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宁夏银川市唐徕回民中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析


宁夏银川市唐徕回民中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学试 卷
一.选择题(每题 5 分共计 60 分) 1.已知集合 A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0},则 A∩B=() A.{0,2} B.{(0,2)} C.(0,2) D.? 2.与直线 l:3x﹣4y+5=0 平行且过点(﹣1,2)的直线方程为() A.4x﹣3y+10=0 B.4x﹣3y﹣11=0 C.3x﹣4y﹣11=0 D.3x﹣4y+11=0 3.cos A. =() B. C. ﹣ D.﹣

4.已知正方形 ABCD 边长为 A.2 B. 2
2

,则|

+2

+

|=() D.6
2 2

C. 4
2

5.已知圆 O1: (x﹣1) +(y+3) =4,圆 O2: (x﹣2) +(y+1) =1,则两圆的位置关系 是() A.相交 B.内切 C.内含 D.外切 6.在△ ABC 中,已知 A 是三角形的内角,且 sinA+cosA= ,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 C. 钝角三角形
2 2

B. 直角三角形 D.无法确定三角形的形状

7.已知直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 没有公共点,则 k 的取值范围是() A.(﹣ (﹣∞,﹣ ) B.(﹣ )∪( ,+∞) ) C.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) D.

8. 已知函数 f (x) =sin (ωx+ 的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

) 的最小正周期为 π, 则函数 f (x) 的图象可以由函数 y=sin2x

B. 向右平移 D.向右平移

个单位 个单位

9.已知 tanα=2,则

的值是()

A.

B. 3

C. ﹣

D.﹣3

10.在△ ABC 中,设 A. +

= , B. ﹣

= ,若点 D 满足 C. ﹣
2 2

=2 +

,则

=() D. +

11.已知点 M(4,5)是⊙O:x +y ﹣6x﹣8y=0 内一点,则以点 M 为中点的圆 O 的弦长 为() A.2 B. 2 C. 2 D.6

12. 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (cos x+sinx) ? , 且 x∈[﹣

2

],

则函数 f(x﹣ A.

)的最大值是() B. C. D.1

二、填空题(每题 5 分,共计 20 分) 13.已知角 α 的始边与 x 轴正半轴重合,终边在射线 3x﹣4y=0(x<0)上,则 sinα﹣cosα=. 14.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x﹣y﹣1=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为. 15.已知函数 f(x)=sin(2x+
2 2

+φ) (|φ|<

)是偶函数,则 cos(π+φ)=.

16.圆 x +y =4 上有四个点到 12x﹣5y+c=0 的距离为 1,则 c 的范围是.

三、解答题(本题包括六道小题共计 70 分) 17.在△ ABC 中,已知 A(5,﹣2) ,B(7,3) ,且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中 点 N 在 x 轴上,求 (1)顶点 C 的坐标; (2)△ ABC 的面积. 18.已知点 C(﹣1,0) ,以 C 为圆心的圆与直线 x﹣ y﹣3=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称,求 m 的值.

19.已知函数 f(x)=2sin(2x+

)+1.

(1)求函数 f(x)的最大值,并求取得最大值时 x 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 20.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,|φ|< )的图象在 y 轴右侧的第一个最高

点为 P( ,2) ,在 y 轴右侧与 x 轴的第一个交点为 R( ,0) . (1)求函数 y 的解析式; (2)已知方程 f(x)﹣m=0 在区间[﹣
2 2

]上有解,求实数 m 的取值范围.

21.已知圆 M:x +(y﹣2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若点 Q 的坐标为(﹣1,0) ,求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值. 22.已知定义在区间 时,函数 f(x)=sinx. (Ⅰ)求 , 的值; 上的函数 y=f(x)的图象关于直线 对称,当

(Ⅱ)求 y=f(x)的函数表达式; (Ⅲ)如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解,那么将方程在 a 取某一确定值时所求得的所有解 的和记为 Ma,求 Ma 的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围.

