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数学高考


评卷人

得分 一、填空题

1. 已知 a, b, c 为非零实数, f ( x) ?

ax ? b d ,x?R , 且 f( 2 ) 2 ? , ( 3 ) f 3 ? .若当 x ? ? cx ? d c

时,对于任意实数 x ,均有 f ( f ( x)) ? x ,则 f ( x )

值域中取不到的唯一的实数是. 2.如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象:

① x2 处导函数 y ? f ?( x) 有极大值; ②在 x1 , x4 处导函数 y ? f ?( x) 有极小值; ③在 x3 处函数 y ? f ( x) 有极大值; ④在 x5 处函数 y ? f ( x) 有极小值;以上叙述正确的是____________。 3.函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, ( x ? 0) ? log2 x , ( x ? 0)

,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数是.

4.已知方程 sin x ? 3 cos x ? m ? 1 在 x ? [0 , π] 上有两个不相等的实数解,则实数 m 的取值范围是____________. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a >0 时,实 数 b 的最小值是. 6.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 P( x ,y)的轨迹方程是

y ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为; y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所
围区域的面积为。

说明: “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 轴负方向滚动。沿 x 轴正方

x

向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 轴上时,再以顶点 B 为中

x

心顺时针旋转,如此继续。类似地,正方形 PABC 可以沿 轴负方向滚动。

x

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7.下列说法: ①函数 f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 的零点只有 1 个且属于区间 ?1, 2 ? ;
2 ②若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a ? ? 0,1? ;

③函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像有 3 个不同的交点; ④函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? [0,

?
4

] 的最小值是 1.

正确的有.(请将你认为正确的说法的序号 都写上) ........ 8.我们称满足下面条件的函数 为“ 函数”:存在一条与函数 的图

象有两个不同交点(设为 的切线与此直线平行.下列函数:

)的直线,





① 其中为“







,

函数”的是(将所有你认为正确的序号填在横线上) 为“ 函数”:存在一条与函数 的图

9.我们称满足下面条件的函数

象有两个不同交点(设为 的切线与此直线平行.下列函数:

)的直线,





① 其中为“







,

函数”的是(将所有你认为正确的序号填在横线上)

10.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),?,fn(x)=fn-
1

′(x)(n∈N ,n≥2),则 f1 ?

*

?? ? ?? ? ?? ? ? +f2 ? ? +?+f2 014 ? ? =________. ?2? ?2? ?2?

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11.如图,△OAB 是边长为 2 的正三角形,记△OAB 位于直线 x ? t (0<t ? 2) 左侧的图 形的面积为 f (t ) ,则

(1)函数 f (t ) 的解析式为_______;

( 2 ) 函 数 y ? f (t ) 的 图 像 在 点 P(t0,f(t0)) 处 的 切 线 的 斜 率 为

2 3 ,则 3

t0=____________. 12.某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲:第一次提价 p%,第二次提价 q%;方 案乙: 第一次提价 q%, 第二次提价 p%; 方案丙: 第一次提价

q? p q? p %, 第二次提价 %. 2 2

其中 p>q>0,上述三种方案中提价最多的是________. 13.设函数 f(x),g(x)的定义域分别为 M,N,且 M 是 N 真子集,若对任意的 x∈M,都 有 g(x)=f(x),则称 g(x)是 f(x)的“拓展函数”.已知函数 f(x)=

1 log2x,若 g(x) 3

是 f(x)的“拓展函数”, 且 g(x)是偶函数, 则符合条件的一个 g(x)的解析式是________. 14. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数; f′(x)是 f(x)的导函数, 当 x∈[0,π ]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π )且 x≠

? ?? ? 时, ? x ? ? f′(x)>0.则函 2 2? ?

数 y=f(x)-sin x 在[-2π ,2π ]上的零点个数为________.
3 15.若不等式 mx ? ln x ? 1 对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是.

16.设函数 f ( x) ? a ? b ? c , 其中c ? a ? 0, c ? b ? 0.
x x x

且 a=b? , 则 (1) 记 集 合 M ? ?( a, b, c) a, b, c不能构成一个三角形的三条边长,
(a, b, c) ? M 所对应的 f ( x) 的零点的取值集合为.
(2) 若 a, b, c是?ABC的三条边长,则下列结论正确的是 ______.( 写出所有正确结 论的序号) ① ?x ? ? ??,1? , f ? x ? ? 0; ② ?x ? R, 使xa , b , c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

③若 ?ABC为钝角三角形,则?x ? ?1, 2 ? , 使f ? x ? ? 0.

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17.设点 P 是曲线 y=2x 上的一个动点,曲线 y=2x 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且与 2 直线 l 垂直的直线与曲线 y=2x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为_____________ ? ??? ? ? ??? 18.如图,若 ?OFB ? , OF ? FB ? ?6 ,则以 OA 为长半轴, OB 为短半轴, F 为左焦 6 点的椭圆的标准方程为.

2

2

19.圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的,比如圆可以看成特殊的椭圆,所以 很多圆的性质结论可以类比到椭圆, 例如; 如图所示,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 可 a 2 b2

以被认为由圆 x2 ? y 2 ? a 2 作纵向压缩变换或由圆 x2 ? y 2 ? b2 作横向拉伸变换得到的。 依据上述论述我们可以推出椭圆 C 的面积公式为.
y

b -a

O -b

a

x

20 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A 在 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 上,点 P 满足 25 9

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? (? ? 1)OA(? ? R) ,且 OA ? OP ? 72 ,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值
为. 21.以下三个关于圆锥曲线的命题中: ①A、 B 为两个定点, K 为非零常数, 若|PA|-|PB|=K, 则动点 P 的轨迹是双曲线。
2 ②方程 2 x -5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

x2 x2 y2 ? y2 ? 1 ? ? 1 与椭圆 35 ③双曲线 有相同的焦点。 25 9
④已知抛物线 y =2px,以过焦点的一条弦 AB 为直径作圆,则此圆与准线相切 其中真命题为(写出所有真命题的序号) 2 22.过点 M(2,-2p)作抛物线 x =2py(p>0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB 的中点的纵坐标为 6,则 p 的值是________.
2

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x2 y 2 23.若 P0(x0,y0)在椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)外,则过 P0 作椭圆的两条切线的切点为 a b
P1,P2,则切点弦 P1P2 所在直线方程是

xx0 yy0 ? 2 =1.那么对于双曲线则有如下命题: a2 b

若 P0(x0,y0)在双曲线

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)外,则过 P0 作双曲线的两条切线的切点 a 2 b2

为 P1,P2,则切点弦 P1P2 所在的直线方程是______. 24.如图所示,在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? CD ? 1, BD ?

