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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第8讲 曲线与方程


第 8 讲 曲线与方程

1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 2.曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x,y)=0,曲线 C2 的方程为 F2(x,y)=0,则 C1,C2 的交点坐标
? ?F1(x,y)=0, 即为方程组? 的实数解,若此方程组无解,则两曲线无交点. ?F2(x,y)=0 ?

[做一做] 1.方程 x2+xy=x 表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析:选 C.方程变为 x(x+y-1)=0,则 x=0 或 x+y-1=0,故方程表示直线 x=0 和 直线 x+y-1=0. → → 2.若 M,N 为两个定点,且|MN|=6,动点 P 满足PM·PN=0,则 P 点的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案:A B.椭圆 D.抛物线 )

1.辨明两个易误点 (1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者 指方程(包括范围). (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系; (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y); (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式; (4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x,y 的方程 式,并化简; (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. [做一做]

y → → 3.平面上有三个不同点 A(-2,y),B(0, ),C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨迹 2 方程为________. y → y → → → → → 解析:AB=(2,- ),BC=(x, ),由AB⊥BC,得AB·BC=0, 2 2 y y 即 2x+(- )· =0, 2 2 ∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x(x≠0). 答案:y2=8x(x≠0) x2 2 4.设 P 为双曲线 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 4 的轨迹方程是________. 解析:设 M(x,y),则 P(2x,2y),代入双曲线方程得 x2-4y2=1. 答案:x2-4y2=1

考点一__直接法求轨迹方程(高频考点)______ 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法,也是高考考查的重要内容. 直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度: (1)明确给出等式,求轨迹方程; (2)给出已知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程. → → → 已知 M(4,0),N(1,0),若动点 P 满足MN·MP=6|PN|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点,求 Q 到直线 l:x+2y-12=0 的距离的最小值. 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 曲线与方程 [解] (1)设动点 P(x,y), → → 则MP=(x-4,y),MN=(-3,0), → PN=(1-x,-y),由已知得 -3(x-4)=6 (1-x)2+(-y)2, x2 y2 化简得 3x2+4y2=12,即 + =1. 4 3 x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C: + =1. 4 3 (2)设 l′:x+2y+D=0.将其代入椭圆方程消去 x, 化简得:16y2+12Dy+3(D2-4)=0. ∴Δ=144D2-192(D2-4)=0?D=± 4,

|12-4| 8 5 l′和 l 的距离的最小值为 = . 5 5 8 5 ∴点 Q 与 l 的距离的最小值为 . 5 [规律方法] 直接法求曲线方程的一般步骤: (1)建立合理的直角坐标系; (2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程; (3)化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲线的方程. 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程, 要注意 “翻译”的等价性. 1.(1)已知|AB|=2, 动点 P 满足|PA|=2|PB|, 则动点 P 的轨迹方程为________. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 1 AP 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3 解析:(1)如图所示,以 AB 的中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,则 A(-1,0),B(1,0). 设 P(x,y),因为|PA|=2|PB|, 所以 (x+1)2+y2=2 (x-1)2+y2. 两边平方,得(x+1)2+y2=4[(x-1)2+y2]. 10 整理,得 x2+y2- x+1=0, 3 5 16 即(x- )2+y2= . 3 9 5 16 故动点 P 的轨迹方程为(x- )2+y2= . 3 9 5 16 答案:(x- )2+y2= 3 9 (2)解:因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称. 所以点 B 的坐标为(1,-1). 设点 P 的坐标为(x,y),由题设知直线 AP 与 BP 的斜率存在且均不为零, 则 y-1 y+1 1 · =- , 3 x+1 x-1

化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). 考点二__定义法求轨迹方程____________________ (2013· 高考课标全国卷Ⅰ节选)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2 =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. [解] 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的

x2 y2 椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 [规律方法] 定义法求轨迹方程: (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则 根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程; (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线, 如果不是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制. 2.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 的椭圆, 则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是什么? 解:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又∵|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点 F 的轨迹是以 A,B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的 下支. x2 又 c=7,a=1,b2=48,故点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1). 48 考点三__利用相关点法(代入法)求轨迹方程____ x2 y2 (2015· 大连市双基测试)已知 O 为坐标原点,M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆 + 4 2 → → → =1 上的点,且 x1x2+2y1y2=0,设动点 P 满足OP=OM+2ON. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l:y=x+m(m≠0)与曲线 C 交于 A,B 两点,求三角形 OAB 面积的最大值. → → → [解] (1)设点 P(x,y),则由OP=OM+2ON, 得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2. x2 y2 因为点 M,N 在椭圆 + =1 上, 4 2
2 2 2 所以 x2 1+2y1=4,x2+2y2=4. 2 2 2 故 x2+2y2=(x2 1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) 2 2 2 =(x1 +2y2 1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2).