宁夏银川市唐徕回民中学 2014-2015 学年高一下学期期 中数学试卷
一.选择题(每题 5 分共计 60 分) 1.已知集合 A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0},则 A∩B=() A.{0,2} B.{(0,2)} C.(0,2) D.? 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 集合. 根据集合的基本运算进行求解即可. 解:∵A={(x,y)|x+2y﹣4=0},集合 B={(x,y)|x=0},

∴A∩B═{(x,y)|

}={(x,y)|

}={(0,2)},

故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.与直线 l:3x﹣4y+5=0 平行且过点(﹣1,2)的直线方程为() A.4x﹣3y+10=0 B.4x﹣3y﹣11=0 C.3x﹣4y﹣11=0 D.3x﹣4y+11=0 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即可. 解答: 解:与直线 l:3x﹣4y+5=0 平行的直线的斜率为: . 与直线 l:3x﹣4y+5=0 平行且过点(﹣1,2)的直线方程为:y﹣2= (x+1) . 即:3x﹣4y+11=0. 故选:D. 点评: 本题考查直线方程的求法,直线与直线的平行关系的应用,考查计算能力.

3.cos A.

=() B. C. ﹣ D.﹣

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解. 解答: 解:cos =cos(8π+ )=﹣cos =﹣ .

故选:C. 点评: 本题主要考查了诱导公式,特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.

4.已知正方形 ABCD 边长为 A.2 B. 2

,则|

+2

+

|=() D.6

C. 4

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过向量加法的平行四边形法则可知 + = ,进而可得结论.

解答: 解:由向量加法的平行四边形法则可知: + = ,∴| +2 + |=3| |,

又∵正方形 ABCD 边长为 ∴| ∴3| |=2, |=6,



故选:D.

点评: 本题考查向量的加法法则,注意解题方法的积累,属于基础题. 5.已知圆 O1: (x﹣1) +(y+3) =4,圆 O2: (x﹣2) +(y+1) =1,则两圆的位置关系 是() A.相交 B.内切 C.内含 D.外切 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先求出两个圆的圆心和半径,再根据它们的圆心距与半径之和、差的关系,可得两 圆的位置关系. 解答: 解:圆 O1 的圆心为 O(1,﹣3) ,半径等于 2,圆 O2 的圆心为(2,﹣1) ,半径等 于 1, 它们的圆心距等于 = ,
2 2 2 2

因为 2﹣1< <2+1, 故两个圆相交, 故选:A. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,圆和圆的位置关系的判定方法,属于中档题. 6.在△ ABC 中,已知 A 是三角形的内角,且 sinA+cosA= ,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 直角三角形 D.无法确定三角形的形状

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 把已知等式两边平方,结合同角正余弦关系,判定 cosA 的符合,则确定三角形的 形状. 解答: 解:将 sinA+cosA= 两边平方,得 sin A+2sinAcosA+cos A=
2 2



∴2sinAcosA=

﹣1=﹣

<0,

又∵0<A<π,则 sinA>0, ∴cosA<0,即 A 为钝角, ∴△ABC 为钝角三角形. 故选:C. 点评: 本题考查同角正余弦关系及正余弦函数在第一、二象限的符号特征,属于基础题. 7.已知直线 y=kx+2 与圆 x +y =1 没有公共点,则 k 的取值范围是() A.(﹣ (﹣∞,﹣ 考点: 专题: 分析: 解答: ) B.(﹣ )∪( ,+∞) ) C.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) D.
2 2

直线与圆相交的性质. 计算题;直线与圆. 当圆心到直线的距离大于半径时,直线与圆没有公共点,即可得出结论. 解:直线 y=kx+2 可化为 kx﹣y+2=0, >1,

故圆心(0,0)到直线 kx﹣y+2=0 的距离 d=

解得 k∈(﹣ , ) , 故选:B. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,属基础题.

