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数学思想与数学文化——第三讲 数学思想方法介绍(1,2)


《数学思想与数学文化》之第三讲—— 数学思想与数学文化》之第三讲

数学思想方法介绍

内 容
一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法

附:参考文献

一. 前 言
☆ 数学思想 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本 质认识,它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括,而 在后继的认识活动中被反复证实其正确性,带有一般意义 和相对稳定的特征,是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法,即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运 算与分析,以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。 数学方法是数学思想具体化的反映。简言之,数学思想是 数学的灵魂,数学方法是数学行为,数学思想对数学方法 起指导作用。

◆数学方法具有三个基本特征: 数学方法具有三个基本特征:

(1)高度的抽象性和概括性; (2)精确性,即逻辑的严密性及结论的确定性; (3)应用的普遍性和可操作性。

◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用: 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:

(1)提供简洁精确的形式化语言; (2)提供数量分析及计算的方法; (3)提供逻辑推理的工具。

二. 中学数学中常用的数学方法
数学解题的思维方法 数学推理方法(演绎法、 ◆ 数学推理方法(演绎法、 归纳法、类比法) 归纳法、类比法) ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则( 关系影射反演原则(换 元法、初等变换方法) 元法、初等变换方法)

数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法

数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法

三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类: 1. 操作性 操作性思想方法 例如:换元法、配方法、待定系数法、割补法、构 造法等; 2. 逻辑性 逻辑性思想方法 例如:抽象、概括、分析、综合、演绎等; 3 .策略性 策略性思想方法 策略性 例如:方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体 与系统等。
事实上,数学思想方法是有层次的。 操作性思想方法、逻辑性 逻辑性思想方法、策略性 策略性思想方法,从思维 操作性 逻辑性 策略性 的角度上看,层次是逐渐上升的。

1. 演绎法或公理化方法(逻辑思维方法)
☆演绎法 演绎法是由一般到特殊的推理,它在逻辑上的依据 演绎法 是三段论。 ☆演绎法的重要性 重要性:1)数学理论都是用演绎推理组织 重要性 起来的;2)它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件 构件:定义(概念)、公理和定理。 构件 ☆公理化方法 公理化方法的例子: 公理化方法 欧几里德《几何原本》,希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》

2.类比法(数学创造发现的方法)
☆类比是一种相似,即类比的对象在某些部分或关系上 相似。 ☆三个层次:描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比:两个系统,如果它们各自的部分之间, 可以清楚地定义一些关系,在这些关系上,它们具有共 性,那么,这两个系统就可以类比。 ★ 例子: 1)线段、三角形、四面体 2)Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式

3)同态与同构 4)数的概念的扩充 5)多项式理论与整数理论的类比 整数
+、- 、× 带余除法 算术基本定理

多项式
+、- 、× 带余除法 代数基本定理

3. 归纳法(逻辑学中的方法) 与数学归纳法(数学中的一般方法)
☆归纳 归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 归纳 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点 特点:1)立足于观察和实验;2)结论具有猜 特点 测的性质;3)结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 归纳法 例子:1)
2n+1, Fermat素数:3,5, Fermat数(1640年,Fn=2

17,257,65537);

2)Goldbach猜想(1742年)。

☆数学归纳法:P(n)是一个含有自然数n的命题,

如果(1)P(n) 当n=1时成立; (2)若P(k)成立的假定下,则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤,(1)称为归纳起点,(2)称为归纳推断。 数学归纳法是一种完全归纳法,其应用范围及其广泛。

数学归纳法用于证明。 例子:证明数列
2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 ,?, 2 + 2 + 2 +?+ 2 + 2 .


单调增加有上界。





《数学思想与数学文化》之第三讲—— 数学思想与数学文化》之第三讲

数学思想方法介绍(续)

4.数学构造法(基本数学方法)
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式

经有限步骤能够定义或实现的方法。
☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函

数、反例、命题等。
☆构造法在数学中的地位不仅古老,而且重要。

☆ 例子
1)求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根。 2)求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。 3)勾股定理(毕氏定理)。

宋刻本《周髀算经 周髀算经》, 周髀算经 上海图书馆藏) (上海图书馆藏)

第24届“国际数学家大 届 会”会标

例子: 4)导数的概念。 5)定积分的概念。 练习: 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数,它们都是合数? 3. 证明:素数的个数是无穷的。 4. 求证:对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x) 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

5. 化归法(基本数学方法)
( 1)特殊化与一般化,2)关系映射反演方法 ) ☆化归原则是指把待解决的问题,通过某种转化过 程,归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去,最终求得原问题的解答的一种手段和方法。 ☆其过程就是将一个问题由繁化简,由难化易,由 复杂化简单,由未知化已知。 ☆化归有三个要素:化归的对象,化归的目标,化 归的手段。

☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则: a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则 ☆实行化归的常用方法有:特殊化与一般,关系映射反 演(RMI),分解与组合…

1)特殊化与一般化 ) ☆依据 (1)若命题P在一般条件下为真,则在特殊条件下P也为真; (2)若命题P在特殊条件下为假,则在一般条件下P也为假。 ☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时,先研究某些个 体或子集的性质,从中发现每个个体都具有的特性后,再猜想 给定集合的性质,最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性; ☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时,先研究包含该 集合的较大集合的性质,从中发现较大集合所具有的性质,再 根据特殊化与一般化的依据(1)推出所要证明的命题。