由题意知,x1x2+2y1y2=0, 所以 x2+2y2=20.
2 2 ? ?x +2y =20 (2)将曲线 C 与直线 l 的方程联立得:? , ?y=x+m ?

消去 y 得:3x2+4mx+2m2-20=0. 因为直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 A(x3,y3), B(x4,y4), 所以Δ=16m2-4×3×(2m2-20)>0, 又 m≠0,

所以 0<m2<30, 2m2-20 4m x3+x4=- ,x3x4= . 3 3 又点 O 到直线 AB:x-y+m=0 的距离 d= |AB|= 1+k2|x3-x4| = (1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4] = 2m2-20 16m2 2×( -4× )= 9 3 16 (30-m2), 9 |m| , 2

1 所以 S△ABO= 2

2 2 16 |m| 2 2 m +(30-m ) 2 2 2 (30-m )× = × m (30-m )≤ × = 9 3 2 2 3

5 2, 当且仅当 m2=30-m2,即 m2=15 时取等号. 所以三角形 OAB 面积的最大值为 5 2. [规律方法] 相关点法求轨迹方程的一般步骤为: (1)设点:设动点坐标为(x,y),已知轨迹的点的坐标为(x1,y1), (2)求关系式:求出两点坐标之间的关系式
? ?x1=f(x,y), ? ?y1=g(x,y). ?

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程. x2 y2 3.P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O a b → → → 为坐标原点,OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. 1→ → → → → → → → → → 解析: 由OQ=PF1+PF2, 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, 设 Q(x, y), 则OP=- OQ 2 1 x y =- (x,y)=(- ,- ), 2 2 2 x y 即 P 点坐标为(- ,- ),又 P 在椭圆上, 2 2 x y (- )2 (- )2 2 2 x2 y2 则有 + =1,即 2+ 2=1. 2 2 a b 4a 4b x2 y2 答案: 2+ 2=1 4a 4b

方法思想——分类讨论思想判断方程所表示的曲线类型 已知△ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(0,-1),(0,1),且 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 m(m≠0).求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆锥 曲线. y-1 y+1 [解] 设顶点 C(x,y),由题意,知 · =m, x x 化简得-mx2+y2=1(x≠0). 当 m<-1 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点; 当 m=-1 时,轨迹 E 表示以(0,0)为圆心,半径是 1 的圆,且除去(0,1),(0,-1) 两点; 当-1<m<0 时,轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点; 当 m>0 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,-1)两点. [名师点评] 由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般情况下,根 2 据 x ,y2 的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论,本例中由于 m≠0,而 x2 与 y2 的系数相等时 m=-1,故分 m<-1,m=-1,-1<m<0,m>0 四种情形进行讨论. 已知 A,B 为平面内两定点,过该平面内一动点 M 作直线 AB 的垂线, → → → 2=λ AN 垂足为 N.若MN ·NB,其中 λ 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( )

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 解析:选 C.以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立坐标系(图略), 设 M(x,y),A(-a,0),B(a,0),则 N(x,0). → → → 2=λAN 因为MN ·NB, 所以 y2=λ(x+a)(a-x), 即 λx2+y2=λa2, 当 λ=1 时,是圆的轨迹方程; 当 λ>0 且 λ≠1 时,是椭圆的轨迹方程; 当 λ<0 时,是双曲线的轨迹方程; 当λ=0 时,是直线的轨迹方程. 综上,方程不表示抛物线的方程.

1.若点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P(x,y)的轨 迹方程为( ) 2 A.y =8x B.y2=-8x

C.x2=8y D.x2=-8y 解析:选 C.点 P(x,y)到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,说明点 P(x, y)到点 F(0,2)和到直线 y+2=0 的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),其中 p=4,故所求的轨迹方程为 x2=8y. 2.方程(x2-y2-1) x-y-1=0 表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )

?x2-y2-1=0 ? 解析:选 B.原方程等价于? 或 x-y-1=0,前者表示等轴双曲线 x2-y2=1 ?x-y-1≥0 ?