8. 已知函数 f (x) =sin (ωx+ 的图象() A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

) 的最小正周期为 π, 则函数 f (x) 的图象可以由函数 y=sin2x

B. 向右平移 D.向右平移

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的周期性求得 ω 的值,再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变 换规律,得出结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=sin(ωx+ (2x+ ) . 个单位可得函数 y=sin2(x+ )=sin(ωx+ )=f(x) )的最小正周期为 =π,∴ω=2,f(x)=sin

故把函数 y=sin2x 的图象向左平移 的图象, 故选:A.

点评: 本题主要考查正弦函数的周期性,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基 础题.

9.已知 tanα=2,则

的值是()

A.

B. 3

C. ﹣

D.﹣3

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的基本关系式将 1 写成 α 的正弦、余弦平方和的形式,然后利用商 数关系化为 tanα 的代数式,代入求值. 解答: 解:原式 = = = ;

故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的基本关系式的运用化简三角函数式; 熟练运用基本关系式是 关键.

10.在△ ABC 中,设 A. +

= , B. ﹣

= ,若点 D 满足 C. ﹣

=2 +

,则

=() D. +

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据三角形法则,写出 的减法运算,写出最后结果. 解答: 解:如图所示,在△ ABC 中, 又 ∴ 故选:A. =2 ,∴ = = + ( . ﹣ )= + = + , , 的表示式,根据点 D 的位置,得到 = ,根据向量

点评: 本题考查向量的加减运算,考查三角形法则,是一个基础题,是解决其他问题的基 础,若单独出现在试卷上,则是一个送分题目.

11.已知点 M(4,5)是⊙O:x +y ﹣6x﹣8y=0 内一点,则以点 M 为中点的圆 O 的弦长 为() A.2 B. 2 C. 2 D.6 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 化圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0 为标准方程,求出圆心和半径,可得 OM,即可求 出以点 M 为中点的圆 O 的弦长. 2 2 2 2 解答: 解:圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0 化为(x﹣3) +(y﹣4) =25. ∴圆心 O(3,4) ,半径为 5, ∴OM= ∴以点 M 为中点的圆 O 的弦长为 2 =2 .
2 2

2

2

故选:C. 点评: 本题考查以点 M 为中点的圆 O 的弦长,考查直线与圆的方程的应用,圆的标准方 程,是基础题.

12. 定义一种运算 a?b=

, 令f (x) = (cos x+sinx) ? , 且 x∈[﹣

2

],

则函数 f(x﹣ A.

)的最大值是() B. C. D.1

考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意求得 f(x)=1﹣sin x+sinx,可得 f(x﹣
2

)= ﹣

.由 x∈[﹣ )取得最大值.
2

],可得 cosx∈[0,1],利用二次函数的性质求得函数 f(x﹣ 解答: 解:由于 cos x+sinx= ﹣ ? =cos x+sinx=1﹣sin x+sinx, ∴函数 f(x﹣ 由 x∈[﹣ )=1﹣sin (x﹣
2 2 2 2

< ,∴f(x)=(cos x+sinx)

)+sin(x﹣

)=1﹣cos x﹣cosx= ﹣ )取得最大值为 1,

2



],∴cosx∈[0,1],故当 cosx=0 时,函数 f(x﹣

故选:D. 点评: 本题主要考查新定义,同角三角函数的基本关系,二次函数的性质,属于基础题. 二、填空题(每题 5 分,共计 20 分)

13. 已知角 α 的始边与 x 轴正半轴重合, 终边在射线 3x﹣4y=0 (x<0) 上, 则 sinα﹣cosα= .

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义进行求解即可. 解答: 解:∵角 α 的始边在射线 3x﹣4y=0(x<0)上, ∴在射线上取点 P(﹣4,﹣3) , 则 r=|OP|= 则 sinα﹣cosα= 故答案为: 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,利用三角函数的定义是解决本题的关键. 14.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x﹣y﹣1=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为(x﹣3)
2

=5, = + = ,

+y =2.

