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湖南省益阳市箴言中学2015届高三第十次模拟考试(5月)数学文


益阳市箴言中学 2015 届高三第十次模拟考试试题

文科数学试题
一. 选择题: (每小题 5 分,共 50 分.下列每小题所给出选项只有一项是符合 题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上.) 1 设集合 A ? ?x 1 ? x ? 2? , B ? ?x x ? a? ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 1 C. a

? 2 B. a ? 1 D. a ? 2
2 ,则( ?1 ? i

2. 已知复数 z ? A. z ? 2

)

B. z 的实部为 1 D. z 的共轭复数为 1+i
x>0? y=log3x y=3x

C. z 的虚部为-1

3.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3, 则输出的 y 的值为 A.1 B.3 ( ) C.9 ( D.27 )

4.“ a ? 2 ”是“ ?1, a? ? ?1,2,3? ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

? x ? 2, ? 5.已知 x, y 满足 ? y ? 1, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如 右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) 8 8 A. 4 5,8 B. 4 5, C. 4( 5 ? 1), D. 8,8 3 3 7 . 在 △ ABC 中 , 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是 a , b , c , 若
sin 2 A ? sin 2 B ? 3sin B sin C , c ? 2 3b ,则角 A 等于

( C. 120?

) D. 150? (
y O
C

A. 30?

B. 60?

8.函数 y ? cos(sin x) 的图象大致是 y y x x O O
A B

)
x O
D

y

x

? ? ? ? ? ? 9.非零向量 a, b 夹角为 60? ,且 a ? b ? 1,则 a ? b 的取值范围为 (
A

)

(1, 3]

B (0, 3 ]

C

(1,2]

D

[1,2]

10.设

,则





的大小关系是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位 置 ? x ? 2t ? 2 11.已知直角坐标系中,直线 的参数方程: ? ( 为参数),以直角 y ? 2 t ? 坐标系的原点 O 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则以极点为圆心与 直线 相切的圆的极坐标方程为 12.如图,函数 y ? cos x ? x 的图象经过矩形 ABCD 的 顶点 C , D .若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自 阴影部分的概率等于__________. 13.已知直线 l1 :ax ? 3 y ? 1 ? 0 ,l2 :2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是 . 为左顶点,点 .

x2 y2 14 . 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 中 , F 为 右 焦 点 , a b

??? ? ??? ? B(0, b)且AB ? BF ? 0 ,则此双曲线的离心率为
15. An ? n ? N? 系列的纸张规格如图,其特色在于: ①A0,A1,A2,?,An 所有规格的纸张的长宽比都相同;

② A0 对裁后可以得到两张 A1,A1 对裁后可以得到两张 A2,?,An-1 对裁后可以得 到两张 An. 现有每平方厘米重量为 b 克的 A0,A1,A2,?,An 纸各一张,若 A4 纸的宽度为 a 厘 米,则这( n ? 1 ) 张纸的重量之和 Sn ?1 等于__________. (单位:克) 三、解答题 16. (本小题满分 12 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分 布表如下: 分组(重量) 频数(个)
[80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

5

10

20

15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中 重量在 [80,85) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

17. (本小题满分 12 分)己知函数 f ( x) ? 2sin x cos 2 在 x ? ? 处取最小值. (I)求 ? 的值。

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? )

(II)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a=l,b= 2 , f ( A) ? 求角 C.

3 , 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 都是边 中,?ABC ? ? BAD ? 90?, BC ? 2 AD , ? PAB 与 ? PAD 长为 2 的等边三角形.

(I)证明: CD ? 平面PBD (II)求点 A 到平面 PCD 的距离

19. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 中, a1 ?
an ? 2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

1 ,其前 n 项的和为 S n ,且满足 4

?1? 1 1 1 31 (Ⅰ) 求证:数列 ? ? 是等差数列;(Ⅱ) 证明: S1 ? S2 ? S3 ? ... ? S n ? 2 3 n 22 ? Sn ?

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长半轴长为 2 , 且点 (1, ) 2 a b 2 在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若 ??? ? ??? ? OA? OB ? 0 (O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 13 分)已知椭圆

3 2 2 21. (本小题满分 13 分)已知 f ( x) ? x ? ax ? a x ? 2 .

(1)若 a ? 0, 求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

2015 届高考模拟考试数学参考答案(文科) BCAAC BABAA
5 ?1 2

? ?1

0.5

-3

1 ? ? 32 2a 2b ?1 ? ( )n?1 ? 2 ? ?
20 ? 0.4 ; 50

16. 【答案】(1)重量在 ?90,95? 的频率 ?