2, BD ? CD ,将四

/ 边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A? ? BCD ,使平面 A BD ? 平面 BCD ,则下列

结论正确的是.

(1) A?C ? BD ; (2) ?BA?C ? 90? ; (3) CA? 与平面 A?BD 所成的角为 30 ;
?

1 . 6 25.若 两 个 球 的 表 面 积 之 比 为 1 : 4, 则 这 两 个 球 的 体 积 之 比 为 . 26.如图所示,在确定的四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD .
(4)四面体 A? ? BCD 的体积为

(1)若 AB ⊥ CD ,则截面 EFGH 与侧面 ABC 垂直; (2)当截面四边形 EFGH 面积取得最大值时, E 为 AD 中点; (3)截面四边形 EFGH 的周长有最小值; (4)若 AB ⊥ CD , AC ? BD ,则在四面体内存在一点 P 到四面体 ABCD 六条棱的中 点的距离相等.上述说法正确的是.

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27.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水,将容器底 面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中正确说法是 .

28. 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体封闭容器内可向各个方向自 由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是. 29.正项等比数列 {a n } 中,若 log2 ? a2 a98 ? ? 4 ,则 a40 a60 = 30 . 已 知 数 列 .

?an ?

满 足 an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) , a1 ? 1, a2 ? 3 , 记

Sn ? a1 ? a2 ? K ? an .则 a3 ? , S2015 ? .
31.等差数列{an}前 n 项和为 Sn,公差 d<0,若 S20>0,S21<0,,当 Sn 取得最大值时,n 的 值为.

5? ,那么 cos(a3 ? a5 ) ? . 4 n? 2 2 n? ? sin 2 ), 33. 数列 ?an ? 的通项 an ? n (cos 其前 n 项和为 Sn , 则 S30 为_______. 3 3
32.已知等差数列 {a n } 中, a1 ? a3 ? a8 ? 34.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n 2 ? 2n ? 2 ,则 an ? 35.如图是见证魔术师“论证”64=65 飞神奇.对这个乍看起来颇为神秘的现象,我 们运用数学知识不难发现其中的谬误.另外,我们可以更换图中的数据,就能构造出许 多更加直观与“令人信服”的“论证”.

请你用数列知识归纳:(1)这些图中的数所构成的数列:________;(2)写出与这个魔术 关联的一个数列递推关系式:________.

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36.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2 =b2,3a5=b3, 若存在常数 u, v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v, 则 u+v=________. 37. 在钝角 ? ABC 中, 令 a ? AB, b ? AC , 若A D ? x a y b ? xy ? R ,? ?A 为钝角, 给出下面结论: ①当 x ?

?

??? ??

??? ?

? ?

?

?

现 ?.

1 1 , y ? 时,点 D 是 ? ABC 的重心; 3 3 4 3 S 3 , y ? 时, ? ABD ? ; 5 5 S? ACD 4

②记 ? ABD , ? ACD 的面积分别为 S? ABD , S? ACD ,当 x ?

③若点 D 在 ? ABC 内部(不含边界) ,则

y ?1 ?1 ? 的取值范围是 ? ,1? ; x?2 ?3 ?

④若 AD ? ? AE ,其中点 E 在直线 BC 上,则当 x ? 4, y ? 3 时, ? ? 5 . 其中正确的有(写出所有正确结论的序号) ??? ? ???? ???? ,b ? AC ,若 AD ? xa ? yb( x,y ? R) .现 38.在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,令 a ? AB 给出下面结论:
1 1 ①当 x ? ,y ? 时,点 D 是△ABC 的重心; 3 3
S 3 4 3 ②记△ABD,△ACD 的面积分别为 S?ABD , S?ACD ,当 x ? ,y ? 时, ?ABD ? ; S ?ACD 4 5 5

????

??? ?

③若点 D 在△ABC 内部(不含边界) ,则

y ?1 1 的取值范围是 ( , 1) ; x?2 3

???? ??? ? ④若 AD ? ? AE ,其中点 E 在直线 BC 上,则当 x ? 4,y ? 3 时, ? ? 5 .

其中正确的有(写出所有正确结论的序号) . 39 . 若 ?A B C的 重 心 为 G , AB ? 3, AC ? 4, BC ? 5 , 动 点 P 满 足 ,则点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积 GP ? xGA ? yGB ? zGC ( 0 ? x, y, z ? 1) 等于. 40.在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 0 ,且△ ABC 的面积为

??? ?

????

??? ? ??? ?

3 ,则 2

?BAC =_______
41.如图,半径为 2 的扇形的圆心角为 120?, M , N 分别为半径 OP, OQ 的中点, A 为 弧 PQ 上任意一点,则 AM ? AN 的取值范围是.

???? ? ????

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42.如图,设 ? ? (0, ? ) ,且 ? ?

?
2

.当 ?xoy ? ? 时,定义平面坐标系 xoy 为 ? -仿射

坐标系,在 ? -仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义: e1 , e2 分别为与 x 轴、 y 轴正向相同的单位向量,若 OP ? xe1 ? ye2 ,则记为 OP ? ( x, y) ,那么在以下的结论 中,正确的有.(填上所有正确结论的序号) ①设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a ? b ,则 m ? s, n ? t ; ②设 a ? (m, n) ,则 a ?

m2 ? n2 ;

③设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a // b ,则 mt ? ns ? 0 ; ④设 a ? (m, n) 、 b ? (s, t ) ,若 a ? b ,则 ms ? nt ? 0 ; ⑤设 a ? (1,2) 、 b ? (2,1) ,若 a 与 b 的夹角

? 2? ,则 ? ? . 3 3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 43.若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分为面积相等的 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
两部分,则 k 的值为;若该平面区域存在点 ( x0 , y0 ) 使 的取值范围是.

x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成立,则实数

a

1 1 1 9 ? + ≥ 成立;在凸四边形 ABCD 中, A B C ? 1 1 1 1 16 ? + + ≥ 不 等 式 成 立 ; 在 凸 五 边 形 ABCDE 中 , 不 等 式 A B C D 2? 1 1 1 1 1 25 ? + + + ≥ 成立 , ,依此类推, 在凸 n 边形 A 1 A2 ? An 中 ,不等式 A B C D E 3?
44.在 ?ABC 中,不等式

1 1 1 ? + ? ? ≥_____成立. A1 A2 An
2 45.把函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 图象上各点向右平移 ? (? ? 0) 个单位, 2

得到函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则 ? 的最小值为. 46 .已知函数 f ( x) ? a sin ?? x ? ? ? ? b 的部分图象如下图 , 其中 ? ? 0, ? ?
? ABC 的角 A, B 所对的边, cos C ? f (

π , a , b 分别是 2

C )+1 ,则 ?ABC 的面积 S =. 2

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47 . 已 知 函 数

f ? x ? ? log a

?

x2 ? 1 ? x ?