2

考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线 x﹣y﹣1=0 的斜率, 利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出过点 B 的直 径所在直线方程的斜率,求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标,根据|AC|=|BC|, 利用两点间的距离公式列出方程,求出方程的解确定出 C 坐标,进而确定出半径,写出圆 的方程即可. 解答: 解:∵直线 x﹣y﹣1=0 的斜率为 1, ∴过点 B 直径所在直线方程斜率为﹣1, ∵B(2,1) , ∴此直线方程为 y﹣1=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣3=0, 设圆心 C 坐标为(a,3﹣a) , ∵|AC|=|BC|,即 = ,

解得:a=3, ∴圆心 C 坐标为(3,0) ,半径为 , 2 2 则圆 C 方程为(x﹣3) +y =2. 2 2 故答案为: (x﹣3) +y =2. 点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:两点间的距离公式,两直线垂直时斜率 满足的关系,求出圆心坐标与半径是解本题的关键.

15.已知函数 f(x)=sin(2x+

+φ) (|φ|<

)是偶函数,则 cos(π+φ)=﹣



考点: 正弦函数的奇偶性;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由题意可得 值.

+φ=kπ+

,结合 φ 的范围求得 φ=

,可得 cos(π+φ)=﹣cosφ 的

解答: 解:由于函数 f(x)=sin(2x+ ∴φ=kπ+ ∴φ= ,k∈z,

+φ) (|φ|<

)是偶函数,故有

+φ=kπ+



,则 cos(π+φ)=﹣cosφ=﹣cos .

=﹣



故答案为:

点评: 本题主要考查正弦函数的奇偶性,诱导公式,属于基础题. 16.圆 x +y =4 上有四个点到 12x﹣5y+c=0 的距离为 1,则 c 的范围是(﹣13,13) . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆相交的性质;点到直线的距离公式. 直线与圆. 求出圆心,求出半径,圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可. 解:∵圆半径为 2,圆上有四个点到 12x﹣5y+c=0 的距离为 1, <1,
2 2

∴圆心(0,0)到直线 12x﹣5y+c=0 的距离小于 1,即

解得:﹣13<c<13, 则 c 的取值范围是(﹣13,13) . 故答案为: (﹣13,13) 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,熟练掌握点到直线的距离公式是解本题的关键. 三、解答题(本题包括六道小题共计 70 分) 17.在△ ABC 中,已知 A(5,﹣2) ,B(7,3) ,且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中 点 N 在 x 轴上,求 (1)顶点 C 的坐标; (2)△ ABC 的面积. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1)根据中点坐标公式,即可求顶点 C 的坐标; (2)结合三角形的面积公式即可求△ ABC 的面积. 解答: 解: (1)设点 C(x,y) ,

由题意

,解得

,所以点 C 的坐标是(﹣5,﹣3)

(2)由题设,|AB|= , 直线 AB 的方程为 5x﹣2y﹣29=0,

故点 C 到直线 AB 的距离为 d= 所以, )△ ABC 的面积 S= |AB|d= ×

=

, =24.

点评: 本题主要考查三角形的面积的计算,中点坐标公式的应用以及点到直线的距离公 式,考查学生的计算能力. 18.已知点 C(﹣1,0) ,以 C 为圆心的圆与直线 x﹣ y﹣3=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称,求 m 的值. 考点: 圆的切线方程;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)利用点到直线的距离公式,求出半径,即可求出求圆 C 的方程; (2)圆 C 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称,所以直线经过圆心 C,即可求 m 的值. 解答: 解: (1)由题意,r=
2 2

=2,

故所求圆的方程为(x+1) +y =4; (2)由题意,圆 C 上存在两点关于直线 mx+y+1=0 对称,所以直线经过圆心 C, 所以,﹣m+1=0,解得 m=1. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.

19.已知函数 f(x)=2sin(2x+

)+1.

(1)求函数 f(x)的最大值,并求取得最大值时 x 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 考点: 三角函数的最值;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用正弦函数的最值求得函数 f(x)的最大值,并求取得最大值时 x 的值. (2)由条件利用正弦函数的单调性求得函数 f(x)的单调递增区间. 解答: 解: (1)对于函数 f(x)=2sin(2x+ 时, f(x)取得最大值为 3. (2)令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,即 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ],k∈z. 时,函数 f(x)为增函数, )+1,当 2x+ =2kπ+ ,即 x=kπ+ ,k∈z

故函数 f(x)的递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查正弦函数的最值和单调性,属于基础题.

