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解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平


“恒成立”问题的常见类型及一般解法
陕西蓝田县城关中学 靳小平 恒成立问题包容性强,涵盖初等数学的许多方面,渗透着换元、化归、构造 函数,分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,体现着在变化中把握不变 量的数学特征,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性 等方面起到了积极的作用,故而在考试中被广泛采用.本文试图列举、归纳恒成 立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法.

1.恒成立的常见表述形式:
对于任意实数 x ? D , f ( x) ? 0 恒成立; 对于任意实数 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 ; 对于任意实数 x ? D ,总有 f ( x) ? 0 ; 对于一切满足条件??的实数 x ,都有 f ( x) ? 0 ; 比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题,例如 已知函数 f ( x) ? ?3x2 ? a(6 ? a) x ? b ,若 f ( x) =0 有一根小于 1,另一根大于 1, 且 b ? ?6 ,求实数 a 的值;本例可转化为“对于任意实数 b ? ?6 ,都有 f (1) ? 0 , 求实数 a 的值” 而与此相对的是若 f ( x) =0 有一根小于 1,另一根大于 1,当 b ? ?6 ,且 b 为常 数时,求实数 a 的取值范围。如此则不是恒成立问题,相当于对于满足条件
f (1) ? 0 ,且常数 b ? ?6 时,求(与 b 相依的)实数 a 的取值范围.

2.含单参数的恒成立问题的基本类型和一般解法
2.1 与函数定义域有关的简单恒成立问题 与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍,解题通法当是直接法解决,至关 重要的是把握等价关系即充分必要条件. 例 1. (2007 年高考重庆卷理科第 13 题)若函数 f ( x) ? 2 x 则 a 的取值范围为 .
2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R ,

解析:依题意,

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 ? 0, x ? R ? 2 x

2

? 2 ax ? a

? 1, x ? R ? 2 x

2

? 2 ax ? a

? 20 , x ? R ?

x 2 ? 2ax ? a ? 0, x ? R ? ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ? ?1 ? a ? 0
故 a的取值范围是a ???1,0? 例 2.设函数 f ( x) ?
c2 ,其中 a 为实数. x 2 ? ax ? a

(Ⅰ)若 f ( x) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 f ( x) 的定义域为 R 时,求 f ( x) 的单减区间. 解析:(Ⅰ)依题意

x2 ? ax ? a ? 0, x ? R ? ? ? a2 ? 4a ? 0 ? 0 ? a ? 4
故 a的取值范围是a ? (0, 4) (Ⅱ)(略) 例 3.已知函数 y ? lg(ax2 ? ax ? 2) (Ⅰ)若其定义域为 R,则 a 的取值范围是?(Ⅱ)若其值域为 R,则 a 的取 值范围是? 解析: (Ⅰ)函数定义域为 R
?a ? 0 ? a?0 ? ax 2 ? ax ? 2 ? 0, x ? R ? a ? 0或 ? ? a ? 0或 ? 2 ? ?? ? 0 ? a ? 8a ? 0 ? a?0 a ? 0或 ? ?0 ? a ? 8 ?0 ? a ? 8

?a ? 0 ? a?0 (Ⅱ) 函数值域为R ? ax2 ? ax ? 2 ? 0 ? ? ?? 2 ?a?8 ?? ? 0 ?a ? 8a ? 0
在例 3(Ⅱ)中函数值域为 R,即对任何有意义的 x,函数值恒为实数,其

?a ? 0 充要条件是 ax 2 ? ax ? 2 ? 0 (而不是大于某正数) ,即 ? . ?? ? 0
2.2.与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题 这类恒成立问题的一般分为两类: 可直接分离参数的:解法可概括为四步:第一步,分离参数;第二步,不等

式一边函数化;第三步,求函数值域;第四步,确定参数范围,恒大取大,恒小 取小(形象地说是“擒贼先擒王” ) . 第二类:不便于直接分离参数的,解法是:第一步,分离常数项;第二步, 代数式一边函数化(构造函数) ;第三步,求函数值域;第四步,确定参数范围, 恒大取大,恒小取小. 例 4.设 f ( x) ?
2 x3 2 ,对任意实数 t ,记 gt ( x) ? t 3 x ? t . 3 3

