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正弦定理及余弦定理的综合应用


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高一数学复习专题——解三角形
一.正、余弦定理的直接应用: 1、Δ ABC 中,a=1,b= 3 , ∠A=30°,则∠B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° ( )

2、在Δ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c ,若 sin A ? 3、在Δ

ABC 中,若 SΔ ABC=

3 1 ,求 a : b : c , sin B ? 2 2

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______. 4
) C.7 D.8

4.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60° ,则 BC 边的长是( A.5 B.6

π 1 5.在△ABC 中,C-A= ,sinB= . 2 3 (1)求 sinA 的值;(2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.

6.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 tan A ? tan C ? 3 ? 3 , AB 边上的高为

4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

二.判断三角形的形状 7、在锐角三角形 ABC 中,有 A.cosA>sinB 且 cosB>sinA C.cosA>sinB 且 cosB<sinA B.cosA<sinB 且 cosB<sinA D.cosA<sinB 且 cosB>sinA ( ) ( )

8、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

9、钝角Δ ABC 的三边长分别为 x,x+1,x+2,其最大角不超过 120° 则实数 x 的取值范围是: 10.已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2 (2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.
(1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

1

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三.测量问题 11.在 200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( 400 A. m 3 400 3 B. m 3 200 3 C. m 3 200 D. m 3

)

12.测量一棵树的高度,在地面上选取给与树底共线的 A、B 两点,从 A、B 两点分别测得树 尖的仰角为 30°,45°,且 AB=60 米,则树的高度为多少米? 13.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠C=120° ,AB=4,BC=CD=2, 则该四边形的面积等于( A. 3 B.5 3
?

) C.6 3 D.7 3

14.一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私 船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏 东 45? 角的正弦值. ?的方向去追,.求追及所需的时间和 ?
?

?

北 C 东 B A

15.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C.景区 管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30° 方向上 8 km 处,位于景点 B 的正北方向,还位于景点 C 的北偏西 75° 方 向上,已知 AB=5 km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路,不考虑其他 因素,求出这条公路的长;(2)求景点 C 和景点 D 之间的距离.

四.正、余弦定理与三角函数,向量的综合应用 16、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0 有等根, 那么三边 a,b,c 的关系是 17.在 Rt △ABC 中, C ? 90 ,则 sin A sin B 的最大值是_______________。
0

18.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C, y ? sin A ? sin B, z ? cos A ? cos B, 则 x, y, z 的 大小关系是___________________________。
2

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19.△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos B ? (Ⅰ)求

3 . 4

3 1 1 的值;(Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值。 ? 2 tan A tan C

20(2010 浙江文数)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积, 满足 S ?

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 。 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B 的最大值。

21、(2010 安徽理数)设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。(Ⅰ)求角 A 的值; 3 3
(Ⅱ)若

?

?

??? ? ???? AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c )。

22.在锐角△ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m=(2sin(A+C), 3), B n=(cos2B,2cos2 -1),且向量 m、n 共线. 2 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值.

3

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高一数学解三角形复习专题答案 1.B 2。

1 : 3 : 2或1 : 3 : 1

3。 45°

4。C

π π π 5 解:(1)由 C-A= 和 A+B+C=π,得 2A= -B,0<A< . 2 2 4 1 3 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A= ,sinA= . 3 3 (2)由(1)得 cosA= BC AC sinA 6 .又由正弦定理,得 = ,BC= · AC=3 2. 3 sinA sinB sinB

π π π ∵C-A= ,∴C= +A,sinC=sin( +A)=cosA, 2 2 2 1 1 1 6 ∴S△ABC= AC· BC· sinC= AC· BC· cosA= × 6×3 2× =3 2. 2 2 2 3 6 解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a ? c ? b ? ac, cos B ?
2 2 2

1 , B ? 600 2

tan( A ? C ) ?

tan A ? tan C 3? 3 ,? 3 ? , 所 以 有 tan A tan C ? 2 ? 3 , 联 立 1 ? tan A tan C 1 ? tan A tan C