20.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,|φ|<

)的图象在 y 轴右侧的第一个最高

点为 P( ,2) ,在 y 轴右侧与 x 轴的第一个交点为 R( ,0) . (1)求函数 y 的解析式; (2)已知方程 f(x)﹣m=0 在区间[﹣ ]上有解,求实数 m 的取值范围.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意可得 A, 式,解得 φ,从而可求函数 y 的解析式. (2)由 ,可求得 ,方程 f(x)﹣m=0 即 m=f(x)在[﹣ 图象和性质即可得解. 解答: (本题 12 分) 解: (1)由题意,A=2, 故 ,所以 T=2, ,从而可求 ]有解,由正弦函数的 ,由周期公式可求 ω,将点 P( ,2)代入解析

,解得 ω=π,所以 f(x)=2sin(πx+φ) , , . ,所以 ,故 ]有解,所以 , , .

将点 P( ,2) ,代入上式,解得 所以, (2)因为 此时, 方程 f(x)﹣m=0 即 m=f(x)在[﹣

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和 性质,属于基本知识的考查. 21.已知圆 M:x +(y﹣2) =1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两点. (1)若点 Q 的坐标为(﹣1,0) ,求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值. 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求切线 QA,QB 的方程;
2 2

(2)连接 QM,则易知四边形 QAMB 的面积 ,即可求四边形 QAMB 的面积的最小 值. 解答: 解: (1)由题意,过点(﹣1,0) ,且与 x 轴垂直的直线显然与圆 M 相切,此时, 切线方程为 x=﹣1 当过点(﹣1,0)的直线不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x+1) ,即 kx﹣y+k=0, 由 解得 ,此时切线方程为 3x﹣4y+3=0;

(2)连接 QM,则易知四边形 QAMB 的面积

故当点 Q 为坐标原点时,



点评: 本题考查直线与圆 的位置关系, 考查面积的计算, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

22.已知定义在区间 时,函数 f(x)=sinx. (Ⅰ)求 ,

上的函数 y=f(x)的图象关于直线

对称,当

的值;

(Ⅱ)求 y=f(x)的函数表达式; (Ⅲ)如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解,那么将方程在 a 取某一确定值时所求得的所有解 的和记为 Ma,求 Ma 的所有可能取值及相对应的 a 的取值范围. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题. 分析: (I) 由已知中定义在区间 称,我们易得 (x)=sinx,即可求出答案. (II) 根据已知中在区间 上的函数 y=f (x) 的图象关于直线 对称, 当 上 , 上的函数 y=f (x) 的图象关于直线 ,结合当 对

时,函数 f

时,函数 f(x)=sinx.我们可根据函数图象对称变换法则求出函数在区间

的解析式,进而得到 y=f(x)的函数表达式; (Ⅲ)作函数 f(x)的图象,分析函数的图象得到函数的性质,分类讨论后,结合方程在 a 取某一确定值时所求得的所有解的和记为 Ma,即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)

… (Ⅱ)∵函数 y=f(x)的图象关于直线 又∵当 ∴当 时,函数 f(x)=sinx. 时, 对称,

f(x)=



(Ⅲ)作函数 f(x)的图象(如图) ,显然,若 f(x)=a 有解,则 a∈[0,1] ① ③ ,f(x)=a 有解,Ma= ② ,f(x)=a 有三解,Ma=

,f(x)=a 有四解,Ma=π …

④a=1,f(x)=a 有两解,Ma=

点评: 本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣图象变换法, 根的存在性及根的个数的 判断, 其中根据已知函数 y=f (x) 的图象关于直线 对称, 当 时, 函数 ( f x) =sinx. 根

据对称变换法则,求出函数的解析式是解答本题的关键.


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