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2015-2016学年高中数学 第2章 4二项分布课时作业 北师大版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 第 2 章 4 二项分布课时作业 北师大版选修 2-3

一、选择题 1 1.设随机变量 ξ 服从二项分布 B(6, ),则 P(ξ =3)等于( 2 A. C. 5 16 5 8 B. D. 3 16 3 8 )

[答案] A 1 3 5 3 1 3 [解析] P(ξ =3)=C6( ) ·( ) =

. 2 2 16 1 2.一名学生通过英语听力测试的概率为 ,她模拟测试 3 次,至少有 1 次通过测试的概 3 率为( A. C. 4 9 19 27 ) B. D. 20 27 8 27

[答案] C [解析] 模拟测试 3 次相当于做了 3 次独立重复试验, “测试通过”即试验成功, 则模 1 1 3 19 0 1 0 拟测试 3 次通过测试的次数 X~B(3, ), 故所求概率为 1-P(X=0)=1-C3( ) (1- ) = . 3 3 3 27 3.位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 1 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 ,质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 2 ( ) 1 5 A.( ) 2
3 1 3 C.C5( ) 2 2 1 5 B.C5( ) 2 2 3 1 5 D.C5C5( ) 2

[答案] B [解析] 质点 P 移动五次后位于点(2,3),即质点向上移动了 2 次,向右移动了 3 次, 将质点移动 5 次视为做了 5 次独立重复试验, “向上移动”视为试验成功, 设 5 次移动中向

1

1 2 1 2 1 3 2 1 5 上移动的次数为 X,则 X~B(5, ),所以 P(X=2)=C5( ) ( ) =C5( ) . 2 2 2 2 1 4.如果 X~B(15, ),则使 P(X=k)最大的 k 值是( 4 A.3 C.4 或 5 [答案] D
k 3 15-k 1 k [解析] P(X=k)=C15( ) ( ) ,然后把选择项代入验证. 4 4

)

B.4 D.3 或 4

5.某同学做了 10 道选择题,每道题四个选择项中有且只有一项是正确的,他每道题都 随意地从中选了一个答案,记该同学至少答对 9 道题的概率为 P,则下列数据中与 P 最接近 的是( )
-4

A.3×10 C.3×10

B.3×10 D.3×10

-5

-6

-7

[答案] B
9 1 9 3 10 1 10 -5 [解析] P=C10( ) ( )+C10( ) ≈3×10 . 4 4 4

二、填空题 6. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9, 则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). [答案] 0.947 7 [解析] 4 人服用新药相当于做了 4 次独立重复试验, 设服用新药的 4 个病人中被治愈 的人数为 X,则 X~B(4,0.9),所求概率为 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C4×0.9 ×0.1 + C4×0.9 ×0.1 =0.291 6+0.656 1=0.947 7. 3 7.设随机变量 ξ ~B(2,p),η ~B(3,p),若 P(ξ ≥1)= ,则 P(η ≥1)=________. 4 [答案] 7 8
4 4 0 3 3 1

3 1 2 [解析] 由 P(ξ ≥1)=1-p(ξ =0)=1-(1-p) = 得 p= , 则 P(η ≥1)=1-P(η = 4 2 7 3 0)=1-(1-p) = . 8 65 8.一射手对同一目标独立地进行了四次射击,已知他至少命中一次的概率为 ,则四 81 次射击中,他命中 3 次的概率为________. [答案] 8 81
2

