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福建省厦门双十中学2011届高三12月月考文科数学


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福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考 数学(文)试题

考生注意: 分钟;2.考试结束 将答题卷上交。 考试结束, 考生注意:1、共 150 分,考试时间 120 分钟;2.考试结束,将答题卷上交。 一. 选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项

中, 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的) 符合题目要求的) 1.已知集合 P={ y | y = x ? 2 x + 3, x ∈ R }, Q={ x | y = ln( x + 2) },则 P ∩ Q = ( . = 则
2



A.R .

B.(-2,+) .
2

C. [ 2, +∞ ) .

D. ( ?2, 2] .

2.若 P (2, ?1) 为圆 ( x ? 1) 若 A.

+ y 2 = 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 的中点,
y ?3 = 0
C. x +



).

2x + y ? 3 = 0

B. x ?

y ?1 = 0

D. 2 x ?

y ?5 = 0


3.在等差数列 {an } 中,若 a1005 + a1006 + a1007 = 3 ,则该数列的前 2011 项的和为( . 项的和为 A.2008 . 4. 若 y = ax 与 y = ? . ( 减函数 ) B.2009 . C. 2010 . D.2011 .

b 3 上都是减函数, 在 (0,+∞ ) 上都是减函数 , 对函数 y = ax + bx 的单调性描述正确的是 x
B. 在 (0,+∞ ) 上是增函数 C. 在 (? ∞,+∞ ) 上是

A. 在 (? ∞,+∞ ) 上是增函数

D. 在 (? ∞,0 ) 上是增函数,在 (0,+∞ ) 上是减函数 5.空间四边形 ABCD 的两条对 上是增函数, .
0

0 角线 AC 和 BD 的长分别为 6 和 4 , 它们所成的角为 90 , 则四边形两组对边中点的距离等于

( A.


13

B.
? x ≥ 0,

5

C. 5

D. 以上都不对 )

6.已知点 P(x,y)满足条件 ? y ≤ x , . 满足条件 ?

?2 x + y + k ≤ 0 ?

, ( k为常数 ), 若 z = x + 3 y 的最大值为 8,则 k 的值 (

A.-6 -

B.6

C. 8

D.不确定 不确定

7.设 a = (cos x ? sin x,2sin x), b = (cos x + sin x,cos x), . 向量 c 平移而得到函数 g(x)= A. ? ? π ,?1? .? ?
? 8 ?

f ( x) = a ? b ,将函数 f ( x) 的图像按
( D. ? ? . )

2 cos 2 x ? 1 ,则 c 可以为 则
C. ? π ,1? .? ? ?4 ?

π B. ? ? ,?1? .? ? ? 4 ?

? π ? ,1? ? 8 ?


8.若直线 y = k ( x ? 2) + 1 与曲线 y = ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 ( . 有两个不同的交点,

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(A) ?1, 4 ? ? 3? ? ?

(B) [1, )

4 3

(C)

3 ( , 1] 4

(D) ? 0, 4 ? ? ?
? 3?

9.已知函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当<0 时, f ( x ) 是单调递增的,则不等式 f ( x + 1) . 上的偶函数, 是单调递增的, > f (1 ? 2 x ) 的解集是 A. (? ∞,0 ) . B. ( ?∞, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) . C. (2,+∞ ) . ( )

D. (0,2) .

x2 y2 10.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形,若双 的两焦点, 为边作正三角形, . a b
曲线恰好平分正三角形的另两边, 曲线恰好平分正三角形的另两边,则双曲线的离心率是 A. 4 + 2 3 . B. 3 ? 1 . C. 3 + 1 .
2

( D. 3 + 1 .



11.已知数列{an}的通项公式 an = log 2 .已知数列 的通项公式 Sn<–5 成立的自然数 n A.有最大值 63 .

n +1 (n∈N*),设数列 n}的前 n 项和为 Sn,则使 ∈ ,设数列{a 的前 n+2

( B.有最大值 31 . C.有最小值 63 . D.有最小值 31 .



12. y=sin(x+)与直线 12.已知函数 y=sin(x+)与直线 y= ( ) A.

π
3

1 π 的交点中距离最近的两点距离为 ,那么此函数的周期是 2 3
D. 填空题( 小题, D. 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,

B.

