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江西省九江市第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 文


九江一中 2016 届高三月考试题 文 科 数 学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知 U={y|y=log3x,x>1}, M ? ? y | y ? A.

? ?

1 ( 0, ) 3

B.

(0,+∞)

C. ? ,??) ?3

?1

1 ? , x ? 3? ,则?UM=( x ? ?1 D.(-∞,0]∪ ? ,??) ?3

)

2.已知 a 为实数,若复数 z ? (a 2 ? 1) ? (a ? 1)i 为纯虚数,则 A.1 B.-1 C. i D.

?i

a ? i 2015 的值为( 1? i

)

3. 已知在等比数列 {an } 中,a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ? A.

5 , 则等比数列 {an } 的公比 q 的值为 ( 4



1 4

B.

1 2

C.2

D.8

4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f ? ? 1 A.- 4 1 B.- 2 1 C. 4 D. 1 2

? 5? ? =( ? 2?

)

5. .已知平面向量 m, n 的夹角为

? , n ?2,在 ? 中, AB ? 2m ? 2n , ABC , 且 m? 3 6
AD =

AC ? 2m ? 6n ,D 为 BC 边的中点,则

A.2

B.4

C.6

D.8

(

)

6.校运会前夕,通过随机询问我校高中部 110 名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如 下的列联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 2 2 n ? ad - bc ? 110×?40×30-20×20? 2 2 由K= 算得,K = ≈7.8. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 60×50×60×50 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧(左)视图是 一个等边三角形,则这个几何体的体积为( ) A.

4 3 3

B.

5 3 3

C. 2 3

D.

8 3 3

8.《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决 更多的问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为:“今有女善织,
-1-

日益功疾(注:从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布. A. 9.当输入的实数 x ? ?2,30? 时,执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 不小于 103 的概率是 ( )
1 2

B.

8 15

C.

16 31

D.

16 29

5 A. 28

6 B. 29

10 .设正项等比数列

?an ? 的前
)

9 C. 14

19 D. 29

n 项之积为 Tn ,且 T14 ? 128 ,则

1 1 ? 的最小值是 ( a 7 a8
A. 2 B. 3
2

C. 2 2

D. 2 3

y2 ? 1 的两个焦点,P 是双曲线 24 上的一点,且 3 | PF 1 |? 4 | PF2 | ,则 ?PF 1 F2 的面积等于(
11 设 F1,F2 是双曲线 x ? A. 4 2 B. 8 3 C.24 D.48 12. 已知函数 f ( x) ? m( x ? ) ? 2 ln x(m ? R), g ( x) ? ? 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则实数 m 的范围为 A. ? ? ?, ? e



1 x

m , ,若至少存在一个 x0 ? [1, e] , x
D. ?? ?,0?

? ?

2? ?

B. ? ? ?, ?

? ?

2? e?

C. ?? ?,0?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.若向量 a ? ? cos ? ,1? , b ? ?1, 2 tan ? ? ,且 a //b ,则 sin ? ?
2 2 2

?

?

? ?



bc ? 4 , 14. 已知△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ? b ? c ? bc , 则△ ABC
的面积为 .

15 . 点 ( a ,b )在 两 直 线 y ? x ? 1 和 y ? x ? 3 之 间 的 带 状 区 域 内 ( 含 边 界 ) ,则

f (a, b) ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 4a ? 4b 的最小值为_____________.
(0, ? ?) ( 0, ? ?) 16.已知定义域为 的函数 f ? x ? 满足: (1)对任意 x ? ,恒有 f ? 2x ?=2f ? x ?
成立; (2)当 x ? (1,2] 时, f ? x ? ? 2 ? x .给出如下结论:①对任意 m ? Z ,有 f 2 m = 0 ;
n ②函数 f ? x ? 的值域为 [0, ;③存在 n ? Z ,使得 f 2 +1 =9 ;④“函数 f ? x ? 在区间 ? ?)

?

?

? ?

(a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ”.其中所有正确结
论的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin πx ? cos πx , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (2)设函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的图象与 x 轴的交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点 为 P,求 PM 与 PN 的夹角的余弦.

???? ?

????

-2-

18. (本小题满分 12 分)某中学的高二(1)班女同学有 45 名,男同学有 15 名,老师按照分层 抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实 验,求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率; (3)实验结束后,第一次做实验的同学得到的实验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第二次做实 验的同学得到的实验数据为 69, 70, 70, 72, 74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理 由.

19. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面三角形 ABC 为正三角形,侧棱

AA1 ? 底面 ABC , AB ? 2, AA1 ? 4 , E 为 AA1 的中点, F 为 BC 中点. (1)求证:直线 AF // 平面 BEC 1; (2)求点 C 到平面 BEC 1 的距离.
A1
E
C

C1

B1

F B

A

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,点 A, B 分别是椭圆 a2 b2

的长轴的左、右端点,左焦点坐标为 ( ? 4, 0) ,且过点 P (

3 5 , 3) . 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 已知 F 是椭圆 C 的右焦点, 以 AF 为直径的圆记为圆 M ,试问:过 P 点能否引圆 M 的 切线,若能,求出这条切线与 x 轴及圆 M 的弦 PF 所对的劣弧围成的图形的面积;若不 y 能,说明理由. P

A

O O

F

B

x

-3-

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) (1)当 a ?? (2) a ?

2

? ln x, a ? R.

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

1 1 时,令 h( x ) ? f ( x ) ? 3ln x ? x ? .求 h( x) 在 [1, e] 上的最大值和最小值; 2 2 (3)若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ? x ? [1,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? ? 2 已知直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数),⊙C 的极坐标方程为 ?y ? 2 t ? 4 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 cos(? ? ) . 4
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)试判断直线 l 与⊙C 的位置关系.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x-3|+|x-5|≤m 的解集不是空集,记 m 的最小值为 t. (1)求 t; (2)已知 a>0,b>0,c=max{

1 a 2 ? b2 , },求证:c≥1. a tb

注:maxA 表示数集 A 中的最大数.

-4-

月考数学答案 1. C. 2. B 3. B 4. B5.A
2 2

6. C【解析】由附表可得知当 K ≥6.635 时,有 P =1-P=0.99,当 K ≥10.828 时,有 P = 1-P=0.999,而此时的 K ≈7.8 显然有 0.99< P <0.999,故可以得到有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关”,故选 C.
2

1 14 3 2 2 2 2 15. 5【解析】由 f (a, b) ? a ? 2ab ? b ? 4a ? 4b ? ?a ? b? ? 4?a ? b? ,又点 ( a, b) 在两 直线 y ? x ? 1 和 y ? x ? 3 之间的带状区域内(含边界)得 1 ? a ? b ? 3 ,根据二次函数知
7.B 8.D 9.C 10. A11. C .12.A 13.

f (a, b) ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 4a ? 4b 的最小值为 5.
16.①②④. 17.解: (1) f ( x) ?

3 1 π sin πx ? cos πx ? sin( πx ? ) , 2 2 6 π ∵ x ? R ,∴ ?1 ? sin( πx ? ) ? 1 , 6 ∴函数 f ( x ) 的最大值和最小值分别为 1,-1. π π (2)解法 1:令 f ( x) ? sin( πx ? ) ? 0 得 πx ? ? kπ, k ? Z . 6 6 1 5 1 5 ∵ x ?[?1,1] ,∴ x ? ? 或 x ? ,∴ M ( ? , 0), N ( , 0). 6 6 6 6 π 1 1 由 sin( πx ? ) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? ,∴ P ( ,1), 3 6 3 ???? ? ???? 1 1 ∴ PM ? (? , ?1), PN ? ( , ?1), 2 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 3 PM ? PN ? ??? ? ? . ∴ cos PM , PN ? ???? | PM | ? | PN | 5 解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1,
1 1 5 T ? 1 , | PM |?| PN |? 12 ? ( ) 2 ? , 2 2 2 5 ? 2 ?1 ???? ? ???? | PM |2 ? | PN |2 ? | MN |2 3 由余弦定理得 cos PM , PN ? =4 ? . 5 5 2 | PM | ? | PN | 2? 4 A PA ? x 解法 3:过点 P 作 轴于 ,则 | PA |? 1,
由三角函数的性质知 | MN |? 由三角函数的性质知 | MN |? 1 T ? 1 , 2

1 5 . | PM |?| PN |? 12 ? ( ) 2 ? 2 2

-5-

| PA | 1 2 5 . ? ? | PM | 5 5 2 2 ∵PA 平分 ?MPN ,∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos ?MPA ? 1 2 5 2 3 ? 2? ( ) ?1 ? . 5 5
在 Rt?PAM 中, cos ?MPA ?

n 4 1 1 ? ? ,∴某同学被抽到的概率为 . 15 m 60 15 45 x ? ,? x ? 3 ,∴男,女同学的人数分别为 3,1. 设有 x 名男同学,则 60 4 (2)把 3 名同学和 1 名女同学记为 a1 , a2 , a3 , b ,则选取两名同学的基本事件有
18.解: (1) P ?

? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, b? , ? a2 , a1 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , b? , ? a3 , a1 ? , ?a3 , a2 ? , ?a3 , b? , ?b, a1 ? , ?b, a2 ? , ?b, a3 ? ,
共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种,∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

6 1 ? . 12 2 68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71, x2 ? ? 71, (3) x1 ? 5 5 P?

s

2 1

? 68 ? 71? ?