?

1 3 ? ? a? 0, a ? 1? a ?1 2
x

, 若

? ? ?? ? 2? ?? 1 ? f ? s i? n? ? ? ? ? ( ? ? k? ? , k ? Z ),则 f ? cos ? ? ? 6 3 ?? 3 ? ? ?6 ?

?? ??= . ??

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参考答案 1.

5 2

【解析】

ax ? b ?b d cx ? d 试题分析: 因为当 x ? ? 时, 对于任意实数 x , 均有 f ? 所以 ? x, ? f ? x ?? ? ? x, ax ? b c c? ?d cx ? d a?
2 2 2 2 2 2 即 ? a ? d ? cx ? d ? a x ? b ? a ? d ? ? 0 ,因为 ? a ? d ? cx ? d ? a x ? b ? a ? d ? ? 0

?

?

?

?

d 恒成立, 所以 a ? d ? 0 且 d 2 ? a 2 ? 0 , 所以 d ? ? a , 因为 f ? 2? ? 2 ,f ? 3? ? 3 , c ax ? b ? x 的两个根,即 2 和 3 是方程 cx2 ? ? d ? a ? x ? b ? 0 的两个根, 所以 2 和 3 是方程 cx ? d
对x??

? 5 ? ?d ? ?a a ? c ? 2 ? ? a?d b ?a ? d ?5 , ? ?6 , 由 ? 所 以 ? 5 得 : ?b ? ? 6 c , 所 以 c c ? ? c 5 ?d ? ? c ? b ? ?6 2 ? ? ? c
5 1 cx ? 6c 5 5 x ? 12 5 即 f ? x ? 取不到 这个数, 所以 f ? x ? 值域中取 f ? x? ? 2 ? ? ? 2 , 5 2 2 x ? 5 2 2 x ? 5 cx ? c 2 5 5 不到的唯一的实数是 ,所以答案应填: . 2 2
考点:1、函数值;2、函数的解析式;3、函数的值域. 2.①②③④ 【解析】 试题分析: 根据导函数的图像可知①②对, 根据 y ? f ?( x) 的图像画出 y ? f ( x) 的大致图像, 可知 y ? f ?( x) 在 (??, x3 ) 上单调递增,在 ( x3 , x5 ) 上递减,在 ( x5 ,??) 上递增,故在 x3 处函 数 y ? f ( x) 有极大值,③对,在 x5 处函数 y ? f ( x) 有极小值,④对。 考点:数形结合思想的应用及极值的判断。 3. 7 . 【解析】 试题分析:根据已知函数画出函数的图像如下图所示,由图可知, f (x) ? 1 的根的个数有 3 个,即 t1 ? 0 , 0 ? t2 ? 1 , t3 ? 1 ,于是当 f ( x) ? t1 时,有 2 个实数根;当 f ( x) ? t 2 时, 有 3 个实数根; 当 f ( x) ? t 3 时, 有 2 个实数根; 综上所示, 方程 f [ f ( x)] ? 1 有 7 个实数根,
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即函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的零点个数有 7 个,故应填 7 .

考点:1、分段函数的图像;2、函数与方程; 4. [ 3 ? 1 , 1) 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ?

? ?

π? ? , 所 以 方 程 sin x ? 3 cos x ? m ? 1 在 3?

π? ? x ? [0 , π] 上有两个不相等的实数解, 即直线 y ? m ? 1 与 y ? 2sin ? x ? ? 在 x ? [0 , π] 3? ?
的图像有两个不同交点,结合图像可得 3 ? m ? 1 ? 2 ,故实数 m 的取值范围是 [ 3 ? 1 , 1) . 考点:1.三角变换;2.三角函数的图像. 5. ?1 . 【解析】 试题分析: 设切点为 (m, m ? b) ,由
a ?1 y? ? a x 得:m ,所以 m ? b ? a ln m, b ? a ln a ? a,(a ? 0). 因

为 b? ? ln a ? 0 ? a ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 时,b ? ? 0 ;a ? 1 时,b ? ? 0 ;因此 a ? 1 时,bmin ? ?1. ; 考点:导数几何意义,利用导数求函数最值 6.4 π +1(注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. ) 【解析】 试题分析: 从某一个顶点 (比如 A) 落在 x 轴上的时候开始计算, 到下一次 A 点落在 x 轴上, 这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长 1,因此该函 数的周期为 4. 下面考察 P 点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动, P 点从 x 轴上开始运动的时候,首 先是围绕 A 点运动

1 个圆,该圆半径为 1,然后以 B 点为中心,滚动到 C 点落地,其间是以 4

BP 为半径,旋转 90°,然后以 C 为圆心,再旋转 90°,这时候以 CP 为半径,因此最终构 成图象如下:

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所以 S ? 2 ?

1 1 1 ? ? ? 2 ? ? 1? 1 ? ? 2? ? ? ? 1 4 2 4

考点:本题考查函数图象的变化 点评: 解决本题的关键是根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象, 利用数形结 合的思想对本题进行分析 7.①④ 【解析】 试 题 分 析 : ① 函 数

f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 在

? 0, ?? ?

上 是 增 函 数 , 且

f ?1? ? ln1 ? 3?1 ? 6 ? ?3 ? 0 , f ? 2? ? ln 2 ? 3? 2 ? 6 ? ln 2 ? 0 .所以①正确.
②当 a ? 0 时 原不等式变形为 1? 0 , 恒成立; 当 a ? 0 时,要使关于 x 的 不等式

ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立, 则 ? ? ? 2a ? ? 4a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 , 综上可得关于 x 的不等式
2

ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立时 a ??0,1? .故②不正确.
③由函数图像可知函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像只有一个交点,故③不正确.



1 ?? ? y ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? sin 2 x ? 2 sin ? x ? ? 2 4? ? ? ?? ? ?? ??
? ??

,

? ?? x ? ?0, ? ? 4?

时 , 2 x ? ?0, ? , x ? ? ? , ? , 所 以 此 函 数 在 ?0, ? 上 单 调 递 增 . 所 以 4 ?4 2? ? 4? ? 2?

1 ymin ? s i n?0 2
考点:函数的性质; 8.②③

? 2 s?i n 1 . .故④正确 4

【解析】由题意可知

,对于



代入

整理得

,矛盾;对于



代入

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整理得

恒成立。②正确;对于



。 直线



有两个交点

,当

。 ③正确;

对于



代入

整理得

无解。 ④不正确。

所以应选②③. 9.②③

【解析】由题意可知

,对于



代入

整理得

,矛盾;对于



代入

整理得

恒成立。②正确;对于



。 直线



有两个交点

,当

。 ③正确;

对于



代入

整理得

无解。 ④不正确。

所以应选②③. 10.0 【解析】f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x), 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1 ?