C. 2

共 16 分.) ) 13. .点是抛物线 值是

1 2 y = x 上一个动点,则点到点 A(0, ? 1) 的距离与点到直线 x = ?1 的距离和的最小 上一个动点, 4
▲ . P H

14.在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点,G、H、 在正三角形 的中点, 、 、 、 、 、 、 M 分别为 DE、FC、EF 的中点,将 ?ABC 沿 DE、EF、DF 折成三 的中点, 、 、 、 、 如图所示, 棱锥 P—DEF, , 如图所示, 则异面直线 PG 与 MN 所成角的大小为 ▲ 15.给出下列四个命题中: 15.给出下列四个命题中: 给出下列四个命题中 2 2 命题“ 的否定是“ ①命题“ ?x ∈ R, x + 1 > 3 x ”的否定是“ ?x ∈ R, x + 1 ≤ 3 x ” ;

D G E M

F

第 14 小题图

相互垂直” ②“ m = ?2 ”是“直线 ( m + 2) x + my + 1 = 0 与直线 ( m ? 2) x + ( m + 2) y ? 3 = 0 相互垂直”的必要 不充分条件; 不充分条件; 2 2 2 2 个交点, ③设圆 x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0) 与坐标轴有 4 个交点,分别为

A( x1 , 0), B ( x2 , 0), C (0, y1 ), D (0, y2 ) ,则 x1 x2 ? y1 y2 = 0 ;
恒成立, ④对 ?x ∈ R ,不等式 x ≥ a x ? 1 恒成立, 则 a ≤ 2
+

其中所有真命题的序号是



.

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a 3 ▲ 在 [1, e] 上的最小值为 ,则实数的值为 . x 2 解答题: 小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 17.( 17.(本小题满分 12 分) 一个四棱锥的三视图如图所示: 一个四棱锥的三视图如图所示: 根据图中标出的尺寸画出直 (1)根据图中标出的尺寸画出直 不要求写画法步骤) (不要求写画法步骤) ; 的体积; (2)求三棱锥 A-PDC 的体积; ( 3) 试在 PB 上求点 M, , 使得 CM 并加以证明。 面 PDA 并加以证明。
16.若函数 f ( x) = ln x ? .

观 图

∥ 平

18. (本小题满分 12 分)已知 P: x ? 3 x ? 4 < 0 ,q: x ? 2 x + 1 ? m ≤ 0 (m>0),若 若
2 2 2

?

p 是 ?q 的

充分而不必要条件, 的取值范围.. 充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围

19.( 19.(本小题满分 12 分)设椭圆 M :

x2 y2 + = 1(a > 2 2 ) 焦点坐标为 F1(-c,0), F2(c,0),点 Q ) )点 8 a2

是椭圆短轴上的顶点, 是椭圆短轴上的顶点,且满足 QF1 + QF2 = 2c . 的方程; (1)求椭圆 M 的方程; )
2 轴的交点, 上的任一点, (2)设 A,B 是圆与 N : x + ( y ? 2 ) = 1 与 y 轴的交点,是椭圆 M 上的任一点,求 PA ? PB 的最 ) 2

大值. 大值.

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20.( 正在执行护航任务的某导弹护卫舰,突然收到一艘商船的求救信号, 20.(本小题满分 12 分)正在执行护航任务的某导弹护卫舰,突然收到一艘商船的求救信号,紧 处后发现, 急前往相关海域.如图所示, 急前往相关海域.如图所示,到达相关海域 O 处后发现,在南偏西 20 、5 海里外的洋面 M 处有 的方向逃窜. 一条海盗船, 一条海盗船,它正以每小时 20 海里的速度向南偏东 40 的方向逃窜.某导弹护卫舰当即施放载


考室座位号

有突击队员的快艇进行拦截, 的方向全速追击.请问: 有突击队员的快艇进行拦截,快艇以每小时 30 海里的速度向南偏东 θ 的方向全速追击.请问: 快艇能否追上海盗船?如果能追上, 的值;如果未能追上,请说明理由. 快艇能否追上海盗船?如果能追上,请求出 sin(θ + 40 ) 的值;如果未能追上,请说明理由.


O

线
M

考室



N

21. (本小题满分 12 分)已知数列 n}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,对于任意 n≥2, 已知数列{a 中 , ≥ ,


姓名

3Sn-4,an, 2 ? ,

3 S n ?1 总成等差数列. 总成等差数列. 2

(I)求数列 {an } 通项公式 an;? )



(II)若数列 {bn } 满足 bn = 3S n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . )

座号


22. 本小题满分 14 分) . (



已知 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ ( 0, e ] , g ( x ) =

ln x 其中是自然对数的底, ,其中是自然对数的底, a ∈ R x

的单调区间、极值; (1) a = 1 时,求 f ( x ) 的单调区间、极值; )

班级

(2)是否存在实数,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出的值,若不存在,说明理由; )是否存在实数, ,若存在,求出的值,若不存在,说明理由; (3)在(1)的条件下,求证: f ( x ) > g ( x ) + ) )的条件下,求证:

1 2

2010—2011( 月考答题 答题卷 双十中学 2010—2011(上)月考答题卷 高三文科数学
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一、选择题:( 选择题:(请将选择题答案填入下表) :( 二、填空 题: 13. 14. 15. 16. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题: 解答题:
17.( 17.(本小题满分 12 分) 一个四棱锥的三视图如图所示: 一个四棱锥的三视图如图所示: 根据图中标出的尺寸画出直 (1)根据图中标出的尺寸画出直 不要求写画法步骤) 图(不要求写画法步骤) ; 的体积; (2)求三棱锥 A-PDC 的体积; ( 3) 试在 PB 上求点 M, , 使得 CM 并加以证明。 平面 PDA 并加以证明。 (1)直观图





18... (本小题满分 12 分) 已知 P: x
?

