE ? ( AB ? AC )?(? AB ? AC ) ? ? ; 2 2 3 4

????

(2) BE ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? 7 , BE ?BE ? (? AB ? AC )2 ? 3 3

???? ??? ? ?1 ???? ??? ? AD?BE 3 7 AD 在 BE 方向上的射影 ? ??? . ? ? 4 ?? 28 7 BE 3
21.解: (1)因为 a ? 3, b ? 2 6, ?B ? 2?A ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得

3 2 6 ? .所以 sin A sin 2 A

2sin A cos A 2 6 6 ? ,故 cos A ? . sin A 3 3
(2)由(1)知 cos A ?

6 3 2 ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? .又因为 ?B ? 2?A ,所以 3 3
5

1 2 2 cos B ? 2 cos 2 A ? 1 ? ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? . 3 3
在 ?ABC 中, sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

5 3 , 9

a sin C ?5. sin A 2 ( x ? 0) . x

22. 解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? (1) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (2) f ?( x) ?

2 . 3

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

①当 a ? 0 时, x ? 0, ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) .

1 1 1 1 时, ? 2 ,在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 的 2 a a a 1 1 单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a
②当 0 ? a ? ③当 a ? ④当 a ?

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x

1 1 1 1 时,0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 的 2 a a a 1 1 单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . a a
(3)由已知,在 ? 0, 2? 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(2)可知, ① 当a ?

1 时, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ② 当a ?

1 . 2

1 ? 1? ?1 ? 时, f ( x ) 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , 2 ? 上单调递减, 2 ? a? ?a ?

6

1 ? 2 ln a . 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1, 2 ln a ? ?2, ?2 ln a ? 2 ,所以 ?2 ? 2ln a ? 0, f ( x)max ? 0 , 2 2 e
故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 综上所述, a ? ln 2 ? 1.

1 a

7


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