?? ? ?? ? ?? ? ? +f2 ? ? +?+f2 014 ? ? ?2? ?2? ?2? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? +f2 ? ? +f3 ? ? +f4 ? ? +f1 ? ? +f2 ? ? =0. ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2?

=503f1 ?

? 3 2 ? t ,0 ? t ?1 4 2 ? 2 11. (1) f (t ) ? ? ; (2) t0 ? 或 t0 ? . 3 3 ? 3 ? 3 (t ? 2) 2 ,1 ? t ? 2 ? ? 2
答案第 4 页,总 20 页

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【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 题 意 , 当 0 ? t ? 1 时 , f (t ) ?

1 3 2 ? t ? 3t ? t ;当 1? t ? 2 时, 2 2

f (t ) ?

3 2 1 ?2 ? ? 4 2

(2 ? t ) ? 3(2 ? t )

? 3?

3 (t ? 2) 2 , 故 函 数 函 数 2

f (t ) 的 解 析 式 为

? 3 2 ?t ? 1 ? t , 0 ? 2 。 f (t ) ? ? ? 3 ? 3 (t ? 2) 2 ,1 ? t ? 2 ? ? 2
( 2 ) 当 0 ? t0 ? 1 时 , f (t0 ) ? 3t0 ?
'

2 2 3 , 故 t0 ? ; 当 1 ? t0 ? 2 时 , 3 3

f ' (t0 ) ? ? 3(t0 ? 2) ?

4 4 2 2 3 ,解得 t0 ? ,综上所述, t0 ? 或 t0 ? . 3 3 3 3

考点:1、分段函数的解析式;2、导数的几何意义. 12.丙提价最多 【 解 析 】 设 原 来 价 格 为 A , 方 案 甲 : 经 两 次 提 价 后 价 格 为 A ?1 ?

? ?

p ?? q ? ??1 ? ?= 100 ?? 100 ?

A ?1 ?

? ?

p?q pq ? p ?? q ? ? ? ? ;方案乙:经两次提价后价格为 A ?1 ? ??1 ? ? ;方案丙:经 100 10000 ? ? 100 ?? 100 ?

两次提价后价格为 A ?1 ? 所以方案丙提价最多 13.g(x)=

? ?

2 2 p ? q ?? p ? q ? q? p 1 ? p?q? ? = A[1 + + > pq , ?? ? .因为 ? ? 200 2 200 10000 200 ? ? ? ? ? ? ?

1 log2|x|(其它符合条件的函数也可以) 3 1 log2x,又函数 g(x)是偶函数,故 x<0 时,g(x) 3

【解析】由题意可知,x>0 时,g(x)=



1 1 log2(-x),所以 g(x)= log2|x|. 3 3

14.4

答案第 5 页,总 20 页

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【解析】∵ ? x ?

? ?

??

? ? f′(x)>0,x∈(0,π )且 x≠ 2 . 2?

∴当 0<x<

? ? ?? 时,f′(x)<0,f(x)在 ? 0. ? 上递减. 2 ? 2?



? ?? ? <x<π 时,f′(x)>0,f(x)在 ? , ? ? 上递增. 2 ?2 ?

∵x∈[0,π ]时,0<f(x)<1.∴当 x∈[π ,2π ],则 0≤2π -x≤π . 又 f(x)是以 2π 为最小正周期的偶函数, 知 f(2π -x)=f(x).∴x∈[π ,2π ]时,仍有 0<f(x)<1. 依题意及 y=f(x)与 y=sin x 的性质,在同一坐标系内作 y=f(x)与 y=sin x 的简图.

则 y=f(x)与 y=sin x,x∈[-2π ,2π ]有 4 个交点. 故函数 y=f(x)-sin x 在[-2π ,2π ]上有 4 个零点. 15. [

e2 , ??) 3

【解析】
3 3 3 3 试 题 分 析 : 由 m x ? l n x ? 1得 mx ? ln x ? 1 或 mx ? ln x ? ?1 , 即 m x ? l n x? 1或

mx3 ? ln x ? 1 .又 x ? ? 0,1? ,所以 m ? ln x3? 1 或 m ? ln x3?1 .因为不等式 mx3 ? ln x ? 1 x x
对 ?x ? ? 0,1? 恒成立,所以 m ? ?

? ln x ? 1 ? 或 m ? ? ln x ? 1 ? .(1)令 f ( x) ? ln x ? 1 , ? ? ? ? x3 ?max ? x3 ?min x3

1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 则 f ?( x) ? x x6
2 ?2 x 2 (1 ? 3 ln x) ? ?2 2 3 ? . 令 f ?( x) ? 0 得 x ? e ? 1 , 当 0 ? x ? e 3 时 , f ?( x )? 0; 当 x6

e

?

2 3

? x ? 1 时, f ?( x ) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, e 3 ) 上是增函数,在 (e 3 ,1] 是减函数 . 所以

?

2

?

2

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f ( x)max

2 ? ?1 e2 ln e ? 1 e2 3 ,所以 m ? .(2) 令 g ( x) ? ln x3? 1 , 则 ? f (e ) ? ? ?2 ? 2 ? 3 x e 3 (e 3 ) 3
? 2 3 ? 2 3

1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3 x 2 4 x 2 ? 3 x 2 ln x ,因为 x ? 0,1 ,所以 ln x ? 0 ,所以易知 ? g?( x) ? x ? ? x6 x6
g?( x) ? 0 ,所以 g( x) 在 ? 0,1? 上是增函数.易知当 x ? 0 时, g( x) ? ?? ,故 g( x) 在 ? 0,1?

e2 ln x ? 1 上无最小值,所以 m ? 在 ? 0,1? 上不能恒成立.综上所述, m ? ,即实数 m 的取 3 x3
值范围是 [

e2 , ??) . 3

考点:利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法

1] ,(2)①②③; 16.(1) (0,
【解析】

c c ≥ 2, 则 ln ≥ ln2 > 0 . a a a c x x x x x x x x 令 f ( x ) =a +b -c =2a ?c = c [2( ) ?1] = 0 . 得 ( ) = 2 , c a ln 2 ln 2 所 以 x= ? = 1,所 以 0 < x ≤ 1 . c ln2 ln a
试题分析:( 1 ) 因 为 c > a , 由 c ≥ a+b=2a , 所 以 故 答 案 为 {x|0 < x ≤ 1} ;

a x b x ) +( ) ?1] , c c a b a x b x a 1 b 1 又 < 1 , < 1 , 所 以 对 ? x ∈ ( - ∞ , 1 ) , ( ) +( ) ?1 > ( ) +( ) ?1 c c c c c c a?b?c = > 0. 所 以 命 题 ① 正 确 ; c 1 1 1 x x x 令 x=-1 , a=2 , b=4 , c=5 . 则 a = , b = , c = . 不 能 构 成 一 个 三 角 形 的 三 条 2 4 5
( 2 ) 因 为 f(x) = a +b ?c = c [(
x x x x

边长. 所以命题②正确; 2 2 2 若 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 , 则 a +b -c < 0 . 2 2 2 f ( 1 ) =a+b-c > 0 , f ( 2 ) =a +b -c < 0 . 所 以 ? x ∈ ( 1 , 2 ) , 使 f ( x ) =0 . 所以命题③正确. 故答案为①②③. 考点:指数函数的性质,三角形的性质。 点评:难题,判断命题是真命题,应给出严格的证明,说明一个命题是假命题,可以通过举
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反例,达到解题目的。 17.

