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第30届2013全国中学生物理竞赛复赛试题及解答word解析版


第 30 届全国中学生物理竞赛复赛试题解答与评分标准
【参考解答】以滑块和地球为系统,它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时,可将其 速度 v 分解成纬线切向 (水平方向)分量 v? 及经线切向分量 v? . 设滑块质量为 m ,在
O

某中间状态时,滑块位于半球面内侧 P 处, P 和球心 O 的连线与水平方向的夹角为<

br />? . 由机械能守恒得:

?

1 1 1 2 2 2 mv0 ? ?mgR sin ? ? mv? ? mv? 2 2 2

(1)

P

这里已取球心 O 处为重力势能零点. 以过 O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴,力矩为 零;重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中,滑块相对于轴的角动量守恒,故

mv0 R ? mv? R cos? .
由 (1) 式,最大速率应与 ? 的最大值相对应 而由 (2) 式, q 不可能达到 π

(2)

vmax ? v(?max ) .

(3)

2 . 由(1)和(2)式, q 的最大值应与 v? ? 0 相对应,即 v? (?max ) ? 0 . (4)

2 2 (4)式也可用下述方法得到:由 (1)、(2) 式得 2gR sin ? ? v0 tan2 ? ? v? ?0.

若 sin ? ? 0 ,由上式得

sin ? 2 gR ? 2 . 2 cos ? v0 sin ?max 2 gR ? 2 . 2 cos ?max v0
(4’)

实际上, sin ? =0 也满足上式。由上式可知

2 2 由(3)式有 v? (?max ) ? 2gR sin ?max ? v0 tan2 ?max ? 0 .

2 2 2 将 v? (?max ) ? 0 代入式(1),并与式(2)联立,得 v0 sin ? max ? 2 gR sin ? max 1 ? sin ? max ? 0 . (5)

?

?

以 sin ? max 为未知量,方程(5)的一个根是 sinq

= 0 ,即 q = 0 ,这表示初态,其速率为最小值,不是所求
2 2 ?max ? v0 sin ?max ? 2gR ? 0 .

的解. 于是 sin ?max ? 0 . 约去 sin ? max ,方程(5)变为 2gR sin 其解为 sin ? max ?
2 ? ? v0 g 2 R2 1 ? 16 ? 1? . (7) ? 4 ? 4 gR ? v0 ? ?

(6)

注意到本题中 sin ? ? 0 ,方程(6)的另一解不合题意,舍去. 将(7)式代入(1)式得,当 ? ? ?max 时,
2 v? ?

1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 , 2

?

?

(8)

考虑到(4)式有

2 vmax ? v? ?

1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 . 2

?

?

(9)

【评分标准】本题 15 分. (1)式 3 分, (2) 式 3 分,(3) 式 1 分,(4) 式 3 分, (5) 式 1 分,(6) 式 1 分,(7) 式 1 分, (9) 式 2 分. 【参考解答】1. 由于碰撞时间 ?t 很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后 A、C、D 的速度分别为 vA 、
vC 、 vD ,显然有

vD ?

2l vC r .

(1)

以 A、B、C、D 为系统,在碰撞过程中,系统相对于轴不受外力矩作用,其相对于轴的角动量守恒

-1-

mvD 2l ? mvC r ? mvA 2l ? mv0 2l .

(2)

由于轴对系统的作用力不做功,系统内仅有弹力起作用,所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间 ?t 很小,

弹簧来不及伸缩碰撞已结束,所以不必考虑弹性势能的变化. 故

1 2 1 2 1 2 1 2 mvD ? mvC ? mvA ? mv0 2 2 2 2

.

(3)

由 (1)、(2)、(3) 式解得

vC ?

4lr 8l 2 r2 v , v ? v , v ? ? v0 0 D 0 A 8l 2 ? r 2 8l 2 ? r 2 8l 2 ? r 2
v0 ? vD ? v A .

(4)

【代替 (3) 式,可利用弹性碰撞特点

(3’)

同样可解出(4). 】设碰撞过程中 D 对 A 的作用力为 F1? ,对 A 用动量定理有

F1??t ? mvA ? mv0 ? ?

4l 2 ? r 2 2mv0 , 8l 2 ? r 2
4l 2 ? r2 2mv0 8l 2 ? r2
(6)

(5)

方向与 v 0 方向相反. 于是,A 对 D 的作用力为 F1 的冲量为 F1?t ? 方向与 v 0 方向相同.