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) ? g8 ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:①当 x ? 0 时, f ( x) ? gt ( x) 对任意正实数 t 成立;②有且仅有 一个正实数 x0 ,使得 g8 ( x0 ) ? gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立. 解析: (Ⅰ)略 (Ⅱ)证明:①

x3 2 2 当x ? 0时,f ( x) ? g t ( x)对任意正实数t成立 ? x ? 0, ? t 3 x ? t ? 0 3 3 对任意正实数t 恒成立 ? x ? 0时,k ( x) ? 0对任意正实数t 恒成立 而令k ( x) ? x3 2 2 ? t 3 x ? t, 3 3
2

k ' ( x) ? x 2 ? t 3 , 解k ( x) ? 0得x ? t 或x ? -t(舍去)
' 1 3 1 3

x ? (0, t )时k ( x) ? 0, k ( x)为减函数; x ? (t , ??)时k ' ( x) ? 0,k ( x)为增函数
'

1 3

1 3

t 2 ? k ( x) min ? k (t ) ? ? t ? t ? 0 3 3
证明:②
16 2 2 g8 ( x0 ) ? gt ( x0 )对任意正实数t 恒成立 ? 4 x ? ? t 3 x ? t 对任意正实数t 恒成立 3 3 2 2 16 ? t 3 x ? 4 x ? t + ? 0对任意正实数t 恒成立 3 3 2 2 16 令h(t )=t 3 x ? 4 x ? t + 3 3

1 3

h?(t )=

2 x 2 2 x ? ? ( 1 ? 1), 解h?(t )=0得t ? x 3 3 1 3 3 3 t3 t 3 x ? (0, x )时h?(t ) ? 0, h(t )为增函数;x ? ( x 3 , +?)时h?(t ) ? 0, h(t )为减函数
2

2 3 16 1 3 16 x + ? x ? 4x ? . 3 3 3 3 2 2 16 1 16 ?t 3 x ? 4x ? t + ? 0对任意正实数t 恒成立 ? x 3 ? 4 x ? ?0 3 3 3 3 1 16 再令? ( x) ? x 3 ? 4 x ? 3 3 ? ?( x)=x 2 ? 4 解? ?( x)=0得x ? 2或x ? -2 (舍去) ? h(t ) max ? h( x 3 ) ? ( x 3 ) 3 x ? 4 x ? x ? (0, 2)时? ?( x) ? 0, ? ( x)为减函数;x ? (2, +?)时? ?( x) ? 0, ? ( x)为增函数 ?? ( x ) min ? ? (2)=0 ? 存在唯一正实数x0 =2使? ( x0 ) ? 从而使t 3 x ? 4 x ?
2

1 3 16 x0 ? 4 x0 ? =0 3 3

2 16 t+ ? 0对任意正实数t 恒成立 3 3

小结:例 4 中反复用了构造函数解决问题的方法. 2.3.与自然数命题有关的恒成立问题 这种类型的恒成立问题,往往是对任意自然数,或某个范围内的自然数,某 种命题恒成立. 由于自然数不满足实数的连续性,所以在解决问题的过程中还需 谨慎对待.
例5.不等式0 ? x 2 ? 的不等式 7 2n 2 x? n ? 对任意自然数n均成立,解关于实数x 2 9 (2 ? 1) 9

解析: 0 ? x2 ?

7 2n 2 x? n ? 对任意自然数n均成立 ? 2 9 (2 ? 1) 9

2n 7 2 2n 2 ? x ? x ? + 对任意自然数n均成立 ? (2n ? 1) 2 9 9 (2n ? 1) 2 1 7 2 1 ? x2 ? x ? + 对任意自然数n均成立 ? 1 9 9 2 n ? 1 +2 2n ? n +2 2 2n 2 7 2 7 2 2 ? x 2 ? x ? +0 ? x 2 ? x = ? x ? 或x ? ?1 9 9 9 9 9 9 1 7 2 1 小结:例 5 中 恒成立需要求左式 ? x2 ? x ? + 1 1 9 9 n n 2 ? n +2 2 ? n +2 2 2 1 2 1 的最大值,求右式 + 的最小值,而求这两个最值关系到 1 1 9 n n 2 ? n +2 2 ? n +2 2 2

2n ?

1 的最值. 2n

2.4.与函数图像有关的恒成立问题 这种类型的恒成立问题,其基本特点是数形的深刻结合,离开函数图像的 “形”的特征,运算会变得复杂而困难.相反地,利用数形结合的原理则可简单 直观的解决问题.
1 例6:已知a ? 0且a ? 1, f ( x) ? x 2 ? a x , 当x ? (?1,1)时,均有f ( x) ? , 2 则实数a的取值范围是

? 1? A. ? 0 , ? ? [ ?? 2, ? 2?