3 3 4

【解析】

2 a ), 试题分析: 设 P 的坐标为(a, 由 y‘=4x 得 l 的斜率为 4a, 所以, 直线 PQ 的斜率为= ?
2

1 , 4a

所以,PQ 的方程为:y- 2 a = ?
2

1 (x-a), 4a
2

与 y = 2x2 联 立 , 整 理 得 , 2 x ?

1 1 x ? 2a 2 ? ? 0 , 所 以 , 由 韦 达 定 理 , 4a 4

x1 ? x2 ? ?

1 1 , x1 x2 ? ?a 2 ? , 8a 8

由弦长公式得,PQ= 1 ? (?

1 2 1 1 1 1 9 ) (? )2 ? 4(?a 2 ? ) ? ? 2 ? 4a 2 ? ,利用 4 4a 8a 8 1024a 8a 4
3 3 。 4

导数研究此函数的最值,知,PQ 的最小值为

考点:导数的几何意义,直线的垂直,直线方程,直线与抛物线的位置关系,弦长公式。 点评: 难题, 本题综合性较强, 考查知识覆盖面广, 总体看解答思路比较明确, 但计算繁琐, 对学生能力要求较高。曲线切线的斜率,等于函数在切点的导函数值。 18.

x2 y2 ? ?1 8 2
5? 5? ? ac cos ? ?6 ? ac ? 4 3 , 6 6

【解析】 试题分析:由题意可得: OF ? FB ? OF ? FB cos

2 2 2 2 2 且 a ? 2b 又因为 a ? b ? c ,所以 a ? 8, b ? 2 ,所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1. 8 2

考点:椭圆的性质. 19. ?ab 【解析】 试题分析:圆的面积公式为 ?r ,椭圆长半轴、短半轴长分别为 a , b ,故可推出椭圆的面积
2

公式为 ?ab . 考点:合情推理. 20.15 【解析】
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试题分析:∵ AP ? (? ?1)OA ,∴ AP ? ? OA ? OA ,∴ OP ? ? OA ,且 | O P|? | ? | O A | ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

?? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

xp ? xA ? ? x2 y2 xp yp ? ? p ) 代入椭圆中得: ∴ ( x p , y p ) ? ? ( xA , yA ) ,∴ ? ,将点 ( , ? p2 ? 1 , 2 ? ? 25? 9? ? y ? yp A ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 9 2 2 2 x p , ① , ∵ OA ? OP ? 72 ,( 即 OA , OP 同 向 ), ∴ ∴ y p ? 9? ? 25 ??? ? ??? ? ??? ? | OA | ? | OP |?| ? || OA |2 ? 72 ,
∴| ? | (

x2 p

?2

?

y2 p

?2

) ? 72 ,将①代入上式整理得:
16 x 2 p 25 | ? |

16 x2 p 25 | ? |

? 9 | ? |? 72 ,
24 | x p |? 72 5



72 ?

16 x 2 p 25 | ? |
5 ?7 2 ? 24

? 9 | ? |? 2


?9 | ? | ? 2?

12 | xp | , 即 5

, ∴

| xp ? |

1 5

即 | x p |max ? 15 ,∴OP 在 x 轴上的投影 | OM |max ?| x p |max ? 15 . 考点:向量的运算、基本不等式、椭圆的标准方程、线段的投影. 21.②③④ 【解析】 试题分析:由双曲线的定义可知①不正确;
2 方程 2 x -5 x ? 2 ? 0 的两根为

1 , 2 ,所以可分别作为椭圆和双曲线的离心率,故②正确; 2

双曲线 正确;

x2 x2 y2 ? ? 1 的焦点为 ? 34, 0 ,椭圆 ? y 2 ? 1 的焦点也为 ? 34, 0 ,故③ 35 25 9

?

?

?

?

抛物线 y ? 2 px ,焦点为 F ?
2

p ?p ? , 0 ? ,准线为 x ? ? . 当过焦点的直线斜率不存在时 2 ?2 ?

?p ? 过焦点的 AB ? 2 p ,此时以 AB 为直径的圆圆心为 F ? , 0 ? ,半径为 p ,恰好和准线相切. ?2 ?
直 线 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 方 程 为 y ? k ? x ?

? ?

p? ? ,代入抛物线方程消去 y 可得 2?

k 2 x2 ? p ? k 2 ? 2? x ?

p2k 2 ?0. 4

答案第 9 页,总 20 页

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设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

p ? k 2 ? 2? k2

, x1 ? x2 ?

p2 , 则 y1 ? y2 ? 2 p , 则 圆 心 为 4

? p ? k 2 ? 2? ? p ? k 2 ? 1? 2 p ? k 2 ? 1? ? , p ? , AB ? x1 ? x2 ? p ? ,即圆的半径为 r ? . ? 2k 2 ? k2 k2 ? ? ? p ? k 2 ? 2? ? p ? k 2 ? 2 ? p p ? k 2 ? 1? p ? ? , p 到准线 x ? ? 的距离 d ? 圆心 ? ? ? r , 所以此 ? 2k 2 ? 2 2k 2 2 k2 ? ?
时圆与准线相切. 综上可得④正确. 所以真命题为②③④ 考点:1 双曲线的定义;2 抛物线的定义;3 椭圆,双曲线的简单几何性质;4 直线与圆相切. 22.1 或 2 【解析】设点 A(x1,y1),B(x2,y2),依题意得,y′=

x x ,切线 MA 的方程是 y-y1= 1 (x p p

x12 x12 x1 x1 -x1),即 y= x- .又点 M (2,-2p)位于直线 MA 上,于是有-2p= ×2- , p p 2p 2p
即 x1 -4x1-4p =0;同理有 x2 -4x2-4p =0,因此 x1,x2 是方程 x -4x-4p =0 的两根, 则 x1+x2=4,x1x2=-4p .由线段 AB 的中点的纵坐标是 6 得,y1+y2=12,即
2 2 2 2 2 2 2

2 x12 ? x2

2p



? x1 ? x2 ?
23.