? A ? 750 ? ? A ? 450 ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 ? ? 或? 或 tan A ? tan C ? 3 ? 3 得, ? ,即 ? ? 0 0 ? tan C ? 1 ? ?C ? 45 ?C ? 75 ? ? tan C ? 2 ? 3 ? ?
当 A ? 75 , C ? 45 时, b ?
0 0

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A
4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 45 , C ? 75 时, b ?
0 0 0 0 0

∴当 A ? 75 , B ? 60 , C ? 45 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), 当 A ? 45 , B ? 60 , C ? 75 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1) 。
0 0 0

7. B

8。 D

9。 ≤a<3.

3 2

10 解:(1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,所以 a ?

3

a2 ? c2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? 。 2ac a a 在 Rt?ABC 中, sin A ? ,所以 b ? c ? ? a 。所以 ?ABC 是等腰直角三角形; c c
(2)由余弦定理得: a ? c ?
4

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11.A

12。 30(1 ? 3 )m

13。 B

14. 解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有

? 22 2 ? , AB ? 14 x , BC ? 10 x , ? ACB ? 120 . ? ( 14 x ) ? 12 ? ( 10 x ) ? 240 x cos 120

? 20 sin 120 5 3 ? x ? 2 , AB ? 28 , BC ? 20 , sin ? ?. 28 14

?

所以所需时间 2 小时, sin ??

5 3 . 14

15.解:(1)在△ABD 中,∠ADB=30° ,AD=8 km,AB=5 km,设 DB=x km, 则由余弦定理得 52=82+x2-2×8×x· cos30° ,即 x2-8 3x+39=0, 解得 x=4 3± 3.∵4 3+3>8,舍去,∴x=4 3-3,∴这条公路长为(4 3-3)km. DB· sin∠ADB 4 3-3 AB DB (2)在△ADB 中, = ,∴sin∠DAB= = , AB 10 sin∠ADB sin∠DAB 3 3+4 ∴cos∠DAB= .在△ACD 中,∠ADC=30° +75° =105° , 10 ∴sin∠ACD=sin[180° -(∠DAC+105° )]=sin(∠DAC+105° ) =sin∠DACcos105° +cos∠DACsin105° = 4 3-3 2- 6 3 3+4 6+ 2 7 6- 2 · + · = . 10 4 10 4 20

AD CD 8 CD 324 2-68 6 ∴在△ACD 中, = ,∴ = ,∴CD= km. sin∠ACD sin∠DAC 73 7 6- 2 4 3-3 20 10
16.a+c=2b 17。

1 2

18. x ? y ? z

19.解:(Ⅰ)由 cos B ? 由 b =ac 及正弦定理得 于是 1 ? 1
tan A tan C ?
2

3 3 7 , 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? , 4 4 4 sin 2 B ? sin A sin C.

sin B 1 4 cos A cosC sin C cos A ? cosC sin A sin(A ? C ) ? ? ? 7. ? ? ? 2 2 sin A sin C sin A sin C sin B sin B sin B 7

3 3 3 得ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得ca ? 2,即b 2 ? 2. 2 2 4 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2ac+cosB 得 a +c =b +2ac·cosB=5.
(Ⅱ)由 BA ? BC ?

(a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9,

a?c ?3

B 22.解:(1)∵m∥n,∴2sin(A+C)(2cos2 -1)- 3cos2B=0. 2 又∵A+C=π-B,∴2sinBcosB= 3cos2B,即 sin2B= 3cos2B.

5

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π ∴tan2B= 3,又∵△ABC 是锐角三角形,∴0<B< , 2 π π ∴0<2B<π,∴2B= ,故 B= . 3 6 π (2)由(1)知:B= ,且 b=1,由余弦定理得 6 b2=a2+c2-2accosB,即 a2+c2- 3ac=1.∴1+ 3ac=a2+c2≥2ac, 即(2- 3)ac≤1,∴ac≤ 20. 6+ 2 1 =2+ 3,当且仅当 a=c= 时,等号成立. 2 2- 3

21.

6


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