2

? 3 x ? 4 < 0 ,q: x 2 ? 2 x + 1 ? m 2 ≤ 0

(m>0),若 若

?

p是

q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围 的充分而不必要条件, 的取值范围..
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19.(本小题满分 12 分)设椭圆 M : 19.(

x2 y2 + = 1(a > 2 2 ) 焦点坐标为 F1(-c,0), F2(c,0),点 Q ) )点 8 a2

是椭圆短轴上的顶点, 是椭圆短轴上的顶点,且满足 QF1 + QF2 = 2c . 的方程; (1)求椭圆 M 的方程; )
2 轴的交点, 上的任一点, (2)设 A,B 是圆与 N : x + ( y ? 2 ) = 1 与 y 轴的交点,是椭圆 M 上的任一点,求 PA ? PB 的最 ) 2

大值. 大值.

20.( 正在执行护航任务的某导弹护卫舰,突然收到一艘商船的求救信号, 20.(本小题满分 12 分)正在执行护航任务的某导弹护卫舰,突然收到一艘商船的求救信号,紧急 前往相关海域.如图所示, 处后发现, 前往相关海域.如图所示,到达相关海域 O 处后发现,在南偏西 20 、5 海里外的洋面 M 处有一条 的方向逃窜. 海盗船, 海盗船,它正以每小时 20 海里的速度向南偏东 40 的方向逃窜.某导弹护卫舰当即施放载有突击队

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员的快艇进行拦截, 的方向全速追击.请问: 员的快艇进行拦截,快艇以每小时 30 海里的速度向南偏东 θ 的方向全速追击.请问:快艇能否追 上海盗船?如果能追上, 的值;如果未能追上,请说明理由. 上海盗船?如果能追上,请求出 sin(θ + 40 ) 的值;如果未能追上,请说明理由.
O

M

N

21. (本小题满分 12 分)已知数列 n}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,对于任意 n≥2, 已知数列{a 中 , ≥ , 3Sn-4,an, 2 ? ,

3 S n ?1 总成等差数列. 总成等差数列. 2

(I) 求数列 {an } 通项公式 an; II)若数列 {bn } 满足 bn ) ( )

= 3S n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

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22. 本小题满分 14 分) . ( 已知 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ ( 0, e ] , g ( x ) =

ln x 其中是自然对数的底, ,其中是自然对数的底, a ∈ R x

的单调区间、极值; (1) a = 1 时,求 f ( x ) 的单调区间、极值; ) (2)是否存在实数,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出的值,若不存在, )是否存在实数, ,若存在,求出的值,若不存在, 说明理由; 说明理由; (3)在(1)的条件下,求证: f ( x ) > g ( x ) + ) )的条件下,求证:

1 2

2010—2011( 双十中学 2010—2011(上)试卷月考
题号 答案 13. 2 . 14 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 A 7 A

高三文科参答
8 B 9 B 10 D 11 C 12 B

π
6

15. ①③④. 16. ? e .

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17.

(1)

…………3 分 …………3 为直角梯形, 由三视图可知: ( 2 ) 由三视图可知 : PB ⊥ 底面 ABCD , 底面 ABCD 为直角梯形 , PB=BC=CD=1, AB=2, ∴ , ,

1 1 1 VA ? PCD = VP ? CDA = × × 1× 1 = . 3 2 6

………………………………7 ………………………………7 分

的中点时, (3)当 M 为 PB 的中点时,CM∥平面 PDA. 取 PA 中点 N,连结 MN,DN,可证 MN∥CD, ∥ . , , , ∥ , 且 MN = CD , ∴ CM ∥ DN , 又 DN ? 平面PAD 。 CM ? 平面PAD 故 CM ∥ 平 面 PDA. . 18 解:由 x ? 3 x ? 4 < 0 ,得 ? 1 < x < 4 ,
2

……………………12 ……………………12 分 ………… ………………………2 ………………………2 分 ………………………3 ………………………3 分



?

p : x ≤ ?1或x ≥ 4
2 2

……………………… ………………7 由 x ? 2 x + 1 ? m ≤ 0 (m>0),得1 ? m ≤ x ≤ 1 + m ………………………7 分 得 ∴
?

q : x<1-m

或 x>1+m

………………………8 ………………………8 分

是的充分而不必要条件, ∵ ? p是 ? q 是的充分而不必要条件,∴ ?
?