以 B、C、D 为系统,设其质心离转轴的距离为 x ,则 x ? mr ? m 2l ? 2l ? r . (? ? 2) m ? ? 2 质心在碰后瞬间的速度为
v? vC 4l (2l ? r ) x? v0 . r (? ? 2)(8l 2 ? r 2 )

(7)

(8)

轴与杆的作用时间也为 ?t ,设轴对杆的作用力为 F2 ,由质心运动定理有

F2 ?t ? F1?t ? ?? ? 2? mv ?
由此得

4l (2l ? r) mv0 . 8l 2 ? r 2

(9)

F2 ?t ?

r(2l ? r) 2mv0 . 8l 2 ? r 2

(10)

方向与 v 0 方向相同. 因而,轴受到杆的作用力的冲量为

F2??t ? ?

r(2l ? r) 2mv0 , (11) 8l 2 ? r 2

方向与 v 0 方向相反. 注意:因弹簧处在拉伸状态,碰前轴已受到沿杆方向的作用力;在碰撞过程中还有 与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零,已忽略. 【代替 (7)-(9) 式,可利用对于系统的动量定理 F2 ?t ? F1?t ? mvC ? mvD . 【也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. 】 2. 值得注意的是,(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹 簧的弹力恰好提供滑块 C 以速度 vC ? 】

4lr v0 绕过 B 的轴做匀速圆周运动的向心力,即 8l ? r 2
2

k ?r ?

??m

2 vC 16l 2 r 2 ? 2 2 2 mv0 r (8l ? r )

(12)

则弹簧总保持其长度不变,(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块 A 的速度 v0 应满足的条件

-2-

v0 ?

(8l 2 ? r 2 ) k ? r ? 4l mr

?
(13)

可见,为了使碰撞后系统能保持匀速转动,碰前滑块 A 的速度大小 v 0 应满足(13)式. 【评分标准】本题 20 分. 第 1 问 16 分,(1)式 1 分, (2) 式 2 分,(3) 式 2 分,(4) 式 2 分, (5) 式 2 分,(6) 式 1 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分,(9) 式 2 分,(10) 式 1 分,(11) 式 1 分; 第 2 问 4 分,(12) 式 2 分,(13) 式 2 分.

【参考解答】 1. 当杆以角速度 ? 绕过其一端的光滑水平轴 O 在竖直平面内转动时,其动能是独立变量 ? 、 ? 和 L 的函 数,按题意 可表示为

Ek ? k ? ? ? ? L?

(1)

式中, k 为待定常数(单位为 1). 令长度、质量和时间的单位分别为 [ L] 、 [ M ] 和 [T ] (它们可视为相互 独立的基本单位),则 ? 、 ? 、 L 和 Ek 的单位分别为

[? ] ? [ M ][ L]?1 , [? ] ? [T ]?1 , [ L] ? [ L], [ Ek ] ? [ M ][ L]2 [T ]?2
在一般情形下,若 [ q ] 表示物理量 q 的单位,则物理量 q 可写为 式中, ( q ) 表示物理量 q 在取单位 [ q ] 时的数值. 这样,(1) 式可写为
q ? ( q)[ q]

(2)

(3)

( Ek )[ Ek ] ? k (? )? (?) ? ( L)? [? ]? [?]? [ L]?
在由(2)表示的同一单位制下,上式即

(4)

( Ek ) ? k (? )? (?) ? ( L)?

(5) (6) (7)

[ Ek ] ? [? ]? [?]? [ L]?
将 (2)中第四 式代入 (6) 式得 [ M ][ L] [T ]
2 ?2

? [ M ]? [L]? ?? [T ]? ?

(2)式并未规定基本单位 [ L] 、 [ M ] 和 [T ] 的绝对大小,因而(7)式对于任意大小的 [ L] 、 [ M ] 和 [T ] 均成立, 于是 所以 2. 由题意,杆的动能为 其中,

? ? 1, ? ? 2, ? ? 3

(8) (9) (10) (11)

Ek ? k??2 L3

Ek ? Ek ,c ? Ek ,r
1 2 1 L ? mvc ? (? L) ? ? ?? 2 2 ?2 ?
2

Ek ,c ?

-3-

注意到,杆在质心系中的运动可视为两根长度为

L 的杆过其公共端(即质心)的光滑水平轴在铅直平面 2
3

内转动,因而,杆在质心系中的动能 Ek ,r 为 Ek ,r

L ? L? ? 2 Ek (? , ?, ) ? 2k ?? 2 ? ? 2 ?2?
2

(12)
3

将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得 由此解得 于是

1 ?L ? ? L? k ?? 2 L3 ? ? L ? ? ? ? 2k ?? 2 ? ? 2 ?2 ? ?2?
k? 1 6
(14)

(13)

Ek =

1 lw 2 L3 . 6
L ? Ek ? mg ? ? sin ? ? ?2 ?

