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高二数学期中考试必修5试题及答案


2012—2013 学年度第一学期模块检测 高二数学试题
注意事项: 1.本试卷全卷150 分,考试时间120 分钟。 2.本试卷分为、II 卷,共4 页,答题纸4 页。 3.I 卷答案必须使用 2B 铅笔填涂在答题卡相应题号的位置。 4.II 卷均需写在答题纸上,在草稿纸和试卷上答题无效。 5.注意在答题卡、答题纸相应位置完整涂写考生信息。

第I

卷(选择题 60 分)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分)
1. 不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为
2

A. {x | ?1 ? x ? 4} C. {x | x ? 1或x ? ?4}

B. {x | x ? 4或x ? ?1} D. {x | ?4 ? x ? 1}

0 0 2.在△ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 60 ,C= 75 ,则 b 等于

A. 4 6

B. 4 5

C. 4 3

D.

22 3

3.已知 ?ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sin B = A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

4.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 21, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 A.15 B.33 C.51 D.63

5.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 A .15 B.17 C.19 D .21

数学试题第 1 页,共 4 页

6.若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是 a ?1
B.a C. 3 D.

A.2

2 a a ?1

7.已知点(3,1)和(4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 C. a ? 0 或 a ? ?7 8.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? B. a ? ?7 D. ?7 ? a ? 0

1 ,则 S5 等于 n(n ? 1)
C.

A.1

B.

5 6

1 6

D.

1 30

9.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

10.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求

4 1 ? 的最小值是 x y
C.7 D.9

A.4

B.6

?x ? 2 ? 11.若 ? y ? 2 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ?x ? y ? 2 ?
A.[2,6] B.[2,5] C.[3,6] D.[3,5]

12.设 ?ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列, sin A 、 sin B 、 sin C 成等比数列,则这 个三角形的形状是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

数学试题第 2 页,共 4 页

第II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.设等比数列 {an } 的公比为 q ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? _____________. 2 a4

14. 在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________。 15.小明在玩投石子游戏,第一次走 1 米放 2 颗石子,第二次走 2 米放 4 颗石子…第 n 次 走 n 米放 2 颗石子,当小明一共走了 36 米时,他投放石子的总数是______. 16.若不等式 mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围为
2

n

.

三、解答题(共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) (1) Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a4 ? 1,求 a 5 . (2)在等比数列 ?a n ? 中,若 a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, 求首项 a 1 和公比 q .

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 且

a ? b ? 2 ? 1, sin A ?
(1)求 a, b 的值;

10 5 , sin B ? . 10 5

(2)求角 C 和边 c 的值。 数学试题第 3 页,共 4 页

19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 48n 。 (1)求数列的通项公式; (2)求 Sn 的最大或最小值。

20.(本小题满分 12 分) 若 0≤a≤1, 解关于 x 的不等式(x-a)(x+a-1)<0.

21.(本小题满分 12 分) 某种汽车购买时费用为 14.4 万元, 每年应交付保险费、 养路费及汽油费共 0.9 万元, 汽车的维修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万元,……,依等差 数列逐年递增. (1)设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n),试写出 f(n)的表达式;

(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).

22.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N )

?

(1)求证:数列 {a n ? 1} 是等比数列; (2)求通项公式 a n ;(3)设 b n ? n ,求 ?an bn ?的前 n 项和 Tn .

数学试题第 4 页,共 4 页

高二数学试题答案
一、选择题: BABDB CDBBD 二、填空题: 13. 15_______ 15. 500 ______ AC 14. 16.

?1 ? m ? 0

120°____

三、解答题: 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ?

? 2a1 ? d ? 6a1 ? 15d , ? 2a1 ? 7 d ? 0, 即? ? a1 ? 3d ? 1, ? a1 ? 3d ? 1,

………………3 分 ……………6 分

解得, d ? ?2 ,a1 ? 7所以, a5 ? a1 ? 4d ? 7 ? 4 ? (?2) ? ?1. . (2)设等比数列{an}的公比为 q,

? a1q (q 2 ? 1) ? 24, 由题意, ? 得 ? a1q (1 ? q ) ? 6, 1 . 解得, q ? 5 ,a1 ? 5
18. 解: (1)由

………………………………9 分 ………………………………………12 分

?a ? 2b ?a ? 2 a b ? ? 得 a ? 2b ,联立 ? 解得 ? sin A sin B ?a ? b ? 2 ? 1 ?b ? 1 ?

