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高三数学复习指导(2016-03)


2016年高三 数学复习建议

从整体看待数学 知识的复习

一.如何思考数学问题 二.研究数学问题的一般方法 三.数学的学科观点

明确各个单元知识的思维特征
是如何理解问题、如何思考问题的

x ? 97 f ( x) ? x ? 98

x ? 98 ? 98 ? 97 98 ? 97 f ( x) ? ? 1? x ? 98 x ? 98

函数观点下的数列问题
用函数的观点来认识数列

用函数的思维理解数列问题 用研究函数的方法来解决数列问题.

3 n ?1 2 [1 ? ( ) ] 2 3 1? 2
n

3

n ?1

?2

n ?1

解决数列问题的基本思路是: (1)判断所要求研究的数列是否 为特殊数列:等差数列或等比数 列,如是,用公式和性质解决.
(2)如果不是等差、等比数列,要么 转化为等差数列或等比数列,要么寻 找其它方法.

要关注数列的项数:

共n+4项

a 2 a3 an n a1 ? ? ? ... ? ? 4 ? 1 2 3 n
a2 a3 an ?1 a1 ? ? ? ... ? ? 4n ?1 ? 1 2 3 n ?1

an n n ?1 n ?1 n ?1 ? 4 ? 4 ? 4 (4 ? 1) ? 3 ? 4 n

an ? 3na

2 n ?2

a1 ? 3

an ? 3na

2 n ?2

立体几何的 思维方法是什么呢?

通过平面来确定直线的位置

函数的思维特征

y ? f ( x)

满足特定关 系的两个自变量, 其对应的函数值 之间又具有什么 关系呢?

满足特定关 系的两个自变量, 其对应的函数值 之间又具有什么 关系呢?

满足特定关 系的两个自变量, 其对应的函数值 之间又具有什么 关系呢?

代数特征:自变量互

为相反数,其对应函 数值也互为相反数.
几何特征:点(x,f(x))与点(-x,f(-x))同时

在函数的图像上.故函数图象关于原点对 称.

代数特征:自变量

互为相反数,其 对应函数值相等, 定义域关于原点 对称
几何特征:点(x,f(x))与点(-x,f(-x))同

时在函数的图像上.函数图象关于y轴 对称.

f ( x) ? f ( x ? T )

y ? f ( x)是奇函数

小结:

(a ? x) ? (a ? x) ?a 2

函数 f ( x ) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数



分析: (1)因为 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数 所以 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? 0, f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? 0 ①

所以, f ( x ) 的图象关于 (1, 0) 和 (?1, 0) 中心对称。

即: f ( x) ? f (2 ? x) ? 0, f ( x) ? f (?2 ? x) ? 0 由此得 f (2 ? x) ? f (?2 ? x) 这个等式表明 y ? f ( x) 的周期为 4

(2)进一步探索 y ? f ( x) 及其他函数性质;

所以 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? 0, f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? 0



利用 T ? 4 ①式可改写成 f ( x ? 5) ? f (? x ? 5) ? 0 和 f ( x ? 3) ? f (? x ? 3) ? 0

这两个等式表明 y ? f ( x ? 5) 与函数 y ? f ( x ? 3) 是奇函数。

理 14. 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [

? ?

, ] 上具有单调性,且 6 2

?? ? ? 2? ? ?? ? f? ?? f? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为________. ?2? ? 3 ? ?6?
2π π π ? = ?T 3 2 6 1 π π π ( + ) = 2 6 2 3
1 π 2π 7π ( + ) = 2 2 3 12

π π 2π T ? 2( ? )= 2 6 3 7π π ? )?4 ? π 12 3

?T=(

在函数图象的变换中, “左加右减”

分析两个函数图象的关系问题: 要关注这两个函数是以谁为自变量的,
当它们的自变量具有什么关系的时候,

对应的函数值能够相等或其它的什么关系.

运用函数的思维去分析问题、理 解数学问题是正确解决数学问题的必要 途径,只有学会了运用函数的思维方法, 才能够真正的提高解决函数问题的能力.

一.如何思考数学问题
二.研究数学问题的一般方法

函数f(x)=

?log 2 x, x ? 0, ? ?log 1 (? x), x ? 0 ? ? 2

f ( x ) ? f (0)

这是一种计算的思维! 能不能运用函数的性质来理解和解决问题呢?

f ( x) ? f (8)

利用函数的解析式研究函数的性质

e ?e 函数 y ? x ?x e ?e
x

?x

结合函数的图象研究函数的性质.
函数图象能够直观形象的表示出函数 的变化情况,可以帮助我们理解抽象函 数关系的意义,同时函数图象又是运用 数形结合思想方法的基础,利用函数图 象可以更好的研究函数的性质;

当我们面对一个函数的图象的 时候,也是要学会利用图象去研究 这个函数的有关的性质,而不是计 算求值.