(15) (16)

3. 以细杆与地球为系统,下摆过程中机械能守恒

由(15)、(16)式得

w=

3g sinq . L

(17)

以在杆上距 O 点为 r 处的横截面外侧长为 ? L ? r ? 的那一段为研究对象,该段质量为 ? ? L ? r ? ,其质心速度 为
L?r? L?r ? ??? vc . ?r ? ??? 2 2 ? ?

(18)

设另一段对该段的切向力为 T (以 ? 增大的方向为正方向), 法向(即与截面相垂直的方向)力为 N (以指向
O 点方向为正向),由质心运动定理得

T ? ? ? L ? r ? g cos? ? ? ? L ? r ? at N ? ? ? L ? r ? g sin ? ? ? ? L ? r ? an
式中, a t 为质心的切向加速度的大小 而 an 为质心的法向加速度的大小 由(19)、(20)、(21)、(22)式解得
T?
at ?

(19) (20) (21)

? L ? r d? L ? r d? d? 3 ? L ? r ? g cos ? dvc ? ? ? dt 2 dt 2 d? dt 4L

an ? ? 2

L ? r 3 ? L ? r ? g sin ? ? . 2 2L

(22)

? L ? r ?? 3r ? L ?
4 L2

mg cos ?

(23)

N?
【评分标准】本题 25 分.

? L ? r ?? 5L ? 3r ?
2 L2

mg sin ?

(24)

第 1 问 5 分, (2) 式 1 分, (6) 式 2 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分; 第 2 问 7 分, (10) 式 1 分,(11) 式 2 分,(12) 式 2 分, (14) 式 2 分;不依赖第 1 问的结果,用其他方法正 确得出此问结果的,同样给分; 第 3 问 13 分,(16) 式 1 分,(17) 式 1 分,(18) 式 1 分,(19) 式 2 分,(20) 式 2 分,(21) 式 2 分,(22) 式 2 分,(23) 式 1 分,(24) 式 1 分;不依赖第 1、2 问的结果,用其他方法正确得出此问结果的,同样给分.

-4-

【参考解答】 设在某一时刻球壳形容器的电量为 Q . 以液滴和容器为体系,考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G出口自 由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有

mgh ? k

Qq 1 Qq . ? mv2 ? 2mgR ? k h?R 2 R

(1)

式中, v 为液滴在容器口的速率, k 是静电力常量. 由此得液滴的动能为
1 Qq( h ? 2 R ) mv 2 ? mg ( h ? 2 R ) ? k . 2 (h ? R) R

(2)

从上式可以看出,随着容器电量 Q 的增加,落下的液滴在容器口的速率 v 不断变小;当液滴在容器口的 速率为零时,不能进入容器,容器的电量停止增加,容器达到最高电势. 设容器的最大电量为 Qmax ,则有
mg ( h ? 2 R ) ? k Qmax q( h ? 2 R ) ?0. (h ? R ) R

(3) (4) (5)

由此得 容器的最高电势为 Vmax ? k 由(4) 和 (5)式得

Qmax ?

mg ( h ? R ) R . kq

Qmax R
Vmax ? mg ( h ? R ) q

(6)

【评分标准】本题 20 分. (1)式 6 分, (2) 式 2 分,(3) 式 4 分,(4) 式 2 分, (5) 式 3 分,(6) 式 3 分.

【参考解答】 1. 一个带电量为 q 的点电荷在电容器参考系 S 中的速度为 (ux , uy , uz ) ,在运动的参考系 S ? 中的速度为

? , u? ? S 中只存在磁场 (Bx , By , Bz ) ? (?B,0,0) ,因此这个点电荷在参考系 S 中所受磁场的作 (ux y , uz ) . 在参考系
用力为
Fx ? 0, Fy ? ?qu z B, Fz ? qu y B

(1)

? , Ey ? , Ez ? ) 又有磁场 ( Bx ? , By ? , Bz ? ) ,因此点电荷 q 在 S ? 参考系中所受电场和磁 在参考系 S ? 中可能既有电场 ( Ex
场的作用力的合力为
? ? u? ? ? ? Fx? ? q?( Ex y Bz ? u z By ), ? ? ux ? Bz? ? u z ? Bx ? ), Fy? ? q?( E y ? By ? ? u? ? Fz? ? q?( Ez? ? u x y Bx )

