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10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理 分类加法计数原理 异同点 完成一件事有两类不同方案,在第 1 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种 定义 类方案中有 n 种不同的方法,那么完 不同的方法,那么完成这件事共有 N 成这件事共有 N=______种不同的方 =________种不同的方法 法 各种方法相互独立,用其中任何一种 区别 方法都可以完成这件事 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) ) 个步骤都完成才能做完这件事 各个步骤中的方法互相依存,只有各 分步乘法计数原理

(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(

(3)在分步乘法计数原理中, 事情是分步完成的, 其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事, 只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.( )

(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i=1,2,3,?, n),那么完成这件事共有 m1m2m3?mn 种方法.( ) )

(5)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(

1.用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( A.243B.252C.261D.279

)

2.(教材改编)已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从 M,N 这两个集合中各选一 个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限 内不同的点的个数是( A.12B.8C.6D.4 3.满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个 数为( ) )

A.14B.13C.12D.10 4.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个 数为( )

A.24B.18C.12D.6 5.(教材改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的 报名方法有________种.

题型一 分类加法计数原理的应用 例1 高三一班有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,其中男

生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,其中男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不 同的选法?

思维升华 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或 关键元素、关键位臵.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这 件事情的任何一种方法必须属于某一类. (2016· 全国丙卷)定义“规范 01 数列”{an}如下: {an}共有 2m 项, 其中 m 项为 0, m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2,?,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同 的“规范 01 数列”共有( )

A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 题型二 分步乘法计数原理的应用 例2 (1)(2016· 全国甲卷)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位 )

于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

A.24B.18C.12D.9 (2)有六名同学报名参加三个智力项目, 每项限报一人, 且每人至多参加一项, 则共有________ 种不同的报名方法. 引申探究 1.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项, 每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法?

2.本例(2)中若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但每 人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法?

思维升华 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先 后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成 了,才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成. (1)用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位数的个数为________. (2)(2017· 石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的 种数为______. 五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列), 则获得冠军的可能性有_____种.

题型三 两个计数原理的综合应用 例3 (1)如图,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D 四部分,现用 5 种不同颜色给四部分

涂色,每部分涂 1 种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法.

(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正 方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ________. 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.

(2017· 济南质检)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使 用 ) ,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为 ________.

13.利用两个基本原理解决计数问题

典例 (1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有( A.24 种 C.43 种 B.4 种 D.34 种

)

(2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有 4 次, 轮船有 3 次,问此人的走法可有________种. 错解展示 解析 (1)因为每个信箱有三种投信方法,共 4 个信箱, 所以共有 3×3×3×3=34(种)投法. (2)乘火车有 4 种方法,坐轮船有 3 种方法, 共有 3×4=12(种)方法. 答案 (1)D (2)12

现场纠错:

纠错心得:

提醒:完成作业 第十章 § 10.1

答案精析 基础知识 自主学习 知识梳理 m+n m×n 思考辨析 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 考点自测 1.B 2.C 3.B 4.B 5.32 题型分类 深度剖析 例1 解 (1)完成这件事有三类方法:

第一类,从高三一班任选一名学生共有 50 种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有 60 种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选法. 根据分类加法计数原理,任选一名学生任学生会主席共有 50+60+55=165(种)不同的选法. (2)完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法. 根据分类加法计数原理,共有 30+30+20=80(种)不同的选法. 跟踪训练 1 C 例2 (1)B (2)120

解析 (1)从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种,从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种,所以从 E 点 到 G 点的最短路径为 6×3=18(种),故选 B. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法,第二 个项目有 5 种选法,第三个项目有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法 共有 6×5×4=120(种). 引申探究 1.解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同的报名方法,根据分步乘法 计数原理,可得不同的报名方法共有 36=729(种). 2.解 每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步乘

法计数原理,可得不同的报名方法共有 63=216(种). 跟踪训练 2 (1)100 (2)45 54 例3 (1)260 (2)36

解析 (1)区域 A 有 5 处涂色方法;区域 B 有 4 种涂色方法;区域 C 的涂色方法可分 2 类: 若 C 与 A 涂同色,区域 D 有 4 种涂色方法;若 C 与 A 涂不同色,此时区域 C 有 3 种涂色方 法,区域 D 也有 3 种涂色方法.所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260(种)涂色方法. (2)第 1 类,对于每一条棱,都可以与两个侧面均成“正交线面对”,这样的“正交线面对” 有 2×12=24(个); 第 2 类, 对于每一条面对角线, 都可以与一个对角面构成“正交线面对”, 这样的“正交线面对”有 12 个.所以正方体中“正交线面对”共有 24+12=36(个). 跟踪训练 3 96 现场纠错系列 现场纠错 (1)C (2)7

解析 (1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法;第 3 封信投 到信箱中也有 4 种投法.只要把这 3 封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可 得共有 43 种方法. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种,每一种方法都能从 甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法共有 4+3=7(种). 纠错心得 (1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步. (2)把握完成一件事情的标准,如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中,导致错误.


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