2015年全国新课标卷(1)
12.设函数 f ( x) ? e (2x ?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0
x

使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. ? ?

? 3 ? ,1? ? 2e ?

B. ? ? , ? ? 2e 4 ?

? 3 3?

C.

? 3 3? , ? ? ? 2e 4 ?

D. ? ,1? ? 2e ?

?3

?

分析:1. g ( x) ? e (2 x ?1), h( x) ? ax ? a .
x

研究: g ( x) ? e (2 x ?1) 的性质
x

x ① 函数值的分布: g ( x) ? e (2 x ? 1) ? 0, x ?

1 ,函数零点; 2

x ? 0, y ? ?1 .

1 x ? , g ( x) ? 0 ; 2
8

1 x ? , g ( x) ? 0 2

6

4

2

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8



1 g ( x) ? e (2x ? 1) ;极值点 x ? ? , 2
' x

1 ' x ? ? , g ( x) ? 0, g ( x) 单调减; 2 1 ' x ? ? , g ( x) ? 0, g ( x) 单调增. 2

画出函数 g ( x) ? e x (2 x ?1) 的示意图:

2. 研究 h( x) ? ax ? a ( a ? 1 )的性质: 过(1,0)点, x ? 0 时, y ? ?a ? ?1

3.研究 g ( x) ? e (2 x ?1) 与 h( x) ? ax ? a ( a ? 1 )的关系.
x

设函数 f ( x) ? e (2x ?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,
x

若存在唯一的整数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 , 则 a 的取值范围是

只需要: g (?1) ? h(?1)

?3 ? 故有 a 的取值范围是 ? ,1? . ? 2e ?

1 13.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? , g ( x) ? ? ln x . 4
3

用 min ?m, n? 表示 m,n 中的最小值, 设函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)?

( x ? 0) ,讨论 h( x) 零点的个数.

1 ① a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故函数 f ( x) ? x ? ax ? 在 ( x ? 0) 4
'
3

单调递增的.
显然,此时 h( x) 零点的个数为 1.

① a ? 0 时, f ' ( x) 的图象如图所示:

f ( x) ? 0 时, x ? ?
'

a 3

函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的变化趋势是 先减后增.分以下三种情况:

a 此时 f ( ? ) ? 0 3

3 即 ? ? a ? 0 时, 函数 h( x) 零点的个数为 1. 4

函数 h( x) 零点的个数为 2.

3 a 此时 f ( ? ) ? 0 ,即 a ? ? , 4 3

?

a 1 ? 3 2

a f ( ? ) ? 0 且 f (1) ? 0 3
即a ? ?

5 时, 4

函数 h( x) 零点的个数为 1.

三、学科观点在数学学习中的作用

f ( x) ? ?(a ?1) x ?1? ( x ? ax ?1)
2

f ( x) ? ?(a ?1) x ?1? ( x ? ax ?1)
2

f ( x) ? ?(a ?1) x ?1? ( x ? ax ?1)
2

y1 ? (a ?1) x ?1, y2 ? x ? ax ?1
2

平面解析几何
的思维特征与研究方法

m+k=0

解析几何的思维特征

几何特征:几何对象的性质及相互的位置关系

代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想

AM : y ? 2 ? k ( x ? 4)
1 BM : y ? 2 ? ? ( x ? 4) k

代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想

P( x, y) A(2 x, 0) B(0, 2 y) M (4,2)
???? ???? MB?MA ? 0

代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想

P( x, y) A(2 x, 0)

B(0, 2 y) M (4, 2)

P( x, y)
2 2

M (4, 2)
2 2

x ? y ? ( x ? 4) ? ( y ? 2)

OP min
(2,1)
k ? ?2

y ? 1 ? ?2( x ? 2)

解析几何的思维特征

从方程 中分析 几何对 象的几 何特征

解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征

解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征

解析几何的思维 -----从代数形式中分析几何特征

y ? kx ? 1
x y ? ?1 5 m
0 1 ? ?1 5 m
2 2

(0,1)

m ? 0, m ? 5

抓住线段AB必与椭圆相交的几何特征

1 直线AB的方程:y ? ? x ? b 4 2 2 x y ? ?1 4 3

13x2 ? 8bx ? 16(b2 ? 3) ? 0

??0

13 b? 2

13x ? 8bx ? 16(b ? 3) ? 0
2 2

8 x1 ? x2 ? b 13

M点的坐标:

4 x? b 13

1 12 y ? ? x?b ? b 4 13

AB中点M一定在C内

x12 y12 ? ?1 4 3
x2 y2 ? ?1 4 3
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ?? 4 3
2 2