(2)

两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为

-5-

q ? ? q, ( Fx?, Fy?, Fz?) ? ( Fx , Fy , Fz ), ? , u? ? (u x y , u z ) ? (u x , u y , u z ) ? (0, v,0)

(3)

由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足
? ? (u y ? v) Bz? ? u z By ? ? 0, Ex ? ? ux Bz? ? uz Bx ? ? ?uz B, Ey ? ? (u y ? v) Bx ? ? uy B Ez? ? ux By

(4)

它们对于任意的 (ux , uy , uz ) 都成立,故
? , Ey ? , Ez? ) ? (0,0, vB), ( Ex ? , By ? , Bz? ) ? (? B,0,0) ( Bx

(5)

可见两参考系中的磁场相同,但在运动的参考系 S ? 中却出现了沿z方向的匀强电场. 2. 现在,电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度 (0, v,0) 匀速运动. 电容器参考系 S 中的磁场会在液 体参考系 S ? 中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化,使得液体中的电场为

? , Ey ? , Ez ?) ? ( Ex

?0 (0,0, vB) . ?

(6)

为了求出电容器参考系 S 中的电场,我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的 变换,从液体参考系 S ? 中的电场和磁场来确定电容器参考系 S 中的电场和磁场. 考虑一带电量为 q 的点电 荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系 S ? 中,这力 ( Fx?, Fy?, Fz?) 如(2)式所示. 它在电容 器参考系 S 中的形式为
Fx ? q( Ex ? u y Bz ? u z By ), Fy ? q( E y ? u x Bz ? u z Bx ), Fz ? q( Ez ? u x By ? u y Bx )

(7)

利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式,可得

Ex ? u y Bz ? uz By ? 0, E y ? ux Bz ? uz Bx ? ?uz B, Ez ? ux By ? u y Bx ?
对于任意的 (ux , uy , uz ) 都成立,故 (8)

? 0 vB ? (u y ? v) B ?

( Ex , E y , Ez ) ? (0,0,(

?0 ? 1) vB), ?

(9)

( Bx , By , Bz ) ? ( ? B,0,0)
可见,在电容器参考系 S 中的磁场仍为原来的磁场,现由于运动液体的极化,也存在电场,电场强度如(9) 中第一式所示. 注意到(9)式所示的电场为均匀电场,由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为
V ? ? Ez d .

(10) (11)

由(9)式中第一式和(10)式得

?0 ? V ?? ?1 ? ? vBd . ? ? ?

-6-

【评分标准】本题 25 分. 第 1 问 12 分, (1) 式 1 分, (2) 式 3 分, (3) 式 3 分,(4) 式 3 分,(5) 式 2 分; 第 2 问 13 分, (6) 式 1 分,(7) 式 3 分,(8) 式 3 分, (9) 式 2 分, (10) 式 2 分,(11) 式 2 分.

【参考解答】 设弯成的圆弧半径为 r ,金属片原长为 l ,圆弧所对的圆心角为 ? ,钢和青铜的线膨胀系数分别为 ?1 和

? 2 ,钢片和青铜片温度由 T1 ? 20?C 升高到 T2 ? 120?C 时的伸长量分别为 ?l1 和 ?l2 . 对于钢片
d ( r ? )? ? l ? ?l1 2
(1) (2)

?l1 ? l?1 (T2 ? T1 )
式中, d ? 0.20 mm . 对于青铜片

d ( r ? )? ? l ? ?l2 2

(3) (4) (5)

?l2 ? l?2 (T2 ? T1 )
联立以上各式得

r?

2 ? (?1 ? ?2 )(T2 ? T1 ) d ? 2.0 ? 102 mm 2(?2 ? ?1 )(T2 ? T1 )

【评分标准】本题 15 分. (1)式 3 分, (2) 式 3 分,(3) 式 3 分,(4) 式 3 分, (5) 式 3 分.