(2)若采用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 的苹果中共抽取 4 个, 则重量在 ?80,85? 的个数 ?
5 ?4 ?1; 5 ? 15

(3) 设在 ?80,85? 中抽取的一个苹果为 x , 在 ?95,100? 中抽取的三个苹果分别为
a, b, c ,从抽出的 4 个苹果中,任取 2 个共有 ( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c),(b, c) 6

种 情 况 , 其 中 符 合 “ 重 量 在 ?80, 85 ? 和 ?95,100? 中 各 有 一 个 ” 的 情 况 共 有
( x , a ) , (x ,b ) , x ( c ,种 ); 设“抽出的 4 个苹果中 , 任取 2 个 , 求重量在 ?80,85? 和

?95,100? 中各有一个”为事件 A ,则事件 A 的概率 P( A) ? 6 ? 2 ;
17. 解 : ( Ⅰ ) f ( x) ? 2 sin x ?
1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

3

1

= sin x ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin x = sin(x ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 3 分 因 为 f ( x) 在 x ? π 处 取 得 最 小 值 ,所 以 sin(x ? ? ) ? ?1 ,故 sin? ? 1 ,又 0 ? ? ? π 所以 ? ? ?????????????6 分 (Ⅱ) 由 ( 1) 知 f( x) ? s n i( x ? ) c o s? 内角,所以 A ?
π 2 x

π 2

, 因 为 f ( A) ? cos A ?

3 , 且 A 为 △ ABC 2

b sin A 2 π π 3π ? 由正弦定理得 sin B ? , 所 以 B ? 或 B ? .? 9 分 a 2 6 4 4 7π π π 3π 当 B ? 时 C ?? ? A? B ? ,当 B ? 时 C ? π ? A? B ? . 4 4 12 12

综上, C ?

7π π 或C ? 12 12

???????12 分

18.【答案】(Ⅰ)证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE ? BD ,从而 PB ? OE . 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE//CD.因此, PB ? CD . (Ⅱ)解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF//PB. 由(Ⅰ)知, PB ? CD ,故 OF ? CD . 1 又 OD ? BD ? 2 , OP ? PD2 ? OD2 ? 2 , 故 ?POD 为 等 腰 三 角 形 , 因 2 此, OF ? PD . 又 PD ? CD ? D ,所以 OF ? 平面 PCD. 因为 AE//CD, CD ? 平面 PCD, AE ? 平面 PCD,所以 AE//平面 PCD. 1 因此,O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF ? PB ? 1 , 2 所以 A 至平面 PCD 的距离为 1.
19. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ?
2 2Sn , 2Sn ? 1

Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1

1 1 ? ?2, S S n n ? 1 ,

?1? 从而 ? ? 构成以4为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ?
1 (Ⅱ)由(1)可知, 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ?? 22 nn ?? 1 2,? S n ? 2(n ? 1) , Sn S1 x2 y 2 ? ?1 . 4 b2 3 x2 又点 (1, ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .故所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . 4 2 2 2 (2)由(1)知 a ? 4, b ? 1 ,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) .

20.(1)由题意知 a ? 2 .设所求椭圆方程为

①若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 . ??? ? ??? ? 1 1 1 直线 AB 交椭圆于 ( 3, ), ( 3, ? ) 两点, OA ? OB ? 3 ? ? 0 ,不合题意. 2 2 4 ②若直线 AB 的斜率存在, 设斜率为 k ,则直线 AB 的 方程为 y ? k ( x ? 3) . 由
? y ? k ( x ? 3), ? ? 2 2 ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0,





. k)2 ? ( ? k2 1 x2 ? 4 x 8 2? 由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 . 8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

k3

?

1

2

?k 2 . 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ? ( ) ? 所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 11k 2 ? 4 4 2 11 ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? 由 OA ? OB ? 0 ,即 . 2 1 ? 4k 11 11 2 11 所以直线 l 方程为 y ? ? ( x ? 3) . 11 y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?

a , 3 a a ①当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ?a ? x ? .由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ? 3 3 a a 此时 f ( x) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . 3 3 a a ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ?a .由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a , 3 3 a a 此时 f ( x) 的单调递减区间为 ( , ?a) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3 a 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 3 a ( , ??) 3 a a 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 ( , ?a) 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3
21.(1) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ? (2)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x) ? a 2 ? 1 恒成立, 等价于
2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立,

3 1 x ? 在 (0, ??) 上恒成立, 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? , 1 3 1 3x 1 设 h?x? ? ln x ? ? , 则 h ' ?x ? ? ? ? 2 ? ? x 2 2x 2x 2 2 2x 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? - (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3
可得 a ? ln x ? 当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?( x)

(0,1)

1

(1,??)

+ 单调递增

0
-2

单调递减

h( x )

∴ 当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2,? a ? ?2 ∴ a 的取值范围是

?? 2,??? .


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