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甘肃省武威市第六中学2014届高三上学期第五次月考数学(理)试题


甘肃省武威市第六中学 2014 届高三上学期第五次月考 数学理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.复数 z ?

(1 ? i ) 2 (i 为虚数单位)的虚部为( 1? i



A.1 B. -1 C. ? 1 D

. 0s 2. 已知全集 U=R, 设函数 y=lg(x-1)的定义域为集合 A, 函数 y= x 2 ? 2 的值域为集合 B, A∩(C U B)= 则 ( ) A.[1,2] B.[1, 2) C.(1,2] D.(1,2) 3. 设 ?、? 为两个不同的平面, m 、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题: p :若 m // n ,则 ? // ? ; q :若 m ? ? ,则 ? ? ? ;那么( ) A.“ p 或 q ”是假命题 B.“ p 且 q ”是真命题 C.“非 p 或 q ” 是假命题 D.“非 p 且 q ”是真命题 4.在应用数学归纳法证明凸 n 变形的对角线为 A. 1 B.2

1 n(n ? 3) 条时,第一步检验 n 等于( ) 2
D.0

C.3

5.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中

mn ? 0 ,则
A.8

1 2 ? 的最小值为( m n
B.4

) C.1 D.

1 4

6. 已 知 OA ? 1, OB ? 3, ? AOB ?

????

??? ?

??? ??? ? ? 5? , C 在 ∠AOB 外 且 OB ? OC ? 0. 设 实 数 m , n 满 足 点 6

??? ? ???? ??? ? m OC ? mOA ? nOB 则 等于( , n



A.2 B. 3 C.-2 D.- 3 7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这 个几何体的外接球的表面积为( ) 8π 16π A.2 3π B. C.4 3 D. 3 3 π? π? π ? ? 8.若将函数y=tan ?ω x+ ? (ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数y=tan ?ω x+ ? 4? 6? 6 ? ? 的图象重合,则ω 的最小值为( ) A. 1 6 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4

? f ( x ? 4), x ? 0 ? 9.若 f ( x) ? ? x 2 1 则 f (2014) 等于( ?e ? ?1 t dt , x ? 0 ?



A. 0

B. ln 2

C. e ?2 ? ln 2

D. 1 ? ln 2

10.能够把圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( .. A. f ( x) ? e x ? e ? x B. f ( x) ? 1n )

5? x 5? x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? 4 x 3 ? x

?x ? 2y ? 19 ? 0, ? 11.设二元一次不等式组 ?x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax(a>0, a≠1) ?2x ? y ? 14 ? 0 ? 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( ) A.[1, 3] B.[2, 10 ] C.[2, 9] D.[ 10 , 9] 12.给出下列四个结论:

①“ 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的充要条件;
a b

②命题“若m >0,则方程 x 2 + x - m = 0 有实数根”的逆否命题为: “若方程 x 2 + x - m = 0 没有实数 根,则 m ? 0 ” ; ③函数 f ( x) =

( x - 4) ln( x - 2) 只有 1 个零点。 x- 3

其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 在 △ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 ?ABC 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 若

sin 2 A ? sin 2 C ? sin 2 B ? 3 sin A sin C ,则角 B 为
14. 数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______ 15.已知 f ( x) ? ?

?(2 ? a) x ? 1 ?a
x

( x ? 1) ( x ? 1)

满足对任意 x1 ? x2 , 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,那么 a 的取 x1 ? x2

值范围是_______ 16.已知定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足: f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) ,且当 x ? [0, 2] 时, y ? f ( x) 单调 递减,给出以下四个命题: ① f (2) ? 0 ;② x ? ?4 为函数 y ? f ( x) 图像的一条对称轴;③函数 y ? f ( x) 在 [8,10] 单调递增;④若 关于 x 的方程 f ( x) ? m 在 [?6, ?2] 上的两根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?8 . 以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分10分) 已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,其中A为锐角, a ? 2 3,c ? 4 且 f ? A? ? 1 ,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S . 18. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 ?a n ? 是 公 差 不 为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列.

?

?

1 2

?

? ?

(1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2 )设 bn ?

2 n.(a n ? 2)

, 数 求 列

?bn ?的前n项和S

n

19. (本题满分 12 分) 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ;

20.(本小题满分12分) x 已知函数f (x)=e -ax-1. (Ⅰ)求f (x)的单调增区间; (Ⅱ)是否存在a,使f (x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且点

P(bn , bn ?1 ) (n ? N * ) 在直线 y ? x ? 2 上.
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Dn ; 22. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程; (Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD .∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1 D1 ? AE . ?????????6 分 (Ⅱ)证明:作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1 F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1 E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1 E ? ED ? E , ∴平面 ACF // 面 B1 DE . 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1 DE .???????12 分

20.(本小题满分12分) 解 f′(x)=ex-a, (1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,

6分

10 分 12 分

22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?

2 2 ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , x x
????
2分

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所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ;

(Ⅱ)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
2

2 3

x

0 0 ?3

g '( x) g ( x)
2 3

2 (0, ) 3 ?
递减

2 3 0
极小值 ?

2 ( , 2] 3 ? 85 27
递增

2

1

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 27 112 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? , 27 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;
由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ?

???? 7 分

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