2)关系映射反演(RMI)方法 关系映射反演(RMI)
基本思想:当处理某问题甲有困难时,可以联想适当 的映射,把问题甲及其关系结构R,映成与它有一一对 应关系,且易于考察的问题乙,在新的关系结构中问 题乙处理完毕后,再把所得到的结果,通过映射反演 到R,求得问题甲的结果。 问题甲
映射σ

问题乙

问题甲的解
映射σ-1

问题乙的解

☆RMI 方法是一种矛盾转化的方法,它可以化繁为简,化难为 易,化生为熟,化未知为已知,因而是数学中应用非常广泛的 一种方法,数学中许多方法都属于RMI方法,例如,分割法、 函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。

☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法,而且可以拓展到人 文社会科学中去。例如,哲学家处理现实问题的思想方法,就 可以看作RMI方法的拓展 (客观物质世界---哲学家的思维---哲 学理论体系---解决客观世界的现实问题)。

例1. 证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0, 对任何实数m都有一个共同的实数解,并求此实数解。

例2.计算p=a1/3b1/7 数值。(对数)
(原像关系---映像关系---求得映像的值---求得原像的值)

例3.用解析几何方法处理平面几何问题。
(几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种 几何关系)

6. 数学模型方法(基本数学方法)
☆数学模型(MM)---针对或参照某种事物系统的特征 或数量相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近 似地表述出来的一种数学结构。 ☆数学模型方法(MM方法)---借助数学模型来揭示对 象本质特征和变化规律的方法。 ☆分类:
1)由来---理论MM,经验MM 2)使用工具---微分方程MM、概率MM… 3) 涉及变量的特征---离散MM、连续MM;线性MM、非线性MM; 确定MM、随机MM、模糊MM

例1 哥尼斯堡七桥问题
(确定性模型)

以上网络中哪一个是可以遍历的 (即一笔而不重复地画成)?

你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗?试证明你的结论. (摘自《数学趣闻集锦》,T·帕帕斯)

现实原型 七桥问题

数学模型 一笔画问题

无 解 (一次过桥不可能) 无 解(一笔画不可能)

欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图

例2. 普丰投针实验
1777年法国科学家布丰提出的一种 计算圆周率的方法——随机投针法, 即著名的布丰投针问题。这一方法的 步骤是: 1) 取一张白纸,在上面画上许多 条间距为d的平行线; 2) 取一根长度为l(l<d) 的针, 随机地向画有平行直线的纸上掷n次, 观察针与直线相交的次数,记为m; 3)计算针与直线相交的概率.

☆ MM构造过程 构造过程 a)对现实原型,分析其对象与关系结构的本质属性,以便确定MM 的类别; b)要确定所研究的系统并抓住主要矛盾; c)要进行数学抽象。 ☆ MM的特点 的特点 a)在MM上应具有严格推导(逻辑推理)的可能性以及导出结论的 确定性; b)MM 相对于较复杂的现实原型来说,应具有化繁为简、化难为易 的特点。

☆数学建模的过程 数学建模的过程:模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模 数学建模的过程 型检验---模型应用

☆ 成功的 成功的MM:
a)解释已知现象; b)预言未知现象; c c)被实践所证明。

☆数学模型的意义 数学模型的意义: 数学模型的意义
a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果; b)任何一项数学的应用,主要或首先就是数学模型方法的应用。

☆精彩范例 精彩范例: 精彩范例
力学:牛顿万有引力定律; 电磁学:麦克斯韦方程组; 化学:门捷列夫元素周期表; 生物学:孟德尔遗传定律…

☆数学模型应用日益广泛的原因: 数学模型应用日益广泛的原因: 数学模型应用日益广泛的原因
a) 社会生活的各个方面日益数量化; b) 计算机的发展为精确化提供了条件; c) 很多无法试验或费用很大的试验问题,用数学模型进行研究是一 条 捷径。

附: 参考文献
[1] 王子兴.数学方法论.中南工业大学出版社.2002 [2] 徐利治.数学方法论选讲(第三版).华中理工大学 出版社.2000 [3] 姜启源等.数学模型(第三版).高等教育出版 社.2003

几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科,使很多 几何概率 概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然 而,1899年,法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖 论”,矛头直指几何概率概念本身: 在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该 弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从 不同方面考虑,可得不同结果: ⑴.由于对称性,可预先指定弦的方向。作垂直 于此方向的直径,只有交直径于1/4 点与 3/4 点 间的弦,其长才大于内接正三角形边长。所有交 点是等可能的,则所求概率为1/2 。 2) 由于对称性,可预先固定弦的一端。仅当弦与过 此端点的切线的交角在60°~ 120° 之间,其长才合乎 要求。所有方向是等可能的,则所求概率为1/3 。 3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径 缩小了一半的同心圆内,其长才合乎要求。中点位置都 是等可能的,则所求概率为1/4。 这导致同一事件有不同概率,因此为悖论。 而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题!! 而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题!!

本节结束 谢 谢


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