? 2 x1 x2 16 ? 8 p 2 =12, =12,解得 p=1 或 p=2. 2p 2p

2

xx0 yy0 ? 2 =1 a2 b

xx yy x2 y 2 2 2 【解析】对于椭圆 2 ? 2 =1,切点弦 P1P2 所在直线方程 20 ? 20 =1,x →xx0,y →yy0. a b a b
类比,双曲线 24. (2) (4) 【解析】
/ / ' / 试题分析:平面 A BD ? 平面 BCD ? CD ? 平面 A BD , CA 与平面 A BD 所成的角为

xx yy x2 y 2 ? 2 =1 切点弦 P1P2 所在的直线方程为 20 ? 20 =1. 2 a b a b

?CA' D

? A' D ? CD ??CA' D ?

?
4

/ ,四面体 A ? BCD 的体积为 V ?

1 1 1 1 S?BDA' h ? ? ?1 ? , 3 3 2 6

(4)成立. ? AB ? AD ? 1, DB ? 2 ? A/C ? BD ,综上(2)
答案第 10 页,总 20 页

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考点:1 线线垂直;2 线面角;3 棱锥的体积. 25.1:8 【解析】

?V ? 试题分析: 由球的表面积公式 S ? 4? R2 可知面积比为 1: 4 , 则半径比为 1 : 2 ,

4 ? R3 , 3

所以体积比为 1:8 考点:球的表面积体积公式 26.②④ 【解析】 试题分析:由直线与平面平行的性质定理可知, EFGH 是平行四边形. ⑴中若 AB ⊥ CD ,截面 EFGH 是矩形,即 FG ? GH ,如果截面 EFGH 与侧面 ABC 垂 直,那么 GH ? 平面 ABC ,须 CD ? 平面 ABC , CD ? AC , (1)不正确; (2)不妨假设 AB , CD 所成角为 ? ,则平行四边形 EFGH 中 ?EFG ? ? 或 1800 ? ? ,

CF EF AF FG CF ? ? (0 ? ? ? 1) ,由 ? , ? ,所以 EF ? (1 ? ? ) ? CD, FG ? ? ? AB , CA CD AC AB AC 1 SEFGH ? EF ? FG sin ? ? ? (1 ? ? ) AB ? CD sin ? ,而 AB , CD 是确定的,所以当 ? ? , 2 即 F 是 AC 的中点时,亦即 E 为 AD 中点时,截面四边形 EFGH 面积取得最大值, (2)正
令 确; (3)由

EF AF FG CF EF FG AF CF ? , ? ? ? ? ? 1 ,所以 两式两边分别相加得, CD AC AB AC CD AB AC AC AB CD ? AB FG ? AB ? ? EF , EFGH 的 周 长 为 2( EF ? FG )) ? 2( AB ? ? EF ) , 而 CD CD 0 ? E F? C D ,故 EFGH 的周长不存在最小值, (3)不正确;

(4)若 AB ⊥ CD , AC ? BD 设 E , F , G, H 分别为所在棱的中点,则 EFGH 是矩形, 连接 EG, FH 记它们的交点为 P ,则 P 到 E , F , G, H 距离相等,均为

1 EG ;分别取 2

AB, CD的中点 M , N ,连 MG, GN , NE, EM ,

由已知 MGNE 是矩形,其对角线的交点即 EG 的中点 P ,且 P 到 M , G, N , E 的距离均为

1 EG ,故在四面体内存在一点 P 到四面体 ABCD 六条棱的中点的距离相等, (4)正确. 2
答案为②④. 考点:1.四面体的几何特征;2.平行关系;3.垂直关系.
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27.①③④ 【解析】 试题分析:①将该四棱柱绕 BC 旋转,水的部分的面 ABFE 与面 CDHG 始终平行且全等, 其余面为四边形,且相邻棱平行,所以始终呈棱柱状; ②在旋转过程中水面四边形 EFGH 的面积改变; ③在旋转过程中, A1D1 // EH , EH ? 面EFGH ,所以棱 A1 D1 始终与水面 EFGH 平行; ④在旋转过程中,水的体积保持不变,且四棱柱 ABEF ? CDHG 的高 BC 不变,则直角梯 形 ABEF D 面积不变, , 即S ? 定值;故选①③④. 考点:四棱柱的性质. 28. 72 3 【解析】 试题分析:如图甲,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面

1 ( AE ? BF ) ? AB 为定值, 所以当 E ? AA1 时,AE ? BF 是 2

ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A1 B1C1 的中心, PO ? 面A1B1C1 ,
垂足 D 为 A1 B1C1 的中心.

图甲

1 1 因 VP? A B C ? S?A B C ? PD ? 4 ?VO? A1B1C1 ? 4 ? ? S ?A B C ? OD , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r .

记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况,易知小球在面 PAB 上最靠近 边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P 作 1 EF ,如图乙.记正四面体的棱长为 a ,过 P 1

答案第 12 页,总 20 页

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PM ? PA 于 M . 1

图乙

因 ?MPP 1 ?

3 ? ,有 PM ? PP ? 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ?

6

2

PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1
小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)

S?PAB ? S?P1EF ?

3 2 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 . 1 由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 考点:(1)三棱锥的体积公式; (2)分情况讨论及割补思想的应用。 29.16 【解析】 试 题 分 析 : ?log2 ? a2a98 ? ? 4,?a2a98 ? 16 , 因 为 数 列 {a n } 为 等 比 数 列 , 所 以

a40 a60 = a2 a98 ? 16 .
考点:等比数列的性质 30. 2, 2 . 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

a1 ? 1, a2 ? 3 ? a5





以 , ?a 3

a3 ?

a2 ?2

a ,1 ?

a4 ?

a 13 ? , a2 ?

3 ? a4 ,

?

2 a6?

,

所 以 数 列 ?an ? 是 以 6 为 周 期 的 周 期 数 列 , 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 0 , 所 以

S2 0 1 5 ?a 1 ?a 2 ? ? ?a

2015

?a ? ? 1a ? 2a ? 3a ? 4 a2 . 5

考点:1.数列递推公式;2.周期数列求和. 31.10
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【解析】 试题分析:根据所给的等差数列的 S20 ? 0, S21 ? 0 ,,根据等差数列的前 n 项和公式,看出 第 11 项小于 0, 第 10 项和第 11 项的和大于 0, 得到第 10 项大于 0, 这样前 10 项的和最大. ∵等差数列 {an } 中, S20>0,S21<0 ,即 S20 ? ( 6 a10 ? a11)>0,S21 ? 13a11<0 , ∴ Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值为 ?a10 ? a11>0,a11<0, ?a10>0,a11<0, ? d<0, 10 考点:等差数列性质 32. ?