位于直线 x-y-1=0 下方的部分,后者为直线 x-y-1=0,这两部分合起来即为所求. 3.设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方 程为( ) 2 A.y =2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2 解析: 选 D.如图, 设 P(x, y), 圆心为 M(1, 0). 连接 MA, 则 MA⊥PA, 且|MA|=1, 又∵|PA|=1, ∴|PM|= |MA|2+|PA|2= 2, 即|PM|2=2,∴(x-1)2+y2=2. 4.(2015· 天津津南模拟)平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满 → → → 足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原点),其中 λ1,λ 2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 B.椭圆 D.双曲线 )

→ → → 解析:选 A.设 C(x,y),因为OC=λ1OA+λ2OB,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即
?x=3λ1-λ2, ? ? ?y=λ1+3λ2, ?

3x , ?λ =y+ 10 解得? 3y-x ?λ = 10 ,
1 2

y+3x 3y-x 又 λ1+λ2=1,所以 + =1,即 x+2y=5, 10 10 所以点 C 的轨迹为直线,故选 A. 5.(2015· 长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周

上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( 4x 4y A. - =1 21 25 4x2 4y2 C. - =1 25 21
2 2

)

. .

4x 4y + =1 21 25 4x2 4y2 + =1 25 21

2

2

解析:选 D.∵M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ| 5 21 =|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆.∴a= ,c=1,则 b2=a2-c2= , 2 4 4x2 4y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 25 21 6.(2015· 广东阳江质检)已知点 A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y),满 → → 足PA·PB=x2-6,则动点 P 的轨迹是________. → → 解析:∵动点 P(x,y)满足PA·PB=x2-6,∴(-2-x,-y)·(3-x,-y)=x2-6,∴ 动点 P 的轨迹方程是 y2=x,即轨迹为抛物线. 答案:抛物线 x y 7.直线 + =1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是________. a 2-a x y 解析:直线 + =1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2-a),设 AB 的中点为 M(x, a 2-a a a y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1.∵a≠0 且 a≠2,∴x≠0 且 x≠1. 2 2 答案:x+y=1(x≠0 且 x≠1) → → 8.(2015·山西临汾调研)在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于点 D,且|BD → |-|CD|=2 2,则顶点 A 的轨迹方程为________. 解析:以 BC 的中点为原点,中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系,E、F 分别为两个 切点.则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|. ∴|AB|-|AC|=2 2, ∴点 A 的轨迹为以 B, C 为焦点的双曲线的右支(y≠0), 且 a= 2, c=2,∴b= 2, x2 y2 ∴顶点 A 的轨迹方程为 - =1(x> 2). 2 2 x2 y2 答案: - =1(x> 2) 2 2 9.已知点 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,求动点 C 的轨迹方程. 20 解:∵AB= 32+42=5,∴AB 边上高 h= =4. 5 故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线. 4 ∵kAB= , 3 AB 的方程为 4x-3y+4=0,可设轨迹方程为 4x-3y+c=0.



|c-4| =4,得 c=24 或 c=-16, 5

故动点 C 的轨迹方程为 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0. 10.如图,在平面直角坐标系中,已知△PAB 的周长为 8,且点 A,B 的坐标分别为(- 1,0),(1,0).

(1)试求顶点 P 的轨迹 C1 的方程; x1 y1 (2)若动点 P1(x1,y1)在曲线 C1 上,试求动点 Q( , )的轨迹 C2 的方程; 3 2 2 (3)过点 C(3,0)作直线 l 与曲线 C2 相交于 M,N 两点,试探究是否存在直线 l,使得点 N 恰好是线段 CM 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由题意可得顶点 P 满足|PA|+|PB|=6, 故顶点 P 的轨迹 C1 是以 A,B 为焦点的椭圆,但要除去椭圆的左、右两个顶点. 椭圆的半焦距长 c=1,长半轴长 a=3,所以 b2=a2-c2=8, x2 y2 故轨迹 C1 的方程为 + =1(x≠± 3). 9 8 x2 y2 1 1 (2)由题意,点 P1(x1,y1)在曲线 C1 上,故 + =1(x1≠±3). 9 8 x1 y1 设 =x, =y,则 x1=3x,y1=2 2y. 3 2 2
2 x2 y1 1 代入 + =1(x1≠±3),得 x2+y2=1(x≠± 1), 9 8

x1 y1 所以动点 Q( , )的轨迹 C2 的方程为 x2+y2=1(x≠± 1). 3 2 2 (3)假设存在直线 l,使得点 N 恰好是线段 CM 的中点, 2 设 M(x2,y2),x2≠±1,则 x2 2+y2=1 ①. x2+3 y2 因为点 N 恰好是线段 CM 的中点,所以 N( , ). 2 2 x2+3 2 y2 2 又点 N 在曲线 C2 上,所以( ) +( ) =1 2 2 ②.