?? 1 < 1 ? m ? 0 < m < 2 ……………………12 分 ……………………12 ? 4 > 1+ m

另法: 另法: "

p ? ? q" ?" q ? p" 有说明亦可

19..解:(1) QF1 + QF2 = 2c ? QO=c ? b=c=2 2 , …………………………2 分 解( ) …………………………2 故椭圆方程为 故 a2=8+8=16,故椭圆方程为: 故椭圆方程为:

x2 y 2 + = 1. 16 8

…………………………4 …………………………4 分

.………………………… (2)令 x=0,得 y=3 或 y=1.故 A(0,3),B(0,1) …………………………5 分 ) 得 . ( , ) ( , ) …………………………5 . 设 P(x,y),则 PA ? PB =(-x,3-y)·(-x,1-y)=x2+(3-y)(1-y)= x2+y2-4y+3.………………7 分 ( )则 ( ) .………………7

x2 y 2 + = 1 ,故 x2=16-2 y2. 又 16 8
所以 PA ? PB =16-2 y2+y2-4y+3=-2(y+1)2+21 ( )

…………………………8 …………………………8 分

…………………………10 …………………………10 分

.…………………………12 又 -2 2 ≤ y ≤ 2 2 ,故 y=-1 时, PA ? PB 取最大值 21.…………………………12 分

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20. (本小题满分 12 分) 追上海盗船. , , , 解:假设经过小时在 N 处追上海盗船.在 ?OMN 中, OM =5, MN =20, ON =30, ∠ OMN = 120 .-----------------------------4 分 由余弦定理有 900t = 400t + 25 ? 2 × 5 × 20t cos120 = 400t + 25 + 100t ,---6 分
2 2 2

化简得

20t 2 ? 4t ? 1 = 0 ,解之得 t =

1+ 6 快艇能追上海盗船. >0,∴快艇能追上海盗船. --------9 分 10

由正弦定理有

MN ON 20t 3 3 = × = ,∴ sin(θ + 40 ) = .----------12 分 sin(θ + 40 ) sin 120 30t 2 3
3 S n ?1 总成等差数列, 总成等差数列, 2 3 3 3 3 3 ∴ 2an = 3S n ? 4 + 2 ? S n?1 = ( S n ? S n?1 ) + S n ? 2 = an + S n ? 2 , 2 2 2 2 2
即 ∴

, - 21 解: I)∵n≥2 时,3Sn-4,an,2- () ≥

3 S n = an + 4 , 3S n +1 = an +1 + 4 .

…………………………2 …………………………2 分

两式相减, 两式相减,得? 3an +1 = an +1 ? an ,

a n +1 1 = ? .…………………………4 分 …………………………4 an 2
…………………………5 …………………………5 分 …………………………6 …………………………6 分 …………………………7 …………………………7 分

成等比数列. ∴a2,a3,…an,…成等比数列. ∵a1=2 当 n =2 时,a2= ?1 , 成等比数列, ∴a1,a2,a3,…an,…成等比数列, ∴an=2 ( ? )

1 2

n?1



(II)由(I)得 bn = 3S n = an + 4 , ) ) ∴

Tn = b1 + b2 + ? + bn = (a1 + 4) + (a2 + 4) + ? + (an + 4)
= S n + 4n .
…………………………9 …………………………9 分 ……… …………………………11 分 …………………………11 …………………………12 …………………………12 分

an + 4 2 1 n ?1 4 = (? ) + , 3 3 2 3 2 1 n ?1 4 ∴ Tn = ( ? ) + + 4n . 3 2 3


Sn =

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22.解: ) f ( x ) = 1 ? . (1) (
'

1 x ?1 = x x

????? 1 分 ????? 2 分 ????? 4 分

减区间 减区间 (0,1) 极小值 f (1) = 1

增区间 (1, e)

(2) f ( x ) = a ? )
'

1 ax ? 1 = x x

a≤0 0<a< a≥ 1 e

f ( x) 在 ( 0, e] 上是减函数 ae ? 1 = 3 a = 1 e

4 >0 e 4 1 f ( x) 在 ( 0, e] 上是减函数 ae ? 1 = 3 a = > e e

????? 5 分 ????? 6 分

? 1? ?1 ? f ( x) 在 ? 0, ? 上是减函数, ? , e ? 是增函数 上是减函数, ? a? ?a ?

a

1 1 ? ln = 3 a = e2 a a
2

所以存在 a = e

????? 10 分 ????? 11 分

(3) f ( x ) = x ? ln x 在 ( 0, e] 上的最小值为 1 )

g ' ( x) =

1 ? ln x x2 1 e

g ( x) 在 ( 0, e] 上为增函数最大值 g (e) = 1 1 + 2 e 1 f ( x) > g ( x) + 2
而1 >

????? 13 分

????? 14 分

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