[解析] 设一次射击中,他命中的概率为 p,则他四次至少命中一次的概率为 1-(1-

p)4= ,解得 p= .
∴他命中 3 次的概率为
3 P4(3)=C3 . 4( ) (1- )=

65 81

1 3

1 3

1 3

8 81

三、解答题 3 9.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且各次射击的结果互不影 5 响.该射手射击了 5 次,求: (1)其中只在第一、三、五次 3 次击中目标的概率; (2)其中恰有 3 次击中目标的概率; (3)其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率. [解析] (1)该射手射击了 5 次,其中只在第一,三,五次 3 次击中目标,是在确定的 情况下击中目标 3 次,也即在第二,四次没有击中目标,所以只有一种情况,又各次射击的 3 3 3 3 3 108 结果互不影响,故所求概率为 p= ×(1- )× ×(1- )× = . 5 5 5 5 5 3 125 (2)该射手射击了 5 次, 其中恰有 3 次击中目标的概率情况不确定, 根据排列组合知识, 3 3 3 3 5 次当中选 3 次, 共有 C5种情况, 又各次射击的结果互不影响, 故所求概率为 p=C5×( ) ×(1 5 3 2 216 - )= . 5 625 (3)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目标,应用 排列组合知识, 将 3 次连续击中目标看成一个整体, 另外两次没有击中目标, 产生 3 个空隙, 3 3 3 2 324 1 1 所以共有 C3种情况,故所求概率为 P=C3×( ) ×(1- ) = . 5 5 3 125 10.在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从河上游河漂而下的一个巨大的汽油 罐.已知只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相 2 互独立的,且命中的概率都是 . 3 (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 X,求 X 的概率分布. [解析 ] 2,3,4,5. (1)解法一:记 B 表示“引爆油罐”,则射击次数符合独立重复试验,X =

X=2 表明第一次击中,第二次也击中, P(X=2)= × = ;
3

2 2 3 3

4 9

X=3 表明前 2 次击中一次,第 3 次击中,
1 1 P(X=3)=C1 ; 2( ) ( ) × =

2 3

1 3

2 8 3 27

X=4 表明前 3 次击中一次,第 4 次击中,
1 2 P(X=4)=C1 ; 3( ) ( ) × =

2 3

1 3

2 4 3 27

X=5 表明前 4 次击中一次,第 5 次击中,
1 3 P(X=5)=C1 4( ) ( ) × = 5 .

2 3

1 3

2 16 3 3

4 8 4 16 232 所以 P(B)= + + + 5 = . 9 27 27 3 243 解法二:利用 P(B)=1-P( B ).油罐没有引爆的情况有两种:①射击五次,都没击中; ②射击五次,只击中一次. 1 5 1 1 4 2 232 所以 P(B)=1-( ) -C3( ) × = . 3 3 3 243 (2)X=2,3,4 时同(1),当 X=5 时,击中次数分别为 0,1,2. 1 5 1 2 1 1 4 1 2 1 1 3 2 1 ∴P(X=5)=( ) +C5( ) ( ) +C4( ) ×( ) × = . 3 3 3 3 3 3 9 所以 X 的概率分布为

X P

2 4 9

3 8 27

4 4 27

5 1 9

[反思总结] 要特别注意 X=5 的意义, 当 X=5 时, 表示 5 枪都未中或 5 枪中只中一枪 或第 5 枪中且前 4 枪只中了 1 枪这三种情况,否则 P(X=5)易出错,也可以用概率分布的性 质间接检验.

一、选择题 65 1. 在 4 次独立重复试验中事件 A 发生的概率相同, 若事件 A 至少发生 1 次的概率为 , 81 则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( A. C. 1 3 5 6 ) 2 B. 5 D.以上全不对

[答案] A [解析] 设事件 A 在 1 次试验中出现的概率为 p.由二项分布的概率公式得 1-C4p (1-
4
0 0

p)4= ,所以(1-p)4= ,解得 p= .
2.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么