【参考解答】 1. 考虑射到劈尖上某 y 值处的光线,计算该光线由 x ? 0 到 x ? h 之间的光程 ? ? y ? . 将该光线在介质中的 光程记为 ? 1 ,在空气中的光程记为 ? 2 . 介质的折射率是不均匀的,光入射到介质表面时,在 x ? 0 处,该 处介质的折射率 n ? 0? ? 1 ;射到 x 处时,该处介质的折射率 n ? x ? ? 1 ? bx . 因折射率随 x 线性增加,光线从
x ? 0 处射到 x ? h1 ( h1 是劈尖上 y 值处光线在劈尖中传播的距离)处的光程 ? 1 与光通过折射率等于平均

折射率

1 1 1 n? ? n ? 0? ? n ? h1 ?? ? ?1 ? 1 ? bh1 ? ? 1 ? bh1 ? ? 2 2 2

(1) (2)

的均匀介质的光程相同,即

?1 ? nh1 ? h1 ? bh12

1 2

忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线(事实上,可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避 开这些光线的影响),光线透过劈尖后其传播方向保持不变,因而有 ? 2 ? h ? h1 于是 由几何关系有 故 (3) (4) (5) (6)

? ? y ? ? ?1 ? ? 2 ? h ? bh12 .
h1 ? y tan ? .

1 2

? ? y ? ? h ? y 2 tan2 ? .

b 2

-7-

从介质出来的光经过狭缝后仍平行于 x 轴,狭缝的 y 值应与对应介质的 y 值相同,这些平行光线会聚在透 镜焦点处. 对于 y ? 0 处,由上式得

d ( 0) = h .
? ? y ? ? ? ? 0? ?
b 2 2 y tan ? . 2

(7) (8)

y 处与 y ? 0 处的光线的光程差为

由于物像之间各光线的光程相等,故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不 变;因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强,要求两束光的光程差为 波长的整数倍,即
y?

b 2 2 y tan ? ? k? , k ? 1, 2, 3, 2
2k ? cot ? ? A k , b A?

.

(9) (10)

由此得

2? cot ? . b

除了位于 y = 0 处的狭缝外,其余各狭缝对应的 y 坐标依次为

A,

2 A,

3A,

4 A,

.

(11)

2. 各束光在焦点处彼此加强,并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上,若依次取 k ? m, 4m, 9m, ,其中 m 为任意正整数,则 . (12)

ym ? mA, y4m ? 2 mA, y9m ? 3 mA,

这些狭缝显然彼此等间距,且相邻狭缝的间距均为 m A ,光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 【评分标准】本题 20 分. 第 1 问 16 分, (1) 式 2 分, (2) 式 2 分, (3) 式 1 分,(4) 式 1 分,(5) 式 2 分,(6) 式 1 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分, (9) 式 2 分, (10) 式 1 分,(11) 式 2 分; 第 2 问 4 分,(12) 式 4 分(只要给出任意一种正确的答案,就给这 4 分). . 【参考解答】 1.设碰撞前电子、光子的动量分别为 pe ( pe ? 0 )、 p? ( p? ? 0 ),碰撞后电子、光子的能量、

? , pe ? , E?? , p?? . 由能量守恒有 动量分别为 Ee
由动量守恒有 光子的能量和动量满足 电子的能量和动量满足 由(1)、(2)、(3)、(4)式解得
E?? ?

Ee + Eg = Ee ? + Eg? .
pe + pg = pe ? + pg? .
Eg = pg c, Eg? = pg? c .

(1) (2) (3) (4)

2 2 2 4 2 4 ?2 ? pe ?2c2 ? me Ee2 ? pe c ? me c , Ee c

?E ?
e

2 4 E? Ee ? Ee2 ? me c

?

E ?m c
2 e

2 4 e

? ? 2E

?

(5)

?

2. 由(5)式可见,为使 Eg? > Eg , 需有

-8-

E?? ? E? ?

?

2 4 2 E? ( Ee2 ? me c ? E? ) 2 4 Ee ? Ee2 ? me c ? 2 E?

?

?0

即 注意已设 pe > 0 、 pg < 0 . 3. 由于 Ee ?? mec2 , 因此有

2 4 Ee2 ? me c ? E?

或 pe ? p?

(6)

2 4 Ee2 ? me c ? Ee ?

2 4 me c . 2 Ee

(7)

将(7)式代入(5)式得

E?' ?

2 Ee E? m2c 4 2 E? ? e 2 Ee
(9)

.

(8)

代入数据,得

Eg? ? 29.7 ? 10 6 eV .

【评分标准】本题 20 分. 第 1 问 10 分, (1) 式 2 分, (2) 式 2 分, (3) 式 2 分,(4) 式 2 分,(5) 式 2 分; 第 2 问 5 分,(6) 式 5 分; 第 3 问 5 分,(7) 式 2 分, (8) 式 1 分, (9) 式 2 分.

-9-


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