2

? ? ? ? 74 ? 71? ? 69 ? 71? ? ? ? ? 74 ? 71? ? 3.2, ? 4, s12 ? 5 5
2 2 2

所以第二名同学的实验更稳定. 19 .解: ( 1 )取 BC1 的中点为 R ,连结 RE, RF , (2)由等体积法得 VC ?BEC1 ? VE ?BCC1 ,则 20.解: (1)∵椭圆 C 的方程为 即椭圆的方程为 ∵ 点(

则 RF // CC1 , AE // CC1 ,且

AE ? RF ,所以四边形 AFRE 为平行四边形,则 AF // RE ,所以 AF // 平面 BEC1 .

4 1 1 5. S ?BEC1 ? h ? S ?BCC1 ? RE ,得 h ? 5 3 3

x2 y2 2 2 ? ?1( a ? b ? 0 ) , ∴ a ? b ? 16 , a2 b2

x2 y2 ? ? 1, b 2 ? 16 b 2

3 5 9 75 , 3 ) 在椭圆上,∴ ? 2 ? 1, 2 2 2 4(b ? 16) 4b
2 2 2

解得 b ? 20 或 b ? ?15 (舍) ,由此得 a ? 36 , 所以,所求椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 20
3 5 , 3 ) ,则得 2 2

(2)由(1)知 A ( ? 6, 0) , F ( 4, 0) ,又 P (

??? ? 15 5 ??? ? 5 5 AP ? ( , 3) , FP ? ( ? , 3) , 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ? 所以 AP ? FP ? 0 ,即 ?APF ? 90 , △ APF 是直角三角形, 所以,以 AF 为直径的圆 M 必过点 P ,因此,过 P 点能引出该圆 M 的切线. 设切线为 PQ ,交 x 轴于 Q 点, 又 AF 的中点为 M ( ? 1, 0) ,则显然 PQ ? PM ,

-6-



k PM

5 3 ?0 2 ? ? 3, 3 ? (?1) 2

所以 PQ 的斜率为 ?

3 , 3

因此,过 P 点引圆 M 的切线方程为 y ? 令y

? 0 ,则 x ? 9 ,? Q( 9, 0) ,又 M ( ? 1, 0) ,

5 3 3 3 ? ? ( x ? ) ,即 x ? 3 y ? 9 ? 0 . 2 3 2

1 1 25 3 , ? PM ? MQ ? sin ?PMQ ? ? 5 ?10 ? sin 60? ? 2 2 2 1 π 25π S扇形MPF ? ? 5 ? 5 ? ? ,因此,所求的图形面积是 2 3 6 25 3 25π 75 3 ? 25π S = S?PQM ? S扇形MPF ? . ? ? 2 6 6 1 1 2 21.解: (Ⅰ) a ? ? , f ( x ) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) ???????? 1 分 4 4 2 1 1 1 ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) ? f'(x) ? ? x ? ? ? ,????????2 分 2 2 x 2x 2x
所以 S?PQM ? ① 当 0< x < 2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; ② 当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) .????????4 分 (Ⅱ) 当

h?( x ) ? x ?

2 x ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 ,????????5 分

? x?? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0,当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x) >0, ? ? 故 x ? 2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,????????6 分
故 h( x)min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 又 h(1) ?

1 , 2

h (e) ?

1 2 1 e ?2 ? , 2 2

e2 ? 4 1 2 e ? 2 所以 h( x)max ? = .???????? 7 分 注:列表也可。 2 2 2 ( III )由题意得 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1对 x ? [1,??) 恒成立,????????8 分
设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1, x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ,??????????9 分 x x ① 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减 g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;??????????????????10 分 1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, ② 当 a ? 时, x ? 2 2a 所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;??????????????11 分 1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, ③ 当 0 ? a ? 时, x ? 2a 2 2a 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a ( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a
求导得 g'(x) ?
-7-

所以不成立, ????????????????????????????12 分 综上得 a ? 0 .??????????????????????????????14 分 (22) (本小题满分 10 分) (I)由⊙C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos(? ? 展开化为 ? ? 2 2 ? cos(? ?
2

?

) ? 2 ? (cos ? ? sin ? ) , 4 即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,化为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ∴圆心 C (1, ?1) .???..5 分
(II)由直线 l 的参数方程 (t 是参数),消去参数 t 可得 x﹣y-4 =0,

?

4

),

∴圆心 C 到直线的距离 d ?

2?4 2 2

? 4 ? 2 ? 2 ,因此直线 l 与圆相离.??.10 分

-8-


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