联立①②,解得 x2=-1,y2=0,与 x2≠±1 矛盾. 故不存在满足题意的直线 l. 1.(2015· 湖北武汉月考)已知实数 m>1,定点 A(-m,0),B(m,0),S 为一动点,点 S 与 A,B 两点连线斜率之积为- 1 . m2

(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程,并指出它是哪一种曲线; (2)若 m= 2,问 t 取何值时,直线 l:2x-y+t=0(t>0)与曲线 C 有且只有一个交点. y-0 y-0 解:(1)设 S(x,y),则 kSA= ,kSB= . x+m x-m

y2 1 x2 由题意,得 2 =- ,即 +y2=1(x≠± m). 2 m m2 x -m 2 ∵m>1, ∴轨迹 C 是中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去 x 轴上的两顶点),其中长轴长 为 2m,短轴长为 2. x2 (2)若 m= 2,则曲线 C 的方程为 +y2=1(x≠± 2). 2 2x-y+t=0, ? ?2 由?x 消去 y,得 9x2+8tx+2t2-2=0. 2 + y = 1 , ?2 ? 令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得 t=± 3. ∵t>0,∴t=3. 此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点. 2.已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M(不在 x 轴上)作平行于 x 轴的直线 m, 设 m 与 y 轴的交点为 N, 若 → → → 向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线. 解:(1)当直线 l 垂直于 x 轴时, 直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, - 3),距离为 2 3,满足题意. 若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0. 设圆心到此直线的距离为 d, 则 2 3=2 4-d2,得 d=1. |-k+2| 3 所以 2 =1,解得 k= , 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+5=0. 综上所述,所求直线 l 的方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. (2)设点 M 的坐标为(x0,y0)(y0≠0),Q 点坐标为(x,y),则 N 点坐标是(0,y0). → → → 因为OQ=OM+ON, y 所以(x,y)=(x0,2y0),即 x0=x,y0= . 2
2 又因为 M 是圆 C 上一点,所以 x2 0+y0=4,

y2 所以 x2+ =4(y≠0), 4 x2 y2 所以 Q 点的轨迹方程是 + =1(y≠0), 4 16 这说明轨迹是中心在原点,焦点在 y 轴上,长轴长为 8、短轴长为 4 的椭圆,且除去短 轴端点. → → 2 5 3. (2015· 湖北恩施质检)在直角坐标平面上, O 为原点, M 为动点, |OM|= 5, ON= 5 → → → → OM.过点 M 作 MM1⊥y 轴于点 M1,过点 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1,OT=M1M+N1N.记点 T 的

轨迹为曲线 C,点 A(5,0)、B(1,0),过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得|BP|=|BQ|,并说明理由. 解:(1)设点 T 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x′,y′),则 M1 的坐标为(0,y′), 2 5 2 5 ? → 2 5→ 2 5 ON = OM = (x′ , y ′ ) ,于是点 N 的坐标为 ? x′, y′ , N1 的坐标为 5 5 5 ? 5 ?

?2 5x′,0?, ? 5 ?
2 5 ? → → 所以M1M=(x′,0),N1N=?0, y′ . 5 ? ? 2 5 ? → → → 由OT=M1M+N1N,有(x,y)=(x′,0)+?0, y′ , 5 ? ? x=x′, ? ? 所以? 2 5 ? ?y= 5 y′. 由此得 x′=x,y′= 5 y. 2

→ 由|OM|= 5,得 x′2+y′2=5,
2 x2 y2 5 ? ? 所以 x + =5,得 + =1, 5 4 ? 2 y?

2

x2 y2 故曲线 C 的方程为 + =1. 5 4 (2)点 A(5,0)在曲线 C 即椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交 点,所以直线 l 的斜率存在,并设为 k,直线 l 的方程为 y=k(x-5). x2 y2 ? ? 5 + 4 =1, 由方程组? 得(5k2+4)x2-50k2x+125k2-20=0.

?y=k(x-5), ?

依题意知Δ=20(16-80k2)>0, 得- 当- 5 5 <k< . 5 5 5 5 <k< 时,设交点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 的中点为 R(x0,y0), 5 5

x1+x2 25k2 50k2 则 x1+x2= 2 ,x0= = 2 . 2 5k +4 5k +4 25k2 -20k ∴y0=k(x0-5)=k?5k2+4-5?= 2 . ? ? 5k +4 又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k·kBR=-1, 20k 5k2+4 20k2 k·kBR=k· = =-1?20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立,所以 25k2 4-20k2 1- 2 5k +4 不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|.


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