3 2
5? , 4

【解析】 试题分析:因为数列 {an } 为等差数列,设其公差为 d,于是 a1 ? a3 ? a8 ? 3a1 ? 9d ?

a1 ? 3d ?

5? 5? 5? 3 , a3 ? a5 ? 2a1 ? 6d ? ,故 cos ; ?? 12 6 6 2

考点:等差数列的通项公式 33.470 【解析】 试 题 分 析 : 依 题 意 可 得

an ? n 2 c

2n? o s , 3



以 以 即 即
2 2

a1 ?

1 12 1 ? 1 ,? a2 ? 2? a3 ,2 ? a 34 ?, 2 ?. 4? , ?所 . . 2 2 2 1 1 1 1 1 2 S30 ? ? ? ? 22 ? 3 ? ? 4 ?2 ? 5 ? 6 ? ? 7 2 ? ??? . 2 2 2 2 2 1 3 S30 ? ? (1 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? 7 2 ? ??? ? 302 ) ? (32 ? 62 ? ??? ? 302 ) 2 2 1 30 ? 31? 61 3 2 10 ?11? 21 S30 ? ? ? ? ?3 ? ? 470 .故填 470. 2 6 2 6

.

考点:1.三角函数二倍角公式.2.数列的求和.3.归纳递推的思想. 34. an ? ? 【解析】 试题分析:当 n ? 2 , an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? 2 ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 2 ? 2n ? 1; 当 n ? 1 时, an ? S1 ? 5 不符合上式,所以 an ? ? 考点: an 与 Sn 的关系.

?5, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

?

?

?5, n ? 1 . ?2n ? 1, n ? 2

答案第 14 页,总 20 页

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35.(1)an+2=an+1+an,a1=1,a2=1
2 (2)an+2·an- an ?1 =(-1)
n-1



an ≈0.618. an ?1

【解析】利用推理知识求解.由图形可知,图中的数构成裴波纳契数列,所以(1)an+2=an+1 +an,a1=1,a2=1;(2)题右图中间实质上有一个面积是 1 的平行四边形,有时空着,有时
2 重合,所以与魔术有关的数列递推关系式可能是 an+2·an- an ?1 =(-1)
n-1



an ≈0.618. an ?1

36.6 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,则 ? =6,q=9,所以 an=6n-3,bn=9 所以 ?
n-1,

?3+d=q,

2 ?3(3+4d )=q ,

解得 d

6n-3=3nlogu9+v-3logu9 对任意正整数 n 恒成立,

?logu 9=2, ?v-3logu 9=-3,

解得 u=v=3,故 u+v=6. 37.①②③ 【解析】

试题分析:对于①如图的的三角形

, E 为 BC 的 中 点 , 而

??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 2 ???? 2 AE ? AB ? AC .? AD ? AB ? AC ? AD ,故 D 为重心,故①正确. 3 3

?

?

对 于 ② 形,? AD ? AE ? AF ? 从而 S? ABD ?

如 图 所 示 的 四 边 形 AEDF 为 平 行 四 边

????

??? ? ??? ?

? 3 ???? ??? ? 4 ??? ? ??? ? 3 ???? 4 ??? AB ? AC ,故 AE ? AB, AF ? AC ,设 S? ADF ? S?ADE ? S , 5 5 5 5

5 5 S 3 S , S? ACD ? S ,? ? ABD ? ,故②正确. 4 3 S? ACD 4

?0 ? x ? y ? 1 ? y ?1 对于③因为点 D 在 ? ABC 内部(不含边界) ,所以 ?0 ? x ? 1 , 表示的是平面区域 x ? 2 ?0 ? y ? 1 ?

答案第 15 页,总 20 页

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内的点与 K ? ?2, ?1? 的斜率的取值范围, 如图 故③正确. ; 对 于 ④

, 所以取值范围为 ? ,1?

?1 ? ?3 ?

? ? ? ? ? ? ? ? A ? D4 A ? 3B ? , A C ?

? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? 3 ???? ? ? ? ? 4 ??? AE B ? ABA ? C AC , 4A ? E,3 ?A ? ?

? ? ?

?

4

?

?

3

?

? 1 ? ? ? 7 ,故④错误.故①②③正确

考点: (1)平面向量(2)线性规划 38.①②③ 【解析】 试题分析:①设 BC 中点为 E ,则 AE ?

??? ?

???? 2 ??? ? AD ? AE ,因为 AE 为 BC 上的中线,所以 D 是 ?ABC 的重心.所以①正确; 3 ??? ? 4 ??? ? ??? ? 3 ???? ? ??? ? 4 3 ???? ??? ②令 AE ? AB, AF ? AC ,所以当 x ? ,y ? 时 AD ? AE ? AF ,可知 AEDF 为平 5 5 5 5
行四边形, 所以 S?AED ? S?AFD , 因为 AE ?

???? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 a ? b ,当 x ? ,y ? 时 AD ? a ? b , 3 3 2 3 3

?

?

??? ?

? ??? ? 3 ???? 4 ??? 5 5 AB, AF ? AC , 所以 S ?ABD ? S ?AED , S ?ACD ? S ?AFD , 5 5 4 3

5 S S?ABD 4 ?AED 3 所以 ? ? ,所以②正确; S?ACD 5 S 4 ?AFD 3
③ 当 D 与 A 重 合 时 x ? 0, y ? 0 ; 当 D 与 B 重 合 时 x ? 1, y ? 0; 当 D 与 C 重 合 时

x ? 0, y ? 1 ; 所 以 点 ? x, y ? 在 A ' ? 0,0? , B ' ?1,0? , C ' ?0,1? 构 成 的 三 角 形 内 部 ( 不 含 边
界) .
y ?1 表 示 点 ? x, y ? 与 ? ?2, ?1? 连 线 的 斜 率 , 由 数 形 结 合 可 知 当 x ? 1, y ? 0 时 x?2

1 1 y ?1 ? y ?1 ? ? y ?1 ? ? ? ? ,当 x ? 0, y ? 1 时 ? ? ? 1 ,所以 3 ? x ? 2 ? 1 .所以③正确; ? x ? 2 ?min 3 ? x ? 2 ?max
④令 CE ? tCB , 所以 AE ? AC ? CE ? AC ? tCB ? AC ? t AB ? AC ? t AB ? ?1 ? t ? AC ? ta ? ?1 ? t ? b , 因为 AD ? ? AE ? ?ta ? ? ?1 ? t ? b ? 4a ? 3b , 所以 ? 综上可得结论正确的有:①②③.
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? ?? t ? 4 ? ? ? 7, 所以④不正确. ? ?? ?1 ? t ? ? 3

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考点:平面向量. 39.12 【解析】 试题解析:点 P 的轨迹所覆盖的区域如图所示,恰好为 ?ABC 面积的 2 倍, 因此面积为 12. C F G A B E

考点:平面向量的基本定理. 40. 150? 【解析】 试题分析: S ?