(2)? A,B 为锐角, cos A ?

2 5 3 10 , cos B ? 5 10 2 2

? cosC ? ? cos(A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B =? C ? 135? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? 5 ?c ? 5

19. (1)a1=S1=1 -48×1=-47,

2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-48n-[(n-1)2-48(n-1)]

=2n-49,a1 也适合上式, ∴an=2n-49 (n∈N+). (2)a1=-49,d=2,所以Sn有最小值,

1 1 ?a ? 2n ? 49 ? 0 由? n , 得23 ? n ? 24 , 又n ? N ? , 2 2 ?an ?1 ? 2(n ? 1) ? 49 ? 0 ∴n=24,即Sn最小, 24 ? 23 S 24 ? 24 ? (?47 ) ? ? 2 ? ?576 , 2 或:由Sn=n2-48n=(n-24)2-576,
∴当n=24时,Sn取得最小值-576.
20. 解:原不等式即为(x-a)[x-(1-a)]>0, 因为 a-(1-a)=2a-1,所以, 当 0≤ a ? 当

1 时, a ? 1 ? a, 所以原不等式的解集为 {x | x ? 1 ? a 或 x ? a} ;……3 分 2

1 ? a ≤1 时, a ? 1 ? a, 所以原不等式的解集为 {x | x ? a 或 x ? 1 ? a} ;……6 分 2 1 1 2 1 当 a ? 时, 原不等式即为 ( x ? ) >0,所以不等式的解集为 {x | x ? , x ? R}. …9 分 2 2 2 1 综上知,当 0≤ a ? 时,原不等式的解集为 {x | x ? 1 ? a 或 x ? a} ; 2 1 当 ? a ≤1 时,所以原不等式的解集为 {x | x ? a 或 x ? 1 ? a} ; 2 1 1 当 a ? 时,原不等式的解集为 {x | x ? , x ? R}. ………………12 分 2 2
21.解: (Ⅰ)依题意 f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n ……………………4 分

? 14.4 ?

0.2n(n ? 1) ? 0.9n 2
……………………6 分

? 0.1n 2 ? n ? 14.4
(Ⅱ)设该车的年平均费用为 S 万元,则有

S?

1 1 f (n) ? (0.1n 2 ? n ? 14.4) …………………8 分 n n n 14.4 ? ? ? 1 ? 2 1.44 ? 1 ……………………………………9分 10 n
? 2 ?1.2 ? 1 ? 3.4 …………………………………………… 10分
………………12 分

仅当

n 14 .4 ? ,即 n=12 时,等号成立. 10 n

答:汽车使用 12 年报废为宜. 22. 解: (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) 得 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)(n ? N )
?

?

?

an?1 ? 1 ? 2 (n ? N ? ) an ? 1

? 数列 {a n ? 1} 成等比数列.
(2)由(1)知, {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 =2 为首项,以 2 为公比的等比数列

? a n ? 1 ? 2 ? 2 n -1 ? 2 n
(3)? b n ? n

? an ? 2 n ? 1

? an ? bn ? n (2n ? 1)

? Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?an bn
? 1(21 ? 1) ? 2(2 2 ? 1) ? 3(23 ? 1) ? ?n(2 n ? 1)
= 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ?n ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ( 令 S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ?n ? 2 n

2S n ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ?n ? 2 n?1
两式相减 ? S n ? 1? 21 ? 2 2 ? 23 ? ?2 n ? n ? 2 n?1

S n ? 2 n?1 (n ? 1) ? 2

? Tn ? 2 n ?1 (n ? 1) ? 2 ?

n(n ? 1) 2


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