1 1 B) , . [ ? , 1 ) C( 1 , 4? ], 4 2

1 .[ D , 1) ? ( 1 , ?? 2], 2
y g(x)=x2

.(0,

]

[4,

解析: 令f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? x ? , g ? x ? ? x2 ,? ? x ? ? a x . 其图像如图 1 所示, 由指数函数的性质可得
y=ax (a>1) o

1 y=ax (0<a<1) x

a ?1 ? ? 0 ? a ?1 ? ? 0 ? a ?1 1 ? ? ? ? x 2 ? a x ? , x ? (?1,1) ? ? 或 ?2 1 1 1 或? 1?? 1 2 ( ?1) 2 g (?1) ? ? (?1) ? g (1) ? ? (1) ? (?1) ? a ? 1 ?a ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 1 ? 1 ? a ? 2或 ? a ? 1 2

图1 a ?1

小结:借助函数图像,通过数形结合把问题转化为对区间一端函数值的比较,从 而达到简化问题的目的. 2.5. 与几何(立体几何或解析几何)图形有关的恒成立问题 这类问题主要体现在对于一个(或若干个)参量在其取值范围内的任意值, 某些几何图形要素例如点、 线或面具备某种确定不变的几何性质或数量特征.解 决问题的关键是寻找满足题意的充分必要条件. 例 7 : 如 图 2 , 四 棱 锥 S-ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , SD ? 平 面 ABCD,SD=2 a ,AD= 2a .点 E 是 SD 上的点,且 DE= ? a , (0< ? <2) (I)求证:对任意的 ? ? (0, 2], 都有AC ? BE

(II)设二面角 C-AE-D 的大小为 ? ,直线 BE 与平面 S ABCD 所成的角为 ? ,若
ta n ? ta ?n ?1 ,? 求 ? 的值.

D C

A 图2

B

解 析 : (I) 证 明 : 对 任 意 的 ? ? (0, 2], 都有AC ? BE ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? (0, 2], AC ? BE ? 0 ? 对任意? ? (0,2],( AB ? BC) ? (BD+DE) =0 ??? ? ??? ? ??? ? ? 对任意? ? (0,2],AC ? ( B D + ? D )S0 = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 对任意? ? (0,2], AC ? B D + ? A C ? DS 0= ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 而依题意,对任意? ? (0,2], AC ? B D + ? A C ? DS 0显然成立 = . (II)(解略)

对任 意

3. 其他类型的恒成立问题及特殊解法
3.1 利用不等式性质解决恒成立问题 利用基本不等式可以很简洁明快的解决某些恒成立问题. 例 8.设 0 ? x ? a,
1 1 ? ? 2恒成立,求a的取值范围 2 x ( a ? x) 2

1 1 ? . 2 x (a ? x) 2 1 1 0 ? x ? a, 2 ? ? 2恒成立 ? f(x)min ? 2 x (a ? x) 2 1 1 1 2 8 a 而0 ? x ? a时, 2 ? ?2 ? ? 2 .(x ? 时等号成立) 2 x (a ? x) x( a ? x) ( x ? a ? x ) 2 a 2 2 8 ? 2 ? 2, 解得0 ? a ? 2. a 解析:令f(x)=

1 a 例9:已知不等式( x ? y)( ? ) ? 9对任意正实数x, y恒成立,则正实数a的最小值为( ) x y

A.2

B.4

C.6

D. 8

1 a 1 a 解析:令f ( x) ? ( x ? y )( ? ), ( x ? y )( ? ) ? 9对任意正实数x, y恒成立 ? x y x y f ( x) min ? 9 1 a 2 而( x ? y )( ? ) ? (1+ a) x y 1 a 2 ? ( x ? y )( ? ) ? 9 ? (1+ a) ?9? (1+ a) ?3? a ?2? a?4 x y ? a的最小值为4
小结:利用基本不等式,解决恒成立问题可以化解分离参数的麻烦,但关 键是把握恒成立的本质——寻求充分必要条件. 3.2. 利用主、辅元转换法解决恒成立问题. 这种方法尤其适合参变量次数为一次的恒成立问题,通过将表达式中主、 辅元转换,可以达到把复杂紊乱的问题简化为简单直观问题的效果. 例 10:若不等式 2 x ?1 ? m( x2 ? 3) 对满足 ?1 ? m ? 1 的所有 m 都成立,求 x 的范 围. 解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将原不等式化为: ; m( x2 ? 3) ? (2 x ?1) ? 0 , 令 f (m) ? m( x2 ? 3) ? (2 x ?1) ,
2 ? ? f (?1) ? 0 ??1? ( x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 0 则 ?1 ? m ? 1 时, f (m) ? 0 恒成立 ? ? , ?? 2 1 ? ( x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 0 ? ? f (1) ? 0 ?