1 1 1 3 AB AC sin ?BAC ? ? 2 ? 3 ? sin ?BAC ? , sin ?BAC ? ,∵ 2 2 2 2

??? ? ??? ? AB ? AC ? 0 ,∴ ?BAC ? 90? ,∴ ?BAC ? 150? .
考点:三角形的面积,向量的夹角. 41. [ , ] 【解析】 试 题 分 析 : 建 立 如 图 所 示 直 角 坐 标 系 , 则 A( 2 c o ?s

3 5 2 2

, 2? sin ? ?) ? (0 ?

?, 120 )

1 3 M ( ? , ), N (1,0) , 2 2
???? ? ???? 1 3 AM ? ( ? ? 2cos ? , ? 2sin ? ) , AN ? (1 ? 2cos? , ?2sin ? ) ,所以 2 2 ???? ? ???? 1 3 7 AM ? AN ? ( ? ? 2cos ? )(1 ? 2cos ? ) ? ( ? 2sin ? )( ?2sin ? ) ? ? 2sin(? ? 30?) , 2 2 2 ? ???? 5 1 3 ???? 因为 0? ? ? ? 120? , 所以 30? ? ? ? 30? ? 150?, ? sin(? ? 30?) ? 1 , ? AM ? AN ? . 2 2 2

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8 6 4

P 2 M
15 10 5 2 4 6 8

A
5 10 15

O NQ

考点:1.向量的坐标表示;2.向量的坐标运算; 3.三角函数性质. 42.①、③、⑤. 【解析】 试题分析:显然①正确; a ? me1 ? ne2 ? m2 ? n 2 ? 2mn cos ? ,∵ ? ?

?

??

?? ?

?
2

,所以②错

误 ; 由 a / / b 得 b ? ? a(? ? R) , 所 以 s ? ? m, t ? ? n, 所 以 m t ? n s? 0 , 故 ③ 正 确 ; ∵ a ? b ? (me1 ? ne2 ) ? (se1 ? te2 ) ? ms ? nt ? (mt ? ns)cos ? ? ms ? nt ,所以④错误;根据 夹角公式 a ? b ? a b cos ? a, b ? ,又 a ? b ? 5 ? 4e1 ? e2 , a ? b ? 4 ? 5e1 ? e2 得 4 ? 5e1 ? e2 ? (5 ? 4e1 ? e2 ) cos 所以正确的是①、③、⑤. 考点:向量的关系. 43.

?

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?? ?? ?

?
3

,故 e1 ? e2 ? ?

?? ?? ?

1 1 2? ,即 cos ? ? ? ?? ? ,⑤正确 2 2 3

1 ; a ? ?1 . 2

【解析】 试题分析: 如下图所示阴影部分为不等式组所表示的平面区域, 依题要使其平面区域被直线

l : y ? kx ? 2 分

答案第 18 页,总 20 页

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y

l2

6 l1 2 B A -2 O 2

D E C

l

6

x

为面积相等的两部分,则直线 l 必过 C ? 5, 3? 、 D ?3,5? 的中点 E ? 4, 4? ,由 4 ? 4k ? 2 得

k?

1 x ? ay0 ? 2 ? 0 所表示的平面如图所示直线 l 下方部分,显然 ;当 a ? 0 时,不等式 0 1 2

不符合题意,当 a ? 0 时,不等式

x0 ? ay0 ? 2 ? 0 所表示的平面如图所示直线 l 上方部分, 2 x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成立,则不等式所表示直

要使不等式组所表示的平面区域存在点 ( x0 , y0 ) 使 线斜率必须满足 ?

1 1 ? k BD ? 1 即 a ? ?1 ,故应填入 ; a ? ?1 . 2 a

考点:1.二元一次不等式表示的平面区域;2.直线恒过定点问题;3.直线的斜率.

n2 44. ? n ? 2? ?
【解析】 试题分析:我们可以利用归纳推理的方法得到不等式 得出结论. 考点:归纳推理. 45.

1 1 1 n2 ,从而 ? +? ? ≥ A1 A2 An ? n ? 2? ?

? 12
3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 平 移 后 的 解 析 式 为 2 2 6

【解析】 试 题 分 析 : f ( x) ?

? ? ? g ( x) ? sin(2 x ? 2? ? ) ? sin 2 x ,所以 ? 2? ? 2k? , k ? Z ,故有 ? 的最小值为 . 12 6 6
考点:函数图像的平移,倍角公式,辅助角公式. 46.
10 5
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【解析】 试题分析:由图可知,函数的最大值为 a ? b ? 2 ? 1 ,最小值为 ?a ? b ? ? 2 ? 1 ,可解得

a ? 2, b ? 1 ,又

T 7? 3? ? ? ? ? ?T ? ? , ? ? 2 ,即 f ( x) ? 2 sin ? 2x ? ? ? ? 1 ,由图可得, 2 8 8 2
. 即

f(

3? 3? π ? ? ? ? 3? ? ) ? 2 sin ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1? sin ? ? ? ? ? 1? ? ? ,?? ? ? 8 8 2 4 ? ? ? 4 ?

?? ? f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
C ?? ? 又 cos C ? f ( )+1=f ( x) ? 2 sin ? C ? ? ? sin C ? cos C ? 2cos C ? sin C ? 4cos 2 C ? sin 2 C 结 2 4? ?

合 cos 2 C ? sin 2 C ? 1可得 sin C ?
y 2-1 O 3π 8 7π 8

2 5 1 10 ? S ? ab sin C ? 5 2 5

x

- 2-1

考点:正弦函数的图像和性质,三角形面积公式 47.

5 3

【解析】 试 题 分 析 : cos(? ?

2? 2? ? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos[ ? ( ? ? )] ? ? sin( ? ? ) , 又 函 数 3 3 2 6 6

g ( x)? f ( x ? )

1

? log a ( x 2 ? 1 ? x) ? g(

? 2 s ?? i ? f n (? ? ? ? ) ? ) ( , s i n所 ( ) 以 6 6 3 2? 2 2? ? ? 2 )) ? 1 ? , g (cos(? ? )) ? g (? sin( ? ? )) ? ? g (sin( ? ? )) ? ,即 f (cos(? ? 3 3 3 6 6 3 2? 5 f (cos(? ? )) ? . 3 3

?

1 1 ? a ?1 2
x

















)

1

考点:函数的奇偶性,诱导公式.

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