65 81

16 81

1 3

k 的值为(
A.0 C.2

) B.1 D.3

[答案] C 1 k 1 5-k k+1 1 k+1 1 5-(k+1) k k k+1 [解析] 依题意有 C5×( ) ×( ) =C5 ×( ) ×( ) ,所以 C5=C5 . 2 2 2 2 故有 k+(k+1)=5.∴k=2. 3.把 10 个骰子全部投出,设出现 6 点的骰子个数为 X,则 P(X≤2)等于( 5 8 2 1 2 A.C10( ) ×( ) 6 6 5 9 5 10 1 1 B.C10( )×( ) +( ) 6 9 6 5 9 2 1 2 5 8 1 1 C.C10( )×( ) +C10( ) ×( ) 6 6 6 6 D.以上均不对 [答案] D 1 [解析] 由题意,X~B(10, ), 6 5 10 1 1 5 9 2 1 2 5 8 ∴P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=( ) +C10× ×( ) +C10×( ) ×( ) . 6 6 6 6 6 ∴A、B、C 三选项均不对. 4.若 X~B(10,0.8),则 P(X=8)等于( A.C ×0.8 ×0.2 C.0.8 ×0.2 [答案] A [解析] ∵X~B(10,0.8), ∴P(X=k)=C100.8 (1-0.8) 故选 A. 二、填空题 5.设每门高射炮击中飞机的概率为 0.6,今有一飞机来犯,则至少需要________门高 射炮射击,才能以 99%的概率击中它. [答案] 6 [解析] 设需要 n 门高射炮才可达到目的, 用 A 表示“命中飞机”这一事件, 由题意得, 没有命中飞机的概率为 1-0.6=0.4, 故由对立事件的概率分式得 P(A)=1-0.4 .由题意得
5
n k k
10-k 8 2 8 10 8 2

)

) B.C10×0.8 ×0.2 D.0.8 ×0.2
2 8 8 2 8

, ∴P(X=8)=C100.8 ·0.2 ,

8

8

2

1-0.4 ≥0.99,∴n≥5.02.故应取 6. 6.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响.有下列结论:①他仅第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中 目标 3 次的概率是 0.9 ×0.1;③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.1 .其中正确结论的序 号是________. [答案] ③ [解析] “仅第 3 次击中目标”意味着其他各次均未击中, 故①错; 而“恰好击中目标 3 次”的概率为 C4×0.9 ×0.1, 故②错; 由于“至少击中目标 1 次”的对立事件为“一次都 未击中目标”,所以概率为 1-0.1 .故③正确. 三、解答题 7.(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工, 先由两位专家面试, 若两位专家都同意通过, 则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这 两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录 用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 0.5,复审能通过的概率为 0.3,各专家 评审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若 4 人应聘,设 X 为被录用的人数,试求随机变量 X 的分布列. [解析] 设“两位专家都同意通过”为事件 A,“只有一位专家同意通过”为事件 B, “通过复审”为事件 C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件 D,则 D=A+BC, 1 1 1 1 1 1 3 ∵P(A)= × = ,P(B)=2× ×(1- )= ,P(C)= , 2 2 4 2 2 2 10 2 ∴P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)= . 5 (2)根据题意,X=0,1,2,3,4,
4 3 3 3 4

n

Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i=0,1,2,3,4),
3 4 81 0 ∵P(A0)=C4×( ) = , 5 625
3 P(A1)=C1 4× ×( ) =

2 5

3 5

216 , 625 216 , 625

2 2 P(A2)=C2 4×( ) ×( ) =

2 5 2 5 2 5

3 5

3 P(A3)=C3 4×( ) × =

3 96 , 5 625 3 5 16 . 625
6

4 0 P(A4)=C4 4×( ) ×( ) =

∴X 的分布列为

X P

0 81 625

1 216 625

2 216 625

3 96 625

4 16 625

8.实力相等的甲,乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出,并停止比赛). (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率; (2)求按比赛规则甲获胜的概率. [解析] 记事件 A 为“甲打完 3 局才能取胜”,记事件 B 为“甲打完 4 局才能取胜”, 记事件 C 为“甲打完 5 局才能取胜”. (1)①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜. 1 3 1 3 ∴甲打完 3 局取胜的概率为 P(A)=C3( ) = . 2 8 ②甲打完 4 局取才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜 1 负, 1 2 1 1 3 2 ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)=C3×( ) × × = . 2 2 2 16 ③甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负, 1 2 1 2 1 3 2 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)=C4×( ) ×( ) × = . 2 2 2 16 (2)设事件 D 为“按比赛规则甲获胜”,则 D=A∪B∪C. 1 3 3 又∵事件 A、B、C 彼此互斥,故 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = 8 16 16 1 . 2 1 因此按比赛规则甲获胜的概率为 . 2

7


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