所以 x 的范围是 x ? ( 5 ?1, 3 ? 1) . 小结:主副元互换可以实现对问题的有效转化,应用这种方法的过程中 关键还是把握恒成立的本质.

4. 含双参数的恒成立问题
4.1. 有相关联系的双参数问题

例11.已知函数f ( x) ? x 2 ? bx ? c.(b, c ? R), 对任意的x ? R.恒有f ?( x) ? f ( x) (?)证明:当x ? 0时,f ( x) ? ( x ? c) 2
(II) 若对满足题设条件的任意b, c,不等式f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 )
恒成立,求M的最小值.

解析: (I)略 (II)由(?)得,c ? b .
当c ? b时,有 M ? f ( c)? f ( b) 2 c? 2 b? b?c 2 b ? c 2 ? ? . 2 2 2 2 c ?b c? b b ? c b

b c ? 2b 1 令t ? , 则-1 ? t ? 1, ? 2? . c b?c 1? t 1 令函数g ( x) ? 2 ? (?1 ? t ? 1) 1? t 3 g ( x) ? (??, ), 2 3 因此当c ? b 时,f (c) ? f (b) ? M (c 2 ? b 2 )恒成立 ? M ? [ , ??) 2

当c ? b 时,由(?)得,b= ? 2,c=2. 此时f (c) ? f (b) ? M (c 2 ? b 2 )恒成立 ? M ? R.
综合以上两种情况,对满足题设条件的任意b, c, 3 不等式f (c) ? f (b) ? M (c 2 ? b 2 )恒成立 ? M ? [ , ??). 2

即 M 最小值为

3 . 2

小结: 例 11 是含双参数的恒成立问题, 在解题过程中, 由(?)得,c ? b .
b 所 以 所 含 双 参 数 之 间 存 在 相 关 联 系 , 故 而 后 续 的 步 骤 中 令t ? , 并 借 助 c 1 (?1 ? t ? 1) 以解决问 b, c的关系,推得 ?1 ? t ? 1,继而构造新函数 g ( x) ? 2 ? 1? t

题. 4.2. 两参数之间没有相关联系的恒成立问题 例 12.已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R . (Ⅰ)当 a ? ?
10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(Ⅱ)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ?[?2, 2] ,不等式 f ? x ? ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值 范围.

解析: (Ⅰ) (略) (Ⅱ) (略) (Ⅲ) 解: 由条件 a ?[?2, 2] , 可知 ? ? 9a2 ? 64 ? 0 ,从而 4 x2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者.

? f (1) ? 1 为使对任意的 a ?[?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立 ? ? , ? f (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a 即? ,在 a ?[?2, 2] 上恒成立. ?b ? ?2 ? a
所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] . 小结:例 12 中两个参数 a , b 一开始没有相互的联系,按照题意获得

?b ? ?2 ? a 这组关系,基于此关系最终解决恒成立问题. ? ?b ? ?2 ? a

5. 含双变量的恒成立问题
此类问题一般解法应该是先将一变量“固定”看成常数,对另一变量进行恒 成立的讨论, 结果是关于前一变量的关系式,然后再对这一关系式进行恒成立的 讨论, 即可获得此类恒成立问题的解.特殊的解法是运用数形结合处理双变量的 关系.
例13.已知对一切x, y ? R,不等式x 2 ? 求实数a的取值范围.
解:不等式x 2 ? 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0对一切x, y ? R恒成立. 2 x x 81 18 ? a ? x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y2 x x 81 18 ? ? ? a ? ? x 2 ? 2 ? 2 xy ? 2 ? y2 ? x x ? ?max

81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 ? a ? 0恒成立. 2 x x

81 18 81 18 ? 2 xy ? 2 ? y 2 =x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 ? 2 ? y2 ? 2 ? y2 ? 2 2 x x x x 9 ? ( x ? y)2 ? ( ? 2 ? y 2 )2 ? 2 x 9 采用数形结合, 如图3所示,设M ( x, ), N ( y, ? 2 ? y 2 ), 则点M 在曲线C1 : xy ? 9上, x 2 2 点N 在曲线C2 : x ? y ? 2( y ? 0) 而x 2 ? 显然 MN =3 2 ? 2=2 2.此时a ? 6.

y y=9/x

o
x

x2+y2=2

图3 以上所述的恒成立问题仅是笔者在教学过程中积累的一些常见类型。 恒成立 问题形式复杂多变,处理有关恒成立问题,需要根据题目具体条件,灵活运用不 同方法加以解决。


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