M ( x, y)
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ?? 4 3

y1 ? y2 3x 1 ?? ?? x1 ? x2 4y 4

M (?m, ?3m)

y ? 3x

y ? 4x ? m

M (?m, ?3m)
m 9m ? ?1 4 3
2 2 ? ?m? 13 13
2 2

代数化的思维 -----渗透“曲线与方程”的思想

代数化的思维
cos ? sin ? 2 cos ? sin ? ( ? ) ?1 ? ?1 a b a b 2 2 cos ? sin ? 2sin ? cos ? ? ? ?1 2 2 a b ab 2 2 1 ? sin ? 1 ? cos ? 2sin ? cos ? ? ? ?1 2 2 a b ab

1 1 sin 2 ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 1? ? ? 2 2 2 a b a b ab

代数化的思维
cos ? sin ? ? ?1 a b

1 1 ? 2 sin(? ? ? ) ? 1 2 a b
1 1 1 ? 2 2 a b ?1

sin(? ? ? ) ?

代数化的思维

从几何对象的数值中分析几何特征

d ? a +(b ? 1)
2

2

f (a, b) ? 0

1 ? 2 2 2 2a ? b

1

b a ? ?1 2
2

2

d ? a 2 ? (b ? 1) 2
2 b a2 ? 1 ? ?0 2

b ? [? 2 , 2 ]
1 d? b?2 2

2 2 b b 1 2 2 d ? 1 ? ? b ? 2b ? 1 ? ? 2b ? 2 ? (b ? 2) 2 2 2 2

y x ? ?1 2
2

2

14.已知线段 AB=8,点 C 是线段 AB 上一定点,且 AC=2,P 为 CB 上一动点,设点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后 交于点 D.记 CP = x , 三角形 CPD 的面积为 f ( x) . 的定义域为________; 则 f ( x)

f ' ( x) 的零点是

.

D
A
C

P

B

(1)要能够根据问题的条件, 读出几何对象的几何特征.从两个 方面去分析:对于单个的几何对 象,要研究它的几何性质,对于 不同的几何对象,要关注它们之 间的位置关系.再此基础上做出图 形,直观地表达出所分析出来的 几何对象的几何特征;

(2)在明确了几何对象的几 何特征的基础上,要进行有 效的、合理的代数化.包括几 何元素的代数化、位置关系 的代数化、所要研究问题的 目标进行代数化等;

(3)进行代数运算.包括解 所联系的方程组、消去所引进 的参数、运用函数的研究方法 解决有关的最值问题,等等.
(4)根据经过代数运算得到的 代数结果,分析得出几何的结论.

问题 1. 已知椭圆 C : x 点 B 在直线 y

2

? 2 y 2 ? 4 .设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,

? 2 上,且 OA ? OB ,

试判断 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.

而对于条件“若点 A 在椭圆 C 上, 点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB ” 所表达出来的几何特征最终落实 在做出图象上.

第二步,进行代数化. 元素的代数化: A ( x1, y1 ) , 满足 x1
2

? 2 y12 ? 4 ; B (t,2) ,

y1 ? 2 (x ? t) , (x ? t) 直线 AB : y ? 2 ? x1 ? t
即 (2 ? y1 ) x ? ( x1 ? t ) y ? 2x1 ? ty1 若 x1 ? t ,直线

?0

AB 方程为 x

?t.

2 2 y1 t 若 x1 ? t ,则由 t ? ? 可得 y1 ? ? x1 2



t2 因此点 A(t , ? ) ,代入到椭圆方程 2

x2 ? 2 y 2 ? 4 得 t ? ? 2 ,
所以直线

AB 方程为 x ? ? 2 . AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.

最后得到几何结论:直线

x2 y 2 ? ?1( x ? 2 ) 问题 2. 已知 W: , 2 2

若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,
??? ? ??? ? 求 OA · OB 的最小值.

f ( x)= PA ? AB
f ( x)= PA ? AB ? 0
f ( x)= PA ? AB ? 0
f ( x)= PA ? AB ? 0

y B2 P

A1

F1

O

F2

A2

x

B1

x2 已知点 P 是椭圆方程 ? y 2 ? 1 上的动点, M , N 是直线 l : 4 y ? x 上的两个动点,且满足 | MN |? t ,则

①存在实数 t 使 ?MNP 为正三角形的点 P 恰有一个 ②存在实数 t 使 ?MNP 为正三角形的点 P 恰有两个 ③存在实数 t 使 ?MNP 为正三角形的点 P 恰有三个 ④存在实数 t 使 ?MNP 为正三角形的点 P 恰有四个 ⑤存在实数 t 使 ?MNP 为正三角形的点 P 有无数个 上述命题中正确命题的序号是_____________

AB ? 2 2
1 ?2 2?h ? 2 2

h? 2

m ?[m最小, +?) m ? (0, +?)
m=12 m=11

m ? (0, +?)
m=13

AB ? 2 2
1 ?2 2?h ? 2 2

h? 2

谢谢!


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